Luennot 19.09.-21.09. 1 / 42
Määritelmä (1/3) Määritelmä (2/3) Määritelmä (3/3) 2 / 42
Määritelmä (1/3) Määritelmä (1/3) Määritelmä (2/3) Määritelmä (3/3) Tason pisteen P sijainti voidaan karteesisten xy-koordinaattien asemesta kertoa antamalla sen etäisyys r origosta, sekä origosta ko. pisteeseen suuntautuvan vektorin suuntakulma φ. y PSfrag replacements. φ r x 3 / 42
Määritelmä (2/3) Määritelmä (1/3) Määritelmä (2/3) Määritelmä (3/3) Lukuja r ja φ kutsutaan pisteen napakoordinaateiksi. Jos pisteen napakoordinaatit r, φ tunnetaan, sen karteesiset koordinaatit saadaan kaavoista x = r cos φ, y = r sin φ. Jos taas tunnetaan pisteen karteesiset koordinaatit, sen napakoordinaatit saadaan yhtälöistä r = x 2 + y 2, tan φ = y/x. 4 / 42
Määritelmä (3/3) Määritelmä (1/3) Määritelmä (2/3) Määritelmä (3/3) Tässä on huomattava, että tangentin arvo jättää suuntakulmalle epämääräisyyden, joka on π:n kokonaislukumonikerta. Pisteen neljännes havainnoimalla suuntakulma määräytyy luvun 2π monikertaa vaille, mutta +n 2π-epämääräisyyttä ei voi välttää (ja näyttelee isoa roolia myöhemmillä kursseilla). Usein vaaditaan r 0 ja rajataan φ jollekin 2π-mittaiselle välille. Suosttuja vaihtoehtoja ovat φ [0, 2π) ja φ ( π, π]. Mainittu funktio (x, y) = f(r, φ) = (r cos φ, r sin φ) on kuitenkin järkevä kaikille (r, φ)-pareille. 5 / 42
Esimerkki 3A.1 Esimerkki 3A.2 Esimerkki 3A.3 Esimerkki 3B.1 Esimerkki 3B.2 Esimerkki 3B.3 Esimerkki 3B.4 6 / 42
Esimerkki 3A.1 Esimerkki 3A.1 Esimerkki 3A.2 Esimerkki 3A.3 Esimerkki 3B.1 Esimerkki 3B.2 Esimerkki 3B.3 Esimerkki 3B.4 Tehtävä: Johda kahden funktion tulon derivoimiskaava kahden muuttujan funktioita koskevan ketjusäännön seurauksena. Ratkaisu: Olkoot x = x(t) ja y = y(t) reaalimuuttujan t derivoituvia funktioita. Näistä kombinoimalla voimme muodostaa funktion f : R R 2, t (x(t), y(t)). Kertolasku puolestaan määrittelee kaikkialla differentioituvan funktion k;r 2 R, k(x, y) = xy. Näiden yhdistettynä funktiona saame funktion h(t) = k(f(t)) = k(x(t), y(t)) = x(t)y(t). 7 / 42
Esimerkki 3A.2 Esimerkki 3A.1 Esimerkki 3A.2 Esimerkki 3A.3 Esimerkki 3B.1 Esimerkki 3B.2 Esimerkki 3B.3 Esimerkki 3B.4 Esiintyvien funktioiden lineaarisiksi derivaatoiksi saadaan (monisteen Lause 2.19. ja Lause 2.10) ja Df(t) = ( x (t) y (t) ) Dk(x, y) = k(x, y) = (y, x), joten ketjusäännön nojalla saadaan tuttu kaava h (t) = Dk(x, y)(f(t)) Df(t) = (y(t) x(t)) ( x (t) y (t) ) = y(t)x (t) + x(t)y (t). 8 / 42
Esimerkki 3A.3 Esimerkki 3A.1 Esimerkki 3A.2 Esimerkki 3A.3 Esimerkki 3B.1 Esimerkki 3B.2 Esimerkki 3B.3 Esimerkki 3B.4 Tämä kaava voidaan tulkita seuraavasti. Tulon x(t)y(t) arvo muuttuu muuttujan t muuttuessa kahdesta eri syystä tekijä x muuttuu, ja toisaalta tekijä y muuttuu. Termi y(t)x (t) kuvaa tulon sitä muutosta, joka aiheutuu x:n arvon muuttumisesta. Termi x(t)y (t) puolestaan kuvaa tulon sitä muutosta, joka aiheutuu y:n arvon muuttumisesta. Koska kertolasku on differentioituvaa, tällaiset pienen muutokset tulee laskea yhteen. Samanlainen tulkinta voidaan antaa Lauseen 2.22 kaavalle osittaisderivaatalle h k / x i. Summalausekkeessa termi ( h i / y j ) ( y j / x i ) laskee muuttujan x i muutoksesta suureen h k arvoon sen osan, mikä aiheutuu suureen y j muuttumisesta. 9 / 42
Esimerkki 3B.1 Esimerkki 3A.1 Esimerkki 3A.2 Esimerkki 3A.3 Esimerkki 3B.1 Esimerkki 3B.2 Esimerkki 3B.3 Esimerkki 3B.4 Tutkitaan funktiota f : R 2 R 2 f(x 1, x 2 ) = (x 2 1 x 2 2, 2x 1 x 2 ). Määrää funktion f Jacobin matriisi. Ratkaisu: Tässä f 1 (x 1, x 2 ) = x 2 1 x2 2 ja f 2(x 1, x 2 ) = 2x 1 x 2. Osittaisderivaatat ovat siten f 1 = 2x 1, x 1 f 2 = 2x 2, x 1 f 1 = 2x 2, x 2 f 2 = 2x 1. x 2 10 / 42
Esimerkki 3B.2 Esimerkki 3A.1 Esimerkki 3A.2 Esimerkki 3A.3 Esimerkki 3B.1 Esimerkki 3B.2 Esimerkki 3B.3 Esimerkki 3B.4 Näin ollen Jacobin matriisiksi pisteessä P = (x 1, x 2 ) saadaan Df(P) = ( 2x1 2x 2 2x 2 2x 1 Jatkoa: Muodosta lisäksi yhdistetyn funktion f f Jacobin matriisi pisteessä P = (1, 1) A) ketjusäännön avulla, ja B) muodostamalla funktio f f ja osittaisderivoimalla sen komponentit. Ratkaisu: Aloitetaan laskemalla ). f(1, 1) = (1 2 1 2, 2 1 1) = (0, 2). 11 / 42
Esimerkki 3B.3 Esimerkki 3A.1 Esimerkki 3A.2 Esimerkki 3A.3 Esimerkki 3B.1 Esimerkki 3B.2 Esimerkki 3B.3 Esimerkki 3B.4 Tehtävän alkuosan perusteella ja Df(1, 1) = Df(0, 2) = ( 2 2 2 2 ( 0 4 4 0 Näin ollen ketjusäännön perusteella matriisikertolasku antaa D(f f)(1, 1) = Df(0, 2)Df(1, 1) = ) ). ( 8 8 8 8 ). 12 / 42
Esimerkki 3B.4 Esimerkki 3A.1 Esimerkki 3A.2 Esimerkki 3A.3 Esimerkki 3B.1 Esimerkki 3B.2 Esimerkki 3B.3 Esimerkki 3B.4 Muodostamalla yhdistetty funktion g = f f saadaan ja g 1 (x 1, x 2 ) = (x 2 1 x 2 2) 2 (2x 1 x 2 ) 2 = x 4 1 6x 2 1x 2 2 + x 4 2 Näin ollen ja siis g 2 (x 1, x 2 ) = 2(x 2 1 x 2 2)(2x 1 x 2 ) = 4x 3 1x 2 4x 1 x 3 2. Dg(x 1, x 2 ) = ( 4x 3 1 12x 1 x 2 2 12x 2 1 x 2 + 4x 3 2 12x 2 1 x 2 4x 3 2 4x 3 1 12x 1x 2 2 Dg(1, 1) = ( 8 8 8 8 ) ) kuten saimme toisellakin tavalla. 13 / 42
Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Jatkuva 7 14 / 42
Välin mitta Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Jatkuva 7 Käytämme n-ulotteisiksi välejä (tai laatikoita) I = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ] = {(x 1, x 2,..., x n ) R n a i x i b i kaikille i} missä a i b i. Välin I mitta on m(i) = n (b i a i ). i=1 Jos n = 1, niin m([a, b]) = b a on pituus. Jos n = 2 on kyseessä suorakaiteen pinta-ala. Jos n = 3 on kyseessä suorakulmaisen särmiön tilavuus. Kutsutaan lukua d(i) = ni=1 (b i a i ) 2 I halkaisijaksi. 15 / 42
Alasumma 1 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Jatkuva 7 Olkoon I R n väli, ja f : I R rajoitettu funktio. Valitsemalla kutakin koordinaattia x i, i = 1, 2,..., n, kohti [a i, b i ] jaon D i (eli jakopisteitä x i0 = a i < x i1 < x i2 <... < x iki = b i ) saamme osavälien karteesisten tulojen I 1, I 2,..., I m kokoelman (m = i k i ). I on osavälien I i unioni. Osavälien sisäosat eivät leikkaa toisiaan, eli leikkauksiin kuuluvat pisteet ovat välien reunoilla. Kutsutaan myös kokoelmaa P = {I i i = 1, 2,..., m} I jaoksi. Kullakin osavälillä I i funktiolla f on infimum m i := inf{f(x) x I i }. Voidaan muodostaa funktion f alasumma jaon P suhteen: s P (f) = m m i m(i i ). i=1 16 / 42
Alasumma 2 Vasemmanpuoleisen kuvan funktion eräs alasumma saadaan oikeanpuoleisen kuvan pylväiden yhteenlaskettuna mittana. Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Jatkuva 7 17 / 42
Yläsumma 1 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Jatkuva 7 Vastaavasti koska funktiolla f on jokaisella jaon P osavälillä I i myös supremum M i := sup{f(x) x I i } saamme yläsumman m S P (f) = M i m(i i ). Selvästi aina i=1 S P (f) s P (f), ja erotus S P (f) s P (f) voidaan visualisoida (tapauksessa n = 2) kuvaajan alle jäävien, ja sen nipin napin ylittävien pylväiden "erotuslaatikoiden"mittojen m(i i )[M i m i ] summana. 18 / 42
Yläsumma 2 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Jatkuva 7 19 / 42
Tihennys 1 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Jatkuva 7 Voimme Analyysi II:n tapaan tihentää jakoja (joidenkin tai kaikkien koordinaattien suhteen) lisäämällä jakoihin D i lisää jakopisteitä. Kutsumme myös tälla tavalla saatua I jakoa P jaon P tihennykseksi. Kuten yhden muuttujan tapauksessakin tihennyksessä yläsumma pienenee ja alasumma kasvaa: s P (f) s P (f) S P (f) S P (f). Ylä- ja alasumman erotus siis pienee tihennykseen siirryttäessä S P (f) s P (f) S P (f) s P (f). 20 / 42
Tihennys 2 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Jatkuva 7 21 / 42
Integroituvuus Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Jatkuva 7 Kuten yhden muuttujan funktionkin tapauksessa: Kun jakoa tihennetään, yläsumma pienenee ja alasumma kasvaa (ei välttämättä aidosti). Kahdella eri jaolla on yhteinen tihennys. Mikä tahansa yläsumma mikä tahansa alasumma. Voidaan määritellä ylä- ja alaintegraalit (yläsummien infimum, alasummien supremum). Integroituvuus ylä- ja alaintegraalit yhtyvät. Eli kutakin ε > 0 kohti löytyy sellainen jako P = P(ε), että S P (f) s P (f) < ε. Eli on olemassa jono jakoja P 1, P 2,..., joille lim k S Pk (f) s Pk (f) = 0. Integraalista käytetään merkintöjä f ja f(x 1, x 2,..., x n ) dx 1 dx 2 dx n. I I 22 / 42
Jatkuva 1 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Jatkuva 7 Luonnollinen ensimmäinen tavoite on perustella, miksi jatkuva funktio on integroituva yli kompaktin myös useamman muuttujan funktion tapauksessa. Kerrataanpa Analyysi II:sta tältä osin. 23 / 42
Jatkuva 2 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Jatkuva 7 Jos f : [a, b] R on jatkuva, niin todistettiin, että kutakin lukua ε > 0 kohti löytyy sellainen väliin [a, b] jako, jonka kussakin osavälissä sup f inf f = G i g i < ε. Eli edellisen kalvon kuvassa kaikkien pinkkien laatikoiden korkeus < ε. Tällöin ylä- ja alasumman erotus on ε(b a), joten S P s P 0, kun ε 0. Integroituvuus seuraa tästä. Tässä b a = [a, b] mitta. Vaaditussa jaossa osaväli on sitä lyhyempi, mitä nopeammin funktion arvo siinä muuttuu. Vaaditun jaon olemassaolo ei ollut selvää. Harjulehdon kirja käyttää tasaista jatkuvuutta sen perustelemiseksi Lahtosen monisteessa se todistettiin erikseen. Se, että kyseessä on suljettu väli oli oleellista (kompaktisuus!). 24 / 42
Jatkuva 3 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Jatkuva 7 Tämä yleistyy vektorimuuttujan funktiolle seuraavalla tavalla. Lemma. Olkoon I R n kompakti väli, ja olkoon f : I R rajoitettu funktio, jolla on seuraava ominaisuus. Mielivaltaista lukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen I jako, että kullakin I i, i = 1,..., m, on voimassa inf{f( x) x I i } > sup{f( x) x I i } ε. Tällöin funktio f on Riemann-integroituva yli I. Huom. Siis M i m i > M i ε kaikille i = 1, 2,..., m. 25 / 42
Jatkuva 4 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Jatkuva 7 Todistus. Kiinnitetään ε > 0. Määritellään ε = ε/m(i), jolloin ε > 0. Oletuksen perusteella on siis olemassa sellainen jako P = P(ε ), että jaon P kaikilla osaväleillä I i, i = 1,..., s, epäyhtälö m i > M i ε ( ) on voimassa. Kertomalla ( ) puolittain osa mitalla saadaan epäyhtälö m i m(i i ) M i m(i i ) ε m(i i ). 26 / 42
Jatkuva 5 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Jatkuva 7 Laskemalla yhteen nämä eri osavälien kontribuutiot saadaan epäyhtälö s m i m(i i ) i=1 s M i m(i i ) ε i=1 s m(i i ). i=1 ( ) Sen vasemmalla puolella on alasumma s P (f). Oikean puolen ensimmäinen termi on yläsumma S P (f). Koska mitta on jaon osavälien mittojen summa, oikean puolen jälkimmäinen termi on ε m(i) = ε. Näin ollen epäyhtälöstä ( ) seuraa S P s P S P ε, mikä on juurikin integroituvuusehto. MOT 27 / 42
Jatkuva 6 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Jatkuva 7 Seuraus. Kompaktissa välissä I R n jatkuva funktio f : I R on Riemann-integroituva yli tämän. Todistus. Kiinnitetään ε > 0. Monisteen Lause 1.25. kertoo, että on olemassa sellainen δ > 0, jolle f( x) f( y) < ε aina, kun pisteet x, y I toteuttavat epäyhtälön x y < δ. Valitaan sitten jokin sellainen I jako P, jolle jokaisen osa halkaisija on < δ (esim. n-kuutioita, joiden sivun pituus < δ/n). Tällöin nähdään, että Lemman oletukset toteutuvat, ja väite seuraa. MOT 28 / 42
Jatkuva 7 Ylä- ja alapylväiden erotus on pieni kaikilla osaväleillä joten ylä- ja alasummien erotuskin on pieni, vrt. kuva. Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Jatkuva 7 29 / 42
integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Fubinin lause Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 3.C1 Esimerkki 3.C2 Esimerkki 3.D1 Esimerkki 3.D2 30 / 42
integraali 1 integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Fubinin lause Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 3.C1 Esimerkki 3.C2 Esimerkki 3.D1 Esimerkki 3.D2 Jos funktio f(x, y) on jatkuva välillä I = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ], niin voimme muodostaa sen iteroidut integraalit b1 x=a 1 ( b2 y=a 2 f(x, y) dy ) dx. Tässä lasketaan ensin sisempi integraali (ks. kuva seur. kalvolla) A 1 (x) = b2 ja sen jälkeen ulompi integraali I = b1 y=a 2 f(x, y) dy x=a 1 A 1 (x) dx. 31 / 42
integraali 2 Sisäintegraalin arvo A 1 (x 0 ) on integraalin tilavuustulkinnassa kappaleen ja tason x = x 0 leikkauksen pinta-ala integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Fubinin lause Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 3.C1 Esimerkki 3.C2 Esimerkki 3.D1 Esimerkki 3.D2 32 / 42
integraali 3 integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Fubinin lause Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 3.C1 Esimerkki 3.C2 Esimerkki 3.D1 Esimerkki 3.D2 Voimme muodostaa myös iteroidun integraalin b2 y=a 2 ( b1 x=a 1 f(x, y) dx Tässä lasketaan ensin sisempi integraali A 2 (y) = b1 ja sen jälkeen ulompi integraali I = b2 ) x=a 1 f(x, y) dx y=a 2 A 2 (y) dy. dy. 33 / 42
integraali 4 Sisäintegraalin arvo A 2 (y 0 ) on integraalin tilavuustulkinnassa kappaleen ja tason y = y 0 leikkauksen pinta-ala integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Fubinin lause Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 3.C1 Esimerkki 3.C2 Esimerkki 3.D1 Esimerkki 3.D2 34 / 42
Fubinin lause integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Fubinin lause Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 3.C1 Esimerkki 3.C2 Esimerkki 3.D1 Esimerkki 3.D2 Lause.(Fubini) Jos f(x, y) on jatkuva välissä I = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ], niin I f = = b1 x=a 1 b2 y=a 2 ( ) b2 f(x, y) dy dx y=a 2 ( ) b1 f(x, y) dx dy. x=a 1 Kumpi tahansa iteroiduista integraaleista antaa siis integraalin I f arvon. 35 / 42
Perustelu... integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Fubinin lause Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 3.C1 Esimerkki 3.C2 Esimerkki 3.D1 Esimerkki 3.D2 Integraali I f laskee xy-tason ja funktion f kuvaajapinnan välissä olevan kappaleen tilavuuden laskemalla yhteen pylväitä, joiden korkeus on h = f(x, y) ja pohjan ala A = dx dy, V = ah. integraali b 1 b2 x=a 1 y=a 2 f(x, y) dy dx laskee saman tilavuuden laskemalla yhteen siivuja, joiden poikkileikkausala on A 1 (x) ja paksuus dx (ks. seur. kalvo) Toinen iteroitu integraali laskee yhteen siivuja, joiden poikkileikkausala on A 2 (y) ja paksuus dy (ks. seur. kalvo) Hieman tarkempi perustelu saadaan toteamalla, että yhteen siivuun kuuluvien pylväiden alasumma on pienempi kuin poikkileikkausfunktion alasummaan ko. osa tuottama kontribuutio. Vastaavasti yläsummille. Koska I f on olemassa, niin Sandwich-periaate antaa tuloksen. 36 / 42
...kuvina integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Fubinin lause Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 3.C1 Esimerkki 3.C2 Esimerkki 3.D1 Esimerkki 3.D2 Alapylväiden rivin yhteenlaskettu mitta on alaraja poikkileikkausfunktion yhden alapylvään alalle. Yläpylväiden rivin yhteenlaskettu mitta on vastaavasti yläraja poikkeusfunktion yhden yhden yläpylvään alalle. 37 / 42
Huomautuksia integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Fubinin lause Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 3.C1 Esimerkki 3.C2 Esimerkki 3.D1 Esimerkki 3.D2 Sisempi ja ulompi integraali ovat molemmat tavallisia yhden muuttujan integraaleja, joten niiden laskemiseen on käytössä kaikki aiempien kurssien menetelmät. Sisäintegraalin arvo riippuu ulomman integraalin muuttujasta, mutta sisäintegraalia laskettaessa tätä muuttujaa pidetään vakiona (vrt. osittaisderivointi). Fubinin lauseesta on olemassa versiot integraalille yli korkeampiulotteisen. Muuttujat integroidaan jossakin valitussa järjestyksessä. Sisempiä integraaleja laskettaessa pidetään ulompia integroimismuuttujia vakioina. 38 / 42
Esimerkki 3.C1 integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Fubinin lause Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 3.C1 Esimerkki 3.C2 Esimerkki 3.D1 Esimerkki 3.D2 Tehtävä: Olkoon I = [0, 1] [0, 1]. Osoita laskemalla, että kumpikin iteroitu integraali antaa saman arvon integraalille I = (xy + x 2 ) dx dy. I Ratkaisu: Integroimalle ensin y:n ja sitten x:n suhteen saadaan 1 ( 1 ) I = (x 2 + xy) dy dx = x=0 1 x=0 y=0 ( x 2 + x 2 = 1 3 + 1 4 = 7 12. ) dx = 1 x=0 ( x 3 3 + x2 4 ) 39 / 42
Esimerkki 3.C2 integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Fubinin lause Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 3.C1 Esimerkki 3.C2 Esimerkki 3.D1 Esimerkki 3.D2 Jos taas integroidaan ensin x:n ja sitten y:n suhteen saadaan I = 1 y=0 1 ( 1 x=0 ( 1 = y=0 3 + y ) dy 2 ( ) 1 = y 3 + y2 4 y=0 = 1 3 + 1 4 = 7 12. ) (x 2 + xy) dx dy 40 / 42
Esimerkki 3.D1 integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Fubinin lause Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 3.C1 Esimerkki 3.C2 Esimerkki 3.D1 Esimerkki 3.D2 Tehtävä: Laske funktion f(x, y) = y sin(yx) [0, π] [0, 1]. Ratkaisu: Jos yritämme ensin integroida muuttujan y suhteen joudumme vaikeuksiin, sillä sisäintegraalista saamme osittaisintegroimalla 1 y=0 y sin(yx) dy = sin x x cos x x 2, mikä voi olla hieman hankala integroitava (ellei keksi jippoa). 41 / 42
Esimerkki 3.D2 integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Fubinin lause Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 3.C1 Esimerkki 3.C2 Esimerkki 3.D1 Esimerkki 3.D2 Sitä vastoin, jos integroimme ensin muuttujan x suhteen, saamme helpomman tehtävän! I = = = = 1 y=0 1 y=0 1 y=0 1 y=0 ( π π x=0 x=0 ) y sin(xy) dx ( cos(xy)) dy (1 cos πy) dy (y sin πy π ) = 1. dy 42 / 42