MAT-20500 Todennäköisyyslaskenta Laskuharjoituksia / Periodi 2 / 2009-2010 1.1 Peruskäsitteitä 1. Totea Venn-diagrammien avulla oikeaksi demorganin lait A B = A B, A B = A B Jos otosavaruus on ihmiset sekä joukko A = 'miehet' ja B = 'autonomistajat', niin keitä henkilöitä kuuluu em. lauseissa oleviin joukkoihin? 2. Olkoot tapahtumat A = 'kortti on musta', B = 'kortti on hertta' ja C = 'kortti on kuvakortti tai ässä'. Lausu seuraavat tapahtumat joukkojen A,B ja C sekä joukko-operaatioiden avulla a) Kortti on musta kuvakortti tai musta ässä b) Kortti on ruutu c) Kortti ei ole ruutu, mutta se on kuva tai ässä d) Kortti on joko punainen tai se on arvoltaan 2-10, mutta ei molempia 3. Heitetään rahaa. Tulosvaihtoehdot ovat 'kruunu'=r ja 'klaava'=l. Tutkitaan seuraavia tilanteita. a) Heitetään kolikkoa kolme kertaa peräkkäin. Alkeistapauksia ovat nyt siis kolmen heiton sarjat. Mikä on otosavaruus? Mitkä ovat joukkoina tämän otosavaruuden tapahtumat A='1. ja 3. heitto ovat samat' B='sekä 1. ja 3. heitolla että 2. ja 3. heitolla saadaan eri tulos.' b) Heitetään kolme kolikkoa samanaikaisesti (kolikoita ei voida yksilöidä ja niillä ei ole järjestystä). Mikä on nyt otosavaruus? Mitkä ovat joukkoina tämän otosavaruuden tapahtumat C='Klaavoja on enemmän kuin kruunuja' D='Klaavoja ja kruunuja on yhtä paljon.' c) Heitetään kolikkoa, kunnes saadaan 1. kruunu. Nyt alkeistapaukset ovat heittosarjoja. Mikä on otosavaruus? Mitkä ovat joukkoina tämän otosavaruuden tapahtumat E='Saadaan enintään 3 klaavaa ennen 1. kruunua.' F ='Tarvitaan ainakin 4 heittoa.' 1.2 Tilastollinen ja klassillinen todennäköisyys 4. Tutkittiin kolikonheittäjän virheetöntä rahaa. Suoritettiin kymmenen n-toistokoetta n:n arvoilla 10, 10, 50, 50, 100, 100, 150, 150, 200, 200 ja kruunun esiintymismääriksi saatiin 6, 3, 22, 25, 51, 40, 70, 62, 90, 88. Arvioi kruunun todennäköisyys. 5. Heitetään kahta noppaa. Olkoot x 1 ja x 2 noppien silmäluvut. Muodostetaan uusi satunnaismuuttuja x = x 1 + x 2. Mikä on x:n otosavaruus? Ovatko alkeistapaukset symmetrisiä? Mitä on P (6 x 1 + x 2 8)? 6. Valmistetaan 4 kuution muotoista noppaa A, B, C ja D, joiden sivut numeroidaan seuraavasti: A: 3, 3, 3, 3, 3, 3 B: 2, 2, 2, 2, 6, 6 C: 1, 1, 1, 5, 5, 5 D: 0, 0, 4, 4, 4, 4 Laske todennäköisyydet seuraaville tapahtumille, kun heitetään pareittain kahta eri noppaa ja suuremman silmäluvun saanut voittaa. a) Noppa A voittaa B:n b) Noppa B voittaa C:n c) Noppa C voittaa D:n Noppien 'paremmuusjärjestys' näyttäisi selvältä. Mutta laske vielä myös todennäköisyys d) Noppa D voittaa A:n. 7. Ryhmä, jossa on 10 poikaa ja 10 tyttöä jaetaan satunnaisesti kahteen osaan. Millä todennäköisyydellä molemmissa ryhmissä on 5 tyttöä ja 5 poikaa? Oikea vastaus = 0.344 1
8. Tarkastellaan jonoja, joissa on kahdeksan kappaletta merkkejä nolla tai yksi (esim. 10001100). a) Montako erilaista jonoa on olemassa? b) Kuinka monessa jonossa on viisi nollaa ja kolme ykköstä? c) Kuinka monessa jonossa on ainakin viisi nollaa? 9. Tikka heitetään tavalliseen tikkatauluun siten, että se osuu johonkin numeroista 1-10 ja osumiskohta on täysin satunnainen. a) Millä todennäköisyydellä saadaan numero 7,8 tai 9 b) Millä todennäköisyydellä saadaan kahdella tikalla tulos 17. Oikea vastaus: a) 0.15, b) 0.0044 10. Nostetaan korttipakasta 5 korttia. Millä todennäköisyydellä a) kaikki kortit ovat herttoja? b) kaikki kortit ovat samaa maata? c) kolme korttia on ässää ja kaksi kuningasta? d) kortit muodostavat kasvavan numerosuoran? Oikea vastaus: a) 0.000495, b) 0.00198, c) 0.00000923, d) 0.00355 11. Leipomossa on jäljellä 5 munkkia ja 7 viineriä. a) Kuinka monella tavalla näiden joukosta voidaan valita 2 munkkia ja 2 viineriä? b) Millä todennäköisyydellä saadaan yhtä monta munkkia ja viineriä ostettaessa puolet tuotteista, kun tuotteet valitaan umpimähkään? Oikea vastaus: a) 210, b) 0.379 12. Kuinka monta erilaista sanaa saat järjestämällä sanan TEEK- KARI kirjaimet? Millä todennäköisyydellä sana alkaa T-kirjaimella? 13. Toisen asteen polynomin ax 2 + bx + c kertoimet a, b, c valitaan nopanheitolla. Millä todennäköisyydellä polynomilla on reaalisia nollakohtia? Oikea vastaus = 0.199 1.3 Todennäköisyyslaskennan aksiomat 14. Millä todennäköisyydellä 200 hengen joukosta ainakin yhdellä on tänään syntymäpäivä? Oikea vastaus: 0.422 15. Tiedetään, että P (A) = 0.9 ja P (B) = 0.8. Määritä pienin ja suurin mahdollinen arvo todennäköisyyksille a) P (A B) b) P (A B) 16. Korttipakasta nostetaan umpimähkään takaisinpanematta viisi korttia. Millä todennäköisyydellä joukossa on ainakin yksi ässä ja ainakin yksi kuvakortti? Vihje: Komplementtitapahtumat, De Morgan (teht. 1) Oikea vastaus: 0.233 17. Todista kolmen tapahtuman yhteenlaskusääntö P (A 1 A 2 A 3 ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + P (A 3 ) P (A 1 A 2 ) P (A 1 A 3 ) P (A 2 A 3 ) +P (A 1 A 2 A 3 ) 18. N = 20 munkin joukossa on m = 5 eilistä. Millä todennäköisyydellä n = 8 munkin otoksessa (a) ei ole yhtään eilistä (b) on kaksi eilistä? (c) Millä todennäköisyydellä eilisten munkkien olemassaolo paljastuu? Oikea vastaus. a) 0.051, b) 0.397, c) 0.949 19. n tupsulakkista teekkaria heittää lakkinsa huoneeseen. Jokaiselle teekkarille palautetaan täysin satunnaisesti lakki. Laske todennäköisyys sille, että ainakin yksi teekkareista saa oman tupsulakkinsa. Arvioi tätä todennäköisyyttä kun n on suuri. Oikea vastaus: 0.632 2
Vihje: A i =i:s saa omansa, ( n ) n P A i = P (A i ) P (Ai A } {{ } j ) } {{ } i=1 i=1 i<j 1/n 1/n(n 1) + ( n ) P (Ai A j A k ) + ( 1) n+1 P A i } {{ } i<j<k i=1 1/n(n 1)(n 2) } {{ } 1/n! e 1 ( 1) i = i! i=0 20. Todista vähennyslaskusääntö A B P (B \ A) = P (B) P (A) ja sen seurauksena epäyhtälö: A B P (A) P (B) 21. Osoita oikeiksi Boolen epäyhtälö (Boole's inequality) P (A 1 A 2 A n ) P (A 1 ) + P (A 2 ) + + P (A n ) ja Bonferronin epäyhtälö (Bonferroni's inequality) P (A 1 A 2 A n ) 1 P (A 1 ) P (A 2 ) P (A n ) 22. Viisi komponenttia on kytketty sarjaan ja yksityinen komponentti viottuu aikavälillä t todennäköisyydellä 0.001. Arvioi millä todennäköisyydellä systeemi lakkaa toimimasta aikavälillä t. Oikea vastaus: 0.005 1.4 Ehdollinen todennäköisyys 23. Korttipakka jaetaan tasan 4 pelaajan kesken. Mikä on todennäköisyys, että jokainen saa yhden ässän? Oikea vastaus: 0.105 24. Todennäköisyys, että A katsoo TV-ohjelmaa on 0.50 ja todennäköisyys, että B katsoo TV-ohjelmaa on 0.60. Todennäköisyys, että A katsoo ohjelmaa ehdolla, että B katsoo ohjelmaa on 0.70. Millä todennäköisyydellä a) molemmat A ja B katsovat ohjelmaa b) B katsoo ohjelmaa ehdolla, että A tekee niin c) ainakin toinen katsoo ohjelmaa Oikea vastaus: a) 0.42, b) 0.84, c) 0.68 25. Tiedetään, että P (A) = 0.30, P (B A) = 0.40 ja P (B A) = 0.50. Laske a) P (A B) b) P (B) c) P (A B) d) P (A B) e) P (A B) f) P (A \ B) Oikea vastaus: a) 0.12, b) 0.47, c) 0.65, d) 0.26, e) 0.34, f) 0.35 26. P (B A) = 0.60 ja P (A B) = 0.20. Mitä on P (B)? Oikea vastaus: 0.75 27. Tuotteessa voi olla materiaalivika (A) tai käsittelyvika (B). Olkoon P (A) = 0.100, P (B) = 0.060 ja P (A B) = 0.005. Millä todennäköisyydellä a) satunnaisesti valittu tuote on viallinen? b) tuotteessa on materiaalivika, jos siinä on tarkalleen yksi vika Oikea vastaus: a) 0.155, b) 0.633 28. Kaksi pelaajaa heittää rahaa vuorotellen. Millä todennäköisyydellä pelin aloittaja saa ensimmäisenä kruunun? Oikea vastaus: 0.667 3
1.5 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava 29. Tuotetta valmistetaan kolmella koneella K1, K2 ja K3. Koneiden osuudet kokonaistuotannosta ovat K1: 31%, K2: 47% ja K3: 22%. Koneiden valmistamista tuotteista on virheellisiä K1: 0.2%, K2: 0.1% ja K3: 0.4%. Kaikki valmistetut tuotteet sekoitetaan. a) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu tuote on virheellinen? b) Entä millä todennäköisyydellä virheelliseksi todettu satunnaisesti valittu tuote on tehty koneella K3? Oikea vastaus: a) 0.00197, b) 0.447 30. Tietokoneita valmistava yritys tilaa mikrolastuja kolmelta alihankkijalta A 1, A 2 ja A 3. Alihankkijan A 1 osuus tilauksesta on 40 %, A 2 :n osuus 25 % ja A 3 :n osuus 35 %. Alihankkijan A 1 tuotteista 90 % on virheettömiä, A 2 :n tuotteista 95 % ja A 3 :n tuotteista 88 % Toimitetut mikrolastut sekoitetaan. a) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu lastu on virheetön? b) Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu lastu on alihankkijalta A 2 ehdolla, että lastu on virheetön. Oikea vastaus: a) 0.906, b) 0.262 31. Kokemuksesta tiedetään, että tuotteen akuista yksi tuhannesta rikkuu takuuaikanaan. Tehtaalla akkuja testataan menetelmällä, jolla huono akku löydetään 99%:n varmuudella. Testauksessa on kuitenkin huomattu, että testi osoittaa huonoksi myös yhden sadasta todellisuudessa hyvästä akusta. Testi on osoittanut akun huonoksi. Millä todennäköisyydellä se on todellisuudessa huono? Oikea vastaus: 0.0902 32. Monivalintakokeessa on 6 vaihtoehtoista vastausta. Todennäköisyys, että vastaaja tietää oikean vastauksen on 1/3. Kun vastaaja ei tiedä oikeaa vastausta, hän arvaa oikean vastauksen todennäköisyydellä 1/6. Tehtävään on vastattu oikein. Millä todennäköisyydellä vastaaja on tiennyt oikean vastauksen? Oikea vastaus: 0.75 33. Herra C unohtaa sateenvarjonsa kauppaan todennäköisyydellä 0.3. Eräänä päivänä hän kävi kolmessa kaupassa ja huomasi kotiin tultuaan sateenvarjonsa unohtuneen. Millä todennäköisyydellä se unohtui toiseen kauppaan? Oikea vastaus: 0.319 34. Kolmesta samanlaisesta kortista yksi on kokonaan musta, yksi kokonaan punainen ja yksi toiselta puolelta musta, toiselta puolelta punainen. Satunnaisesti valittu kortti laitetaan pöydälle siten, ettei sen toista puolta nähdä. Mikä on todennäköisyys, että a) näkyvä puoli on punainen. b) jos näemme päällä punaisen, niin myös alla on punainen. 1.6 Tapahtumien riippumattomuus 35. Heitetään noppaa kahdesti. Määritellään tapahtumat A = 'ensimmäisellä heitolla tulee 3, 4 tai 5 ' B = 'ensimmäisellä heitolla tulee 1, 2 tai 3 ' C = ' summa on 5 '. Mitkä tapahtumista ovat pareittain riippumattomia? Entä ovatko kaikki kolme riippumattomia? 36. Olkoon P (A) > 0 ja P (B) > 0. Osoita, että a) A ja B eivät voi olla erillisiä, jos ne ovat riippumattomia b) A ja B eivät voi olla riippumattomia, jos ne ovat erillisiä 37. Laite ja sen kanssa samanlaiset varalaitteet pysyvät ehjinä todennäköisyydellä 0.8. Varalaite käynnistyy varsinaisen laitteen rikkoonnuttua, varalaitteella on oma varalaitteensa jne. Järjestelmän tulisi toimia 99.9%:n todennäköisyydellä. Kuinka monta varalaitetta pitää olla, kun eri laitteiden vioittumiset ovat toisistaan riippumattomia tapahtumia. Oikea vastaus: 4 varalaitetta, siis yhteensä 5 laitetta. 4
38. Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia ja yhtä todennäköisiä. Mitä on P (A), kun a) P (A B) = 0.25 b) P (A B) = 0.36 c) P (A B) = P (A B). Oikea vastaus: a) 0.50, b) 0.20, c) 0 tai 1 39. P (A) = 0.40 ja P (A B) = 0.60. Mitä on P (A B), kun a) A ja B ovat erillisiä b) A ja B ovat riippumattomia Oikea vastaus: a) 0.40, b) 0.27 40. Osoita: Jos A ja B ovat saman otosavaruuden riippumattomia tapahtumia, niin A ja B ovat myös riippumattomia. 41. Tiedetään, että P (A) = 0.60, P (B A) = 0.40 ja P (B A) = 0.50. a) Laske P (A B). b) Voivatko A ja B olla riippumattomia tapahtumia? Oikea vastaus: a) 0.80, b) eivät ole 42. Jos laitteen kaksi samanlaista, toisistaan riippumatonta komponenttia A ja B ovat molemmat viallisia, laite ei toimi. Jos ainakin toinen on ehjä, laite toimii normaalisti. On todettu, että 5% uusista laitteista ei toimi johtuen juuri viallisista komponenteista A ja B. Tärkeälle asiakkaalle halutaan toimittaa vain sellaisia laitteita, jossa molemmat komponentit A ja B ovat ehjiä. Kuinka monta tällaista laitetta keskimäärin löytyy 1000 kpl laite-erästä? Oikea vastaus: 603. 2.1 Empiirisen otoksen kuvailua 43. Noppaa heitettiin 20 kertaa, jolloin saatiin tulokset: 1 3 3 4 6 2 2 2 4 5 4 5 5 1 3 1 1 6 2 5. Laske havaintojen keskiarvo ja keskihajonta. Muodosta frekvenssitaulukko, jossa on eri arvojen frekvenssit ja summafrekvenssit, sekä tavalliset että suhteelliset. Piirrä histogrammi. 44. Osoita varianssille laskukaava: ( n ) s 2 = 1 x 2 i nx 2 n 1 2.2 Diskreetin satunnaismuuttujan jakauma i=1 45. Heitetään kahta noppaa. Satunnaismuuttuja x on pienempi tuloksista. Jos noppien tulokset ovat samat, x on saa tämän yhteisen arvon. Määritä satunnaismuuttujan tiheysfunktio. Piirrä tiheys- ja kertymäfunktioiden kuvaajat. 46. 10 tuotteen joukossa on 3 viallista tuotetta. Valitaan palauttamatta näistä 10 tuotteesta 5 tuotetta ja olkoon x='viallisten lukumäärä'. Määritä otosavaruus ja laske pistetodennäköisyydet jokaiselle otosavaruuden alkeistapaukselle. 47. Diskreetin satunnaismuuttujan x otosavaruus ja tiheysfunktio ovat f(x) = c, x Ω = {1, 2, 3, 4, 5} x a) Määritä vakio c b) Laske todennäköisyys P (x 3 x > 1) Oikea vastaus: b) 50/77=0.649 48. Tiedetään, että satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on muotoa f(x) = c, kun x = 1, 2,... x2 missä c on tietty vakio. a) Määrää vakio c. b) Mitä on P (x 3)? c) Mitä on P (x > 2)? Vihje: i=1 1 = π2 i 2 6 Oikea vastaus: b) 0.827, c) 0.240 5
49. Pelissä on 5 A-korttia, 3 B-korttia ja 2 C-korttia, yhteensä 10 korttia. A-kortilla voittaa 10 pistettä, B-kortilla 50 pistettä ja C-kortti on rosvokortti, jolla menettää kaikki siihen mennessä saadut pisteet. Pelissä valitaan yksitellen palauttamatta satunnaisesti kaksi korttia ja lasketaan pisteet korttien valintajärjestyksessä. Olkoon x='kokonaispistemäärä'. Mikä on x:n otosavaruus ja tiheysfunktio f(x). Ilmoita f(x) luettelemalla kaikkien alkeistapausten pistetodennäköisyydet. 2.3 Jatkuvan satunnaismuuttujan jakauma 50. Tarkastellaan funktiota f(x) = kx välillä x [2, 4]. a) Millä k:n arvolla f(x) on jatkuvan satunnaismuuttujan x tiheysfunktio? b) Laske P (2 x 3). c) Laske P (x = 2.5) d) Laske P (2.45 x < 2.55). 51. Elektronisen komponentin kestoikä t (vuosissa) noudattaa eksponenttijakaumaa Exp(3), jonka tiheysfunktio on f(t) = 3e 3t, kun t 0. Laske todennäköisyys, että komponentti kestää a) enintään kolme kuukautta b) vähintään vuoden. Oikea vastaus: a) 0.528, b) 0.050 52. Olkoon komponentin elinaika t eksponentiaalisesti jakautunut, t Exp(λ) tiheysfunktionaan f(t) = λe λt, t 0. Osoita, että komponentilla on unohtuvaisuusominaisuus: 53. Ilmoita kertymäfunktion F (x) avulla todennäköisyydet P (x 5), P (x < 3), P (x = 2), P (x 2), P (x > 2.5), P (2.5 < x 5.5), kun satunnaismuuttuja x on a) diskreetti, Ω = {1, 2, 3,...} b) jatkuva, Ω = R 54. Cauchy-jakautuneen satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on f(x) = c 1 + x 2, kun < x < missä c on tietty vakio. a) Mikä on c? b) Laske P ( 1 x 1). Oikea vastaus: b) 1/2 55. Mikä on muuttujan x Tas(a, b) kertymäfunktio? Piirrä tiheys- ja kertymäfunktion kuvaajat. Jos x Tas(1, 4), niin laske kertymäfunktion avulla todennäköisyydet P (x < 3), P (x > 1.5), P (2 < x < 6). 56. Jatkuvan satunnaismuuttujan x kertymäfunktio on 0, kun y < a F (y) = P (x y) = 1 10 (y2 + y 2), kun a y b 1, kun y > b Määritä a) x:n otosavaruus Ω = [ a, b ], b) x:n tiheysfunktio f(x) P (t > t 1 + t 2 t > t 1 ) = P (t > t 2 ) eli jos komponentti on pysynyt ehjänä ajan t 1, niin todennäköisyys että se pysyy ehjänä vielä ainakin ajan t 2 on sama kuin käyttämättömällä komponentilla. 6
57. Olkoon tutkimuskohteena lentokentälle saapumisen ja lentokoneeseen astumisen välinen odotusaika. Valittiin 200 matkustajan otos ja saatiin oheinen luokiteltu frekvenssijakauma. aika (min) frekvenssi 0-30 0 31-40 60 41-50 52 51-60 38 61-70 28 71-80 15 81-90 7 91-0 Kuvaillaan odotusaikaa jatkuvalla satunnaismuuttujalla t. Frekvensseistä saadaan aikavälien todennäköisyydet, jotka välillä 30 90 min. pienenevät likimain lineaarisesti. Sopiva t:n tiheysfunktio on siis muotoa f(t) = a + bt, kun 30 t 90 (ja = 0 muulloin) a) Määrää odotusajan t tiheysfunktio ja kertymäfunktio. Laske b) P (t 60), c) P (40 t 60) ja d) P (t > 60). Oikea vastaus: b) 3/4, c) 4/9, d) 1/4 58. Jatkuvan satunnaismuuttujan x tiheysfunktio f(x) on välillä [ 2, 2] alla olevan kolmion muotoinen ja muualla f(x) = 0. a) Määritä tiheysfunktio. b) Millä a:n arvolla on P (x a) = 1 4? -2 0 2 Oikea vastaus: b) 2 2. 59. Jatkuvan satunnaismuuttujan x mediaani M d(x) on luku, joka toteuttaa ehdon P (x Md(x)) = 1 2. Laske Md(x), kun Oikea vastaus: ln(2) λ x Exp(λ), f(x) = λe λx, x > 0, λ > 0 60. Mikä on jatkuvan satunnaismuuttujan x mediaani M d(x) (mediaanin määritelmä, ks. edellinen tehtävä), kun x:n kertymäfunktio on 0, kun y < a F (y) = P (x y) = y 2 + y 2, kun a y b 1, kun y > b Oikea vastaus: 11 1 2. Perustele myös, miksi 11 1 2 ei voi olla ratkaisu. 2.4 Odotusarvo, varianssi ja keskihajonta 61. Satunnaisen tikanheiton tuloksen tiheysfunktioksi on saatu aikaisemmissa harjoituksissa f(x) = 21 2x, x = 1, 2,..., 10 100 Laske odotusarvo ja varianssi. Oikea vastaus: E(x)=3.85 ja var(x)=5.5275 62. Satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on f(x) = 2 x 3, kun x 1 (ja = 0 muulloin, Pareton jakauma). Totea, että E(x) on olemassa, mutta var(x) ei. Oikea vastaus: E(x) = 2, var(x) =, ei siis (äärellisenä) olemassa 7
63. Eksponenttijakaumaa noudattavan satunnaismuuttujan t tiheysfunktio on f(t) = λe λt, kun t 0 Parametri λ > 0. Laske satunnaismuuttujan odotusarvo. Vihje. Osittaisintegrointi ja l'hospitalin sääntö Oikea vastaus: E(t) = 1/λ 64. Tietokilpailussa on kaksi kysymystä A ja B, joihin oikein vastaamalla saa 200 e (kysymys A) ja 100 e (B). Vastaaja saa päättää, kumpi kysymys esitetään ensin ja hän saa yrittää vastata toiseen kysymykseen vain, jos ensimmäinen vastaus oli oikein. Vastaaja kokee osaavansa kysymyksen A todennäköisyydellä 0.60 ja kysymyksen B todennäköisyydellä 0.80. Vastaukset ovat riippumattomia. Kumpi kysymys kannattaa valita ensin? Laske voittosumman odotusarvo tapauksessa a) vastaaja yrittää ensin kysymystä A b) vastaaja yrittää ensin kysymystä B Oikea vastaus: a) 168 e, b) 176 e 65. Satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on f(x) = 3 x 4, kun x 1 (ja = 0 muulloin). Laske a) E(x) ja b) var(x). Oikea vastaus: a) 3/2, b) 3/4 66. Osoita, että satunnaismuuttujan x Tas(a, b) odotusarvo ja varianssi ovat E(x) = a + b (b a)2 ja var(x) = 2 12 67. Kulhossa on 3 mustaa ja 2 valkoista palloa. Henkilö valitsee palloja yksitellen palauttamatta niitä takaisin, kunnes saa ensimmäisen valkoisen pallon. Olkoon x=nostettujen pallojen lukumäärä. a) Mikä on x:n otosavaruus ja tiheysfunktio f(x)? b) Laske E(x) ja var(x). Oikea vastaus: E(x)=2 ja var(x)=1. 68. Satunnaismuuttujan x otosavaruus Ω = {0, 1, 2} ja todennäköisyydet ovat P (x = 0) = 0.5, P (x = 1) = 0.3 ja P (x = 2) = 0.2. Suoritetaan kaksi satunnaismuuttujan x riippumatonta koetta x 1, x 2 ja muodostetaan uusi satunnaismuuttuja y = x 1 + x 2. a) Laske P (y = 2). b) Laske E(y). c) Piirrä y:n kertymäfunktion F (y) kuvaaja. Laita kuvaajan akseleille kaikki kuvaajan kannalta oleelliset numeroarvot. Oikea vastaus: a) 0.29, b) 1.40 2.5 Satunnaismuuttujan funktion odotusarvo 69. Jatkuvan satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on f(x) = 3 16 x2 + 3 4, kun 0 x 2 (ja = 0 muulloin). a) Laske E(x) b) Olkoon x neliön sivun pituus. Mikä on neliön pinta-alan odotusarvo? c) Määritä kertymäfunktio määrittelyjoukkonaan koko R. Oikea vastaus: a) 3/4, b) 4/5 70. Satunnaismuuttujalle x E(x) = µ ja var(x) = σ 2. Esitä E(ax 2 + bx + c) lukujen µ, σ ja a, b, c R avulla. Oikea vastaus: aσ 2 + aµ 2 + bµ + c 71. Osoita, että satunnaismuuttujan x odotusarvolla on ominaisuus E(ag(x) + bh(x)) = ae(g(x)) + be(h(x)) 8
72. Tehtävässä 57 saatiin lentokentälle saapumisen ja koneeseen astumisen väliselle odotusajalle t (min) tiheysfunktio f(t) = 1 20 t, kun 30 t 90 1800 Laske odotusajan a) odotusarvo, b) varianssi ja c) keskihajonta. Oikea vastaus: a) 50, b) 200, c) 14.14 73. Osoita, että diskreetille tasaisesti jakautuneelle satunnaismuuttujalle x Tasd(1, n) E(x) = n + 1 2 Vihjeitä: var(x) = E(x 2 ) [E(x)] 2, n k = k=1 n(n + 1), 2 ja var(x) = n2 1 12 n k 2 = k=1 n(n + 1)(2n + 1) 6 74. Osoita: Jos jatkuvan satunnaismuuttujan x tiheysfunktio f(x) on symmetrinen suoran x = a suhteen, niin E(x) = a. Vihje: Tutki ensin satunnaismuuttujaa y = x a, jonka tiheysfunktio on symmetrinen suoran y = 0 suhteen, ts. f( y) = f(y). Integroi paloittain ja käytä toisessa integraalissa sijoitusta z = y. 2.6 Tsebysevin epäyhtälö 75. Tuotteen kestoikä t (vuosissa) on satunnaismuuttuja, jonka odotusarvoksi oletetaan 4.8 ja varianssiksi 0.32. a) Määrää alaraja todennäköisyydelle, että tuote pysyy ehjänä ainakin kolme vuotta. b) Entä jos voidaan olettaa, että t:n jakauma on symmetrinen odotusarvon suhteen? Oikea vastaus: a) 0.901, b) 0.951. 76. Tulitikkurasiassa on keskimäärin 45 tulitikkua varianssin ollessa 5. Arvioi Tsebyshevin epäyhtälön avulla todennäköisyyttä, että satunnaisesti valitussa rasiassa on vähintään 41 mutta enintään 49 tulitikkua. Oikea vastaus: P 0.8. 77. Olkoon satunnaismuuttuja x Tas(1, 5). a) Laske todennäköisyys P ( x µ < 1.6σ). b) Laske Tsebyshevin epäyhtälön antama arvio Oikea vastaus: a) 0.924, b) P 0.609. 2.7 Momentit generoiva funktio 78. Diskreetin satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on f(x) = 1, kun x = 1, 2,... 2x a) Osoita että x:n momentit generoiva funktio M(t) = et 2 e t. b) Määrää x:n odotusarvo ja varianssi. Oikea vastaus: b) E(x) = 2, var(x) = 2. 79. Ns. χ 2 -jakaumaa ('khii toiseen'- jakauma) noudattavan satunnaismuuttujan x momentit generoiva funktio on M(t) = (1 2t) n/2 a) Määrää tämän avulla satunnaismuuttujan odotusarvo ja varianssi. b) Määritä satunnaismuuttujan y = 3x + 2 momentit generoiva funktio Oikea vastaus: a) E(x) = n, var(x) = 2n. 9
2.8 Binomijakauma 80. Satunnaismuuttuja x Bin(20, 0.2). Laske P ( x µ σ). Oikea vastaus: 0.598 81. Lentoyhtiö tietää kokemuksesta, että 5% paikan varanneista matkustajista jää saapumatta. Siksi yhtiö myy 260 lippua koneeseen, johon mahtuu 255 matkustajaa. Millä todennäköisyydellä jokainen koneeseen saapuva saa paikan. Oikea vastaus: 0.997 82. Ampumahiihtäjän tauluunosumistodennäköisyys on p. Mikä on todennäköisyys, että viidestä laukauksesta ainakin 4 osuu tauluun? Oikea vastaus: 5p 4 4p 5 83. Oletetaan, että syntymäpäivät ovat jakautuneet tasaisesti vuoden eri päiville (365 päivää). Laske millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitun 200 hengen joukossa tänään on syntymäpäivä a) ei kenelläkään, b) vain 1 henkilöllä, c) 2 henkilöllä, d) yli 2 henkilöllä. Oikea vastaus: a) 0.578, b) 0.317, c) 0.087, d) 0.018 84. Diskreetin satunnaismuuttujan x tiheysfunktio ja otosavaruus Ω ovat f(x) = x2, x Ω = {1, 2, 3, 4} 30 Jos valitaan 10 toisistaan riippumatonta, tällaista jakaumaa noudattavaa lukua, niin millä todennäköisyydellä luvuista vähintään 3 on paritonta? Oikea vastaus: 0.701 85. a) Lentoyhtiöllä on 2- ja 4-moottorisia lentokoneita. Lentokone pystyy lentämään, jos ainakin puolet sen moottoreista toimii. Yksi moottori toimii todennäköisyydellä p = 0.60 ja moottorien toiminta on toisistaan riippumatonta. Kumpi konetyyppi lentää varmemmin? Perustele laskemalla molempien konetyyppien lentotodennäköisyydet. b) Jos yhden moottorin toimintatodennäköisyys olisi p = 0 tai p = 1, molemmat konetyypit olisivat toiminnaltaan yhtä varmoja. On olemassa myös muu arvo p, jolloin 2- ja 4-moottoriset koneet lentävät yhtä varmasti. Mikä on tämä arvo? Oikea vastaus: a) 2-moottorinen, todennäköisyydet 0.84 ja 0.82, b) 2/3 2.9 Poisson jakauma 86. Tietyllä alueella liikenneonnettomuustiheys on 0.02 onnettomuutta /neliökilometri/kuukausi. Millä todennäköisyydellä kyseiseltä alueelta valitulla 100 neliökilometrin suuruisella alalla kahden kuukauden aikana enintään kolme liikenneonnettomuutta? Oikea vastaus: 0.433 87. Arpajaisissa joka kymmenennellä arvalla voittaa 20 euroa. Arvan hinta on 2 euroa. Henkilö ostaa arpoja 100 eurolla. Millä todennäköisyydellä hänen ostamiensa arpojen voittosumma on vähintään 100 euroa. Laske Poisson-approksimaatiolla saatu arvo. Oikea vastaus: 0.560 88. Arvioi tehtävän 81 todennäköisyyttä korvaamalla poisjäävien lukumäärän jakauma sopivalla Poisson-jakaumalla. Oikea vastaus: 0.996 89. Satunnaismuuttuja x Poi(λ) a) Tiedetään, että tapahtumat {x = 0} ja {x = 1 tai x = 2} ovat yhtä todennäköiset. Mikä on parametrin λ arvo? b) Entä, jos tapahtumat {x = 0} ja {x > 0} ovat yhtä todennäköiset? Oikea vastaus: a) 3 1 = 0.732, b) ln(2 ) = 0.693 10
90. Todennäköisyys osua maaliin yhdellä laukauksella on 0.02. Laske todennäköisyys, että 100 laukauksella osutaan maaliin ainakin kolme kertaa. Laske tarkka arvo ja Poisson-approksimaatiolla saatu likiarvo. Osumiset ovat toisistaan riippumattomia. Oikea vastaus: 0.323 molemmissa tapauksissa 91. Osoita että x=0 λ x x! e λ = 1. Vihje : e t = 92. Tekstiin tulee satunnaisesti painovirheitä, keskimäärin 30 tunnissa. Mikä on todennäköisyys sille, että tietyllä 6 minuutin aikavälillä a) ei tule yhtään painovirhettä, (b) tulee ainakin 2 painovirhettä. Oikea vastaus: a) 0.0498, b) 0.801 93. Osoita käyttäen satunnaismuuttujan x Poi(λ) momentit generoivaa funktiota M(t) = e λ e λet että E(x) = λ ja var(x) = λ. 2.10 Normaalijakauma 94. Tehtaan valmistamien tiivisterenkaiden sisähalkaisija x (mm) on jakautunut normaalisti x N(12.70, 0.13 2 ). Tuote katsotaan vialliseksi, jos se on toleranssirajojen 12.50 mm ja 12.90 mm ulkopuolella. Montako % tehtaan tuotteista on viallisia? Oikea vastaus: 12.4% 95. Laitteen kestoikä x on normaalijakautunut satunnaismuuttuja. Laitetta on tyyppiä A ja B. Tyypin A kestoiän odotusarvo 27 kk ja tyypin B 30 kk. Toisaalta A-tyypin kestoiän keskihajonta on 5 kk ja B-tyypin 2 kk. a) Kumpaa tyyppiä kannattaa käyttää, jos laitetta pitäisi voida käyttää vähintään 30 kk? b) Entäs jos sitä pitäisi voida käyttää vähintään 36 kk? x=0 t x x! Normaalijakauman N(0,1) kertymäfunktion arvoja Φ(x)=P(z x) x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 11
96. Tuote hylätään, jos eräs siitä mitattava normaalijakautunut testisuure ei osu välille [9.0, 11.0]. Ylärajalta hylättyjä tuotteita on 1.4% ja alarajalta hylättyjä 2.1%. Mikä on silloin testisuureen odotusarvo µ ja varianssi σ 2? Oikea vastaus: µ =9.960, σ 2 =0.224 97. Pallon säde r N(2.0, 0.01). Mikä on pallon pinta-alan (= 4πr 2 ) odotusarvo? Oikea vastaus: 50.39 98. Viisasten kerhoon pääseen jäseneksi, jos älykkyysosamäärä on korkeampi kuin 98 prosentilla ihmisistä. Mikä älykkyysosamäärä jäseniltä vähintään vaaditaan, kun älykkyyden jakaumaksi oletetaan N(100, 16 2 )? Oikea vastaus: 133 99. Olkoon x N(0.800, 0.30 2 ). a) Laske P ( x µ < 2σ) b) Minkä arvion Tsebyshevin epäyhtälö antaa todennäköisyydelle? Oikea vastaus: a) 0.954, b) P 0.75 100. Laske P (1 x E(x) < 2), kun a) x Tas(0, 3), b) x Poi(2), c) x N( 2, 9). Oikea vastaus: a) 0.167, b) 0.180, c) 0.119 3.1 Diskreetin satunnaisvektorin jakauma 101. a) Määritä vakio c siten, että funktio f(x, y) = c(x + y) on satunnaisvektorin x = (x, y) tiheysfunktio, kun tiedetään, että x:n otosavaruus on Ω = {(0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2)}. b) Laske todennäköisyydet tapahtumille A = {(x, y) 0 < y x} ja B = {(x, y) x = 1} 102. Laatikossa on 3 uutta, 2 käytettyä ehjää ja 3 rikkinäistä tuotetta. Valitaan satunnaisesti 4 tuotetta. Olkoon x="uusien lukumäärä" ja y="käytettyjen ehjien lukumäärä" tässä otoksessa. a) Mikä on satunnaisvektorin (x, y) tiheysfunktio? b) Laske todennäköisyys, että 4 tuotteen otoksessa on enintään 2 käyttökelpoista tuotetta. Oikea vastaus: b) 1/2 103. Rahapussissa on 4 kpl euron kolikoita, 2 kpl 50 sentin kolikoita ja 3 kpl vanhoja markkoja (tässä tehtävässä arvottomia). Otetaan satunnaisesti 3 kolikkoa. Merkitään x = eurojen lkm, y= 50 s kolikoiden lkm ja z=markkojen lkm tässä otoksessa. a) Millä todennäköisyydellä näiden 3 kolikon yhteenlaskettu arvo on vähintään 2 euroa. Miten kuvaisit tämän tapahtuman satunnaismuuttujien x, y, z avulla? b) Millä todennäköisyydellä 3 kolikon joukossa on markkoja vähintään yhtä monta kuin 50 sentin kolikoita. Miten kuvaisit tämän tapahtuman satunnaismuuttujien y, z avulla? Oikea vastaus: a) 19/42, b) 65/84 3.2 Jatkuvan satunnaisvektorin jakauma 104. Tarkastellaan funktiota f(x, y) = 1/x kolmiossa 0 < y < x < 1. a) Osoita, että f on satunnaisvektorin (x, y) yhteisjakauman tiheysfunktio. b) Laske P (x 0.5, y 0.25) c) Laske P (x > 0.5, y > 0.25) Oikea vastaus: b) 0.423, c) 0.327 105. a) Määritä vakio c siten, että funktio f(x, y) = cx, kun 0 < y < x < 1 on satunnaisvektorin (x, y) tiheysfunktio. b) Laske todennäköisyys P (x < 1/2, y < 3/4). Oikea vastaus: b) 1/8 12
106. Olkoon satunnaisvektorin x = (x 1, x 2 ) otosavaruus Ω = {x : x 1 [0, 1], x 2 > 0} ja tiheysfunktio on muotoa f(x 1, x 2 ) = cx 1 e x 2, kun x Ω a) Määritä c ja b) Laske P ( 1 2 < x 1 3 4, 1 < x 2 2 ). Oikea vastaus: b) 0.0727 107. Talossa on järjestelmä, joka asukkaiden poissa ollessa sytyttää ja sammuttaa valot satunnaisesti kerran tunnissa. Olkoon x aika, jolloin valot sytytetään ja y aika, jolloin ne sammutetaan. Ajat lasketaan joka tunnin alusta. Systeemi on suunniteltu niin, että (x, y) noudattaa jakaumaa, jonka tiheysfunktio on f(x, y) = 8xy, 0 < x < y < 1 a) Laske todennäköisyys, että valot syttyvät puolen tunnin kuluessa ja sammuvat sitten vartin sisällä. b) Millä todennäköisyydellä valot palavat yhdellä kertaa ainakin puoli tuntia? Oikea vastaus: a) 0.115, b) 0.146 3.3 Marginaalijakaumat 108. Olkoon satunnaisvektorin x = (x 1, x 2 ) otosavaruus Ω = {x : x 1 [0, 1], x 2 > 0} ja tiheysfunktio on muotoa f(x 1, x 2 ) = 2x 1 e x 2, kun x Ω a) Määrää satunnaisvektorin komponenttien marginaalijakaumien tiheysfunktiot. Laske b) P ( 1 2 < x 1 1 ) c) P (x 2 2) Oikea vastaus: b) 0.750, c) 0.135 109. Tarkastellaan satunnaisvektorin (x, y) tiheysfunktiota f(x, y) = 1/x kolmiossa 0 < y < x < 1. a) Muodosta marginaalijakaumien tiheysfunktiot. Laske b) P (x 0.5) c) P (y 0.25) Oikea vastaus: b) 0.50, c) 0.597 110. Diskreetti satunnaisvektori (x, y) on tasaisesti jakautunut otosavaruuteensa Ω = {(x, y) x, y Z +, 3 < x + 2y 7}. Määrää marginaalijakaumien tiheysfunktiot. 111. Satunnaisvektorin x = (x, y) tiheysfunktio on f(x, y) = 3x, kun 0 < y < x < 1. a) Laske marginaalijakaumien tiheysfunktiot b) Laske odotusarvot E(x) ja E(y). Oikea vastaus: b) E(x)=3/4 ja E(y)=3/8 112. Satunnaisvektorin x = (x, y) tiheysfunktio on f(x, y) = 3x, kun 0 < y < x < 1. Laske ehdollinen todennäköisyys P (x 1 2 y 1 3 ) Vihje: tehtävä 111. Oikea vastaus: 0.964 3.4 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 113. Satunnaisvektorin x = (x, y) tiheysfunktio f(x, y) = 1 2 (x2 y + x 2 + y + 1), kun 0 x 1, 0 y 1 a) Ovatko satunnaismuuttujat x ja y riippumattomia? b) Laske P (x < y). Oikea vastaus: b) 0.492. 13
114. Satunnaisvektorin (x, y) tiheysfunktio on f(x, y) = x3 y 3, kun 0 x 2, 0 y 2 16 a) Määrää marginaalijakaumat. b) Ovatko satunnaismuuttujat x ja y riippumattomat? 115. Olkoon laitteen elinaika (vuosia) satunnaismuuttuja x 1 Exp(1) tiheysfunktionaan f(x 1 ) = e x 1. Jos laite rikkoontuu, käynnistyy varalaite, jonka elinaika x 2 noudattaa samaa jakaumaa, merkitään x 2 Exp(1). Laitteiden eliniät oletetaan toisistaan riippumattomiksi. Laske todennäköisyys, että järjestelmä toimii vähintään 2 vuotta, eli laske P (x 1 + x 2 2) Oikea vastaus: 0.406. 116. Bussi A tulee pysäkille aina 30 minuutin välein, bussi B 20 minuutin välein ja bussien saapumiset ovat toisistaan riippumattomia. Henkilö tulee satunnaisesti pysäkille. a) Millä todennäköisyydellä bussi A tai B (tai molemmat) saapuu 10 min. kuluessa b) Millä todennäköisyydellä bussi A tulee ennen B:tä? c) Bussilla A pääsee määränpäähän 10 minuutissa ja bussilla B 15 minuutissa. Millä todennäköisyydellä A:lla pääsee perille ennen B:tä. Oikea vastaus: a) 2/3, b) 1/3, c) 1/2 117. a) Osoita, että tehtävän 108 satunnaisvektorin komponentit ovat riippumattomia. b) Laske tehtävän 106 b)-kohta P ( 1 2 < x 1 3 4, 1 < x 2 2 ) käyttäen hyväksi tehtävän 108 tulosta ja riippumattomuutta. yhteisjakauma, kun oletetaan, että autojen valinnat perheissä ovat riippumattomia tapahtumia. 119. Matematiikan opettaja valitsee yhtälön x 2 + ax + b = 0 toisistaan riippumattomat kertoimet a ja b satunnaislukugeneraattorilla eli a Tas(0, 1) ja b Tas(0, 1). Hän valitsee 4 tällaista yhtälöä koetehtäviksi. Millä todennäköisyydellä ainakin kolmella näistä yhtälöistä on kompleksijuuret? Oikea vastaus: 0.963 120. Henkilö A saapuu lounaalle satunnaisesti jollakin hetkellä klo 11.00-13.00 eli saapumisaika = x Tas(11, 13). Hänen lounaansa kestoaika tunneissa = y noudattaa jakaumaa, jonka tiheysfunktio [ 1 f(y) = 6y, y 3, 2 ] 3 Henkilö B puolestaan saapuu lounaalle aina klo 12.00 ja syö lounasta aina 1 2 tuntia. Millä todennäköisyydellä A ja B kohtaavat lounaalla? x ja y oletetaan riippumattomiksi. Oikea vastaus: 0.509. 3.5 Satunnaismuuttujien funktion odotusarvo 121. Olkoot muuttujat x i N(µ i, σi 2 ), i = 1, 2 riippumattomia. Mitä on E(x 1 x 2 2 )? 122. Satunnaismuuttujat x ja y ovat riippumattomia. Osoita, että tulon varianssille on voimassa var(xy) = E(x 2 )E(y 2 ) (E(x)E(y)) 2 118. Tietyn alueen perheistä 15%:lla ei ole autoa, 50%:lla on yksi auto ja 35%:lla on kaksi autoa. Autoista 40% on diesel-autoja ja 60% on bensamoottoriautoja. Olkoon x='diesel-autojen lukumäärä perheessä' ja y='bensa-autojen lukumäärä perheessä'. Muodosta satunnaisvektorin (x, y) 14
123. Satunnaismuuttujat x ja y ovat riippumattomia ja E(x) = 1, E(y) = 2, var(x) = 4 ja var(y) = 9. Laske satunnaismuuttujan z = (2x + 1)(y 2) odotusarvo ja varianssi. Vihje: edellinen tehtävä. Oikea vastaus: E(z)=0 ja var(z)=225 124. Tehtävässä 107 oli valojärjestelmän syttymisajan x ja sammumisajan y yhteisjakauman tiheysfunktio f(x, y) = 8xy, 0 < x < y < 1 Laske kuinka kauan valot keskimäärin ovat päällä yhden tunnin aikana. Oikea vastaus: 16 min. 3.6 Riippumattomien satunnaismuuttujien summa 125. Satunnaismuuttujat x N(1, 4), y N(1, 4) ja z N(3, 7) ovat riippumattomia. a) Miten on jakautunut w = z 1 2 (x + y)? b) Laske P (w > 0). Oikea vastaus: b) 0.749 126. Todista: Jos riippumattomat satunnaismuuttujat x 1 Poi(λ 1 ) ja x 2 Poi(λ 2 ) niin x 1 + x 2 Poi(λ 1 + λ 2 ). 127. a) Pakkauksen painoksi on ilmoitettu 100 g ja tutkittaessa pakkauksia on painon x jakaumaksi todettu N(102, 1). Alle 100 g:n painoiset pakkaukset hylätään jo tuotannossa. Kuinka monta prosenttia pakkauksista hylätään? b) Hävikin pienentämiseksi kaksi a)-kohdan pakkausta yhdistetään tuplapakkaukseksi, jonka painoksi ilmoitetaan 200 g. Kuinka monta prosenttia tuplapakkauksista hylätään eli mikä osuus näistä pakkauksista on alle 200 g painoisia? Eri pakkausten painot ovat riippumattomia. Oikea vastaus: a) 2.3%, b) 0.23% 128. Tehtaan valmistamien akselitappien ja näitä vastaavien holkkien halkaisijat D a ja D h ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka ovat jakautuneet normaalisti D a N(1.269 cm, 0.581 10 6 cm 2 ), D h N(1.271 cm, 1.003 10 6 cm 2 ) Otetaan satunnaisesti akseli ja holkki. Millä todennäköisyydellä akseli mahtuu holkkiin? Vihje: Tarkastele muuttujaa D = D h D a. Oikea vastaus: 0.944 129. Tehdas valmistaa sähkövastuksia kytkemällä sarjaan kaksi osavastusta. Toinen otetaan valmiste-erästä, joka on normaalinen N(150Ω, 9Ω 2 ) ja toinen erästä, joka on normaalinen N(200Ω, 16Ω 2 ), mittaustarkkuus on 1Ω. Tuote katsotaan kelvolliseksi, jos sen kokonaisvastus (osavastusten summa) on välillä [340Ω, 360Ω], muutoin vialliseksi. Montako viallista vastusta on odotettavissa 200 kappaleen näyte-erässä. Oikea vastaus: 7 3.7 Kovarianssi, korrelaatio, summan varianssi 130. Monisteen esimerkissä 3.5.2 laskettiin satunnaisvektorille x = (x 1, x 2 ) tiheysfunktionaan f(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2, kun 0 < x 1 < 1, 0 < x 2 < 1 odotusarvot E(x 1 ) = E(x 2 ) = 7 12 ja E(x 1x 2 ) = 1 3. Marginaalijakaumien tiheysfunktoiksi saatiin f 1 (x 1 ) = x 1 + 1 2 ja f 2(x 2 ) = x 2 + 1 2. Laske satunnaisvektorin komponenttien a) kovarianssi, b) korrelaatio. Oikea vastaus: a) -0.00694, b) -0.0909 15
131. Diskreetti satunnaisvektori x = (x, y) on tasaisesti jakautunut otosavaruuteen Ω = {(4, 2), (1, 1), (1, 1), (4, 2)}. a) Laske cov(x, y) b) Ovatko x ja y riippumattomia? Oikea vastaus: cov(x,y)=0 132. Satunnaisvektorin x = (x, y) tiheysfunktio on f(x, y) = 3x, kun 0 < y < x < 1. Laske a) cov(x, y) ja b) corr(x, y). c) Ovatko x ja y riippumattomia? Tehtävässä 111 on jo laskettu odotusarvot E(x), E(y) ja marginaalijakaumien tiheysfunktiot. Oikea vastaus: a) 0.0188, b) 0.397 133. Satunnaisvektorin (x, y) tiheysfunktio f(x, y) = 2, kun 0 x y 1. Laske a) cov(x, y) ja b) corr(x, y). c) Ovatko x ja y riippumattomia? Oikea vastaus: a) 1/36, b) 1/2 134. Jos riippumattomat satunnaismuuttujat y i Bin(1, p), niin satunnaismuuttuja x = y 1 + y 2 + + y n Bin(n, p). Käyttäen tätä tietoa osoita, että var(x) = np(1 p). Älä käytä todistuksessa lausetta 2.8.1. 135. Luvut a, b, c, d R ja a > 0, c > 0. Osoita, että. corr(ax + b, cy + d) = corr(x, y) 3.8 Otoskeskiarvon jakauma 136. On suoritettu 10 sadan heiton sarjaa kolikolla, jonka kruunutodennäköisyys p on tuntematon. Saatiin tulokset (kruunujen lukumäärä): 53, 57, 48, 64, 51, 44, 50, 50, 55, 57. Estimoi tulosten perusteella p:tä muodossa otoskeskiarvo ± keskiarvon keskivirhe. Oikea vastaus: 52.9 ± 1.8 137. Liuoksen ph:n määrittämiseksi suoritettiin ph-mittaus 10 kertaa: 7.56, 7.47, 7.52, 7.55, 7.54, 7.46, 7.50, 7.50, 7.55, 7.54. Määritä estimaatit ph:n odotusarvolle ja keskiarvon keskivirheelle. Oikea vastaus: 0.00123 ± 0.0111 138. Oletetaan, että TTY:n DI-opiskelijan älykkyysosamäärä noudattaa normaalijakaumaa N(112, 49). Erään koulun kurssilla mitattiin 25 opiskelijan ÄO ja saatiin otoskeskiarvoksi x = 109. Laske todennäköisyys, että TTY:n 25 henkilön kurssin ÄO:n keskiarvo olisi alle 109. Onko todennäköisesti kyse TTY:n kurssista vai ei? Oikea vastaus: todennäköisyys = 0.0162 139. Henkilö heittää satunnaisesti 5 tikkaa, heitot oletetaan toisistaan riippumattomiksi. Yhden tikan heiton tuloksen odotusarvoksi ja varianssiksi on laskettu tehtävässä 61 E(x) = 3.85 ja var(x) = 5.5275. Laske Tsebyshevin epäyhtälön avulla, mikä on yläraja todennäköisyydelle, että 5 tikan yhteistulos on ainakin 30 pistettä. Oikea vastaus: P 0.239 140. Olkoon x 1, x 2,..., x n otos satunnaismuuttujasta x, jonka odotusarvo on µ. Todista että n (x i x) 2 = i=1 n (x i µ) 2 n(x µ) 2 i=1 Vihje: (x i x) 2 = ((x i µ) (x µ)) 2 16
141. Satunnaismuuttujan x varianssi on σ 2. a) Määrää N 1 :n ja N 2 :n kappaleen riippumattomista otoksista laskettujen otoskeskiarvojen x 1 ja x 2 varianssit. b) Määrää näiden otoskeskiarvojen keskiarvon 1 2 (x 1 + x 2 ) varianssi. c) Määrää otoskeskiarvojen painotetun keskiarvon N 1 x 1 + N 2 x 2 N 1 + N 2 (1) varianssi. Huomaa että (1) on yhdistetyn otoksen (otoskoko N 1 + N 2 ) otoskeskiarvo. d) Osoita, että c)-kohdan varianssi on aina pienempi tai yhtäsuuri kuin b)-kohdan varianssi. 3.9 Keskeinen raja-arvolause 142. Viisisataa (riippumatonta) desimaalilukua pyöristetään lähimpään kokonaislukuun ja lasketaan yhteen. Olkoon pyöristysvirhe jakautunut tasaisesti välille [ 0.5, 0.5). Arvioi keskeistä raja-arvolausetta käyttäen (normaaliapproksimaatiolla) millä todennäköisyydellä saatu summa eroaa oikeasta summasta enemmän kuin 2. Oikea vastaus: 0.757 143. Noppaa heitetään 120 kertaa. Arvioi keskeistä raja-arvolausetta käyttäen (normaaliapproksimaatiolla) millä todennäköisyydellä saatu silmälukujen summa S on välillä [400, 450]. Oikea vastaus: 0.8029 tai jos lasketaan todennäköisyys, että summa on välillä [399.5, 450.5], niin oikea vastaus = 0.8127. 144. Olkoon x 1, x 2,..., x n otos muuttujasta x Tas(0, 1). a) Mikä on otoskeskiarvon x n = 1 n (x 1 + x 2 + + x n ) normaaliapproksimaatio? b) Mitä on P ( x 20 0.5 0.1)? Oikea vastaus: b) 0.879 145. Satunnaisen tikanheiton tuloksen x odotusarvoksi on tehtävässä 61 laskettu E(x) = 3.85 ja varianssiksi var(x) = 5.5275. Kun heitetään 30 heiton sarja, niin millä todennäköisyydellä sarjan keskiarvo on yli 5? Oikea vastaus: todennäköisyys = 0.0037 146. Tehtaan tuotteista on 5 % viallisia. Laske binomijakauman normaaliapproksimaatiota käyttäen todennäköisyys, että 800 kappaleen erässä on enintään 32 viallista. Oikea vastaus: 0.0968 147. Erään tuottajan munista on 10 % pilaantuneita. Mikä on todennäköisyys, että satunnaisesti valitun 200 munan erässä on korkeintaan 10 pilaantunutta? Oikea vastaus: 0.0091 148. Opettaja tietää kokemuksesta, että 40% tenttiin ilmoittautuneista opiskelijoista ei saavu paikalle. Tenttiin on ilmoittautunut 200 opiskelijaa. Laske kuinka suuri sali tarvitaan, että kaikki paikalle tulevat saavat 99% :n todennäköisyydellä istumapaikan. Oikea vastaus: 137 149. a) Tehtaan valmistamista tuotteista on 5 % viallisia. Siksi jokaiseen 4 tuotteen pakkaukseen lisätään yksi ylimääräinen tuote ja ostajalle luvataan, että hän saa palauttaa pakkauksen, jos pakkauksessa ei ole vähintään 4 ehjää tuotetta. Jos pakkauksessa on täsmälleen 4 ehjää tuotetta, tehdas saa voittoa 4 e. Jos pakkauksessa on 5 ehjää tuotetta, tehtaan voitto on 3 e. Jos pakkaus palautetaan (alle 4 ehjää tuotetta), tehtaan voitto on 1 e (palautuskulut). Mikä on voiton odotusarvo? b) Laske normaaliapproksimaatiota käyttäen todennäköisyys, että 1000 pakkauksen erästä 30 pakkausta tai enemmän palautetaan tehtaalle. Oikea vastaus: a) 3.11 e, b) 0.057 tai 0.058 17