Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 4: mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit palautetaan laskutuvassa vain kahden seuraavan viikon aikana. Harjoitus 7 Tehtävä Ratkaise oheisen palkin kimmoviivan υ(x) lauseke käyttäen kimmoviivan differentiaaliyhtälön muotoa d 4 υ(x) d 4 x = q y (x). Palkin taivutustusjäykkyys on. Ratkaisu Jakautunut kuorma on vakio, eli q y (x) = q. Jakautuneen kuorman ja kimmoviivan differentiaaliyhtälön välinen yhteys on siis Integroidaan saatua yhteyttä () d 4 υ(x) d 4 x = q y(x) = q () d υ(x) d x = q x + C (= Q y (x)) () d x = q x + C x + C (= M z (x)) () dx = q x + C x + C x + C (4) υ(x) = 4 q x 4 + C x + C x + C x + C 4 (5) saadaan neljä integroimisvakiota, joten tarvitaan neljä reunaehtoa niiden ratkaisemiseksi. Reunaehdot: Palkin vasen pää x = on jäykästi kiinnitetty:
. pystysuuntainen siirtymä on estetty, jolloin. kiertyminen z-akselin ympäri on estetty, jolloin Palkin oikea pää x = on liukutuellinen:. resultanttileikkausvoima on nolla liukutuen takia, jolloin υ(x = ) = C 4 = () υ (x = ) = C = (7) Q y (x = ) = d υ(x) d x = C = q (8) 4. kiertyminen z-akselin ympäri on estetty, jolloin υ (x = ) = C = q (9) Sijoitetaan ratkaisut integroimisvakiot yhteyteen (5), jolloin kimmoviivan lausekkeeksi saadaan υ(x) = ( 4 q x 4 q x + ) q x = q x ( x 4x + 4 ) 4 Tehtävä Oheisen kuvan palkkia kuormittaa voima P. Ratkaise palkin taipuma υ(x) ja kiertymä υ (x) d pisteessä B käyttäen kimmoviivan differentiaaliyhtälön muotoa EI υ(x) z = M d x z (x). Palkin taivutustusjäykkyys on. Ratkaisu Ratkaistaan tukireaktiot voima- ja momenttitasapainoyhtälöistä: ΣF y = : A y P =, Ay = P () ΣM A = : M A + P =, M A = P ()
Momenttitarkastelun avulla määritetään resultanttimomentti M z (x) Kimmoviivan differentiaaliyhtälö ΣM c = : M z (x) = A y x + M A = P (x ) () d x = M z(x) = P (x ) () dx x = P + P x + C (4) υ(x) = P x + P x + C x + C (5) Saadaan kaksi integroimisvakiota, joten tarvitaan kaksi reunaehtoa niiden ratkaisemiseksi. Reunaehdot: Palkin vasen pää x = on jäykästi kiinnitetty:. pystysuuntainen siirtymä on estetty, jolloin. kiertyminen z-akselin ympäri on estetty, jolloin υ(x = ) = C = () υ (x = ) = C = (7) Sijoitetaan ratkaisut integroimisvakiot yhteyteen (), jolloin kimmoviivan lausekkeeksi saadaan Taipuma pisteessä B: Kiertymä pisteessä B: υ(x) = ( P x ) P x = P x ( x) υ(x = ) = P ( ) = P υ (x = ) = P
Tehtävä Palkkiin AB vaikuttaa pistemomentti M kohdassa x = a. Määritä palkin taipuma υ(x) pistemomentin kohdalla käyttäen kimmoviivan differentiaaliyhtälön EI υ(x) d z = M d x z (x). Palkin taivutusjäykkyys on. Ratkaisu Ratkaistaan tukireaktiot voima- ja momenttitasapainoyhtälöistä: ΣF x = : A x =, (8) ΣF y = : A y + B y =, Ay = B y (9) ΣM A = : B y + M =, B y = M Määritetään resultanttitaivutusmomentti momenttitarkastelun avulla: palkin vasen puoli x < a : () ΣM c = : M z (x) = A y x = M x Palkin oikea puoli a < x : d x = M z(x) = M x () dx = M x + C () υ(x) = M x + C x + C () 4
ΣM c = : M z (x) = A y x M = M (x ) d x = M z(x) = M ( x) (4) dx = M ) (x x + C (5) υ(x) = M ( x x ) + C x + C 4 () Reunaehdot: υ(x = ) = (7) υ(x = ) = (8) Jatkuvuusehdot, kun x = a: υ vasen (x = a) = υ oikea (x = a) (9) υ vasem(x = a) = υ oikea (x = a) () Reunaehdosta 7 saadaan Jatkuvuusehdosta seuraa υ vasem(a) = υ oikea (a) : υ(x = ) = + + C =, C = () M a + C = M Jatkuvuusehdosta 9 seuraa υ vasem (a) = υ oikea (a) : ) (a a + C, C = M a + C () M a + C a + = M ( ) a a + C a + C 4, C a = M a + C a + C 4 () Reunaehdosta 8 saadaan υ() = M ( ) + C + C 4 =, C 4 = M C (4) 5
Saadaan siis C = M a + C C a = M a + C a + C 4 = M C C 4 (5) Ratkaistaan vakiot yhtälöryhmän avulla (matemaattiset ohjelmat ym. vastaavat sallittuja, tämä menee vielä käsinkin). Yhtälöt matriisimuodossa a a {{ :=A C C C 4 = M a M a M {{ :=b () Yhtälöryhmästä (9) ratkaistaan vakiot ( [C] = [A] [b] ) : C C C 4 = Yhteydestä (4) saadaan a a a {{ :=A M a M a M = Sijoitetaan ratkaistut vakiot kimmoviivan yhteyteen (4) ja (7): ( x < a) : (a < x ) : M a M a + M a M M a + M a M M a M a (7) ( ) C = M a a ( ) C = M a + (8) C 4 = M a { ( ) EIz υ(x) = M x + M a a x = M ( x a a x ) (9) { EIz υ(x) = M Taipuma pistemomentin kohdalla x = a : ( ) ( ) x x M a + x + M a = M ( a a x x + x x ) (4) υ(x) = M ( a a a a ) = M a( a)(a ) = M ab(a )