Luento 8 6.3.2015 1 Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit
Entrooppiset voimat 3 2 0 0 S k N ln VE S, S f ( N, m) 2 Makroskooppisia voimia, jotka syntyvät pyrkimyksestä kasvattaa entropiaa Vaikuttakoon ulkoinen voima f ext osasysteemiin a (= suljettu ideaalikaasusysteemi), T = vakio Vapaaenergiatermi F E TS a a a F Nk T lnv vakio a Nk T ln( LA) vakio Tasapainossa dfa fa fext dl vakio
Vapaan energian muunnoksen hyötysuhde Painon w 2 poisto Systeemin a + vapaan energian muutos? Systeemin tekemä työ? T vakio E kin vakio L Fa T Sa NkT ln L w1 w2 w1 pi, p f ideaalikaasu: p f Lf A w1l f NkT A A L L W L L w Nk T XNk T f i f i 1 Lf f i Massiivinen lämpösäiliö F Nk T X X X Nk T X 1 2 a ln(1 ) ( 2...) 0 1 W Fa Maksimaalinen hyötysuhde äärettömän pienillä muutoksilla: kvasistaattinen prosessi
Mikroskooppiset systeemit Makroskooppinen mikroskooppinen systeemi Deterministinen käyttäytyminen tilojen todennäköisyysjakauma Mikroskooppinen systeemi a kontaktissa makroskooppisen lämpövaraston kanssa Energiafluktuaatiot samansuuruiset (vastakkaismerkkiset) Miten mikroskooppisen osasysteemin a tilojen todennäköisyysjakauma riippuu makroskooppisesta osasysteemistä? Eristetty systeemi (a ja ) Kompartmenttien partikkelimäärät pysyvät vakiona Lämpötila T = vakio
Mahd. tilojen määrä osasysteemissä : S k ln ( E ) e Osasysteemin energia kytkeytyy osa- systeemin a energiaan: E E E tot a ( E) k kokonaissysteemin mikrotilojen Statistinen postulaatti: Jokainen kokonaissysteemin mikrotila yhtä todennäköinen, merk. P 0 S lukumäärä, jossa a tietyssä tilassa ja missä tahansa sallitussa tilassa: ( E E ) tot a Todennäköisyys (normioimaton), että osasysteemi a tietyssä tilassa: S ( Etot Ea ) k 0 0 P ( E E ) P e P tot a
E a pieni S (E tot - E a ) Taylorin sarjaksi: 0 tot 0 ds Ea S ( Etot Ea ) S ( Etot ) Ea... S ( Etot )... de T a Todennäköisyys, että osasysteemi a energiatilassa E a 1 T S ( Etot Ea ) S ( Etot ) Ea k k kt 0 0 P e P e e P x x 2 0 Taylor: f ( x) f ( x0) x x0 f '( x0) f ''( x0)... 2! x E E E tot a x E x x E a P E a kt vakio e oltzmann-jakauma missä T on ympäröivän osasysteemin määräämä lämpötila. Ympäröivä iso systeemi ei vaikuta mikroskooppisen osasysteemin a tilan (energia E a ) todennäköisyyteen muutoin kuin lämpötilan kautta!
Ligandin sitoutuminen reseptoriin 7 Esim. neurotransmittorin sitoutuminen reseptorimolekyyliin RNA-polymeraasin sitoutuminen DNA:han Lähestymistapa: Jaetaan liuos pieniin tilaelementteihin Vain 1 ligandi mahtuu tilaelementtiin Tilaelementtejä N kpl ja ligandeja n kpl Oletetaan, että ligandit eivät vuorovaikuta keskenään Niiden mikrotilojen lukumäärä, jossa ligandi ei ole sitoutunut reseptoriin N! n!( N n)!
Välihyppy: Mikrotilojen riippuvuus energiasta 8 Energian E i omaavan mikrotilan todennäköisyys P i (E i ) on i 1 kt Pi( Ei) e, missä Z on normeeraustekijä Z Normeerausehto: Summa yli kaikkien tilojen (lukum. = M ) = 1 Ei M M 1 1 M kt i i i1 i1 i1 kt P ( E ) e e 1 Z Z Z M i1 e E Ei k T Termodynaamiset suureet voidaan johtaa partitiofunktiosta, esim. Ei M M M kt i i i i i i1 i1 i1 1 1 E 1 i E E P ( E ) E e E e, missä Z Z k T 1 E Z ln Z Z E i Z on partitiofunktio
Ligandin sitoutuminen reseptoriin, jatkuu 9 Merk. E ligandi liuoksessa = ε sol, E ligandi sitoutunut = ε b ( b =bound) Mahdolliset tilat: Energia Multiplisiteetti Pätee, kun N >> n; tarkista esim. luvuilla N = 10 6 ja n = 3 N kpl n kpl n sol n N! N n!( N n)! n! n1 N! N ( n 1) sol b ( n 1)!( N n 1)! ( n 1)! Todennäköisyys P bound, että reseptori sitonut ligandin: n1 N e ( n 1)! n N N n! ( n1)! n1 n1 n sol n1sol b e e e sol e b 1 kt
Ligandin sitoutuminen reseptoriin, jatkuu 10 Sitoutumistodennäköisyys: P n1 N n1sol b e e n e ( n 1)! N, missä N N sol n sol b e e e 1 e n! ( n1)! N bound n n1 b sol n n1 Määritellään ligandikonsentraatio: c = n/v tot referenssikonsentraatio: c 0 = N/V tot P bound 1 c e c 0 0 kt c e c kt c 0 :n valinta tässä: jos tilaelementiksi valitaan 1 nm 3 c 0 0,6 M
Kahden tilan (S 1 ja S 2 ) systeemit: 11 Tilojen energiat E 1 ja E 2
Kahden tilan systeemit: Esim. Na + -kanava 12 Kokeellista dataa jänniteherkästä Na + -kanavasta: 2 tilaa: Virta kulkee (kanava auki) tai ei kulje (kiinni) Kanavan aukiolotodennäköisyys riippuu potentiaalierosta solukalvon eri puolten välillä Voidaan kuvata tilanmuuttujalla: = 0 (kanava auki) tai = 1 (kanava kiinni)
Kahden tilan systeemit: Na + -kanava jatkuu 13 Yksinkertaisimmassa mallissa kanavan aukiolotodennäköisyyttä P open kuvataan vain tilanmuuttujan avulla Energiafunktio: E( ) (1 ) open closed Energiatilan E todennäköisyys: PE ( ) E kt e Z Vapaa energia G kanavan poorin säteen R funktiona Jos kiinni = 0 ja auki = 1 antaa suoraan aukiolotodennäk. Jos 0, aukiolotn. hyvin pieni Jos 1, aukiolotn. hyvin suuri
Esim. iologisia ~kahden tilan systeemeitä 14
Esim. Fosforylaatio voi modifioida 2 tilan proteiinisysteemiä 15 Fosforylaatiossa kinaasit liittävät fosfaattiryhmän (PO 4 ) kovalenttisesti proteiiniin Reversiibeli; fosfataasit defosforyloivat Fosforylaatio lisää negatiivisen varauksen proteiiniin (ph:sta riippuen -e...-2e) Keskeinen proteiinien funktionaalisuuden säätelykanismi
Aktivaatioenergia 16 E a = E G = E
oltzmann-jakauman kineettinen tulkinta k S2 S1 k, k nopeuskertoimet, k t tn. että yksittäinen k molekyyli kokee reaktion lyhessä ajassa t tilat Alussa N 1 molekyyliä tilassa S 1 ja N 2 molekyyliä tilassa S 2 Keskimääräiset reaktionopeudet: Tasapaino: E E E kt kt 2 2 1 1 N k CN e, N k CN e C vakio N N 2, eq 1, eq e E k T Ei riipu E :stä! E määrää, kuinka kauan tasapainon saavuttaminen kestää N 2 E E N 1 dn1 k N 2 t k N 1 t k N tot N 1 t k N 1 t dt ( ) ( ) ( ) ( ) eq k k t N1( t) N1, eq N1(0) N1, e k 1 k relaksaationopeus tasapainoon
Tilassapysymisaika ( dwell time ) 18 Kuinka kauan molekyyli pysyy tietyssä tilassa ennenkuin se vaihtaa tilaa? Olkoon kahden tilan (S 1 ja S 2 ) systeemi Olkoon aluksi kaikki N 0 molekyyliä tilassa S 2 N ( t dt) N ( t)(1 k dt) N () t N e 0 k t Esim. jänniteherkkä Na + -kanava Todennäköisyys sille, että molekyyli pysyy tilassa S 2 ajan t ja sen jälkeen tekee hyppäyksen tilaan S 1 aikaikkunassa dt : Nt () ( ) kt P dt k dt k e dt 21 N0 kt Todennäköisyysjakauma P ( t) k e eksponentiaalinen 21 Vastaavasti toiseen suuntaan: P t k e () kt 12
Esim. kahden tilan systeemistä: RNA:n laskostuminen 19 Optinen pinsetti: Proteiinisynteesi riippuu solujen kyvystä avata laskostunut RNA Minkä suuruisia voimia RNA- hiuspinnin ( hairpin ) avaamiseen tarvitaan?
20 Epäjatkuvuuskohta 14,1...14,2 pn kohdalla Systeemi hyppii kahden tilan välillä Eksponentiaalisesti jakautuneet tilojen elinajat