MAB Yhtälöpari Yhtälöpari Yhtälöparilla tarkoitetaan tilannetta, missä on kaksi htälöä, joiden tät toteutua htä aikaa Tämä on sama asia kuin että kstään, missä pisteessä tai missä pisteissä htälöitä vastaavat kuvaajat leikkaavat Tutkimme ensin kahden suoran htälön tapausta Merkitään htälöparia avaavalla aaltosulkeella Avaava aaltosulku siis sitoo kaksi htälöä toisiinsa Jos kseessä on kaksi suoran htälöä, htälöpari on muotoa k b k b tai a b c a b c Tässä alaindeksien tarkoitus on ainoastaan erottaa vakiot toisistaan ja siten mös htälöt toisistaan Pelkkien a:n, b:n ja niin edelleen kättäminen merkitsisi sitä, että kirjoitamme saman htälön kahteen kertaan Sellainen ei ole htälöpari No, voimme toki kirjoittaa mös a b c, d e f mutta minun mielestäni se ei nätä kivalta Piirroksen lukeminen on aina enemmän tai vähemmän epätarkkaa Siksi kahden suoran leikkauspiste tät voida laskea Tällaisia menetelmiä on kaksi kappaletta, sijoitusmenetelmä ja eliminointimenetelmä Tilanteesta ja vähän siitäkin, millä päällä sattuu olemaan, riippuu kumman tavan kulloinkin valitsee Jos ainakin toinen annetaan ratkaistussa muodossa eli muodossa k b, niin sijoitusmenetelmää tulee luultavasti kättäneeksi herkemmin kuin eliminointimenetelmää Huomaa, että suorat leikkaavat vain eli niillä on tarkalleen ksi hteinen piste vain, jos ne eivät ole samansuuntaiset Suorat ovat samansuuntaiset vain, jos niillä on sama kulmakerroin Sijoitusmenetelmä Sijoitusmenetelmä eli sijoituskeino kättää hödksi sitä tosiseikkaa, että kahden htälön toteutuminen htä aikaa merkitsee mös sitä, että muuttujien tät olla samat Yhtälöparin ()
MAB Yhtälöpari tapauksessa tätä sovelletaan niin, että kirjoitetaan () Huomaa, että koko ajan kuljetetaan mukana kahta riippumatonta htälöä Kun parin () htälöistä ensimmäinen ratkaistaan, saadaan, joten ja Tarkistetaan saatu tulos sijoittamalla alkuperäisiin htälöihin: htälön oikea puoli ( op) ( ) htälön oikea puoli ( op) ( ), kuten pitää, koska saimme, että, kuten pitää, koska saimme, että Huomaa, että lhennän usein sanat oikea puoli op:llä ja sanat vasen puoli vp:llä Esimerkki Ratkaise htälöpari 5 Sijoitusmenetelmän avulla saadaan: Jos niin 5 5, 5 joten 5 5 Jaetaan ensimmäinen näistä kahdesta htälöstä miinus neljällä, jolloin ()
MAB Yhtälöpari () 5 8 eli 5 ja kun sijoitetaan saatu :n arvo Tarkistus: htälön op Koska tämän htälön vp, niin tulos täsmää htälön op 5 5 Koska tämänkin htälön vp, niin tulos täsmää jälleen Vastaus: ja Esimerkki 5 Ratkaise htälöpari Sovelletaan tähänkin sijoitusmenetelmää Sijoitetaan htälön op toiseen htälöön :n paikalle, jolloin saadaan ( ) Edelleen pidetään kiinni siitä, että htälöitä on kaksi Poistetaan jälkimmäisen htälön sulkeet ja ratkaistaan :
MAB Yhtälöpari Koska siis ja, niin Vastaus: ja Esimerkki 5 Ratkaise htälöpari 5 5 Sijoitetaan ensimmäisen htälön :n lauseke 5 toiseen htälöön :n paikalle: Koska niin 5 5 5 sijoitetaan 5 5 sievennetään 5 ( 5 ) 5 7 5 5 5 Tarkistus: htälön op 5, kun, kuten pitääkin Vastaavasti toisen htälön vp 5 5 5 5, kuten pitääkin Vastaus: Esimerkki 7 Tilalla on emuja ja hevosia Niillä on hteensä jalkaa ja 7 päätä Kuinka monta kutakin eläintä tilalla on? Merkitään hevosten määrää :llä ja emujen määrää :llä Koska kaikilla mainituilla eläimillä on ksi pää, niin 7 Koska hevosella on neljä jalkaa ja emulla on niitä kaksi, niin Saadaan siis htälöpari 7, joka odottaa vain ratkaisemistaan Jos siis 7, niin 7 ja ()
MAB Yhtälöpari 7 ( 7 ) Tästä saadaan edelleen, kun poistetaan sulkeet ja sievennetään 7 7 ( 7 ) 7 Koska siis ja 7, niin Tarkistus: päitä on 7, kuten pitää ja jalkoja on Vastaus: Hevosia on eläintä ja emuja on eläintä Esimerkki 8 Laske suoran ja paraabelin Tehtävämme on siis ratkaista htälöpari leikkauspisteet Sijoitusmenettelä soveltaen voimme kirjoittaa eli 9, josta edelleen 9 Saadaan siis tulos tai ja tai Tätä menetelmää sovellettaessa ei toinen ratkaisu katoa niin helposti 5()
MAB Yhtälöpari Toinen tapa ajatella tällaista tehtävää on, että eritisesti hteisten pisteitten koordinaattien on oltava samat Näin saadaan htälö, josta tai Nämä :n arvot ovat siis hteisten pisteitten koordinaatit Niitä vastaavat koordinaatit saadaan sijoittamalla saadut :t kumpaan tahansa alkuperäiseen htälöön Lasketaan varmuuden vuoksi molemmista, niin tulemme tarkistaneeksi, että saadaan samat Ensin suoran htälöstä: tai Sitten paraabelin htälö: kuten edellä Vastaavasti mös sijoittamalla :n arvo paraabelin htälöön, saadaan Vastaus: Annetut kärät leikkaavat pisteissä (;) ja ( ; ) Eliminointimenetelmä Eliminointimenetelmän perusajatus on no, eliminointi! Otetaan esimerkki Ratkaise htälöpari 7 Kirjoitetaan htälöt niin, että samanmuotoiset termit ovat allekkain Koska 7 niin 7 Kirjoitin ensimmäisen htälön :n plus-merkin näkviin, jotta korostuisi se seikka, että nt ensimmäisen ja toisen htälön :illä on eri merkit, mutta itseisarvoltaan sama kerroin Nt lasken htälöt puolittain hteen Sehän on luvallista, koska silloin lisäämme htälön molempiin puoliin htä suuren termin Sen jälkeen kirjoitan tuloksen näkviin hdessä toisen alkuperäisen htälön kanssa, jotta htälöpari säil Vasta sitten jatkan eteenpäin ()
MAB Yhtälöpari 7 Tuntematon siis katosi eli eliminoitui toisesta htälöstä kokonaan, jolloin :lle saadaan ratkaisu! Eliminoitumisen sijasta olisi ehkä oikeaoppisempaa sanoa, että tuntemattoman kertoimeksi saatiin nolla Asiasta kätetään kuitenkin nimitstä eliminoituminen Saadaan, että Sijoitetaan se parin lempänä olevaan htälöön, jolloin saadaan Siis 5 5 5 Tarkistetaan saatu tulos htälön vp ja sen op ( ) 5, kuten pitää htälön vp ja sen op 7 7, kuten pitää Vastaus: 5 Eliminointimenetelmä sopii varsinkin sellaisiin tilanteisiin, missä vähintään toinen htälöparin htälö on annettu ratkaisemattomassa muodossa Esimerkki 9 Mitkä luvut ja toteuttavat htälöt 5 ja? Muodostetaan htälöistä pari, jolloin 5 Kätetään eliminointimenetelmä Koska htälössä :n kerroin on ja htälössä, niistä on helppo tehdä itseisarvoltaan samat, mutta vastakkaismerkkiset kertomalla htälö :lla 7()
MAB Yhtälöpari Tällöin sanotaan mös, että htälö kerrotaan :llä! Yhtälöparin tapauksessa asialla ei ole väliä, mutta kun htälöitä on enemmän, niin mainitsemalla mös kkösellä kertomalla ilmaistaan samalla, mitkä htälöt lasketaan hteen Palaamme asiaan möhemmin Merkitään mainitut kertolaskut, lasketaan uudet htälöt hteen ja kerätään tulokset htälöpariksi 5 ( ) 5 8 Saadaan siis tulos htälöihin 8 Tarkista tulos sijoittamalla saatu ratkaisu alkuperäisiin Vastaus: Luvut ovat 8 Esimerkki Ratkaise htälöpari Usein on makuasia, kumman tavan valitsee htälöparia ratkaistaessa, sijoitusmenetteln vai eliminointimenetteln Niin tälläkin kerralla Jos halua kättää eliminointimenettelä, ensimmäisen htälö kannattaa kertoa :lla ja toinen :lla Kun htälöt sitten laskee hteen, niin eliminoituu Minä ratkaisen htälöparimme tällä kertaa sijoitusmenetteln avulla Kerron jälkimmäisen htälön kahdella ja sijoitan saamani :n lausekkeen ensimmäiseen htälöön 8()
MAB Yhtälöpari 9() Sijoitetaan: Tästä saadaan sieventämällä, Tämä on mahdotonta Olemme aloittaneet päättelemisen htälöparista eli olemme päätelleet Jos niin Saatiin siis tulos, että Jos htälöpari on voimassa, niin Hakematta tulee mieleen päättel Jos sinä olet Kiinan keisari, niin minä olen joulupukki! Siis: alkuperäinen htälöpari ei ole voimassa Geometrisesti tulos, että suorilla ei ole hteisiä pisteitä, merkitsee sitä, että suorat ovat samansuuntaiset Oheisessa kuvassa suorat on piirrett samaan koordinaatistoon
MAB Yhtälöpari Esimerkki 9 Missä pisteissä suorat ja leikkaavat? Kirjoitetaan htälöt htälöparin muotoon: 9 Kätetään eliminointimenettelä Kerrotaan ensimmäinen htälö :lla ja toinen :lla Lasketaan htälöt sitten hteen 9 ()
MAB Yhtälöpari 9 9 Tämä tulos on identtisesti tosi! Emmekö päätneet mihinkään? Katsotaan annettuja htälöitä tarkemmin Muokataan molemmat htälöt havainnollisimpaan muotoonsa eli muotoon, joka on kätevä silloin, kun piirretään suorien kuvaajat laskemalla niitten pisteitä: ratkaistaan molemmista htälöistä Aloitetaan kopioimalla alkuperäinen htälöpari tähän 9 9 Yhtälöt ovat samat! na on, että suorat eivät leikkaa vaan ovat sama suora Jos tehtävän määrittelssä olisi kstt, mitkä ovat suorien hteiset pisteet, vastaus olisi ollut, että kaikki suoran Koska ei kstt, emme vastaakaan siihen Vastaa aina täsmälleen siihen, mitä kstään älä koskaan mihinkään muuhun Vastaus: Suorat eivät leikkaa Esimerkissä esitelt päätteltapa on nimeltään reductio ad absurdum eli ristiriitaan perustuva päätteleminen tai väitteen redusoiminen mahdottomuudeksi Jos halutaan osoittaa, että A:sta seuraa B, mutta sen suora osoittaminen nättää vaikealta, niin sen osoittaminen, että ei-a:sta seuraa loogisella välttämättömdellä ei-b, voi olla helpompaa Jos viimeksi mainittu onnistuu, niin on lödett juuri tuon kiinankeisaripäätteln kaltainen todistus Oman mausteensa asiaan tuo se, että on oltava tarkkana siinä, että väitett ei-b todella on täsmällinen B:n looginen kielto eli negaatio Huomaa, että jos on osoitettava, että A:sta seuraa B ja sitten osoitetaan B, niin tämä B:n osoittaminen ei todista A:sta mitään eli tällainen päättel ei todista alkuperäisestä loogisesta, väitteen mukaisesta riippuvuudesta mitään ()