Matemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe 8..7 (kesto h 3 min) Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu. Ei taulukkokirjaa. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on f X,Y (x, y) = c x (4 3y) { < x <, < y < x } a) Laske vakion c arvo. b) Laske ehdollinen tiheys f Y X. c) Laske ehdollinen odotusarvo E( Y e X X = x ), kun < x <.. Olkoon X Exp() ja Y U(, ) satunnaismuuttujia, jotka ovat riippumattomia. Määritellään satunnaismuuttujat U = X Y, V = X + Laske satunnaismuuttujien U ja V yhteistiheysfunktio f U,V. Laske myös satunnaismuuttujan U reunajakauman tiheysfunktio f U. 3. Olkoon X ja Y satunnaismuuttujia, joiden jakauman kuvaa hierarkinen malli { X (Y = y) U(y, 3y) Y Exp() a) Kerro mallin avulla, mikä on ehdollinen varianssi var(x Y ) ja kerro mallin avulla, mikä on ehdollinen odotusarvo E(X Y ). (p) b) Laske EX. (p) c) Laske var X. (p) 4. Olkoon X = (X, X ) ja Y = (Y, Y ) riippumattomia multinormaalijakautuneita satunnaisvektoreita, joille EX = (, ) ja EY = (, ) ja 3 Cov X =, ja Cov Y =. 3 Olkoon Z = (X Y +, 3Y X, X +Y ) = (Z, Z, Z 3 ) ja W = (Z, Z 3 ). Määrää satunnaisvektorin Z jakauma sekä satunnaisvektorin W jakauma.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 7 Kurssikoe 8..7 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on a) Laske vakion c arvo. f X,Y (x, y) = c x (4 3y) { < x <, < y < x } b) Laske ehdollinen tiheys f Y X. c) Laske ehdollinen odotusarvo E( Y e X X = x ), kun < x <. Ratkaisu: Huomautus! Alla oleva ehdotus on hyvin seikkaperäinen kuvaus jokaisesta askeleesta. En luonnollisestikaan esitä, että tämä olisi mallivastaus vaan ainoastaan vastaus, jossa jokainen kohta on kirjoitettu näkyviin. a) Kohdassa a) vakion c arvo selviää yhtälöstä f X,Y (x, y)dxdy =. Tämä yhtälö seuraa siis siitä, että funktio f X,Y on yhteistiheysfunktio (se on myös positiivinen annetussa joukossa, vaikka y < jos y > ). Fubinin lauseen avulla voimme laskea vasemman puolen tasointegraalin x/ f X,Y (x, y)dxdy = dx dx c x (4 3y) missä käytimme apuna sitä, että indikaattorifunktiosta tiedämme suoraan, että < y < x/, joten on helpompi integroida ensin muuttujan y suhteen ja sitten integroida y yli välin (, ). Nyt sisempi integraali on x/ Siispä x/ c x (4 3y)dy = c x (4 3y)dy = c x = c (x 3 3 8 x4 ) f X,Y (x, y)dxdy = c x/ / dx(x 3 3 8 x4 ) = c 4y 3 y = c x (x 3 8 x ) / ( x4 3 8 5 x5 ) = c( 3 3 ) = 5 c( 3) = 4 7c 5 5 Kaiken kaikkiaan olemme päätelleet, että = joten kysytty vakio on c = 5 8. f X,Y (x, y)dxdy = 8c 5 = 8c 5 Toisaalta, jos kurkkaamme b)-kohtaa, niin huomaamme että tämä lasku antaa samalla reunatiheysfunktion f X
b) Kohdassa b)-kysyttiin satunnaismuuttujan Y ehdollista tiheysfunktiota ehdolla X = x. Tätä varten laskemme ensin reunatiheysfunktion f X. Tiedämme, että tämä saadaan integroimalla y pois, eli f X (x) = f X,Y (x, y) dy On oleellista, että tämän integroinnin jälkeen mitään viittausta muuttujaan y ei ole (eli jos vastauksessa y oli jäljellä, on varsinaisilta ratkaisupoluilta astuttu jossain vaiheessa harhaan). Integroinnin helpottamiseksi viskotaan kaikki pelkästään muuttujasta x riippuvat termit pihalle, joten aloitetaan: x/ f X (x) = { < x < } c x (4 3y)dy = { < x < }x (x 3 8 x ) c missä käytimme hyväksi, että laskimme tämän integraalin jo a)-kohdassa. Nyt määritelmän mukaan f Y X (y x) = f X,Y (x, y) f X (x) kun f X (x) > ja nolla muuten. Huomaamme, että f X (x) > tarkalleen silloin, kun < x <, joten oletetaan, että < x <. Tällä oletuksella f X,Y (x, y) f X (x) = { < y < x } cx (4 3y) x (x 3 8 x ) = { < y < x } 4 3y x 3 8 x. Siispä { < y < x f Y X (y x) = } 4 3y x 3 kun < x < 8 x muuten c) Kohdassa c) käytämme määritelmää ehdolliselle odotusarvolle. Koska Y on jatkuva, niin E( Y e X X = x ) = ye x f Y X (y x)dy Viskotaan vakiot taas pihalle ja käytetään b)-kohdan tietoa ehdollisesta tiheydestä, joten kun < x < on E( Y e X X = x ) = e x x/ = = e x x 3 8 x y 4 3y e x 3 dy = x 8 x/ / y y 3 x x 3 8 x e x x 3 ( x 8 x ) ( x) = ex x(4 x) 6 3x x/ y(4 3y)dy. Olkoon X Exp() ja Y U(, ) satunnaismuuttujia, jotka ovat riippumattomia. Määritellään satunnaismuuttujat U = X Y, V = X + Laske satunnaismuuttujien U ja V yhteistiheysfunktio f U,V. Laske myös satunnaismuuttujan U reunajakauman tiheysfunktio f U.
Ratkaisu: Huomautus! Alla oleva ehdotus on hyvin seikkaperäinen kuvaus jokaisesta askeleesta. En luonnollisestikaan esitä, että tämä olisi mallivastaus vaan ainoastaan vastaus, jossa jokainen (tarvittava) kohta on kirjoitettu näkyviin. Koska on täysin vaihtoehtoisia tapoja lähestyä tehtävää, niin kaikkia mahdollisuuksia ei ehdotus myöskään kata. Edelleen, suosittelen katsomaan kertaustehtävissä ollutta tehtävää, jonka ratkaisussa käytin suoraviivaisempaa muistisääntöä. Tämä suoraviivaisempi tapa on aivan riittävä. Tehtävänannon perusteella voimme suoraan selvittää satunnaisvektorin (X, Y ) jakauman, sillä reunajakaumat ovat f X (x) = { x > }e x, f Y (y) = { < y < } ja X Y, joten yhteistiheysfunktio saadaan kertolaskusäännöllä f X,Y (x, y) = e x { x >, < y < } Luentojen perusteella meillä on (ainakin) kaksi tapaa lähestyä tätä kysymystä. Voimme huomata, että kyseessä on affiini muunnos ja käyttää tietojamme affiineista muunnoksista surutta apuna. Toinen on käyttää muuttujanvaihtokaavaa ja diffeomorfismeja joko eksplisiittisesti tai implisiittisesti. Seuraavassa käytämme eksplisiittistä tapaa, missä kirjoitamme näkyviin muunnokset (U, V ) = g(x, Y ) ja h(u, V ) = (X, Y ). Tehtävänannon mukaan (U, V ) = g(x, Y ), kun g on kahden muuttujan vektoriarvoinen funktio g (x, y) x y g(x, y) = = g (x, y) x + Tästä huomaamme itse asiassa, että kyseessä on affiini kuvaus ja voisimme hyvin kirjoittaa Käänteisfunktion h saa siis ratkaisemalla yhtälöparista u = x y v = x + muuttujat x ja y Ratkaistaan tämä ratkaisemalla yhtälöpari u = x y v = x + y = x u x = (v ) Eli toisin sanoen, käänteisfunktio h on affiini kuvaus, h(u, v) = h (u, v) (v ) = h (u, v) (v u) x = (v ) y = (v u) Voimme siis todeta, että kuvaus g on bijektio tasolta R itselleen, eli g : R R on bijektio. Siten myös käänteiskuvaus h: R R on bijektio. Edelleen luentojen pohjalta voimme sanoa, että se tässä tapauksessa affiinisena kuvauksena diffeomorfismi, mutta voimme tarkistaa sen myös varmistamalla, että g ja h ovat jatkuvasti derivoituvia eli että derivaattamatriisien komponentit ovat jatkuvia.
Kuvauksen h derivaattamatriisi on ( u h (u, v) ) v h (u, v) u h (u, v) v h (u, v) = ( ) ja vastaavasti voisimme laskea kuvauksen g derivaattamatriisin, joka on vakiomatriisi. Vakiofunktiot ovat jatkuvia, joten kuvausten g ja h diffeomorfisuus koko tasossa on selvitetty. Luentojen perusteella voimme nyt todeta, että (U, v) on jatkuvasti jakautunut ja sen tiheysfunktio (koko tasossa) on siten f U,V (u, v) = J h (u, v) f X,Y (h (u, v), h (u, v)), missä J h (u, v) on kuvauksen h Jacobin determinantti eli derivaattamatrisiin determinantti u h J h (u, v) = det (u, v) v h (u, v) = det u h (u, v) v h (u, v) = ( ) ( ( )) = Koska f X,Y tunnetaan jo ja tiedämme lausekkeet funktioille h ja h, saamme eksplisiittisen esityksen yhteistiheysfunktiolle f U,V (u, v) = e h (u,v) { h (u, v) >, < h (u, v) < } = 4 e (v ) { (v ) >, < (v u) < } Tästä havaitsemme jo, että satunnaisvektorin (U, V ) kantaja, eli se joukko, missä tiheysfunktio on nollasta eroava on B = { (u, v) R ; v >, < v u < 5 } sillä se saa vakioarvon jossain joukossa B ja jos se ylipäätään on yhteistiheysfunktio, on tämän joukon B pinta-alan silloin oltava äärellinen ja nollasta eriävä. Tämä on seurausta muuttujanvaihtokaavasta. Jotta paremmin näkisimme, millainen joukko B on, niin kirjoitamme siinä esiintyvät 4 epäyhtälöä toisessa muodossa v > v > + u v < 5 + u Nämä kuvaavat puolitasoja, joiden leikkaus on joukko B. Havaitsemme, että kyseessä on ääretön suunnikas.
Voimme siten olla varmoja, että satunnaismuuttujan U reunatiheysfunktio on nolla, kun u <. Kun < u <, niin kuvasta näemme, että < v < 5 + u. Siispä f U (u) = = f U,V (u, v)dv = / 4+u 5+u e v dv = ( e (+u) ) 4+u 4 e (v ) dv = e v dv Kun u, niin kuvasta näemme, että + u < v < 5 + u. Siispä f U (u) = = e u f U,V (u, v)dv = / 4 5+u +u e v dv = e u ( e ) 4 4 e (v ) dv = e v u dv Kaiken kaikkiaan, satunnaismuuttujan U reunatiheysfunktio on paloittain määritelty ( e (+u) ), kun < u < f U (u) = e u ( e ), kun u muuten. Seuraavassa kuva esittää satunnaismuuttujan U reunatiheysfunktiota.
3. Olkoon X ja Y satunnaismuuttujia, joiden jakauman kuvaa hierarkinen malli X (Y = y) U(y, 3y) Y Exp() a) Kerro mallin avulla, mikä on ehdollinen varianssi var(x Y ) ja kerro mallin avulla, mikä on ehdollinen odotusarvo E(X Y ). (p) b) Laske EX. (p) c) Laske var X. (p) Ratkaisu: Ratkaisuehdotus: Huomautus! Alla oleva ehdotus on hyvin seikkaperäinen kuvaus jokaisesta askeleesta. En luonnollisestikaan esitä, että tämä olisi mallivastaus vaan ainoastaan vastaus, jossa jokainen kohta on kirjoitettu näkyviin. Esimerkiksi kohdassa a) tehtäväannossa sanottiin, että riittää kertoa, mikä on ehdollinen odotusarvo ja myöhemmin c)-kohdassa ehdollinen tiheysfunktio, kun ehdollinen jakauma on annettu suoraan. a) Kohdassa a) riittää lukea suoraan kysytyt tiedot. Tehtävänannon mukaan jokaisella y R joilla f Y (y) >, on X (Y = y) U(y, 3y). Jos kiinnitämme y:n ja merkitsemme Z U(y, 3y), niin satunnaismuuttujalla Z on siten sama jakauma kuin satunnaismuuttujalla X on ehdolla että Y = y. Tiedämme siis luentojen ja toivottavasti luntin tai muun vastaavan nojalla, että var Z = (3y y) = 3 y ja EZ = (3y + y) = y. Tämän perusteella tiedämme, että satunnaismuuttujan X ehdollinen varianssi ehdolla Y = y on v(y) = var(x Y = y) = y 3 ja satunnaismuuttujan X ehdollinen odotusarvo ehdolla Y = y on m(y) = E(X Y = y) = y Luentojen määritelmän mukaan satunnaismuuttujan X ehdollinen varianssi ja odotusarvo ehdolla satunnaismuuttuja Y ovat siten satunnaismuuttujat v(y )
ja m(y ) vastaavasti, jotka siis saadaan muunnoksena satunnaismuuttujasta Y. Kysytyt ehdollinen varianssi ja ehdollinen odotusarvo on mallin mukaan siten var(x Y ) = 3 Y ja E(X Y ) = Y Luonnollisesti lyhempikin vastaus riittäisi :) b) Voimme laskea kysytyn odotusarvon iteroidun odotusarvon avulla. Luentojen mukaan EX = EE(X Y ), joten voimme a)-kohdan avulla laskea tämän sillä nyt EX = EE(X Y ) = E(Y ) = EY. Edellisessä sijoitimme vain a)-kohdan ehdollisen odotusarvon iteroidun odotusarvon kaavaan :) Satunnaismuuttujan Y jakauma on annettu, joten sen odotusarvo tiedetään (tai voidaan laskea), ja siten saamme EX :n laskettua. EX = EY = = sillä eksponenttijakautuneen satunnaismuuttujan Y Exp() odotusarvo on. c) Tämän laskemiseen voimmekin käyttää varianssille laskukaavaa ehdollisen varianssin ja ehdollisen odotusarvon avulla eli Kohdan a) nojalla saammekin var X = E var(x Y ) + var E(X Y ) var X = E 3 Y + var(y ) = 3 EY + 4 var Y. Nyt eksponenttijakautuneen satunnaismuuttujan Y Exp() varianssi on ( ) joten sen toinen momentti EY = var Y +(EY ) = + =. Nyt tiedämmekin 4 4 kaikki tarvittavat palikat, joten var X = 3 + 4 4 = 6 + = 7 6. 4. Olkoon X = (X, X ) ja Y = (Y, Y ) riippumattomia multinormaalijakautuneita satunnaisvektoreita, joille EX = (, ) ja EY = (, ) ja Cov X = 3, ja Cov Y = 3. Olkoon Z = (X Y +, 3Y X, X + Y ) = (Z, Z, Z 3 ) ja W = (Z, Z 3 ). Määrää satunnaisvektorin Z jakauma sekä satunnaisvektorin W jakauma. Ratkaisu: Ratkaisuehdotus: Huomautus! Alla oleva ehdotus on hyvin seikkaperäinen kuvaus jokaisesta askeleesta. En luonnollisestikaan esitä, että tämä olisi mallivastaus vaan ainoastaan vastaus, jossa jokainen kohta on kirjoitettu näkyviin. Huomaamme, että Z saadaan satunnaisvektoreista X ja Y affiinina muunnoksena, sillä
kun Z X Y + X Y Z = 3Y X = X + 3Y + Z 3 X + Y X Y X Y = + 3 + b = AX + BY + b X Y A = B = 3 ja b = Tämä huomio tarkoittaa, että satunnaisvektori Z noudattaa multinormaalijakaumaa, kunhan satunnaisvektori (X, Y) noudattaa multinormaalijakaumaa. Tehtävänannon mukaan sekä X että Y ovat multinormaalijakautuneita. Koska ne ovat myös riippumattomia, niin luentojen mukaan niiden yhteisjakauma on myös multinormaalijakauma. Luentojen mukaan tiedämme myös, että ilman riippumattomuusoletusta tätä emme pystyisi päättelemään (ainakaan annetuilla tiedoilla) :). Kaikenkaikkiaan voimme siis todeta, että Z on affiini muunnos multinormaalijakautuneesta satunnaisvektorista (X, Y), joten se on multinormaalijakautunut. Luentojen mukaan sen jakauman täydelliseksi kuvaamiseksi tarvitaan enää tietää satunnaisvektorin Z odotusarvovektori EZ sekä kovarianssimatriisi Cov Z. Koska EX = (, ) ja EY = (, ), niin AEX + BEY = + 3 = 3 joten EZ = E(AX + BY + b) = 3 + = 3 Kovarianssimatriisin Cov Z laskemiseen käytämme luentojen tietoa että lineaarinen muunnoksen kovarianssimatriisi on Cov(AZ) = A Cov ZA sekä sitä, että riippumattomien satunnaisvektorien summan kovarianssimatriisi on niiden kovarianssimatriisien summa. Koska X Y, niin tiedämme, että AX BY. Edelleen vakiovektori b (AX + BY), joten Cov Z = Cov(AX + BY + b) = Cov(AX) + Cov(BY) + Cov(b) = A Cov XA + B Cov YB Satunnaisvektorien X ja Y kovarianssimatriisit on tehtävänannon mukaan Cov X = 3, Cov Y = 3 Pienenä huomautuksena, satunnaisvektorin Y kovarianssimatriisin determinantti on nolla eli se ei ole säännöllinen matriisi. Siispä satunnaisvektorilla Y ei ole tiheysfunktiota, mutta meitähän se ei haittaa ollenkaan :) Olemme siis määränneet kovarianssimatriisin Cov Z lähes täysin, sillä tiedämme myös matriisit A ja B sekä
niiden transpoosit. Siispä jäljellä on muutama matriisikertolasku. Lasketaan ensin A Cov XA : 3 A Cov XA 3 = = 3 3 6 3 6 = 3. 6 Lasketaan seuraavaksi B Cov YB : B Cov YB 3 = 3 = 4 6 = 6 9 3. 3 3 3 ( 3 ) Laskemalla saadut 3 3-matriisit yhteen saamme kovarianssimatriisin Cov Z laskettua: 7 7 4 Cov Z = A Cov XA + B Cov YB = 7 4 3 Olemme näin päätelleet, että Z on multinormaalijakautunut satunnaisvektori, jonka odotusarvovektori on b ja kovarianssimatriisi kuten yllä. Satunnaisvektorin W jakauman voimme nyt suoraan lukea edellisestä sillä luentojen mukaan kaikki reunajakaumat ovat multinormaalijakautuneita, sillä kaikki reunasatunnaisvektorit saadaan lineaarisina muunnoksina alkuperäisestä satunnaisvektorista. Siispä W on multinormaalijakautunut ja sen odotusarvovektori on EW = (, ) ja sen kovarianssimatriisi on Cov W = 7 4 4 3