kevät 19 / orms.30 Talousmatematiikan perusteet 8. harjoitus, viikko 11 (11.03..03.19) L Ma 12 A2 R0 Ti 14 16 F43 R01 Ma 12 14 F43 L To 08 A2 R02 Ma 16 18 F43 R06 To 12 14 F140 R03 Ti 08 F42 R07 Pe 08 F43 R04 Ti 12 14 F43 R08 pe 12 F43 1. Yritys valmistaa muoviraaka-aineesta kahta tuotetta A ja B. Tuotteen A valmistaminen vie aikaa min ja raaka-ainetta 8kg. Tuotteen B valmistaminen vie aikaa 6min ja raaka-ainetta kg. Raaka-ainetta on olemassa 3000 kg/viikko ja laitteisto, jolla tuotteita valmistetaan on käytössä 40 tuntia viikossa. Yhden A-tuotteen valmistaminen tuottaa myyntivoittoa 7 euroa ja yhden B-tuotteen valmistaminen tuottaa myyntivoittoa euroa. Mahdollisesti käyttämättä jäänyt muoviraaka-aine voidaan myydä hintaan 1 euroa/tonni. Määrittele päätösmuuttujat ja muodosta lp-malli myyntivoiton maksimoimiseksi. (Älä ratkaise mallia.) Ratkaisu: Päätösmuuttujat: Tavoitefunktio: Rajoitteet: = tuotteen A valmistus (kpl/viikko) = tuotteen B valmistus (kpl/viikko) x 3 = raaka-aineen myynti (kg/viikko) z = 7 + + 0.1x 3 raaka-aine (kg): 8 + + x 3 3000 aika (min): + 6 40 60 Vastaus: LP-malli max z = 7 + + 0.1 x 3 s.t. 8 + + x 3 3000 + 6 2400 2. Ratkaise graafisesti seuraava lp-malli max z = + 2 ehdoin 3 + 4 + 18 + 4 60, 0 Ratkaisu: Käymme ensin läpi rajoitteet. Jokaisesta rajoitteesta kirjaamme rajoitteen, käyvän puolen (,,, ), sekä kaksi rajoitesuoran pistettä.
1. raj. 3 + 4 A = (,) B = (,0) 2. raj. + 18 C = (0,18) D = (18,0) 3. raj. + 4 60 E = (0,) F = (,) C E A F B D Tavoitesuora: tav. + 2 = 28 G = (0,14) H = (,4)
on pisteessä, jossa rajoitesuorat ja leikkaavat toisensa. Siis { { x1 + x 2 = 18 ( 1) + 4 = 60 + { x1 + x 2 = 18 3 = 42 { x1 = 4 ja z = 4 + 2 14 = 32 = 14 Vastaus: optimissa = 4, = 14 ja tavoitefunktio saa arvon z = 32. 3. a) Piirrä seuraavan LP-mallin käypä alue ja b) ratkaise malli. min z = ehdoin 2 + 3 60 + 16 3 6 2 +, 0 Ratkaisu: 1. raj. 2 + 3 60 A = (0,) B = (21,6) 2. raj. + 16 C = (0,16) D = (16,0) 3. raj. 3 6 E = (6,0) F = (21,) 4. raj. 2 + G = (0,) H = (,) A H V C G B F E D
Tavoitesuora: tav. = 7 = (0,) J = (,17) V J ssa rajoitteiden ja V rajoitesuorat leikkaavat. Siis { V { 2x1 + 3 = 60 (1) 2 + = + { 2x1 + 3x 2 = 60 4 = 70 { x1 = 3.7 ja z = 3.7 17.0 = 83.7 = 17.0 Vastaus: optimissa = 3.7, = 17.0 ja tavoitefunktio saa arvon z = 83.7. 4. a) Pienyritys valmistaa kahta tuotetta 1 ja 2, ja myy kaiken valmistamansa. Kumpaakin tuotetta käsitellään neljällä osastolla seuraavan taulukon mukaisesti. tuotantoaika (tuntia) tuote os. A os. B os. C os D 1 4 2 6 1 2 4 3 1 2 Kullakin osastolla käytettävissä oleva työvoima on rajallinen siten, että työtunteja on osastoilla viikossa käytettävissä seuraavasti
osasto työtunteja viikossa A 1 B 2 C 300 D 80 Kate (myyntitulo - valmistuskustannukset) yhdeltä 1 -tuotteelta on 300e ja kate yhdeltä 2 -tuotteelta 00e. Muodosta LP-malli yrityksen kokonaiskatteen maksimoimiseksi. (Älä ratkaise mallia.) b) Tehtävän yrityksen työaika-resurssi on 7 tuntia/viikossa eli 18 työntekijää. Pohdi seuraavaa kysymystä: Jos yritykselle tarjoutuu mahdollisuus palkata kaksi uutta työntekijää, niin miten tämä uusi resurssi allokoidaan (sijoitetaan) eri osastoille? Ratkaisu: a) Päätösmuuttujat: Tavoitefunktio: Rajoitteet: LP-malli = tuotteen 1 valmistus (kpl/viikko) = tuotteen 2 valmistus (kpl/viikko) z = 300 + 00 osasto A (h): 4 + 4 1 osasto B (h): 2 + 3 2 osasto C (h): 6 + 300 osasto D (h): + 2 80 max z = 300 + 00 s.t. 4 + 4 1 2 + 3 2 6 + 300 + 2 80 b) Kun on mahdollista palkata kaksi uutta työntekijää (80h työtä), niin haluamme selvittää mille osastoille uusi työresurssi kannattaa sijoittaa. Olkoon osastojen A, B, C, D uudet työresurssin lisäykset vastaavasti w 1, w 2, w 3, w 4. Silloin LP-malli menee muotoon max z = 300 + 00 s.t. 4 + 4 1 + w 1 2 + 3 2 + w 2 6 + 300 + w 3 x 1 + 2 80 + w 4 w 1 + w 2 + w 3 + w 4 = 80 tai systemaattisemmin
max z = 300 + 00 s.t. 4 + 4 w 1 1 2 + 3 w 2 2 6 + w 3 300 + 2 w 4 80 w 1 +w 2 +w 3 +w 4 = 80. Miten tehtävän 2 ratkaisu muuttuu, jos ensimmäisen rajoitteen resurssia kasvatetaan kolmella. Uusi LP-malli: max z = + 2 ehdoin 3 + 4 + 3 + 18 + 4 60, 0 Ratkaisu: Ensimmäisen rajoitteen rajoitesuora siirtyy yhden oikealle. Muuttunut ongelman graafinen esitys on seuraava. 1. raj. 3 + 4 + 3 A = (11,) B = (16,0) 2. raj. + 18 C = (0,18) D = (18,0) 3. raj. + 4 60 E = (0,) F = (,) A B uusi osa käypää aluetta (vihreä) Käypä alue laajenee, mutta väärässä paikassa. piste on eri osassa käyvän alueen reunaa, joten optimi ei muutu mitenkään. Päätösmuuttujien optimiarvot eivät muutu ja tavoitefunktion optimiarvo ei muutu.
6. Miten tehtävän 2 ratkaisu muuttuu, jos toisen rajoitteen resurssia kasvatetaan kolmella. Uusi LP-malli: max z = + 2 ehdoin 3 + 4 + 18 + 3 + 4 60, 0 Ratkaisu: Toisen rajoitteen rajoitesuora siirtyy yhden oikealle (tai ylös). Muuttunut ongelman graafinen esitys on seuraava. 1. raj. 3 + 4 A = (,) B = (,0) 2. raj. + 18 + 3 C = (3,18) D = (21,0) 3. raj. + 4 60 E = (0,) F = (,) C uusi osa käypää aluetta (vihreä) D Käypä alue laajenee oikeassa paikassa. -nurkka pysyy samana, mutta nurkkapiste siirtyy. Uudet päätösmuuttujien optimiarvot ovat = 8, = 13, jolloin tavoitefunktion uusi optimiarvo on z = 8 + 2 13 = 34. 7. a) Miten paljon tulee :n kertoimen c 1 kasvaa tehtävän 2 LP-mallin tavoitefunktiossa, jotta päätösmuuttujien optimiarvot muuttuvat. Miten optimi muuttuu? b) Miten paljon tulee :n kertoimen c 1 pienentyä tehtävän 2 LP-mallin tavoitefunktiossa, jotta päätösmuuttujien optimiarvot muuttuvat. Miten optimi muuttuu?
Lähtötilanne (c 1 = 1): max z = c 1 + 2 ehdoin 3 + 4 + 18 + 4 60, 0 Ratkaisu: tavoitesuoran kulmakerroin on k tav = 0. c 1. Lähtötilanteessa optimipiste on toisen ja kolmannen rajoitesuorien leikkauspisteessä. Toisen rajoitesuoran kulmakerroin on k 2 = 1 ja kolmannen rajoitesuoran kulmakerroin on k 3 = 0.2. Tavoitesuoran kulmakerroin lähtötilanteessa on k tav = 0.. Siis k 2 = 1 < k tav < 0.2 = k 3. Hyvin loiva tavoitesurora Loiva tavoitesuora 0.2 < k tav 1 < k tav < 0.2 Jyrkkä tavoitesurora 3 < k tav < 1 Hyvin jyrkkä tavoitesuora k tav < 3
-nurkka säilyy samana kuin lähtötilanteessa niin kauan kuin 1 < k tav < 0.2 1 < 0. c 1 < 0.2 2 > c 1 < 0. Huomautus: edellä todetut rajat saadaan myös seuraavasti Millä parametrin c 1 arvolla pisteet (0,) ja (4,14) ovat keskenään yhtä hyvät? z(0,) = z(4,14) c 1 0 + 2 = c 1 4 + 2 14 30 = 4c 1 + 28 c 1 = 0. Millä parametrin c 1 arvolla pisteet (4,14) ja (13.,4.) ovat keskenään yhtä hyvät? z(0,) = z(4,14) c 1 4 + 2 14 = c 1 13. + 2 4. 4c 1 + 28 = 13.c 1 + 9 9.c 1 = 19 c 1 = 2 Vastaus: a) Jos kerroin c 1 kasvaa enemmän kuin 1:llä (uusi arvo suurempi kuin 2), niin tavoitesuorasta tulee jyrkkä ja optimipiste hyppää pisteeseen = 13., = 4.. Jos kerroin c 1 kasvaa enemmän kuin :llä (uusi arvo suurempi kuin 6), niin tavoitesuorasta tulee hyvin jyrkkä ja optimipiste hyppää pisteeseen =, = 0. b) Jos kerroin c 1 pienenee enemmän kuin 0.:llä (uusi arvo pienempipi kuin 0.), niin tavoitesuorasta tulee hyvin loiva ja optimipiste hyppää pisteeseen = 0, =. Huomautus: Tehdään ajatusleikki: Yritys tekee tuotteita 1 ja 2, ja yhden tuotteen 1 kate c 1 paranee vähitellen. Alussa c 1 on pieni (c 1 < 0.). Silloin tuotetta 1 ei kannata valmistaa, vaan optimaalinen tapa toimia on = 0, =. Edellinen optimi pysyy voimassa kunnes c 1 > 0.. Tämän jälkeen tuotteen 1 valmistaminen on kannattavaa, ja optimiksi tulee = 4, = 14. Kun tuotteen 1 kate edelleen paranee ei päätösmuuttujien optimiarvot muutu ennen kuin c 1 ylittää arvon c 1 = 2. Tämän jälkeen tuote 1 on selvästi kannattavampi kuin tuote 2 ja yritys siirtyy tuottamaan pääasiassa tuotetta 1. Uusi optimi on = 13,, = 4.. (Se, että tuotetta 2 edelleen valmistetaan johtuu siitä, että näin saadaan resurssit käytettyä paremmin) Kun tuotteen 1 kate edelleen paranee ei päätösmuuttujien optimiarvot muutu ennen kuin c 1 ylittää arvon c 1 = 6. Tämän jälkeen tuotetta 2 ei enää kannata valmistaa.
13. 4 0 0. 2 6 c 1 Kommentti: Tuotantomääriä ei muuteta viikottain, vaan suhteellisen harvoin strategian muuttuessa. Tämä sopii hyvin teolliseen tuotantoon. Kun tuotantokoneisto on saatu kuntoon tietyilla tuotantomäärillä, niin määriä ei mielellään muuteta.