113 11.1 Yleistä Kun eri asioiden suuruuksia verrataan, käytetään asian havainnollistamiseksi usein prosentteja. Esim. Kun sulatetaan 63 g kuparia ja 37 g sinkkiä, saadaan 100 g messinkiä. 63 100 =
114 11.2 Prosentin ja promillen määritelmä Prosentti (latinaksi pro centum) tarkoittaa sadasosaa. 1 % = 1 100 = 0,01 prosentti murtoluku desimaaliluku 1 = 1 1000 = 0,001 promille murtoluku desimaaliluku 11.2.1 Prosentin, murtoluvun ja desimaaliluvun yhteys Osaa jostakin kokonaisesta voidaan siis ilmaista joko prosentin, murtoluvun tai desimaaliluvun avulla. Alla oleva kuvaaja ilmoittaa yleisimmät vastaavuudet. 1 1 0,5 1 1 1 1 1 1 = = 0, 33 = 0, 25 = 0, 2 = 0, 1 = 0, 05 = 0, 01 2 3 4 5 10 20 100 100 % 50 % 33,33 % 25 % 20 % 10 % 5 % 1 %
115 Edellisen perusteella voidaan siis sanoa, että esim. 1 4 luvusta 20 on viisi ja 25 % luvusta 20 on viisi (tai 0.25 kertaa 20 on viisi). Esimerkki1 Yksi kokonainen: 1 = 100 % Puolikas: 1 2 = 50 % Neljäsosa: 1 4 = 25 % Viidesosa 5 1 = 20 %
116 Suoritetaan joko jakamalla osoittaja nimittäjällä Esim: 11.2.2 Murtoluvun muuttaminen prosenteiksi 1 20 = 0,20 = = 20 % 5 100 tai laventamalla murtoluku sadasosiksi Esim: 20) 1 5 20 = = 100 20 % 11.2.3 Prosenttien muuttaminen murtoluvuiksi Esim: 80 % = 80 ( 20 4 = 100 5 11.2.4 Desimaaliluvun muuttaminen prosenteiksi Esim: 0,12 = 12 % 1,542 = 154,2 %
117 11.2.5 Prosenttien muuttaminen desimaaliluvuksi 9 Esim. 9 % = = 0,09 100 123 23 123 % = = 1 = 100 100 1,23 11.2 Perusprosenttilaskut 11.2.1 Prosenttilaskun ratkaiseminen yhtälön avulla Prosenttilaskussa on kolme muuttujaa: perusarvo (se luku, a, josta prosentti otetaan) prosenttiluku, joka ilmoittaa sadasosien määrän perusarvosta (prosenttiarvon desimaalimuoto) prosenttiarvo, joka ilmoittaa, paljonko nuo sadasosat ovat Prosenttilaskennan voisi typistää yhteen yhtälöön, joka on tämän muotoinen: prosenttiluku perusarvo = prosenttiarvo
118 Kaikki prosenttilaskennan perustapaukset perustuvat tähän kyseiseen yhtälöön. Eri tehtävätyypeissä kysytään vain eri asioita. - perusprosenttilaskuja on kolmea eri tyyppiä, joihin prosenttilaskujen sovellutuksetkin yleensä perustuvat Lasketaan paljonko on tietty prosenttimäärä (prosenttiluku) jostakin luvusta, määrästä, arvosta jne. (perusarvosta) Esim1. Paljonko on 34,8 % 1540 g:sta? Muutetaan prosenttiluku (34,8 %) desimaaliluvuksi jakamalla se 100 %:lla: 34,8 % : 100 % = 0,348 Kerrotaan edellä lasketulla desimaaliluvulla perusarvo (1540 g): 0,348 1540 g = 535,9 g 536 g Esim2. Paljonko on 128,9 % luvusta 4578? Muutetaan prosenttiluku (128,9 %) desimaaliluvuksi jakamalla se 100 %:lla: 128,9 % : 100 % = 1,289 Kerrotaan edellä lasketulla desimaaliluvulla perusarvo (4578): 1,289 4578 = 5901,042 5901
119 Lasketaan montako prosenttia jokin luku, määrä, arvo jne. (prosenttiarvo) on jostakin toisesta luvusta, määrästä, arvosta jne. (perusarvo) Esim1. Montako prosenttia 12 on 144 :sta? Jaetaan prosenttiarvo (12 ) perusarvolla (144 ): 12 : 144 = 0,0833 0,083 Muutetaan saatu desimaaliluku prosenttiluvuksi kertomalla se 100 %:lla: 0,083 100 % = 8,3 % Esim2. Montako prosenttia luku 47 on luvusta 38? Jaetaan prosenttiarvo (47) perusarvolla (38 ): 47 : 38 = 1,236 1,24 Muutetaan saatu desimaaliluku prosenttiluvuksi kertomalla se 100 %:lla: 1,24 100 % = 124 %
120 Lasketaan mistä luvusta, määrästä, arvosta jne. jokin toinen luku, määrä, arvo (prosenttiarvo) on tietyn prosentin (prosenttiluku) suuruinen Esim1. Mistä määrästä 44 kg on 35 %? Muutetaan prosenttiluku (35 %) desimaaliluvuksi jakamalla se 100 %:lla: 35 % : 100 % = 0,35 Saadulla desimaaliluvulla jaetaan prosenttiarvo (44) kg 44 kg : 0,35 = 125,7 126 kg Esim2. Mistä luvusta 250 on 120 %? Muutetaan prosenttiluku (120 %) desimaaliluvuksi jakamalla se 100 %:lla: 120 % : 100 % = 1,2 Saadulla desimaaliluvulla jaetaan prosenttiarvo 250 kg: 250 : 1,2 = 208,33 208
121 Harjoituksia 1. Kuinka paljon on a) 15 % luvusta 200? b) 0,9 % 2 litrasta? c) 90 % 1500 :sta? d) 120 % luvusta 120? e) 10,5 % 456 :sta? f) 8,5 % 1400 g:sta? 2. Kuinka monta prosenttia g) 45 on 520:stä? h) 14 600 0n 15 200:sta?
122 i) 80 on 117:sta? j) 450 g on 12 kg:sta? k) 0,80 10 :sta? l) 0,03 on 0,27:stä? 3. Mistä luvusta m) 20 on 20%? n) 9 on 1%? o) 41,5 on 28,3%? p) 12,7 mg on 0,076%?
123 4. Työttömyysprosentti Suomessa oli vuoden 1993 lopussa noin 20 %. Arvioi työttömien määrän suuruusluokka, jos Suomen työmarkkinoilla on noin 2 500 000 ihmistä. 5. Vuokra-asuntojen vuokrat nousivat 2,1 %. Kuinka suuri korotus oli rahallisesti asunnossa, jonka vuokra ennen korotusta oli 780 /kk? 6. 38 % puolen litran alkoholipullon sisällöstä on puhdasta alkoholia. Loput nesteestä on vettä. Kuinka monta desilitraa pullo sisältää alkoholia? Kuinka suuri on vesimäärä?
124 7. Kaupasta ostettavien jauhelihapihvien suolapitoisuus on 1,6 %. Kuinka monta grammaa suolaa on 150 g:n pihvissä? 8. Ammattimaisesti raviurheilua harrastavan ammattipelurin pelivaihto vuoden aikana oli 1 580 000 mk. Pelaaminen tuotti voittoa 12,2 % vuonna 1993. Paljonko tämä on rahassa laskettuna? 9. Jos elät 90-vuotiaaksi, niin kuinka monta prosenttia elämästäsi olet tähän mennessä elänyt?
125 10. Jos 150 g painavassa hampurilaisessa on rasvaa 12 g, niin kuinka paljon tämä rasvan osuus on prosentteina? 11. Ihminen juoksee nopeimmillaan noin 40 km/h, strutsi noin 100 km/h ja gepardi noin 120 km/h. Montako prosenttia ihmisen juoksuvauhti on a) strutsin juoksuvauhdista? b) gepardin juoksuvauhdista? c) Kuinka monta prosenttia strutsin juoksuvauhti on gepardin vauhdista? 12. Mistä maitomäärästä saadaan päivittäinen tarve (n. 60 g) valkuaista? Maidon valkuaisainepitoisuus on noin 3,5 %.
126 13. Ihmisessä on vettä noin 64 %. Kuinka paljon vettä on ihmisessä, jonka massa on 65 kg? 14. Alennusmyynnissä 180 :n hintainen takki myytiin 135 :lla. Kuinka monta prosenttia alennus oli? 15. Pekka maksoi ostoksestaan 268, johon sisältyi arvonlisäveroa 22 %. Mikä oli veroton hinta? 16. Takin hinta kaupassa oli 156. Alennusmyynnissä ostoksista annettiin 15 %:n alennus. Alennusmyynnin loputtua sama maksoi tarjouksessa 130. a) Kuinka paljon asiakas maksoi takista alennusmyynnisssä?
b) Kuinka monta prosenttia tarjoushinta oli takin alkuperäisestä hinnasta? 127 17. Kirjan myyntihintaan sisältyy arvonlisäveroa 8%. a) Laske kirjan veroton hinta, kun kirjan myyntihinta on 21,89 b) Erään toisen kirjan veroton hinta on 18,50. Mikä on kirjan myyntihinta (verollinen hinta)
128 18. Erään auton kokonaiskulut v. 2010 jakautuivat seuraavasti: Polttoaineet 45,7 %, vakuutukset ja verot 33,9 % ja muut kustannukset 20,4 %. Vuonna 2012 vakuutuskustannukset nousivat 8,1 % ja muut kustannukset nousivat 4,8 %. Kuinka monta prosenttia oli polttoainekustannusten laskettava, jotta kokonaiskustannukset pysyivät samana.