Vastaukset: 1. tasasivuisessa kolmiossa on kaikki sivut yhtä pitkiä, tasakylkisessä kolmiossa on kaksi yhtä pitkää sivua. 1. Piirretään kolmion yksi sivu eli jana AB.. Otetaan jana AB säteeksi ja piirretään kaksi ympyrän kaarta, joiden keskipisteinä ovat piste A ja piste B. Merkitään ympyränkaarien leikkauspistettä kirjaimella C.. Yhdistetään ympyränkaarien leikkauspiste C janan AB päätepisteisiin. 60 4. 5. 6. 7. 8. 9. Keskinormaalit leikkaavat toisensa samassa pisteessä. 10. Jänteiden keskinormaalit kulkevat ympyrän keskipisteen kautta. 11. Mediaanit leikkaavat toisensa samassa pisteessä. 1. 1. 14. 11
Keskinormaalit leikkaavat samassa pisteessä. 15. 16. 17. 18. a) 1
b) 19. 0. 1. 1
(, ).. 4. 5. 6. 14
Ala on 8 m 7. a) puolisuunnikas b) suunnikas c) suorakulmio d) neljäkäs e) neliö 8. a) tasasivuinen kolmio b) neliö c) säännöllinen viisikulmio eli pentagon d) säännöllinen kuusikulmio eli heksagon e) säännöllinen kahdeksankulmio eli oktagon 9. cm ja, dm 0. 9, m 1. 1,0 m. kaikissa summa 60. 540 4. a) 0,0 cm b) 400 cm 5. a) 5 cm b) 0 cm 6. 15
400 cm 7. 1080 8. Monikulmion lävistäjä on jana, joka yhdistää kaksi kärkeä, mutta ei kuitenkaan ole sivu. 9. kyllä 40. kyllä 41. 4. 1,6 dm 4. Määritetään säännöllisen monikulmion vieruskulman suuruus. Piirretään ympyrä ja jaetaan se sektoreihin, jotka ovat yhtä suuria kuin monikulmion vieruskulma. Jatketaan sektoreita ympyrän kehän yli. Yhdistetään säteet ympyrän ulkopuolelta siten, että suora hipaisee ympyrän kehää. 44. 60 180. n 45. a) 0 b) 15 c) 9 d) 4 46. a) 5 b) 6 c) 0 d) 40 47. a) = 90, = 60 ja = 10 b) = 90, = 10 ja = 150 c) = 90, = 15 ja = 15 48. a) 16x b) 15x 5 16
49.,4 cm 50. 18 51. a) 1 : : b) 1 : 4 : 9. 5. 4,5 cm 5.,1 m 54. a) 0,5 m b) 0,15 m c) 0,5 m d) 0,5 m e) 0,15 m 55. Kuvio voidaan jakaa kahteen osaan, joiden alat ovat Annetun ehdon avulla voidaan muodostaa yhtälö a a 100 a a 100 4 5 a 5 Piiri on a a a a a a 10a 105 50 Vastaus: 50 m 56. 5,1 m 57. s a a a ja a a a. 58. Merkitään neliön sivun pituutta a:lla ja ympyrän sädettä r:llä. Neliön pintaala on a, ympyrän pintaala on r. Pintaalat ovat yhtä suuret: 17
a a r r Neliön piiri on 4a 4 r. Ympyrän piiri on r. 4 r r Neliön piiri on ympyrän piiriä pidempi 1 0, 18 r Vastaus: 1,8 % 59. Olkoon x palstan koko luonnossa, sille on voimassa,9 cm 1 8, josta saadaan x 11,6 10 cm 11,6 ha x 0000 Olkoon y maksimivirheen koko luonnossa, saadaan yhtälö 0,1cm 1, josta saadaan y = 0,4 ha y 0000 Vastaus: Palstan koko luonnossa on 11,6 ha ja maksimivirhe on 0,4 ha. 60. Merkitään ympyrän sädettä r:llä. Tällöin r 1 eli r 1. Ympäri piirretyn neliön sivun 48 1 pituus on r, joten neliön ala on r r 4r 4 15,8 cm. Sisään piirretyn neliön lävistäjä on r, joten neliön sivu on 1 4 r r r 7,64 cm. 61. Ei, ainoastaan suorakulmaisissa kolmioissa. 6. a) CB b) AC c) CB d) AB 6. a) 0,176 b) 0,64 c) 0,577 64. a) 0,017 b) 1,19 c) 57,90 65. a) 45 r ja neliön ala 18
b) c) 7 11 66. a) 54 b) 7 c) 44 67. a) 65,6 b) 9,1 c) 1,4 68. a) 45 b) 6 c) 4 d) 9,5 69. a) 45 b) 6,6 c) 71,6 70. a) 18,4 o b) 71,6 o c),0 cm d) 6,0 cm 71. 5,9 km 7. a) 6,6 o b) 6,6 o 7. a) 19 cm b) 5 cm 74. a) 0,5 b) 5,7 c) 1,1 d) yakselin suuntaisella suoralla ei ole kulmakerrointa 75. 19
a) y = 0.5x b) y = 5,7x c) y = 1,1x d) x = 0 76. a) x = 4, b) x = 19, c) x = 9,4 77. 14 m 78. 1 m 79. 90, 80. a) b) 50,6 ja 81. 1, m 8. 75,4 m 9,4 5,1 ja 58,9 ja 6,9 1,1 8. Merkitään laivan etäisyyttä havaitsijasta d:llä. 70 tan,5 d d tan,5 70 70 d tan,5 d 1144,48... 1100 Vastaus: 1100 m 84. Merkitään leikkaamattoman aidan varjon pituutta x:llä (m) ja leikatun aidan korkeutta y:llä. 140
4 tan5 x 4 x,01(m) tan5 Leikatun aidan varjon pituus on x 1,01(m). y tan5,01 y,01 tan5,7 (m) Aitaa on leikattava 4,7 1, (m). Vastaus: 1, m 85.,5 86. Merkitään etäisyyttä x:llä (m) ja korkeutta h:lla (m). Korkeus saadaan laskettua kahdella eri tavalla: h tan x h tan x ja toisaalta h tan x 50 h tan x 50 Näiden perusteella saadaan yhtälö 141
tan x tan tan x tan x tan 50 tan x tan x tan 50 tan tan x 50 x tan 50 tan 50 x 499,... 500 (m) tan tan Jolloin h tan x 6 (m) Vastaus: Etäisyys on 500 m ja majakan korkeus 6 m. 87. Kuvassa on tilanne puun kaaduttua ylhäältä päin katsottuna. Henkilö jää puun alle, jos hän seisoo kaatuneen puun muodostamassa ympyrän sektorissa. Merkitään sektorin keskuskulman puolikasta α:lla., m tan 0,168... 19 m 9,56 Keskuskulma on α 19,1 o. 19,1 Todennäköisyys, että henkilö seisoo kyseisessä sektorissa on 0, 05. 60 88. a) 0,5 b) 0,64 c) 0,985 89. a) 0,5 b) 0,4 c) 0,940 90. a) 85 b) 1 c) 44 91. a) 0 b) 78 14
c) 8 9. a) 6 b) 4 c) 45 9. a) 18 cm b) 7 cm c) 47 cm 94. 8 m 95.,6 ja 96. a) 0,088 b) 0,45 c) 1,6 97. 5,8 m 98. 8 cm 99. 50 cm 100. 6 cm 101. 9º 66,4 10. sivu AB =,9 cm ja sivu BC = 4,9 cm 10. 104. 105. Kuvaajat ovat samanmuotoiset ja niiden arvot vaihtelevat lukujen 1 ja 1 välissä. Kuvaajat leikkaavat koordinaattiakselit eri kohdissa. 14
106. 1410 km 107. Määritetään aluksi kulma α tangentin avulla. 0 cm tan 40 cm 6,87 Merkitään kärjen etäisyyttä hypotenuusasta x:llä, joka voidaan ratkaista sinifunktiota käyttäen. x sin 40 cm x 40 cm sin x 4 cm Vastaus: 4 cm 108. x sin 40 5 x 5sin 40 x Toisaalta sin. 7 Yhtälöt yhdistämällä saadaan 5sin 40 sin 7 7, 54, 6 Vastaus: 55 109. Merkitään 6. leveyspiirin sädettä r:llä. 144
r cos 6 660 r cos 6 660 887 Leveyspiirin pituus on r 18140(km). Koko leveyspiirin pituus vastaa vuorokauden aikaeroa 4 h. Välimatka 0 km vastaa siten 0 aikaeroa 4 0, 47 (h) eli 60 0,47 6 (min). 18140 Vastaus: 6 min 110. 7/9 eli noin 0,778 111. Matka A:sta B:hen kestää 4 h. 60 km 4 matkan pituus AB 181,85 h 18,87 km.merkitään laivan kulkureitin ja majakalta h 60 M kulkureitille piirretyn kohtisuoran leikkauspistettä C:llä. Merkitään lisäksi, että MC = b ja BC = a. Suorakulmaisesta kolmiosta BCM saadaan: b tan0 a b a tan0 0,577a Kolmiosta ACM saadaan: b tan15 18,87 km a b 18,87 km a tan15 5,056 km 0,68 Siis 0,577a 5,056 km 0,68a a 0,09a 5,056 km 5,056 km a 16,6 km 0,09 AC AB a 18,87 km 16,6 km 5, km 145
Merkitään majakan etäisyyttä pisteestä A x:llä, jolloin kolmiosta ACM saadaan: AC cos15 x x cos15 AC AC 5, km x 6 km cos15 cos15 Vastaus: 6 km. 11. a) 5,6 cm b) 8,4 m c) 8,0 cm 11. a) 47 cm b) 58 cm c) 1, m 114. a) 1,0 b),5 c) 7,1 115. a) ei b) kyllä c) kyllä 116. a) 5 4 b) 5 15 m c) y x z 117. 96 cm 118. a) ei b) on 119. 16 cm 10. 5, cm 11. 9,4 146
1. 1,6 1. Merkitään pisteitä seuraavasti: O = (0, 0), A = (1, pituudet ovat OA = sekä pythagoraan lauseen perusteella AB 1 ( ) 1 ) ja B = (, 0). Silloin kolmion sivujen OB 1 ( ) 1 Koska OA = AB = OB, on kolmio tasasivuinen. 14. Olkoon vaijerin ja pystysuunnan välistä kulmaa α ja vaijerin puolikkaan pituus d. Talojen välinen puolikas on 17,5 m. Pythagoraan lauseen avulla saadaan: d 1,10 m 17,5 m 1,10 m 17,5 m 17,85 m d vaijerin pituus on tällöin d 4,57 m. Trigonometrian avulla saadaan: 17,5 m tan 1,10 m 86,5 Vaijerin puoliskojen välinen kulma on tällöin 17. 15. 4 8 Suorien leikkauspiste (, ) saadaan ratkaistua yhtälöparista. Pisteen etäisyys origosta 15 15 ratkaistaan pythagoraan lauseen avulla. 4 8 800 4 ( ) ( ) 1,89. 15 15 5 16. Tiet eroavat pisteessä, joka koordinaatit saadaan yhtälöparista. 147
x y 4 0 x y 6 0 10 16 Yhtälöparin ratkaisu on x, y. 7 7 Pisteessä (4, 1) olevan talon etäisyys tienhaarasta voidaan ratkaista pythagoraan lauseella. 10 16 9 (4 ) (1 ) 5,87 7 7 7 10 16 Vastaus: Tiet eroavat pisteessä (, ) ja talon etäisyys tästä on,9 km. 7 7 17. 174,0 cm Lammikon säde r l 75 l 18 r l 15l 5776 l 7,69 cm 66l 489 r 771 76990 l 487,8645 14 Joten lammikon syvyys on l 18cm 05 cm.. Pythagoraan lauseen avulla saadaan 18. Tietä pitkin matka uimarantaan on 400 m + 100 m = 700 m =,7 km. Matka kestää,7 km 0,617 h. km 6,0 h Merkitään suoran metsämatkan pituutta x:llä, A:lla taloa ja C:llä uimarantaa. Suorakulmaisesta kolmiosta DBC saadaan 148
c sin 75 100 c 100 sin 75 156 m b cos 75 100 b 100 cos 75 6 m Suorakulmaisen kolmion ADC kateetit ovat c ja a = 400 m b 064 m. Pythagoraan lauseella saadaan x a c 064 m 156 m 416 m,416 km x a c Metsässä nopeudeksi saadaan, kun matkaan saa kulua aikaa 0,617 h,,416 km km,9. 0,617 h h 19. a) 1 b) c) 1 10. a) 1 b) c) 11. a) b) c) 1. a) kyllä b) ei c) kyllä 1. a) kyllä b) kyllä c) ei d) kyllä 149
14. 6 a) b) 15. a) 6 b) 16. a) b) 17. a) 1 1 b) c) 18. a),6 cm b) 0,8 cm 19. 45 cm 140. 45 cm 141. a) 1, cm b) 5,5 cm c) 5,4 cm 14. 4 cm 14. a) 8,0 cm b) 11 cm 144. 110 cm 150
145. A a) a bsin A b) sin ab 146. 85 cm 147. a) 44,4 cm b) 80,4 cm c) 0, cm 148. 47 tai 1 149. 6,6 cm 150. a) 0 tai 150 b) 44,4 tai 15,6 c) 0 tai 180 d) 90 151. Joko 4,1 tai 6,4. 15. 15. 154. a) suorakulmainen särmiö b) suora ympyrälieriö c) kuutio d) suora ympyräkartio e) pyramidi 151
155. a) a, b ja c b) d ja e 156. a, b, c, d 157. a, b, c, d, e 158. c, siinä on kaksi yhtenevää ja yhdensuuntaista pohjaa ja vaippa 159. a) tahko b) pohja c) särmä 160. a) huippu eli kärki b) sivujana c) pohja 161. a) suorakulmainen särmiö b) suora ympyrälieriö c) prisma, särmiö 16. 16. 164. 165. a) suorakulmioista b) suorakulmioista 166. a) kolmioista b) kolmioista 167. 168. 15
169. 170. 171. b, d 17. suora ympyrälieriö 17. 174. 175. a) 00 00 b) 50 c) 50 000 d) 140 000 176. a) 5 000 000 m b) 60 000 m c) 900 m d), m e) m f) 0,14 m 177. a) 500 ha b) 1 000 000 m c) 00 m d) 1570 cm e) 5,6 dm f),5 a 178. a) 1940 cm b) 1,5 m c) 486 mm 179. 1400 cm 15
180. 76 mm 181. 11 cm 18. 1900 cm 18. ananaspurkin valmistamiseen 184. 10 cm 185. 1590 m 186. a) 50 cm b) 0 cm c) 60 cm 187. a) A v 4s b) 188. 11 m A 6s 189. 9 cm 190. a) 490 cm b) 610 cm c) 10 cm 191. a) 10 cm b) 1 cm c) 7 cm 19. a) 6 cm b) cm c) 900 cm 19. a) 4 154
b) 1, c) 6,5 194. pienenee 1 % 195. 196. a) 8 cm b) 15 mm c) m d) 170 dm 197. a) 00 cm b) 19 m c) 8 dm 198. 800 cm eli,8 dm 199. a) 000 dm b) 15000 mm c) 90 cm d) 0,1 dm 00. a) 0,05 m b) 0,0004 dm c) 0, cm d) 5 m 01. a) 4000 dm b) 1700 mm c) 110 cm d) 0,5 dm 0. a) 0,065 m b) 0,00044 dm c) 0,8 cm d) 1 m 0. a) cm b) 0,5 dm 155
c) 1,6 dm d) 70 cm 04. a) 5 l b) 50 l c) 0,015 ml d) 600 ml 05. a) volume b) area c) length d) volume e) area f) volume g) area h) length 06. a) 40 ml b) 0,1 dl c) 0, cl d) 500 dl 07. a), l b) 41 dl c) 0,0 l d) 0, cl 08. a) 4 cm b) 0,55 dm c),60 dm d) 80 cm 09. a),8 l b) 950 l c) 0,05 ml d) 61 ml 10. a) 4 cm b) 6 cm c) 10 cm 156
11. 17,5 gal 1. 14 pinttiä 1. 19 l 14. 10000 15. 70 tonnia 16. 75 17. 8 cm 18. 50 m 19. 75 0. a) tilavuus b) pintaala c) pintaala d) tilavuus e) pituus f) pintaala g) pintaala h) pintaala 1. Kylmälaukun pohjan sisämitat: leveys: 7,5 cm,5 cm,5 cm =,5 cm pituus: 9,5 cm,5 cm,5 cm = 4,5 cm korkeus: 0,5 cm,5 cm,0 cm = 5,0 cm Laukun sisätilavuus on siten V,5cm 4,5 cm 5,0 cm 19406,5 cm 19,4065 dm Vastaus: noin 19,4 litraa.. Astia voidaan täyttää 9 cm:n korkeuteen. 157
. Merkitään kysyttyä korkeutta x:llä, jolloin voidaan muodostaa yhtälö 1,1(16 cm 11cm x) 16 cm 11cm 10 cm 19,6 cm 1760 cm x 19,6 cm x 1760 cm 9,09090...cm 0 cm Yhden liidun tilavuus on 19,1666...cm 1 19,1666...cm Liidun pituus on 8,5 cm. 1,5 cm 4. Kuutioiden tilavuudet ovat 7 cm, 64 cm ja 15 cm sekä näiden summa 16 cm. Vastaavan kokoisen kuution särmä on 16 cm 6 cm. Annettujen kuutioiden pintaalat ovat 54 cm, 96 cm ja 150 cm sekä näiden summa 00 cm. Ison kuution pintaala on 16 cm, joten pintaala pienenee 8 %. 5. a) 7,5 cm b) 4,5 cm c) 9,0 cm d) 7, cm 6. a) 94 cm b) 57 cm c) 110 cm d) 90 cm 7. a) 5700 cm b) 000 cm 8. a) 57 cm b) 1970 cm c) 8140 cm 9. a) 110 cm b) 500 cm c) 810 cm 0. 110 cm 158
1. 44 l. lieriön pohjan pintaala lieriön korkeus [cm] lieriön tilavuus [cm ] [cm ] 150,0 1,0 4650 67,0 1,0 804,0 18,0 0,0 60,0 850 500,0 1 45 000 10,0 40,0 4080,0. a) 1490 cm b) 980 cm 4. 5. V r h 6. a) 105 cm b) 6 cm c) 00 cm 7. 4,7 ml 8. a) 86100 cm b) 0,6 m c) 470 cm 9. V s 40. 8,84 cm 41. 4,510 6 m 4. 16 cm 4. 159
5 44. 7 munan taikina 45. 17 cm 46. a) 1 cm b) 1 cm c) 9 cm 47. 980 l 48.,66 cm 49.,7 dl 50. Vedestä muodostuvan jään tilavuus on 0,0044 l = 4,4 cm 4,4 cm. Jäätulpan korkeus on 0,88 cm. 5 cm 1,08 0,97 l 1,0044 l, joten jäätulpan tilavuus on 51. Rullan ulkosäde on 6,0 cm ja sisäsäde,5 cm. Merkitään paperin leveyttä a:lla (cm). Rullalla olevan paperin tilavuus on 6,0 a,5 a 97, 19a. Merkitään paperin pituutta x:llä. Auki levitetty paperi on muodoltaan suorakulmainen särmiö, jonka tilavuus on 0,01ax. Tästä saadaan yhtälö 0,01xa 97,19a 97,19a 97,19 x 9700 0,01a 0,01 Vastaus: 97 m 5. Lieriön tilavuus saadaan lasketuksi kaavalla r h, missä r on pohjan säde ja h korkeus. Jos korkeus on 40 cm, pohjan piiri on 0 cm. Merkitään pohjan sädettä tällöin x:llä. x 0 0 15 x Tilavuudeksi saadaan 15 15 15 40 9000 V 1 40 40 860 (cm ) 160
Jos korkeus on 0 cm, pohjan piiri on 40 cm. Merkitään pohjan sädettä tällöin y:llä. y 40 40 0 y Tilavuudeksi saadaan 0 0 0 0 1000 V 0 0 80 (cm ) 0 cm korkean lieriön tilavuus on suurempi. 1000 V 1000 1000 4 Tilavuuksien suhde. V 9000 1 9000 9000 Vastaus: 0 cm korkean lieriön tilavuus on suurempi. Tilavuuksien suhde on 4. 5. Merkitään pienoismallin pituutta x:llä (m). Malli on yhdenmuotoinen veistoksen kanssa, joten pienoismallin leveys on x ja korkeus x. Mallin tilavuudeksi saadaan x x x 6x. Veistoksen tilavuus on 1,00,00,00 6 (m 6 ), joten pienoismallin tilavuus on 0, 06 100 (m ). Saadaan yhtälö 6x 0,06 x 0,06 6 x 0,01 0,154 Pienoismallin pituus on x 1,5 cm, leveys x 4,1 cm ja korkeus x 64,6 cm. Vastaus: Pituus 1,5 cm, leveys 4,1 cm ja korkeus 6,6 cm. 54. a) 4 b) 5 55. a) 8 cm b) 1770 cm c) 70 cm 56. 4700 cm 57. 4 cm 161
58. a) 19 cm b) 656 cm c) 710 cm 59. Kappaleilla on sama tilavuus. 60. 9, dl 61. a) 4 cm b) 0 cm c) 48 cm 6. 8 m 6. 6 cm 64. a) 48 cm b) 96 cm 65. a) 1 cm b) cm c) 5 cm d) 4 cm 66. 15 dl 67. 10 m 68. 11 cm 69. 15 70. 15 cm 71. 0,56 m 16
7. a) 180 cm b) 170 cm 7. cm 74. 15 % 75. a) pienenee puoleen b) pienenee neljäsosaan 76. 1 Alkuperäinen tilavuus on V 0 1 1400 11115 (cm ). Viiden vuoden kuluttua pituus on 1550 cm ja tyven läpimitta 6 cm sekä vastaava tilavuus 1 V 5 1 1550 7411(cm ). Tilavuutta on tällöin tullut lisää V 5 V0 6198 cm 6dm. 77. Yhdenmuotoisten kolmioiden avulla saadaan verranto, jolla voidaan laskea muodostuneen vesikartion säde. x 7 19 0 19 7 x 0 x 6,65 1 1 Vesikartion tilavuus on V v r h (6,65 cm) 19 cm 879,88 cm. Vesi laajenee 10 %, jolloin uusi tilavuus on 1,1 879,88 cm 967,87 cm. 1 1 Lasikartion tilavuus on V l r h (7 cm) 9 cm 106,5 cm, joka on suurempi. Vastaus: ei 78. Merkitään kysyttyä veden korkeutta x:llä ja tällöin muodostuvan vesikartion sädettä y:llä. Verrannosta saadaan y 7 x 0 7 y x 0 Laajeneminen huomioimalla voimme kirjoittaa yhtälön 16
1 7 1,1 ( x) x 106,5 cm, 0 josta ratkaisuksi saadaan x 19,745 cm. Vastaus: 19, cm 79. 80. 81. a) 4, cm b) 65,0 cm c) 60 cm 8. a) 1 cm b) 79 cm c) 50 cm 8. a) 5500 cm b) 9000 cm 84. a) 50 cm b) 110 cm c) 1 cm 85. a) 4 cm b) 110 cm c) 4, cm 86. a) kuutiolla b) kuutiolla 87. a) 80 m b) 19000 cm c) 1000 mm 88. a) 17000 cm b) 9 m c) 0000 mm 89. 164
a) 110 cm b) 110 cm 90. 140 cubic centimeters 91. 10 dm 9. 7,6 m 9. 94. a) 4 m b) 16 m c) 18 m d) 100 m 95. a) puolipallolla b) puolipallolla 96. 5,4 dl 97. a) 1 m b) m c) m d) m 98. 9700 cm 99. 190 l 00. 7 pullaa 01.,8 dl 0. A 0. 165
noin 51 % 04., cm ja 4,0 cm 05. a) % b) 5 % 06. 0,5 m 07. 1 Jäätelötötterön tilavuus V (,5 cm) 1 cm 79 cm 4 ja jäätelöpallon tilavuus V (,0 cm) 11 cm eli jäätelö ei mahdu tötteröön. 08. Merkitään kuution sivun pituutta a:lla ja pallon sädettä r:llä. Kuution tilavuus on 4 tilavuus r. Tilavuudet ovat yhtä suuret, joten 4 a r 4 a r Kuution pintaala on 6a ja pallon 4 r a ja pallon. Kuution pintaalan suhde pallon pintaalaan on 4 4 4 4 6 6 6 6 6 r r r a 4r 4r 4r 4r 4 Vastaus: Kuution pintaala on 4,1 % pallon pintaalaa suurempi. 1,41 09. Pallon pienin mahdollinen tilavuus on 1,5 0,0 1, 49 litraa eli 1,49 dm ja vastaavasti suurin 1,55 dm. 4 Pallon tilavuus saadaan laskettua kaavalla r, missä r on pallon säde. Säde on pienin, kun tilavuus on pienin eli 4 r 1,49 1,49 r 4 1,49 r 0,7085 (dm) 4 Säde on suurin, kun tilavuus on suurin eli 166
4 r 1,55 1,55 r 4 1,55 r 0,7179 (dm) 4 Tällöin pienin halkaisija on 0,7085 dm 1,4 dm 14, cm ja suurin 0,7179 dm 1,44 dm 14,4 cm. Vastaus: Halkaisija on 14, cm 14,4 cm. 10. 4,1 Kuulan tilavuus on r, missä r 1, 05 (cm). 4 940:n kuulan yhteistilavuus on 940 (1,05) 4558 (cm ). 17 Lasketaan lieriön tilavuus kaavalla R h, missä R 8, 5 (cm) ja h = 0 cm: R h (8,5) 0 4540 (cm ). Kuulien yhteistilavuus on suurempi kuin lieriön tilavuus, joten kuulat eivät mahdu astiaan. 11. 000 km 1. Isoympyrää pitkin olisi pitänyt lentää 100 km/h nopeammin. On mahdollista, sillä Concorden nopeus voi olla jopa 00 km/h. 1. a) kärki b) särmä c) tahko d) pohja 14. a) 6t b) t 15. 16. a) 180 cm b) 170 cm 17. a) 1 cm b) 5,1 cm 167
18. a) 14 cm b),8 cm 19. 0. a) 4 b) 6 c) 4 1. a) 1 b) 6 c) 1. a),5 m b) 0, m. a) 780 cm b) 110 cm 4. a) dodekaedrin b) dodekaedrin 5. noin dl 6. 10 cm 7. h a 8. a 6 h 9. Kuution tilavuus on 1,00 l = 1000 cm. 1000 cm Pikkukuution tilavuus on 64 15,65 cm,5 cm. 15,65 cm, jolloin kuution särmä on 168
0. 5 % 1. mm. 6 cm, ala pienenee 8 %. 8,7 cm 4. 56,6 cm 5. 11 cm 6. 4,5 m 7. a) 11,7 cm b) 5,0 cm c) 1,7 cm d) 9, cm 8. 0 cm 9. 16 cm 40. 4, cm 41. a) 9, cm b) 19 cm 4. a) 7 % b) 7 % c) 40 % 4. Merkitään päätykolmion korkeutta h:lla ja katon puolikkaan rakennuksen päällä olevan osan leveyttä a:lla. 169
Pythagoraan lauseen avulla saadaan a 4,0 h a 4,0 h Suunnitteluvaiheessa h =,0 m, jolloin a 4,0,0 0 (m) Rakennusvaiheessa h =,5 m, jolloin a 4,0,5, 5 (m) Katon pituus on kummassakin tapauksessa 1 0,5 1 (m). Katon puolikkaan koko leveys on a 0, 5 (m). Katon pintaala suunnitteluvaiheessa oli A 1 ( 0 0,5) 19, 755 (m ). Katon pintaala rakennusvaiheessa oli A 1 (,5 0,5) 15, 6418 (m ). R S AR Pintaalojen suhde on 1, 049, joten pintaala kasvoi 4,9 %. AS Vastaus: 4,9 % 44. Merkitään puoliympyrän sädettä (kartion sivujanan pituus) a:lla. Puoliympyrän kaaren pituus on tällöin a. Kaaresta ¾ eli 0,75a muodostaa kartion pohjaympyrän kehän. Merkitään kartion pohjan sädettä r:llä, jolloin r 0,75a 0,75a 0,75 r a 0,75a r 0,75a sin 0,75, a a jolloin,04..., 0 ja 44,0486... 44, 05. 45. 4,4 m 46. 0,9 cm 170
47. 17 % 48. 100 cm 49. 5,6 m 50. Merkitään lampun etäisyyttä katon nurkasta x:llä. Pythagoraan lauseen nojalla saadaan 4 6,5 x 14,56. Merkitään kysyttyä etäisyyttä y:llä. Pythagoraan lauseen nojalla saadaan y x,5 14,56 1,5 5, m. 51. 7 % 5. 47 % 5. ei 54. 16 cm 55. a) 1 : : b) 1 : : c) 1 : 4 : 9 56. 5,4 cm 57. c 58. :, : ja : 59. 171
a) 9 : 4 b) 7 : 8 60. a) 1 : 9 b) 5 : 4 61. 7 : 15 6. a) : 4 b) : 4 6. a) 1 : 50 b) 1 : 15000 64. 7 cm 65. a) 9500 cm b) 10000 cm 66.,6 dl ja 8,4 dl 67. a) 1 : 400 b) 1 : 8000 c) 1 : 1 68. a) 1 : 50 b) 1 : 500 c) 1 : 15000 69. 14 cm 70. 1,1 kg 71. 49 cm 7. Jos pituus kaksinkertaistuu ja siiven pituus siis myös kaksinkertaistuu, kasvaa siipipintaala nelinkertaiseksi ja massa kahdeksankertaiseksi. Tällainen siipi ei anna tarpeeksi nostovoimaa, 17
vaan isolla linnulla pitää olla suhteellisestikin isommat siivet. Lintujen ja lentokoneiden nostovoimat eivät ole yksinkertaisia ja niiden käsitteleminen vaatii korkeaa matematiikkaa. 7. a) 4 ja 8kertaiseksi b) 100 ja 1000kertaiseksi 74. a) 1 % b) % 75. a) 41 % b) 41 % c) 18 % 76. 418 cm 77. Esitteessä huone oli pintaalaltaan 6 cm 4 cm ja tämä vastasi alaa 960000 cm, jol 4 cm 4 1 1 loin esitteen mittakaavan k neliö k ja mittakaava k. Keittiön ala 960000 40000 00 oli 40000 cm 1 m. 78. maa pintaala [km ] väkiluku [milj. as] asukastiheys [as/km ] Suomi 817 5,16 15, Ruotsi 449964 8,91 19,8 Norja 4000 4,8 1,5 79. 58,6 miljoonaa 80. 81. Planeetta Massa [kg] Tilavuus [m ] Tiheys [kg/m ] Merkurius,0 10 19 6,11 10 5400 Venus 4 4,87 10 0 9,7 10 500 Maa 4 5,97 10 1 1,08 10 5517 Mars 6,4 10 0 1,6 10 940 Jupiter 7 1,90 10 4 1,4 10 140 Saturnus 6 5,69 10 8,1 10 700 Uranus 5 8,66 10 7,87 10 1100 Neptunus 6 1,0 10 6,06 10 1700 17
Pluto 1,5 10 18 7,14 10 100 8. a),110 19 m b) 600 kg/m 8. ei 84. a) 54 kg b) 10 kg c) 86 kg d) 7 kg 85. 0, cm 86.,7 dm 87. 15 m 88. 4,7 kg 89. a) 6,8 kg b) 1 kg 90. 1 cm 91. 1900 kg 9. 160 kg 9. 9 kg 94. 1067 % 95. 50 kg 96. 174
Käyttäen Arkhimeden lakia. 97. 4 Ilmapallon tilavuus V (1,6 m) 17,157... m 17157 l g ja sen sisältämän ilmamäärän massa 17157 l 1,9 100 g,1 kg. l 98. Johdon tilavuus on ( 0,1cm) 11000 cm 45,575 cm. Johto painaa tällöin g 45,575 cm 8,9 cm 08,5 g,1kg. 99. 0,69 g/cm 400. 700 kg 401. Laatan tilavuus on 50 dm 50 dm1dm 500 dm. Oletetaan etteivät tilavuudet missään vaiheessa muutu. Sementtiä tarvitaan 1/9 tilavuudesta eli 77,8 dm. 500 dm 9 Kyseinen määrä sementtiä painaa kg 77,8 dm 1,4 dm 7 kg. Säkkejä tällöin tarvitaan 7 kg 9,. 40 kg Vastaus: Tarvitaan 10 säkkiä sementtiä. 40. 1g 1 Yhden kultagramman tilavuus on dm. g 1900 1900 dm Merkitään,5 km pituisen langan sädettä r:llä. Lankaa voidaan pitää ympyrälieriönä, jonka korkeus h,5 km 5000 dm. Lieriön tilavuus on r h, jollain saadaan 1 r 5000 dm dm 1900 1 r dm 5000 1900 1 r dm 5000 1900 r 0,000057 dm 0,0057 mm Langan halkaisija on r 0,0051mm. jos langan halkaisija on 0,10mm, sen säde on 0,05 mm = 0,0005 dm. Merkitään tällöin langan pituutta x:llä. 175
0,0005 dm 1 x 0,0005 dm x 1 dm 1900 dm 1900 66 dm 6,6 m 40. Pallonpuolikkaan tilavuus on sama, kuin syrjäytetyn vesimäärän tilavuus, joka on m 47 kg V puoli 0,047 m. kg 1000 m Koko pallon tilavuus on tällöin V 0,047 m 0,094 m. Tämän tiedon avulla voimme ratkaista pallon säteen 4 r 0,094 m 0,094 m r 4 r 0,806 m Toisaalta pallon rautakuoren tilavuus voidaan laskea, koska kappaleen paino tiedetään. m 47 kg V rauta 0,00597 m kg 7870 m Tyhjän sisäpallon tilavuus on siten V V rauta 0,08807 m ja vastaavasti sisäpallon säde saadaan ratkaistua pallon yhtälöstä. 4 r sisä 0,08807 m 0,08807 m r sisä 4 rsisä 0,7595 m Rautalevyn paksuus on Vastaus: 6,1 mm 404. a) 407 kg b) 0,04 kg c) 69 kg 405. Kiven tilavuus on r r sisä 0,806 m 0,7595 m 0,80 m kg Kivi painaa 0,576 m,7 10 1450 kg. m Vastaus: Voidaan nostaa. 406.,10 m0, m 0,576 m. 0,00611 m 176
407. a) kaikilla b) kaikilla 408. 409. 410. kolmio, neliö, säännöllinen kuusikulmio ja säännöllinen kahdeksankulmio 411. a) b) 0 c) 1 d) 1 41. Tiili voidaan sijoittaa paikoilleen rakennustavasta riippuen aina kahdella tavalla. Tiiliskivellä on kolme eri symmetriaakselia, joista jokainen on symmetrisen kuvauksen kaksinkertainen kiertoakseli. 41. a) 4 b) 4 c) d) äärettömän monta 414. a) 1 b) 4 415. 177
Kyllä, esimerkiksi ympyrärenkaan painopiste. 416. a) 4 b) 4 417. 4 418. 9 419. a) ei b) Kartion korkeusjanaa pitkin kulkevia on äärettömän monta. 40. Ainut varteenotettava vaihtoehto on keskeltä kulkeva päästä varpaisiin oleva taso, mutta tämäkään ei todellisuudessa pidä paikkaansa. Edes ihmisen kasvot eivät ole molemmilta puolilta symmetriset ja sisäelimet eivät ole symmetrisiä minkään suteen edes likimain. 41. 4. 4. 44. 178
Piirretään kolme satunnaista jännettä ja havaitaan, etteivät näiden keskinormaalit leikkaa samassa pisteessä. 45. 46. 47. Oletus: kulma AOP = kulma POB Väite: AP = BP Todistus: Kolmiot APO ja BOP ovat yhtenevät, koska niissä on kaksi yhtä suurta kulmaa ja yhteinen sivu OP. Yhtenevien kolmioiden vastinosina AP = BP. 48. Olkoon yhdenmuotoisten suorakulmioiden kannat a ja a sekä korkeudet b ja b. Olkoon mittakaava m, vastinosille on tällöin voimassa a = ma ja b = mb. Jos suorakulmioiden pintaalat ovat A ja A, on edellisen nojalla voimassa A' a' b' ma mb m ab m A eli A : A = m. 49. Olkoon toinen kulmien ja väliin jäävä kulma. Kulmat ja sekä ja ovat toistensa vieruskulmia, joten niiden summa on kirjaimilla, saadaan yhtälöt 180 ja 180 180 joten 180., 180. Kun merkitään kulmien mittalukuja samoja 40. Puoliympyrää vastaava keskuskulma on oikokulma eli 180 o, joten vastaava kehäkulma on 1 180 90. 41. Kulman vieruskulma on 180. Näiden kahden kulman puolittajien summa on 179
1 90, joten kulmien puolittajat ovat kohtisuorassa toisi 1 1 (180 aan vastaan. 4. 1 ) 90 Nelikulmio voidaan jakaa kahdeksi kolmioksi yhdistämällä kaksi vastakkaista kärkipistettä. Jos nelikulmion, esim. ABCD, kaikki kulmat ovat koveria, voidaan jako tehdä yhdistämällä joko kulmat A ja C tai B ja D. Jos nelikulmion yksi kulma on kupera, voidaan jako tehdä vain yhdellä tavalla. Esimerkkikulmiossa EFGH yhdistämällä kulmat EG. Kuvioista havaitaan, että kahden muodostuneen kolmion kulmien summa on yhtä suuri kuin neliön kulmien summa. Koska kolmion kulmien summa on 180, on kahden kolmion ja siis nelikulmion kulmien summa 60. Nelikulmiosta EFGH havaitaan, ettei jana, jolla yhdistetään kaksi nelikulmion kärkeä, jotka eivät ole vierekkäiset, aina kulje nelikulmion sisällä. 4. Koska lävistäjät puolittavat toisensa, on AE = EC ja BE = ED. Kulmat AED ja BEC ovat toistensa ristikulmia, joten ne ovat yhtä suure Kolmiot AED ja BEC ovat yhtenevät ja vastinosina sivut AD ja BC ovat yhdensuuntaiset. Vastaavasti osoitetaan sivujen AB ja CD yhdensuuntaisuus. Tällöin nelikulmio ABCD on määritelmän mukaan suunnikas. 44. Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret ja toisaalta kolmion korkeusjana on kohtisuorassa kantaa vastaan, joten kolmioissa ADC ja BCD on kaksi yhtä suurat kulmaa. Niinpä kolmansienkin kulmien on oltava yhtä suuret eli puolet tasakylkisen kolmion huippukulmasta. 45. 46. 180
Kolmio BCO on tasakylkinen. Merkitään B:ssä sijaitsevaa kulmaa α:lla. Tasakylkisyyden perusteella myös C:ssä sijaitseva kulman on suuruudeltaan α. Kolmion kulmien summa on 180, jolloin kulma COB on 180. Keskuskulma AOC on kulman COB vieruskulma, jolloin kulman AOC suuruus on 180 (180 ). Siis kehäkulma ABC on puolet keskuskulmasta AOC. 47. Koska kärjet on yhdistetty sivujen keskipisteeseen 1 tan, jolloin 6, 57. Kolmion kulmien summa on 180, jolloin 180 16, 87. Säännöllisen monikulmion vieruskulman suuruus on 60, n missä n on sivujen lukumäärä, jolloin 8kulmion vieruskulman suuruus on 45 ja siten kulman β suuruus pitäisi olla 180 45 15. Kyseessä ei siis ole säännöllinen 8kulmio. 48. 49. 440. 441. cm 44. a) kateetti b) kateetti c) hypotenuusa 181
44. Kulma, joka suora muodostaa xakselin kanssa 444. 5 km 445. 8,7 m 446. Kolmiot ovat yhdenmuotoisia suorakulmaisia kolmioita, joiden hypotenuusat ovat alkuperäisen suorakulmaisen kolmion kateetit a ja b. Yhdenmuotoisten kuvioiden pintaalojen suhde on verrannollinen hypotenuusien a ja b pituuksien suhteiden neliöön. b a 1 b 1 a b 1 a Kulma x saadaan tangentin avulla. b 1 tan x a x 5, Vastaus: 5,º 447. a) 0,940 b) 0,4 c),747 448. a) 1,0 cm b),5 cm c) 6,4 cm d) 4,0 cm 449. a),1 cm b) 6,1 cm 18
c) 7,0 cm d) 4,6 cm e) 450. a) ei mikään vaihtoehdoista b) sini c) tangentti d) kosini 451. a) 49 b) 84 c) 45. Suorakulmaisesta kolmiosta BDC saadaan 4,00 cm sin 7,5 BC 4,00 cm BC 6,57 cm sin7,5 Korkeusjana BD saadaan yhtälöstä 4,00 cm tan 7,5 BD 4,00 cm BD 5,1cm tan 7,5 Kolmion pintaala 1 A 8,00 cm 5,1cm 0,9 cm Vastaus: Kyljen pituus on 6,57 cm ja pintaala 0,9 cm 45. 10, cm 454. 455. a) 140 cm b) 0 cm 18
456. a) kymmenen b) sata c) tuhat d) kymmenen 457. a) 10 m,, m b) 4100 cm, 18000 cm c) 54000 mm, 860000 mm 458. 0 dm 459. 175 m 460. 40 km 461. 900 l 46. a a) b c m m m m, pituutta b) a b a c m m(m m) m m m c) a c a b c m m m m m m d) a 46. 150 cm a 464. a) 540 cm b) 151 cm c) 4 cm d) 465. a) 140 cm b) 40 cm c) 10 cm 466. 9 l 467. a) B b c m m m m m, mahdoton yhtälö m, pintaalaa m, tilavuutta 184
b) A c) F d) A e) D f) C g) D h) E 468. A 4x (4 x) 469. 5,5 cm 470. Jokaisessa sahauksessa osakuution särmä pienenee 1 mm enemmän kuin sahaamattoman särmän pituus jaettuna kahdella. 766 mm 1. sahaus: s 1mm 8 mm 8 mm. sahaus: s 1mm 190 mm 190 mm. sahaus: s 1mm 94 mm 94 mm 4. sahaus: s 1mm 46 mm 46 mm 5. sahaus: s 1mm mm Vastaus: mm 471. a) b),5 mm c) 15 000 mm 47. A 47. pallolla 474. a) 58 cm b) 4 cm 475. Olkoon tennispallon säde r. Tällöin neljän tennispallon yhteistilavuus on 4 16 4 r r. 185
Säiliölieriön säde on myös r ja korkeus 8r. Ja siten tilavuus 16 r suhde on. 8r r 8r 8r. Tilavuuksien 476. Lieriön pohjan säde on sama puolipallon säteen kanssa eli se on 0,75 10 6 m. Bakteerin tilavuus on 6 6 4 6 18 15 V [ 0,7510 410 (0,7510 ) ] m 8,8 10 m 8,8 10 dm, joten massa on 8,8 10 kg 15. vastaus: Tilavuus on 477. a) 110 cm b) 110 cm 8,8 10 15 dm 15 ja massa 8,8 10 kg. 478. Yksi appelsiini vie kuution muotoisen tilan, jonka särmä on sama kuin appelsiinin halkaisija. Vastaavasti yksi mandariini vie kuution muotoisen tilan, jonka särmä on puolet appelsiinin halkaisijasta. Appelsiinin vaatimaan tilaan menee 8 mandariinia. Mandariineja mahtuu laatikkoon appelsiineihin verrattuna 100 % 700 % enemmän. 8 1 1 Merkitään mandariinin sädettä r:llä. 4 4 4 Yhden appelsiinin tilavuus on r 8r 8 r eli sama, kuin 8:n mandariinin tilavuus. Samanlaiseen laatikkoon pakattujen appelsiinien ja mandariinien vievä tilavuus on sama ja siten myös hukkatilavuus on sama ja hukkatilojen ero 0 %. 479. Ontossa pallossa on puolet umpinaisen pallon metallimäärästä. Koska pallojen tilavuudet ovat samat, on onton pallon tyhjän sisäosan tilavuus puolet pallon tilavuudesta. Merkitään koko pallon sädettä R:llä ja pallon sisäosan sädettä r:llä. 4 r r 1 4 R 1 R 1 1 r R R 0,794R Onton pallon seinämän paksuus on säteiden erotus. 186
R r,0 R 0,794R,0 0,06R,0,0 R 9,7 (cm) 0,06 Vastaus: 9,7 cm 480. Jos pallon muotoisen karamellin halkaisija on /n cm on sen säde 1/n cm ja tilavuus 4 1 4 1 V cm cm. Karamelleja mahtuu laatikkoon 1000 n kpl, joten karamellien tilavuus yhteensä on V 1000 n cm cm, joka ei riipu n:stä. Kara n n 4 1 4000 n mellien kokonaispaino ei siis riipu n:stä. 481. a) ikosaedri b) tetraedri c) dodekaedri d) kuutio e) oktaedri 48. a) 74 cm b) 4 cm c) 6,1 cm 48. a) 5 : 4 b) 5 : 4 484. a) 1 : : b) 1 : 8 : 7 485. a) % b) % c) 48 % 486. a) 4 b) c) 187