5 KURSSI: Pyöimie ja gaitaati (FOTONI 5: PÄÄKOHDAT) PYÖRIMINEN s s KULMASUUREET; kietkulma ϕ =, kietymä = kietkulma muuts ϕ = 360 = π ad (MAOL s 34 (34)) PYÖRIMISLIIKE φ s kulmapeus = ϕ ad ω, yksikkö:[ ϕ ] = s kieste lkm kiestaajuus eli pyöimispeus; = kuluut aika =, yksikkö [ = ],, T s mi [ /s, pm, RPM ] φ = φ + ωt, ω = π MUUTTUVA PYÖRIMINEN: ω aki ϕ ϕ ϕ keskimäääie kulmapeus: ω k = = t t hetkellie kulmapeus: ω = ϕ = t,φ)kuaajalle piiety tageti fysikaalie kulmakei Tasaisesti kiihtyä pyöimie: kulmakiihtyyys α = aki ω kulmakiihtyyys; = ω ad α, yksikkö:[ α ] = ω = αt, ω = ω + αt s ω Yleie pyöimie: α aki t ω ω ω keskimäääie kulmakiihtyyys α k = = t t hetkellie kulmakiihtyyys α = ω = (t,ω)kuaajalle piiety tageti fysikaalie kulmakei KIERTYMÄ TASAISESTI KIIHTYVÄSSÄ (α = aki) PYÖRIMISLIIKKEESSÄ ω + ω + kietymä ϕ = ω k t, keskikulmapeus ω k= (t s = t k, k = ) tisi: kietymä ϕ = ω t + α t (t s = t + a t ) ω = alkukulmapeus, ω = lppukulmapeus, ω k = keskikulmapeus ata = kietkulma aja fuktia: ϕ( t ) = ϕ + ω t + α t (α = kulmakiihtyyys, t = aika) φ = kappalee kietkulma alkuhetkellä RATASUUREET kehäpistee atasiitymä = kaae pituus s = φ kulma ja atasuueide äliset yhteydet; kehäpistee atapeus eli kehäpeus = ω π π = ω = π = π = atapeus: = T T (T = kietaika (s))
T = kietaika eli yhtee kieksee kuluut aika (s) eteemisliikkee ja pyöimisliikkee aalgiaa (ks MAOL s 6 ()) RATAKIIHTYVYYS ELI TANGENTTIKIIHYVYYS a t = α NORMAALIKIIHTYVYYS ELI KESKEISKIIHTYVYYS (SUUNNANMUUTOSKIIHTYVYYS) a = ω keskeisima F= ma (esim laga aassa pyöiä kappale; F = lagajäitysima, pitää kpl:ee adalla) (hetkellie) kkaiskiihtyyys; a = a + a t kiihtyyyde itseisa: a = a t + a, θ = suutakulma, ta θ = Hum! Kulmapeus ja kulmakiihtyyys saadaa myös deiaattia: dϕ dω ω= α= dt dt = a a F F= m F a a t JÄYKÄN KAPPALEEN PYÖRIMISLIIKE VOIMAN MOMENTTI = ima kietaikutus (ima x ima asi); M = F d M = Nm ima asi = ima aikutussua khtisua etäisyys kietakselista yleisesti: mmetti ektisuue, jka määitellää istitula: M = F, M = F (MAOL s 8 ( 3)) Vieeise kuissa hiukkasee A aikuttaa ima F, jka saa aikaa hiukkase A kietymise kietakseli O ympäi Paikkaekti hiukkase A etäisyys kietakselista Kulma θ paikkaekti ja ima F aikutussua älie kulma ja b ima F asi eli ima F aikutussua khtisua etäisyys kietakselista O Vima F äätöaikutusta kuaaa suue eli ima F mmetti pistee O suhtee M = Fb = Fsiθ = F Tässä ima F asi b = siθ Mmettiae b sijaa idaa laskea myös ima F khtisuaa pjekti kietakselia OA = astaa, jlli F = Fsiθ ja M = F Pyöimise jatkauude laki: apaa kappale pyöii kiiteä akseli ympäi tasaisesti tai lessa STATIIKKA Tasapaiehdt: ) F = 0 (imaeht eli eteemiseht kpl ei etee ) ) M = 0 (mmettieht eli pyöimiseht kpl ei pyöi )
PYÖRIMISEN LIIKEYHTÄLÖ F letus: massapiste m ympyäliikkeessä mmetti M = F ataa hiukkaselle a t kiihtyyyde a = a t = α ja hiukkasee O aikuttaa ima F = ma m ima F mmetille M = F saadaa äi lauseke M = ma = mα = m α M = Jα missä J = m ( =massapistee hitausmmetti) PYÖRIMISEN LIIKEYHTÄLÖ (Pyöimise peuslaki): M i = Jα ( t F i = ma ) M = mmetti (Nm), J = hitausmmetti (kgm ), α = kulmakiihtyyys (ad/s ) hitausmmetti J pyöimisliikkee hitaude mitta (M M µ = Jα) (t massa m eteemisliikkee hitaude mitta) pyöimisliikkee ja eteemisliikkee astaauuksia: J m, M F, α a, ω, ϕ s Hitausmmetti J määitellää yleisesti massapisteide hitausmmettie sumaa b d J = m i i, jka käytäössä takittaa itegaalia = dm= = J ρ dv massapistee hitausmmetti etäisyydellä lea akseli suhtee : J= m kappaleide hitausmmetteja; MAOL s 89 (34)!! PYÖRIMISEN LIIKEENERGIA eli taatieegia: E t= Jω E t = pyöimiseegia (J), J = hitausmmetti (kgm ), ω = kulmapeus (ad/s) (t eteemisliikkee liikeeegia eli taslaatieegia: E = m ) Steiei säätö : J = J + m (ks ppikija s 45) mmeti tekemä työ W = M ϕ (t W = F s ) pyöimisliikkee eegiapeiaate: mmeti tekemä työ = pyöimiseegia muuts: W = E t (t W = E k ) pyöimisteh P = M ω (t P = F ) LIIKEMÄRÄMOMENTTI L = pyöimistä kuaaa suue (= kpl:ee pyöimie akselisa ympäi + kietliike adalla) massapistee liikemääämmetti tasa astaa khtisua ekti, jka suuuus määitellää lausekkeea L = m missä = kietakselia astaa khtisua O peude kmpetti ja m = hiukkase massa ω PYÖRIMISMÄÄRÄ eli sisäie liikemääämmetti L kuaa kappalee pyöimistä akselisa ympäi suuuus iippuu kulmapeudesta ω (kiestaajuudesta ) ja hitausmmetista J (hitausmmetti J iippuu pulestaa massasta m ja se paikasta pyöimisakselii ähde; J ~ m ) t a c
yleisesti: liikemääämmetti ektisuue, jka määitellää istitula: L = p = m = m Hiukkase massa m, peus, liikemäää p= m L ω ja = hiukkase paikkaekti eli etäisyys kiiteästä pisteestä O, jka suhtee liikemääämmettia L määitetää (ks ieeie kua ) Itseisaa saadaa: L = m siθ, missä θ : ja : älie kulma eli θ = θ(,) Js θ = 90 eli (ks kua ), ii L = m Kska = ω, ii L = m ω = Jω Kua Ristitul esitetty taulukssa: MAOL s 4 (38) Hum! Ristitul ylikussia, jta ei le älttämätö sata! Kappalee PYÖRIMISMÄÄRÄ eli sisäie liikemääämmetti kgm L= Jω yksikkö: [ L] = s kgm (t eteemisliikkee liikemäää: p= m, [ p= ] ) s Vastaauudet: L p, J m, ω Kua pyöimismäää säilymislaki: apaa systeemi pyöimismäää säilyy: L = Jω = aki eli Jω = J ω (t p = m= aki eli m = m ) Esim taitluistelija piuetit, uimahyppääjä ltit: J muuttuu ω muuttuu, kska L = Jω = aki Hitausmmetti J suaa eallie massaa ja se etäisyyde eliöö pyöimisakselista; J ~ m Esim Taitluistelija pieetää hitausmmettiaa J (massapisteide etäisyys pyöimisakselista pieeee), jlli kulmapeus ω kasaa, kska L = Jω aki (J < J ω > ω, kska J ω = J ω ) Sami meettelee uimahyppääjä * Miksi iitita helpmpi pyöittää keskeltä kui päästä? * Miksi kissa putaa aia jalillee? * Kumpi pyöii paemmi aaka ai keitetty kaamua? Miksi? * Miksi helikpteissa kaksi ptkuia? IMPULSSIMOMENTTI eli liikemääämmetti I M = M ( t impulssi I = F ) IMPULSSIMOMENTTIPERIAATE: impulssimmetti = pyöimismäää muuts eli (t eteemisliikkeessä impulssi = liikemää muuts eli I = p ) Ositetaa seuaaaksi, että I M = L I M = L
ω M= Jα M = J = J ω Siis imassa: = L I M Vastaaasti sitetaa, että eteemisliikkeessä F = ma = m t Siis I = p YMPYRÄLIIKE M I J( ) J J L L L I = p M = ω ω = ω ω = = F = m I = m ( ) = m m = p p = p KAPPALE YMPYRÄRADALLA: a maalikiihtyyys eli keskeiskiihtyyys: a = F tagettikiihtyyys eli atakiihtyyys: a t = 0 keskeisima: F= ma = m F a keskeisimaa, jka pitää kappalee ympyäadalla i lla esim laga jäitysima, kitkaima, alusta tukiima, gaitaatiima, sähköie ima eli Culmbi ima, mageettiketä ima Kaaeaj: ) aakasua kaae: eteemise liikeyhtälö kmpetit: F = m R N mg = 0 N N pia tukiima, G = mg aut paiima, F µ kitka(ima), aut peus ja R ada kaaeuussäde (ks fti 5, Esim, s 66) µ G µ ) kaltea kaae: eteemise liikeyhtälö kmpetit: Tcsα mg = 0 m Tsiα = T pia tukiima, α tie kalteuuskulma, ada kaaeuussäde Tie kalteuuskulmalle α pätee: taα = (ttea!) g (ks fti 5, Esim 3, s 6768) F
HEILURIT: φ matemaattie heilui = paittma laga päässä heilahtelea massapiste esim hue laga aassa heilahteleapiei pall l = heilui pituus ( = pall keskipistee etäisyys ipustuspisteestä) l l l φ = heilahduskulma eli pikkeutuskulma ja φ se suui a O tasapaiasema ja Aja B at heilui ääiasemat A B Amplitudi heilui suui pikkeama tasapaiasemasta, jka O heilahduskulmaa φ astaaaa kaaepituus (ks Kua 3) Kua 3 Heiluii aikuttaat imat at paiima G= mg alaspäi sekä laga jäitysima T, jka laga suutaie Jaetaa paiima G= mg kmpetteihi maalikmpettii G ja tagettikmpettii G t G t = mgsiϕ φ Heilui liikeyhtälö G + T= ma Kmpeteille pätee G = mgsiϕ l Liikeyhtälö jaetaa ada tageti ja maali suutaisii () T mgcsϕ = ma T m kmpetteihi: (t) mgsiϕ = ma t G t φ Js kulma φ piei ja aettu adiaaeissa, silli pätee x x G si ϕ ϕ = Suutaspimus humiide saadaa l mg mg φ G G t = x, missä kei aki G t siis l l + likimai hamie ima, ku pikkeama x piei Kua 4 Heiluipall khdistua Maa etima G jakamie kmpetteihi G t ja G t siis likimai suaa eallie pikkeamaa tasapaiasemasta ja pikkeamaa ähde astakkaissuutaie, ku pikkeama tasapaiasemasta piei G t siis likimai mg hamie ima Heilui hamie äähtelijä, jka jusiaki k= l Matemaattise heilui liike hamista äähdysliikettä Heilahdusaika T saadaa hamise m äähdysliikkee jaksaja suueyhtälöstä: T= π, missä m äähtelijä massa ja k k m l jusiaki Näi saadaa T= π = π Siis heilahdusaika T mg/l g l = π g Heilui tagettikiihtyyys liikeyhtälö mukaa a t = gsiϕ a t suui ääiasemissa ja lla tasapaiasemassa Heilui kulmakiihtyyydeksi saadaa a t gsiϕ α = = Heilui liikkuu pitki ympyä kaata ja se maalikiihtyyys l l T a = = gcsϕ l m G
matemaattise heilui maalikiihtyyys a lla ääiasemissa, jlli heilui peus lla maalikiihtyyys a suui tasapaiasemassa, jlli heilui atapeus suui Hum! Heiluille pätee mekaaise eegia säilymislaki: E p + E k = aki mgh= m KARTIOHEILURI JÄYKKÄ HEILURI eli fysikaalie heilui KAPPALEEN YLEINEN LIIKE ETENEMISEN JA PYÖRIMISEN RIIPPUMATTOMUUS: eteemise liikeyhtälö: F = ma pyöimise liikeyhtälö: M = Jα Kappalee liikeeegia = eteemisliikkee liikeeegia + pyöimiseegia E = E + E = m + Jω k t t E k = liikeeegia eli kieettie eegia E t = eteemise liikeeegia eli taslaatieegia E t = pyöimisliikkee liikeeegia eli taatieegia Steiei säätö : J = J + m (ks ppikija s 88) Ku mmassaise kappalee hitausmmetti massakeskipistee kautta kulkea akseli suhtee J, hitausmmetti tämä kassa yhdesuutaise, etäisyydellä massakeskipisteestä lea akseli suhtee J = J + m VIERIMINEN: KAPPALE VIERII = ETENEE JA PYÖRII ieimiseht: = ω ja a= α Vieiä kappalee liikeeegia ieimisliikkee eegia (eteemisliikkee eegia + pyöimisliikkee eegia); E k = E t + E = m + Jω ieimie kaltealla alustalla ω h 0tas: E p = 0 Mekaaise eegia säilymislaki (ei liikeastuksia; W = 0): letus: kpl alussa lessa: = 0, ω = 0 E p= E t+ E t eli mgh= m + Jω yleisesti; mekaaise eegia säilymislaki: a a a l l l (a = alussa, l = lpussa) E + E + E = E + E + E GRAVITAATIO; HEITTOLIIKE a) aakaliike tasaista: peus x = aki b) pystyliike tasaisesti kiihtyää: kiihtyyys a y = g = 9,8 m/s = aki ) putamie: = gt, h= gt ) pystysua heittliike: = gt, h = t gt 3) i heittliike: aakaliike tasaista ja pystyliike tasaisesti kiihtyää; p t t p t t
Kua Vi heittliikkee atakäyä ja Kua Vi heittliike peusekteita kmpetteihi kdiaatistssa jaettua x säilyy samaa, mutta O = heittpiste y muuttuu A = lakipiste = alkupeus α = lähtökulma Alkupeude kmpetit (t = 0): Npeude kmpetit hetkellä t: x y x y = csα = siα = = csα siα gt h = lakikkeus R = katama (letus: g aki, ilmaastus piei) Paika (sijaii) kdiaatit hetkellä t: x = csα t y = siα t gt aakaliike tasaista: x = csα = x = aki pystyliike tasaisesti kiihtyää: a y = g Eegia säilymislaki seltuu heittliikkee tutkimisee NOUSUAIKA: LAKIKORKEUS: t h 0siα = LENTOAIKA: T= g si g α siα siα h= KANTAMA: R= g g Keplei lait (3 kpl) (ks ppikija s 0)
NEWTONIN PAINOVOIMALAKI eli YLEINEN VETOVOIMALAKI (gaitaatilaki): mm F = G F = massje m ja m älie etima = kappaleide keskipisteide etäisyys G = yleie gaitaatiaki = χ, f (MAOL s 7 (7)) gaitaati yleie kappaleide älie etima pai = ima, jlla Maa etää kappaletta puleesa; G = mg, g = putamiskiihtyyys = 9,8 m/s gaitaatikettä; imakkuus g = F/m LIIKE GRAVITAATIOKENTÄSSÄ: Newti kuutesti KIERTOLAINEN YMPYRÄRADALLA Esim satelliitti, jka massa m kietää maata (massa M) ympyäadalla, jka säde liikeyhtälö: F= ma (dyamiika peuslaki) gaitaatiima = keskeisima mm G = m M m SOVELLUKSIA: taiaakappaleide massje määitys, atapeus, kietaika, kkeus, kaksistähdet SUURET SÄILYMISLAIT TAIVAANKAPPALEIDEN LIIKKEISSÄ: Liikemäää, pyöimismäää, mekaaie kkaiseegia: GmM E = m = aki E < 0: ata ellipsi (ympyä), E > 0: ata hypebeli, E = 0: ata paaabeli KOSMISET NOPEUDET ELI PAKONOPEUDET: pakpeus (kietää Maata) = 7,9 km/s, pakpeus (pis Maasta) =, km/s 3 pakpeus (pis Auikkuasta) = 4, km/s (ks ppikija, s 404) aauuslutaimet, satelliittipaikatamie mekaiika kaaat (MAOL s 69 (4)) a
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ MAOL taulukk: TÄRKEITÄ SIVUJA: ( uusi keltaie MAOL ja suluissa iheä aha MAOL) s 66(66): SIjäjestelmä peussuueet ja yksiköt + määitelmät s 67(67): keaaisyksiköide etuliitteet ja jhdaaisyksiköt s 68(68): lisäyksiköt, mm a 365 d, lita = dm 3, t = 000 kg = Mg, s 6970(6970): muutketimia, mm lita = dm 3 = 0,00 m 3, s 7(7): luakiita, mm gaitaatiaki χ, G = 6,6759 0 Nm /kg, s 095(050): tähtitiede, mm Maa massa, säde, etäisyys Auigsta, s 3(3): absluuttie kulmayksikkö s 69(34): hitausmmetteja! s 64 (4): MEKANIIKAN KAAVOJA + tuukset ja yksiköt!!! ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^