Luku 14 Lineaaripiirit Lineaaripiireillä ymmärretään verkkoja, joiden jokaisessa haarassa jännite on verrannollinen virtaan, ts. Ohmin laki on voimassa. Lineaariset piirit voivat siis sisältää jännitelähteitä, vastuksia, keloja ja kondensaattoreita, mutta ei aktiivisia komponentteja kuten transistoreita. Kyseessä voi olla tasavirta- tai vaihtovirtapiri; kummassakin tapauksessa teoria on samanmuotoinen. Erona on ainoastaan se, että vaihtovirtapiireissä virrat ja jännitteet ovat kompleksisia suureita ja tasavirtapiirien resistanssia vastaa kompleksinen impedanssi. 14.1 Tasavirtapiirit ja Kirchhoffin lait R 1 haara I 1 I 3 liitos + - U a + silmukka R 2 I 2 - U b C Kuva 14.1: Liitoksen, haaran ja silmukan määrittely virtapiirissä. Kuvassa 14.1 on esimerkki tasavirtapiiristä. Piirissä voi olla haaroja, jotka yhtyvät toisiinsa liitoksissa. Lisäksi piiriin muodostuu silmukoita. Näitä termejä tarvitaan virtapiirien analyysissa. Haarat voivat sisältää jännitelähteitä ja vastuksia. Lineaaripiirien haaroissa kulkevat virrat ja haarojen päiden väliset jännitteet voidaan ratkaista käyttäen Kirchhoffin lakeja: c Tuomo Nygrén, 2010 163
164 LUKU 14. LINERIPIIRIT 1. Jokaiseen liitoskohtaan saapuvien virtojen summa on yhtä suuri kuin siitä lähtevien virtojen summa. 2. Jokaisessa piirin silmukassa potentiaalin muutosten summa on nolla. Kirchhoffin ensimmäinen laki sisältää varauksen säilymislain ja edellyttää, että liitoskohtaan ei kerry varausta. Toinen laki puolestan on suora seuraus sähkökentän konservatiivisuudesta: kuljettaessa pitkin suljettua tietä täytyy sähkökentän integraalin olla nolla, joten myös potentiaalin muutosten summan on oltava nolla. Kuljettaessa vastuksen yli virran suuntaan on potentiaalin muutos negatiivinen (potentiaali pienenee) ja kuljettaessa jännitelähteen negatiiviselta navalta positiiviselle on potentiaalin muutos positiivinen (potentiaali kasvaa). Virtapiirien analyysissa käytetään usein termiä vastuksen jännitehäviö. Tällä ymmärretään edellä esitetyn potentiaalin muutoksen vastalukua; jos siis virta kulkee vastuksen navalta navalle on jännitehäviö napojen ja potentiaalien erotus tässä järjestyksessä. Tämän termin avulla Kirchhoffin 2. laki muotoillaan usein sanomalla, että silmukan jännitelähteiden jänniteiden summan on olatava sama kun vastusten jännitehäviöiden summa. Kun sovelletaan Kirchoffin 1. lakia esimerkiksi kuvan 14.1 piirissä liitokseen, on I 2 = I 1 +I 3. Jos taas kuljetaan kuvan 14.1 piirissä ympäri silmukan C, ja virtojen suunnat ovat sellaiset kuin kuvaan on merkitty, on potentiaalin muutos valillä negatiivinen (jännitehäviö positiivinen), välillä C positiivinen (jännitehäviö negatiivinen) ja jännite välillä C positiivinen. Koska etukäteen ei aina tiedä, mihin suuntaan virta kussakin haarassa kulkee, on käytännöllistä valita positiivinen virran kulkusuunta kussakin haarassa. Tämä voidaan tehdä mielivaltaisesti; jos osoittautuu, että virta kulkeekin päinvastaiseen suuntaan, saadaan virtapiiriä ratkaistaessa tässä haarassa negatiivinen virta. Soveltamalla Kirchhoffin lakeja virtapiirin silmukoihin saadaan lineaarinen yhtälöryhmä, jonka ratkaisuna saadaan kaikissa haaroissa kulkevat virrat, kun resistanssit ja lähdejännitteet tunnetaan. Yhtälöiden lukumäärän täytyy olla sama kuin tuntemattomien lukumäärä ja lisäksi yhtälöiden on oltava lineaarisesti riippumattomia (ts. mikään yhtälöistä ei saa olla muiden yhtälöiden lineaarikombinaatio). Useimmiten on olemassa enemmän kuin yksi tapa soveltaa Krichhoffin lakeja tutkittavaan piiriin. Lakeja kannattaa soveltaa siten, että syntyvä yhtälöryhmä on mahdollisimman helppo ratkaista. Esimerkkinä Kirchhoffin lakien soveltamisesta tutkitaan Wheatstonen siltaa. Tämä on kytkentä, jota voidaan käyttää tuntemattoman vastuksen mittaamiseen tunnettujen vastusten avulla. Wheatstonen sillalla on ollut enemmän merkitystä aiemmin, kun esimerkiksi digitaalisia vastusmittareita ei vielä ollut olemassa. Oletetaan, että resistanssi R 1 on tuntematon ja resistanssit R 2, R 3 ja R 4 tunnetaan. Liitosten ja D välille on kytketty nollainstrumentti, joka voi olla esimerkiksi herkkä galvanometri. Sen avulla voidaan nähdä, kulkeeko haarassa D virtaa vai ei. Säätövastuksen R 3 avulla voidaan pisteiden ja D välinen jännite säätää nollaksi, jolloin virtaa ei kulje nollainstrumentin lävitse. Tällöin Kirchhoffin ensimmäisen lain nojalla haaroissa ja C kulkee sama virta I 1 ja haaroissa D ja DC vastavasti
14.1. TSVIRTPIIRIT J KIRCHHOFFIN LIT 165 I 1 R 1 R 3 C R 2 R 4 I 2 D + - U Kuva 14.2: Wheatstonen silta. sama virta I 2. Soveltamalla Kirchhoffin toista lakia silmukkaan UCU saadaan silloin I 1 R 1 + I 1 R 3 U = 0 (14.1) ja silmukkaan U CDU vastaavasti Jos valittaisiin silmukka CD saataisiin yhtälö I 2 R 2 + I 2 R 4 U = 0. (14.2) I 1 R 1 + I 1 R 3 I 2 R 4 I 2 R 2 = 0. (14.3) Tämä ei tuo mitään uutta informaatiota, sillä se saadaan myös vähentämällä (12.2) (14.1):stä. Yhtälöparista (14.1) ja (14.2 ) ratkaistut virrat ovat I 1 = U R 1 + R 3 (14.4) ja U I 2 =. (14.5) R 2 + R 4 Kun nollainstrumentin kautta ei kulje virtaa, on mistä I 1 R 3 = I 2 R 4 1 R 1 /R 3 + 1 = 1 R 2 /R 4 + 1 R 3 R 1 + R 3 = R 4 R 2 + R 4, (14.6) R 1 R 3 = R 2 R 4 R 1 = R 2 R 4 R 3. (14.7)
166 LUKU 14. LINERIPIIRIT Silta saadaan tasapainoon säätämällä resistanssin R 3 arvo sellaiseksi, että tasapainoyhtälö (14.7) on voimassa. Kun resistanssit R 2 ja R 4 tunnetaan, saadaan siis tuntematon resistanssi R 1 lasketuksi. 14.2 Kirchhoffin lait vaihtovirtapiireissä Vaihtovirtapiireissä käytetään kappaleessa 13 esitettyä kompleksilukuesitystä.toisin kuin tasavirtapiireissä, vaihtovirtapiirissä on käytössä normaalisti vain yksi jännitelähde, mikä helpottaa tilannetta. Jos jännitelähteitä olisi useampia, niiden vaihe-erot olisivat satunnaisia, eikä piirillä olisi käytännöllistä merkitystä. Kun piirissä on vain yksi jännitelähde, voidaan piiri usein mutta ei suinkaan aina ratkaista impedanssien sarjaan- ja rinnankytkentöjen avulla. Kirchhoffin lait ovat voimassa myös vaihtovirtapiireissä. Tämä tarkoittaa sitä, että jännitteiden ja virtojen vaihdellessa lakien on oltava voimassa jokaisella ajanhetkellä. Jokaiseen liitoskohtaan saapuvien virtojen summan täytyy olla joka hetki nollan suuruinen; jos näin ei olisi, liitoskohtaan kertyisi ainakin hetkellisesti varausta. Esimerkiksi kuvan 14.3 mukaisessa tilanteessa pisteeseen saapuu kolme virtaa, joille on voimassa I 1 + I 2 + I 3 = 0 (I 1 e iθ 1 + I 2 e iθ 2 + I 3 e iθ 3 )e iωt = 0. (14.8) Virrat voidaan esittää kuvan 14.3 mukaisesti kompleksitason vektoreina, joiden vektorisumma on nolla. jasta riippuvassa tilanteessa sähkökenttä jokaisessa silmukassa noudattaa Faradayn lakia E dl = dφ E dl + dφ = 0. (14.9) dt dt Tämä yhtälö tarkoittaa sitä, että Kirchhoffin toinen laki on voimassa jokaiselle silmukalle, eli jännitteiden summa pitkin suljettua tietä on aina nolla. Sähkökentän integraali pitää sisällään jännitelähteiden vaihtojännitteet, kondensaattorien jännitteet Im I 1 = I 1 e i! 1 e i"t I 2 = I 2 e i! 2 e i"t I 2 I 1 I 3 = I 3 e i! 3 e i"t Re I 1 + I 2 + I 3 = 0 I 3 Kuva 14.3: Liitokseen saapuvat ja siitä lähtevät vaihtovirrat.
14.3. IMPEDNSSIEN SRJN- J RINNNKYTKENNÄT 167 sekä jännitehäviöt vastuksissa. Magneettivuon aikaderivaatta taas sisältää kelojen itse- ja keskinäisinduktansseista aiheutuvat indusoituneet jännitteet. Käytännössä kondensaattorin jännite on virran ja kondensaattorin impedanssin tulo ja induktiojännite on virran ja kelan impedanssin tulo. Tämän vuoksi vaihtovirtapiiriä ratkaistaessa ei tarvitse lähteä liikkeelle yhtälöstä (14.9) ja soveltaa siihen kondensaattorin jänitteen tai kelan induktiojännitteen kaavoja. 14.3 Impedanssien sarjaan- ja rinnankytkennät Vaihtovirtojen ja -jännitteiden kompleksilukuesityksen etu on, että sen avulla vaihtovirtapiirit voidaan käsitellä matemaattisesti täsmälleen samalla tavalla kuin tasavirtapiirit. Tästä esimerkkeinä ovat impedanssien sarjaan- ja rinnankytkennät. Kuvassa 14.4 a impedanssien Z 1 ja Z 2 sarjaankytkentä on yhdistetty vaihtojännitteeseen U. Tällöin vaihtovirta I kulkee kummankin impedanssin lävitse, ja jännitehäviöt impedansseissa ovat U 1 = IZ 1 ja U 2 = IZ 2. (14.10) Kokonaisjännitteen täytyy olla näiden jännitteiden summa, eli U = U 1 + U 2 = IZ 1 + IZ 2 = I(Z 1 + Z 2 ) = IZ, (14.11) joten sarjaankytkentää vastaa impedanssi Z = Z 1 + Z 2. (14.12) Kuvassa 14.4 b impedanssien Z 1 ja Z 1 rinnankytkentä on yhdistetty vaihtojännitteeseen U. Silloin kummankin impedanssin jännitteen täytyy olla joka hetki yhtä suuri. Lisäksi joka hetki jännitelähteen syöttämän virran on oltava impedanssien läpi kulkevien virtojen summa. Siis U = I 1 Z 1 I 1 = U Z 1. (14.13) ja U = I 2 Z 2 I 2 = U Z 2. (14.14) a) b) I Z 1 U ~ ~ Z 2 I I 1 I 2 U Z 1 Z 2 Kuva 14.4: Kahden impedanssin sarjaan- ja rinnankytkentä.
168 LUKU 14. LINERIPIIRIT R R 2 1 L D C Kuva 14.5: Impdanssin laskeminen sarjaan- ja rinnankytkennän kaavojen avulla. Kokonaisvirta on joten I = I 1 + I 2 = ( 1 Z1 + 1 Z2 ) U = Z 1 + Z 2 Z 1 Z 2 U, (14.15) U = ZI = Z 1Z 2 Z 1 + Z 2 I Z = Z 1Z 2 Z 1 + Z 2. (14.16) Tulokset osoittavat, että kompleksisten impedanssien sarjaan- ja rinnankytkennät voidaan laskea kuten resistanssien sarjaan- ja rinnankytkennät tasavirroilla. Tämä etu saavutetaan vain siksi, että käytetään kompleksisia suureita, jolloin kompleksinen impedanssi pitää huolen virtojen ja jännitteiden välisestä vaihe-erosta. Koska yhtälön (14.23) perusteella rinnankytkennän impedanssin käänteisarvo on yhtä suuri kuin rinnan kytkettyjen impedanssien käänteisarvojen summa, on käytännöllistä määritellä admittanssi Y = 1 Z. (14.17) Tämä määrittely on analoginen konduktanssin määritelmän kanssa. Kuvassa 14.5 on esitetty esimerkki piiristä, jonka impedanssi voidaan laskea sarjaan- ja rinnankytkentöjen kaavojen avulla. Ilmeisesti välillä D olevan ylemmän haaran impedanssi on Z RL = R 2 + iωl (14.18) ja alemman haaran impedanssi on Z C = i ωc. (14.19) Nämä kaksi impedanssia on kytketty rinnakkain joten niiden yhteinen impedanssi on Z D = Z RLZ C Z RL + Z C = (R 2 + iωl)[i/(ωc)] R 2 + i[ωl 1/(ωC)] = R 2 + iωl 1 ω 2 LC + iωcr 2. (14.20) Kokonaisimpedanssi saadaan nyt sarjaankytkennän kaavan avulla ja se on Z D = R 1 + R 2 + iωl 1 ω 2 LC + iωcr 2. (14.21)
14.4. VIHTOVIRTSILLT 169 14.4 Vaihtovirtasillat Yleinen vaihtovirtasilta on esimerkki tilanteesta, jossa piiriä ei voi ratkaista pelkästään impedanssien sarjaan- ja rinnankytkennän avulla. Silta noudattaa samaa periaatetta kuin Wheatstonen silta; erona vain on, että eri haaroissa olevien vastusten tilalla on kompleksiset impedanssit. Mielivaltainen vaihtovirtasilta on esitetty kuvassa 14.6. Silta on tasapainossa (välille D kytketyn nollainstrumentin, esimerkiksi oskillospkoopin läpi ei kulje virtaa), jos impedanssien Z 1 ja Z 2 yli mitatut jännitteet U 1 ja U 2 ovat joka hetki yhtä suuret. Samoin on impedanssien Z 3 ja Z 4 yli mitattujen jännitteiden U 3 ja U 4 oltava yhtäsuuret. Tämä tarkoittaa sitä, että vaihtojännitteiden on oltava samassa vaiheessa ja niiden amplitudien on oltava samat. Siis kompleksisille jännitteille on oltava voimassa ehdot U 1 = U 2 ja U 3 = U 4. (14.22) Koska U 1 = Z 1 I 1, U 2 = Z 2 I 2, U 3 = Z 3 I 1 ja U 4 = Z 4 I 2, saadaan ehdot Z 1 I 1 = Z 2 I 2 ja Z 3 I 1 = Z 4 I 2. (14.23) Nämä voidaan jakaa puolittain (kompleksinen virta, jonka huippuarvo ei olle nolla, ei ole millään ajanhetkellä nolla). Tuloksena on vaihtovirtasillan tasapainoehto Z 1 Z 3 = Z 2 Z 4. (14.24) Koska tämä on kompleksinen yhtälö, on kummankin puolen normien ja vaiheiden oltava yhtä suuret. Näiden kahden ehdon toteuttamiseksi sillassa täytyy olla kaksi säädettävää komponenttia. Silta saadaan tasapainoon säätämällä näitä vuorotellen I 1 Z 1 Z 3 C Z 2 Z 4 I 2 D ~ U Kuva 14.6: Vaihtovirtasilta.
170 LUKU 14. LINERIPIIRIT R 1 R L R 3 R 2 C 4 C 2 ~ U Kuva 14.7: Owenin silta. siten, että jännite nollaistrumentin navoissa saa minimin. Nollainstrumentin jännite saadaan nollaksi riittävän monen säädön jälkeen. Sovelletaan tätä Owenin siltaan, joka on esitetty kuvassa 14.7. Tässä sillassa Z 1 = R 1 + R + iωl, Z 3 = R 3, Z 2 = R 2 + 1 iωc 2 ja Z 4 = 1 iωc 4, (14.25) joten tasapainoehto on R 1 + R + iωl = R 2 + 1/(iωC 2 ) R 3 1/(iωC 4 ) Yhtälön reaali- ja imaginaariosista saadaan tulokset = C 4 C 2 + iωc 4 R 2. (14.26) R = R 3C 4 C 2 R 1 ja L = C 4 R 2 R 3. (14.27) Siltaa voidaan siis käyttää tuntemattoman kelan induktanssin ja sisäisen resistanssin määrittämiseen. Owenin sillalla on seuraavia etuja: (i) Tasapainoehto ei riipu taajuudesta. Tämä tarkoittaa sitä, että mittaustuloksen tarkkuus pysyy samana, vaikka vaihtojännite ei olisikaan tarkalleen sinimuotoinen. (ii) Tasapaino saadaan syntymään kahden säätövastuksen avulla, joista toinen vaikutaa vain R:n lausekkeeseen ja toinen L:n lausekkeeseen. (iii) Silta soveltuu pienien induktanssien mittaamiseen. Jos L 100 µh, johtimien hajainduktansseja ei voi jättää huomiotta. Niiden vaikutus voidaan eliminoida toistamalla mittaus ilman kelaa. Jos tässä tapauksessa saadaan toisen säätövastuksen resistanssiksi R 2, vastaavat hajainduktanssit R 1 :n kanssa sarjassa olevaa induktanssia C 4 R 3 R 2. Näinollen tutkittavan kelan induktanssi on C 4 R 3 (R 2 R 2).