Kenguru 2019 Student Ratkaisut

Transkriptio

1 sivu 0 / 22 3 pistettä TEHTÄVÄ VASTAUS C B D C B E C A 4 pistettä TEHTÄVÄ VASTAUS B B E D A E A A 5 pistettä TEHTÄVÄ VASTAUS E E D D C C B A Kilpailu pidetään aikaisintaan Logon suunnitteli Samin Ahmed.

2 sivu 1 / 22 3 pistettä 1. Digitaalinen kello näyttää tältä: Mitä kello näyttää, kun siinä on seuraavan kerran numerot 2, 0, 1 ja 9 jossakin järjestyksessä? (A) (B) (C) (D) (E). Koska ei ole oikea aika, seuraava on. 2. Pienoisjunalla menee yhteen kierrokseen 1 min 11 s. Kuinka kauan sillä menee 6 kierrokseen? (A) 6 min 56 s (B) 7 min 6 s (C) 7 min 16 s (D) 7 min 26 s (E) 7 min 36 s Aikaa menee 6 min 66 s, joka on sama kuin 7 min 6 s.

3 sivu 2 / Kolme kolmiota on kytketty toisiinsa kuvan mukaisesti. Mikä seuraavista kuvista esittää samoja kolmiota? (A) (B) (C) (D) (E) Valkoinen kolmio on kiinni kahdessa muussa, jotka puolestaan eivät ole kiinni toisissaan. Vain D on oikein. 4. Kolmea tavallista noppaa heitetään ja silmäluvut lasketaan yhteen. Kuinka monta eri mahdollisuutta summaksi on? (A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 17 (E) 18 Summa on pienimmillään = 3 ja suurimmillaan = 18. Myös kaikki tältä väliltä onnistuvat. Mahdollisuuksia on siis 16 kpl.

4 sivu 3 / Paperi taitellaan kahdesti ja leikataan kuvan mukaisesti. Kuinka monessa osassa paperi on leikkaamisen jälkeen? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 Paloja tulee kolme. Avattuna tilanne näyttää tältä: 6. Viisi samanlaista suorakulmiota on väritetty eri tavoilla. Missä suorakulmiossa on eniten harmaata? (A) (B) (C) (D) (E) Suorakulmioista A C puolet on väritetty harmaaksi. (Niissä kaikissa harmaiden ja valkoisten kolmioiden kannat ovat nimittäin yhteensä yhtä pitkät ja korkeudet samat.) Suorakulmiossa D harmaata on alle puolet, koska harmaiden kolmioiden kannat ovat pienemmät kuin valkoisten. Suorakulmissa E yli puolet on harmaata, koska kolmioiden lisäksi siinä on harmaa suorakulmio.

5 sivu 4 / Pyramidissa on 23 kolmion muotoista tahkoa. Kuinka monta särmää tässä pyramidissa on? (A) 23 (B) 24 (C) 46 (D) 48 (E) 69 Kahden tahkon välissä on aina yksi särmä, joten vinoja särmiä on myös 23. Pohjassa on toiset 23 särmää (kunkin kolmiotahkon alareuna), joten särmiä on yhteensä = Viidessä identtisessä ympyrälieriön muotoisessa astiassa on mehua. Yhdessä astiassa on eri määrä mehua kuin neljässä muussa. Mikä se on? (A) (B) (C) (D) (E) Jos astiat nostettaisiin pystyyn, nesteen pinta asettuisi viivan mukaiselle tasolle. Astiassa A on muita enemmän mehua.

6 sivu 5 / 22 4 pistettä 9. Kolme nelinumeroista lukua on kirjoitettu kuvan paperilapuille. Näiden lukujen summa on Mitkä numerot ovat piilossa? (A) 1, 4 ja 7 (B) 1, 5 ja 7 (C) 3, 3 ja 3 (D) 4, 5 ja 6 (E) 4, 5 ja 7 Merkitään lasku allekkain. Piilossa olevat numerot olkoot X, Y ja Z X7 + YZ Ykkösten sarakkeesta jää muistinumeroksi 1: X7 + YZ Täytyy siis olla X = 5. Seuraavakin muistinumero on 1: YZ

7 sivu 6 / 22 Täytyy siis olla Z = 7, ja taas muistinumero on 1: Y Täytyy siis olla Y = 1. Puuttuvat numerot ovat 1, 5 ja Ada etsii pienimmän luvun, jonka numeroiden summa on Mikä on sen ensimmäinen (vasemmanpuoleisin) numero? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 Pienin luku on mahdollisimman lyhyt ja alkaa mahdollisimman pienellä numerolla. Summa 2019 saadaan lyhyimmällä luvulla aikaiseksi, kun numeroa 9 käytetään mahdollisimman paljon. Jakamalla 2019 yhdeksällä saadaan 2019 = Tarvitaan siis 224 kpl numeroa 9 ja yksi kolmonen. Pienin luku on , 224 kpl ja sen ensimmäinen numero on 3.

8 sivu 7 / Pieni kenguru leikkii mitalla, joka koostuu kymmenestä saranoidusta osasta. Mitä seuraavista kuvioista ei voi saada aikaiseksi mittaa vääntelemällä? (A) (B) (C) (D) (E) Kohdat kuviot A D onnistuvat: Kuvio E on mahdoton, sillä siinä on neljä risteystä, jossa kuvio haarautuu kolmeen. Näissä paikoissa täytyy olla mitan pää tai johonkin suuntaan mitta kaksin kerroin. Päitä on vain kaksi, eikä mittaa riitä kaksin kerroin laitettavaksi. Kuvio on siis mahdoton.

9 sivu 8 / Mikä on korkein luvun 3 potenssi, jolla luku 7! + 8! + 9! on jaollinen? (Kertomalla n! tarkoitetaan luvun n ja sitä pienempien positiivisten kokonaislukujen tuloa; esimerkiksi 7! = ) (A) 3 2 (B) 3 4 (C) 3 5 (D) 3 6 (E) Jokin suurempi luvun 3 potenssi 7! + 8! + 9! = 7! ( ) = 7! 81 = 7! 3 4 = = Korkein tekijänä oleva luvun 3 potenssi on siis Neliön kaksi kärkeä on puoliympyrän kaarella ja kaksi sen suoralla sivulla. Puoliympyrän säde on 1 cm. Mikä on neliön pinta-ala? (A) 4 5 cm2 (B) π 4 cm2 (C) 1 cm 2 (D) 4 3 cm2 (E) 2 3 cm2 Olkoon neliön sivu x, jolloin sen puolikas on x 2.

10 sivu 9 / 22 Kuvaan punaisella merkitty ympyrän säde on pituudeltaan 1 (cm). Pythagoraan lauseella saadaan 1 2 = x 2 + ( x 2 ) 2 1 = x 2 + x2 4 1 = 5 4 x2 x 2 = 4 5 Kysytty pinta-ala on siis x 2 = 4 5 cm Suorakulmaisen särmiön muotoisessa tankissa on 120 m 3 vettä. Veden korkeus tankissa vaihtelee tankin asennon mukaan kuvan (ei mittakaavassa) mukaisesti. Mikä on tankin tilavuus? (A) 160 m 3 (B) 180 m 3 (C) 200 m 3 (D) 220 m 3 (E) 240 m 3 Olkoot tankin särmien pituudet a, b ja c. Tällöin sen tilavuus on V = abc. Kuvista saadaan ehdot (mitat metreinä): ab 2 = 120 ab = 60 bc 3 = 120 bc = 40 ca 5 = 120 ca = 24 Kertomalla nämä keskenään saadaan ab bc ca = a 2 b 2 c 2 = (abc) 2 = abc = abc = 240 Tankin tilavuus on siis 240 m 3. Kuva ei ole aivan oikein piirretty!

11 sivu 10 / Mikä on luvun kokonaisosa? (Eli kokonaisluku, joka jää jäljelle, kun luvun desimaalit poistetaan.) (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 20 (E) 25 Koska 16 < 20 < 25, luvun 20 neliöjuurelle pätee 4 < 20 < 5. Kun tähän lisätään 20, saadaan 24 < < 25, ja koska 16 < 24 < 25, pätee neliöjuurille Kun tähän taas lisätään 20, saadaan 4 < < 5. ja niin edelleen: 24 < < 25, 4 < < 5 24 < < 25 4 < < 5 24 < < 25

12 sivu 11 / 22 4 < < 5. Luvun kokonaisosa on siis 4. (Oikea likiarvo olisi 4, ) 16. Kuvassa on kaksi vierekkäistä neliötä, joiden sivujen pituuksille a ja b pätee a < b. Mikä on kuvaan merkityn harmaan kolmion pinta-ala? (A) 1 2 a2 (B) 1 2 b2 (C) ab (D) 1 4 (a2 + b 2 ) (E) 1 2 (a2 + b 2 ) Tapa 1 Pienemmän neliön halkaisijan pituus on Pythagoraan lauseen nojalla 2a. Suuremman neliön halkaisija on sen kanssa yhdensuuntainen. Katkoviivalla piirretyt janat ovat halkaisijoita vastaan kohtisuorat ja siis harmaan kolmion korkeusjanan mittaiset. Tämän korkeusjanan pituus on puolet. Pinta-alaksi saadaan A = 2a 2a pienen neliön halkaisijasta, eli 2a 2 = 2 2 suuremman neliön koon muuttaminen ei muuta harmaan kolmion pinta-alaa! 2a = a2 2. Yllättäen

13 sivu 12 / 22 Tapa 2 Neliöiden pinta-alasta voi vähentää kolme suorakulmaista kolmiota. Harmaan alueen alaksi saadaan 5 pistettä A = a 2 + b 2 a a 2 b(b a) 2 b(a + b) 2 = a 2 + b 2 a2 2 b2 2 + ab 2 ba 2 b2 2 = a Kuvassa vasemmalla näkyvä pahvinpala taitellaan kuvassa oikealla näkyväksi oktaedriksi. Mikä sivu päätyy yhteen sivun x kanssa? (A) Sivu 1 (B) Sivu 2 (C) Sivu 3 (D) Sivu 4 (E) Sivu 5 Oktaedrin jokaisessa kärjessä kohtaa neljä kolmiota. Punaisella merkityt sivut kuuluvat siis yhteen. Tämän jälkeen sivujen x ja 5 tulee kohdata, sillä niiden yhteisen kärjen ympärillä on jo neljä kolmiota.

14 sivu 13 / Kuinka monta eri tasoa on olemassa, jotka kulkevat kukin tietyn kuution vähintään kolmen kärjen kautta? (A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 16 (E) 20 Kunkin tahkon sisältävistä tasoista kertyy kuusi tasoa. Vastakkaisten tahkojen lävistäjien suuntaisia tasoja kertyy myös kuusi kappaletta (kaksi jokaista tahkoparia kohden) Kunkin kärjen kolmen naapurikärjen kautta kulkevia tasoja kertyy yksi joka kärkeä kohden, eli 8 kappaletta.

15 sivu 14 / 22 Yhteensä tasoja on siis = 20 kappaletta. Enempää ei ole, sillä tässä on käyty läpi kaikki mahdolliset kolmen kärjen yhdistelmät. 19. Neliön kuhunkin kärkeen kirjoitetaan positiivinen kokonaisluku. Kaikissa vierekkäisissä kärjissä olevissa lukupareissa aina toinen luku on jaollinen toisella. Neliön vastakkaisissa kärjissä olevista luvuista kumpikaan ei ole jaollinen toisella. Mikä on tällaisten lukujen pienin mahdollinen summa? (A) 12 (B) 24 (C) 30 (D) 35 (E) 60 Lukua 1 ei voi käyttää, koska vastapäinen luku olisi sillä jaollinen. Samaa lukua ei voi käyttää kahdesti, sillä ne eivät voisi olla vastakkain, eikä vierekkäinkään käy, sillä alla merkittyjen lukujen x ja a sekä pitäisi että ei pitäisi olla toisillaan jaollisia, koska x ja a ovat sekä vierekkäisiä että vastakkaisia. a a x y Pienimmät käyttökelpoiset luvut ovat siis 2 ja 3.

16 sivu 15 / 22 Sijoitetaan luvut 2 ja 3 vastakkaisiin nurkkiin. Kahden muun luvun pitää olla jaollisia kahdella ja kolmella, mutta ei toisillaan. Pienimmät tällaiset luvut ovat 12 ja 18. (Lukua 6 ei voi käyttää, sillä kaikki kahdella ja kolmella jaolliset ovat jaollisia myös kuudella.) Luvut voi sijoitella esimerkiksi näin: Pienimmät luvut ovat siis 2, 3, 12 ja 18. Niiden summa on = 35. Tätä pienemmäksi ei päästä, kuten voidaan huolellisemmalla argumentilla todeta: Olkoot luvut aluksi a, b, c ja d, ja olkoon pienin niistä a: a b c d Koska a on pienin, sen pitää jakaa luvut b ja c, eli b = ax ja c = ay. a ax ay d Luku d ei ole jaollinen luvulla a, joten se ei voi olla jaollinen myöskään luvuilla ax tai ay. Täytyy siis olla toisin päin, eli d jakaa luvut ax ja ay. Saadaan seuraava tilanne: a adk adp d Koska adp ja adk eivät jaa toisiaan, täytyy olla 1 k p 1. Kysytty summa on siis a + adk + adp + d = a + d + ad(k + p), missä a d ja k p. Pienimmät lukua 1 suuremmat kokonaisluvut ovat 2 ja 3, joten edellä mainittu lauseke on pienin, kun luvut ovat jomminkummin päin a = 2, d = 3, k = 2, p = 3.

17 sivu 16 / Kuinka monella kokonaisluvun n arvolla luku n 2 2n 3 on alkuluku? (A) yhdellä (B) kahdella (C) kolmella (D) neljällä (E) äärettömän monella Jaetaan polynomi n 2 2n 3 tekijöihin. Selvitetään ensin nollakohdat: n 2 2n 3 = 0 n = 2 ± ( 2)2 4 1 ( 3) 2 1 n = 2 ± 16 = 2 ± 4 = 1 ± n 1 = = 3, n 2 = 1 2 = 1. Polynomi jakautuu siis tekijöihin seuraavasti: n 2 2n 3 = (n 3)(n + 1). Tämän tulon itseisarvo voi olla alkuluku vain, kun toinen tulon tekijöistä on ±1. Ratkaistaan sopivat luvun n arvot: n 3 = 1 n = 4 n 3 = 1 n = 2 n + 1 = 1 n = 0 n + 1 = 1 n = 2 Tarkistetaan vielä, mitkä näistä luvun n arvoista aidosti tuottavat alkuluvun: Kun n = 4, saadaan (n 3)(n + 1) = (4 3)(4 + 1) = 5 Kun n = 2, saadaan (n 3)(n + 1) = (2 3)(2 + 1) = 3 Kun n = 0, saadaan (n 3)(n + 1) = (0 3)(0 + 1) = 3 Kun n = 2, saadaan (n 3)(n + 1) = ( 2 3)( 2 + 1) = 5 Kaikki tulokset ovat alkulukuja, joten sopia luvun n arvoja on 4 kappaletta.

18 sivu 17 / Hämähäkin verkko koostuu kuvan mukaisesti 16 solmusta ja niiden välisistä langoista. Hämähäkki lähtee liikkeelle solmusta A ja kipittää yhteensä 2019 lankaa pitkin. Mitkä solmuista P, Q, R, S, T ovat mahdollisia matkan päätepisteitä? (A) vain P, R ja S, ei Q tai T (B) vain P, R, S ja Q, ei T (C) vain Q (D) vain T (E) kaikki: P, Q, R, S ja T. Kaikissa verkon silmukoissa on parillinen määrä solmuja, joten hämähäkki voi olla tietyissä solmuissa vain parillisen siirtymien määrän jälkeen (merkitty mustalla) ja toisissa vain parittoman siirtymien määrän jälkeen (merkitty punaisella). Luku 2019 on pariton, joten annetuista vaihtoehdoista vain Q on mahdollinen.

19 sivu 18 / Lukujonon a 1, a 2, a 3, ensimmäinen jäsen on a 1 = 49. Kun n 2, luku a n saadaan laskemalla luvun a n 1 numeroiden summa, lisäämällä tulokseen yksi ja laskemalla tämän luvun neliö. Esimerkiksi a 2 = ( ) 2 = 196. Kuinka suuri on a 2019? (A) 25 (B) 49 (C) 64 (D) 121 (E) 400 Lasketaan lukujonon ensimmäisiä termejä: a 1 = 49 a 2 = ( ) 2 = 14 2 = 196 a 3 = ( ) 2 = 17 2 = 289 a 4 = ( ) 2 = 20 2 = 400 a 5 = ( ) 2 = 5 2 = 25 a 6 = ( ) 2 = 8 2 = 64 a 7 = ( ) 2 = 11 2 = 121 a 8 = ( ) 2 = 5 2 = 25 Huomataan, että a 8 = a 5. Lukujonon rekursiivisesta luonteesta seuraa, että sen loput jäsenet toistavat kolmen syklissä jonoa 25, 64, 121, 25, 64, 121, siten, että kolmella jaollisilla järjestysnumeroilla jäsen on 64. Luku 2019 on kolmella jaollinen, joten a 2019 = 64.

20 sivu 19 / Yhtälöllä 2 x = ax on tasan kaksi ratkaisua. Mitä siis tiedetään parametrista a? (A) a 1 (B) 1 < a < 1 (C) a 1 (D) a = 0 (E) a = 1 tai a = 1 Hahmotellaan kuvaajaan käyrät y = 2 x (mustalla) ja y = ax (punaisella). Alla on esitetty tilanteet, joissa 1 < a < 1. Leikkauspisteitä syntyy kaksi. Kun a = ±1, suora y = ax on käyrän y = 2 x toisen haaran suuntainen, ja leikkauspisteitä on vain yksi, kuten myös silloin, kun a > 1 tai a < 1. (Ks. alla) Oikea vastaus on siis B.

21 sivu 20 / Tutkitaan kolmiota ABC, jonka sivun BC keskipiste on D. Valitaan puolisuorilta BA, DA ja CA pisteet P, Q ja R siten, että AP = 2AB, AQ = 3AD, AR = 4AC. Kolmion ABC pinta-ala on S. Mikä on kolmion PQR pinta-ala? (A) S (B) 2S (C) 3S (D) 1 2 S (E) 0, eli pisteet P, Q ja R ovat samalla suoralla Tilanne näyttää siis tältä (hieman mallikuvasta kierrettynä): Janoille merkityt pisteet jakavat janan AR neljään, jana AQ kolmeen ja jana AP kahteen yhtä suuren osaan. Havaitaan aluksi, että kolmiot ABC ja AB 1 C 1 ovat yhteneviä (sks) ja kolmiot ABC ja APC 2 yhdenmuotoisia (sks) verrannollisuuskertoimella 2.

22 sivu 21 / 22 Kolmion APC 2 korkeusjana on siis kaksinkertainen kolmioon ABC nähden. Nyt nähdään, että kolmiolla RAP on kolmioon ABC nähden nelinkertainen kanta suoralla AC (sillä RA = 4AC) ja kaksinkertainen korkeus suoraa AC vastaan (perusteluna yhdenmuotoiset kolmiot ABC ja APC 2 ). Siis pätee A RAP = 4 2 S = 8S. Toisaalta kolmiolla RAQ on kolmioon ADC (jonka ala on 1 S) verrattuna nelinkertainen kanta 2 suoralla AC ja kolminkertainen korkeus. Saadaan siis A RAQ = S = 6S. 2

23 sivu 22 / 22 Lopuksi kolmiolla QAP on kolmioon ABD (jonka ala on 1 S) verrattuna kolminkertainen kanta 2 suoralla AD ja kaksinkertainen korkeus sitä vastaan (yhdenmuotoiset kolmiot APD 2 ja ABD). Siis pätee A QAP = S = 3S. 2 Nyt saadaan laskettuna kysytty ala: A PQR = A RAQ + A QAP A RAP = 6S + 3S 8S = S.