Kenttäteorian matemaattisia apuneuvoja 4..7. Gaussin ja Stokesin lauseet V S ds A = dl A = V S A dv, =, tai ) ds ) A ). Greenin kaavat I : II : 3. Diracin deltafunktio 4. Vektorilaskentaa V V ψ ξ dv + ψ ξ dv = V ψ ξ ξ ψ ) dv = V V ψ ξ ds 3) ψ ξ ξ ψ) ds 4) V f r )δ r r )dv = f r) 5) A B C) = A C) B A B) C 6) A B) C = A C) B B C) A 7) A B C) = A B) C 8) A B) C D) = A C) B D) A D) B C) 9) A = I = A ) ψξ) = ξ ψ + ψ ξ ) ψ A) = ψ A + ψ A ) ψ A) = ψ A + ψ A 3) A B) = B A) A B) 4) A B) = A ) B + B ) A + A B) + B A) 5) A B) = A B) B A) + B ) A A ) B 6) A A) = A ) A ) A 7) A B) = A) B + A B 8) A) = A) A 9) ψ = ) A = )
r = r r ) 5. Trigonometriaa r = = I 3) r = dim r 4) r =, r R 3 5) ) = 4πδ r r ) 6) r r sin x + cos x = 7) sinx) = sin x cos x 8) cosx) = cos x sin x 9) sinx ± y) = sinxcos y ± cosxsin y 3) cosx ± y) = cosxcos y sin x sin y 3) e ±ix = cosx ± i sin x 3) cos x = e ix + e ix) 33) sin x = e ix e ix) 34) i sinh x = e x e x) 35) cosh x = e x + e x) 36) 6. Integraaleja S V b b AdB = AB b a BdA 37) a a ψ A)dV = ψa) ds ψ AdV 38) V r r ) r r ds = Ω 3 S r ) avaruuskulma) 39) dx x = a + x ) 3 a 4) a + x dx = ln x + ) x a + x = arsin 4) a + x a) x n e x/a dx = n! a n+ 4) sin ax)dx = x sinax) 4a 43) cos ax)dx = x + sinax) 4a 44) V
7. Taylorin sarja f r) = f r + h) = n! r a) )n f r) r= a 45) ) n h f r) n! 46) n= n= 47) + ǫ) n = + nǫ + nn )ǫ! + nn )n )ǫ3 3! +..., n Z + taiǫ < 48) r r = = ) n r ) n n! r r ) n= r = 3 r r + x i r = x i= i r r ) r = 3 3 x i x j +..., r > r x i x j r r ) r 49) = i= j= 8. Konformisia kuvauksia Schwarzin transformaatio: dz df = C f a ) k...f an ) kn 5) Möbiuksen kuvaus: w = az + b, ad bc ) 5) cz + d 9. Käyräviivaiset koordinaatistot Sylinterikoordinaatisto ρ, ϕ, z): r = ρ e ρ + ϕ e ϕ + z e z dr = e ρ dρ + e ϕ ρ dϕ + e z dz dv = ρ dρ dϕ dz 5) Pallokoordinaatisto r, θ, ϕ): r = r e r +θ e θ +ϕ e ϕ dr = e r dr+ e θ r dθ+ e ϕ r sin θ dϕ dv = r sin θ dr dθ dϕ 53) Paikkakoordinaattien muunnokset: x = ρ cos ϕ = r sin θ cosϕ y = ρ sin ϕ = r sin θ sin ϕ z = z = r cosθ 54) x + y = ρ = r sin θ arctany/x) = ϕ = ϕ z = z = r cos θ 55)
x + y + z = ρ + z = r arctan x + y /z) = arctanρ/z) = θ arctany/x) = ϕ = ϕ 56) Yksikkövektorien muunnokset: 57) e x = cos ϕ e ρ sin ϕ e ϕ = sin θ cos ϕ e r + cos θ cosϕ e θ sin ϕ e ϕ e y = sin ϕ e ρ + cos ϕ e ϕ = sinθ sin ϕ e r + cos θ sin ϕ e θ cos ϕ e ϕ e z = e z = cos θ e r sin θ e θ cosϕ e x + sin ϕ e y = e ρ = sin θ e r + cos θ e θ sin ϕ e x + cos ϕ e y = e ϕ = e ϕ e z = e z = cos θ e r sin θ e θ 58) 59) sin θ cos ϕ e x + sinθ sin ϕ e y + cos θ e z = sinθ e ρ + cos θ e z = e r cos θ cos ϕ e x + cos θ sin ϕ e y sin θ e z = cos θ e ρ sin θ e z = e θ sin ϕ e x + cosϕ e y = e ϕ = e ϕ. Gradientti eri koordinaatistoissa. Karteesinen: Sylinteri: Pallo:. Divergenssi eri koordinaatistoissa. Karteesinen: Sylinteri: Pallo: V = ψ ψx,y,z) = e x x + e ψ y y + e ψ z z ψ ψρ,ϕ,z) = e ρ ρ + e ψ ϕ ρ ϕ + e ψ z z ψ ψr,θ,ϕ) = e r r + e ψ θ r θ + e ψ ϕ r sin θ ϕ V = V x x + V y y + V z z V = ρ ρ ρv ρ) + ρ V ϕ ϕ + V z z [ sin θ r sin θ r r V r ) + r θ sin θv θ) + r V ] ϕ ϕ 6) 6) 6) 63) 64) 65). Roottori eri koordinaatistoissa. Karteesinen: V = e x e y e z x y z V x V y V z 66)
Sylinteri: V = ρ e ρ ρ e ϕ e z ρ ϕ z V ρ ρv ϕ V z 67) Pallo: V = r sin θ e r r e θ r sin θ e ϕ r θ ϕ V r rv θ r sin θv ϕ 68) 3. Laplace eri koordinaatistoissa. Karteesinen: Sylinteri: Pallo: ψr,θ,ϕ) = ψx,y,z) = ψ x + ψ y + ψ z 69) ψρ,ϕ,z) = ρ ρ 4. Laplacen yhtälön yleisiä ratkaisuja Karteesinen: ρ ψ ) + ψ ρ ρ ϕ + ψ 7) z [ sin θ r ψ ) + sin θ ψ ) + ] ψ r sin θ r r θ θ sin θ ϕ V x,y,z) = A sin lx + B cos lx)c sin my + D cosmy)e sinh nz + F cosh nz)7) V x,y,z) = A sin lx + B cos lx)c sin my + D cosmy)ee nz + Fe nz ), 73) Sylinteri: missä n = l + m. V ρ,ϕ,z) = [AJ m λρ) + BN m λρ)][c sin mϕ + D cosmϕ][e sinh λz + F cosh λz] 74) Pallo: +[GI m λρ) + HK m λρ)][r sin mϕ + S cos mϕ][t sin λz + U cos λz] z-riippumaton tapaus napakoordinaatit) 7) V ρ,ϕ) = E + F ln ρ + Aρ n + Bρ n )C cos nϕ + D sin nϕ) 75) V r,θ,ϕ) = [Ar l + Br l+) ][C sin mϕ + D cos mϕ]pl m cos θ) 76) V r,θ,ϕ) = [Ar l + Br l+) ][Ce imϕ + De imϕ ]Pl m cos θ) 77) V r,θ,ϕ) = [A l,m r l + B l,m r l+) ]Yl m θ,ϕ) 78) ϕ-riippumaton tapaus: V r,θ) = [A l r l + B l r l+) ]P l cos θ) 79)
5. Sini- ja kosinifunktioiden ortogonaalisuus Seuraavissa kaavoissa n, m ja k ovat kokonaislukuja väliltä [, ]. kπ kπ kπ sin nx sin mx dx = cosnx cos mx dx = sin nx cos mx dx = { kπ 4,n = m,n m { kπ,n = m 4,n m n,k pariton ja n + m) pariton n m, k pariton ja n + m) parillinen,k parillinen 8) 8) 8) 6. Fourier-sarjat Fourier-sarja L-jaksollisille funktioille: missä fx) = a + a n cos nπx L + b n sin nπx ), 83) L n= a n = L b n = L L L L L fx) cos nπx L fx) sin nπx L dx, n =,,, 3,... 84) dx, n =,, 3,... 85) Fourier-kosinisarja L-jaksollisille parillisille funktioille: missä a n = L fx) = a + a n cos nπx L, 86) L fx) cos nπx L n= dx, n =,,, 3,... 87) Fourier-sinisarja L-jaksollisille parittomille funktioille: missä b n = L L fx) = n= fx) sin nπx L b n sin nπx L, 88) dx, n =,, 3,... 89)
ulotteinen Fourier sarja fx,y) = A nm = 4 ab 7. Legendren polynomit P n x) r r n,m= a b xt + t ) / = Legendren differentiaaliyhtälöt: Rekursiokaavoja: Ortogonaalisuus: Pariteetti: Arvoja: sin θ d dθ A nm sin nπx ) sin a mπy b ), 9) nπx ) mπy ) fx,y) sin sin dy dx 9) a b P n x) = ) n d x ) n 9) n n! dx = r > n= r< r > ) n P n cosγ), γ = r <, r > ) 93) ±) n P n x)t n 94) n= sin θ dp ncos θ) dθ ) + nn + )P n cos θ) = 95) x )P n x) xp nx) + nn + )P n x) = 96) n + )xp n x) = n + )P n+ x) + np n x), n =,, 3,... 97) P n+x) + P n x) = xp nx) + P n x), n =,, 3,... 98) P m x)p n x) dx = δ mn n + 99) P n x) = ) n P n x) ) P n cosθ) ) P n ) = ) P x) = 3) P x) = x 4) P x) = 3x ) 5) P 3 x) = 5x3 3x) 6) P 4 x) = 8 35x4 3x + 3) 7)
8. Legendren liittopolynomit P m n x) P m n x) = x ) m d m dx mp nx), m n 8) Legendren assosioidut differentiaaliyhtälöt: d sin θ dp ) ] n m cos θ) + [nn + ) m sin θ dθ dθ sin Pn m cos θ) = 9) θ x ) d dx Pm n x) x d ] dx P n m x) + [nn + ) m P m x n x) = ) Rekursiokaavoja: Ortogonaalisuus: Pn m x) = ) mn m)! n + m)! P n m x) ) n + )xpn m x) = n + m)pn x) m + n m + )Pn+ m ) P m+ n = mx x ) P m n [nn + ) mm )]P m n 3) π P m p x)p m q x) dx = P m p cos θ)p m q cosθ) sin θ dθ = q + m)! q + q m)! δ pq 4) q + m)! q + q m)! δ pq 5) Pariteetti: P m n x) = ) n+m P m n x) 6) Arvoja: P m n ±) =, m 7) P x) = x ) = sin θ 8) P x) = 3x x ) = 3 cosθ sin θ 9) P3 x) = 3 5x ) x ) 3 = 5 cos θ ) sin θ ) P3 x) = 5x x ) = 5 cosθ sin θ ) Legendren funktioiden kuvaajia on esitetty kokoelman lopussa kuvassa. 9. Palloharmoniset funktiot Y m n Y m n θ,ϕ) = ) m θ, ϕ) n + n m)! 4π n + m)! P n m cosθ)e imϕ, n m n )
Differentiaaliyhtälö: sin θ Y ) n m θ, ϕ) sin θ θ θ Ortogonaalisuus: + sin θ Yn m θ, ϕ) + nn + )Y m ϕ n θ,ϕ) = 3) π π ϕ= θ= Y m n θ,ϕ)y m n θ,ϕ) sin θ dθdϕ = δ n n δ m m 4) Yhteenlaskuteoreema: P n cos γ) = 4π n + n m= n missä γ on suuntien θ,ϕ ) ja θ,ϕ ) välinen kulma. Kompleksikonjugaatti: Arvoja: Y m n θ,ϕ )Y m n θ,ϕ ), 5) Yn m θ,ϕ) = ) m Yn m θ, ϕ) 6) Y θ,ϕ) = 7) 4π 3 Y θ,ϕ) = cos θ 8) 4π 3 θ, ϕ) = 8π sin θ e±iϕ 9) 5 3 Y θ,ϕ) = 4π cos θ ) 3) 5 θ, ϕ) = 4π 3 sin θ cos θ e±iϕ 3) Y ± Y ± Y ± θ, ϕ) =. Besselin funktiot J n x) ja Neumannin funktiot N n x) Besselin differentiaaliyhtälö: J n x) = s= e x t t ) = 5 96π 3 sin θ e ±iϕ 3) ) s x ) n+s 33) s!n + s)! n= J n x)t n 34) x J n x) + xj nx) + x n )J n x) = 35)
Differentiaaliyhtälön ratkaisuja ovat myös Neumannin funktiot N n x): N n x) = J nx) cosnπ) J n x) sinnπ) 36) Rekursiokaavoja: J n x) + J n+ x) = n x J nx) 37) J n x) J n+ x) = J nx) 38) d [ x n J n x) ] = x n J n+ x) dx 39) Myös Neumannin funktiot toteuttavat yo. rekursiokaavat. Ortogonaalisuus: a r ) J n ρ ni J n a ρ nj r a missä ρ ni on funktion J n i:s nollakohta. Sarjaesitykset: cos x = J x) + sin x = )r dr = a [J n+ρ ni )] δ ij, 4) ) k J k x) 4) k= ) k+ J k x) 4) k= Yhteenlaskukaava: J n x + x ) = J m x )J n m x ) 43) m= Muita kaavoja: J n x) 44) J n x) = ) n J n x) 45) Besselin funktioiden kuvaajia on esitetty kokoelman lopussa kuvassa.. Muita erikoisfunktioita Modifioidut Besselin funktiot I n x) ja K n x): I n x) = i n J n ix) 46) K n x) = πin+ H n ) ix) 47)
I n ja K n ratkaisevat differentiaaliyhtälön: x f + xf x + n )f = 48) Funktiot K n divergoivat pisteessä x =, ja funktiot I n divergoivat, kun x. Hankelin Funktiot H n x): Besselin pallofunktiot j l x) ja n l x): H n ) x) = J n x) + in n x) 49) H n ) x) = J n x) in n x) 5) j l x) = n l x) = π x J l+ x) 5) π x N l+ x) 5) j l ja n l ratkaisevat differentiaaliyhtälön: d r d r dr dr ) f + [ ] ll ) f = 53) r
3.8.5.6.4...4.6.5.5.5 P.8 P P 3 P 4.5.5 P P P.5.5.5 Kuva : Legendren polynomien kuvaajia. J J N N.5 J.5 N.5.5 4 6 8 4 6 8 5 5 I K 4 I 4 K I K 3 3 3 3 Kuva : Besselin funktioiden kuvaajia.