1. lakuharjoitukierro, vko 16, ratkaiut D1. Muuttujien x ja Y havaitut arvot ovat: x 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 4 4 5 7 8 9 a) Määrää regreiomallin Y i = α +βx i +ǫ i regreiokertoimien PNS-etimaatit ja piirrä pitediagrammi ekä etimoitu uora ja reiduaalit. b) Määrää etimoidun regreiomallin jäännövarianin etimaatti ja elityate ekä otokorrelaatiokerroin. c) Tetaa regreiomallin kerrointa β kokevaa nollahypoteeia H 0 : β = 0. Käytä kakiuuntaita vaihtoehtohypoteeia ja 5%:n merkitevyytaoa. d) Tetaa korrelaatiokerrointa ρ xy kokevaa nollahypoteeia H 0 : ρ xy = 0. Käytä kakiuuntaita vaihtoehtohypoteeia ja 5%:n merkitevyytaoa. Ratkaiu: a) Taulukoidaan havaitut arvot, niiden neliöt ja niiden tulot ototunnulukujen lakemita varten: i x Y x xy 1 1 1 1 1 1 3 9 4 6 3 4 4 16 16 16 4 6 4 36 16 4 5 8 5 64 5 40 6 9 7 81 49 63 7 11 8 11 64 88 8 14 9 196 81 16 umma 56 40 54 56 364 x = 1 n x i = 56 n 8 = 7 Ȳ = 1 n Y i = 40 n 8 = 5 x = 1 ( x i n x 18, 8571 Y = 1 ( = 1 ( 0.9770 ) x i Y i n xȳ = 1 r xy = = 8 Yllä olevien harhattomien varianietimaattoreiden liäki on hyvä lakea valmiiki myö harhaiet varianietimaattorit: ˆσ x = 1 n ( n ) x i n x 16.5 ˆσ = 1 ( Yi nȳ = 7 n Näiden tietojen peruteella etimaatit regreiokertoimille ovat: ˆβ = x 0.6364 ˆα = Ȳ ˆβ x 0.5455
10 9 8 7 6 5 4 3 1 0 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 Pitediagrammi, ovitettu regreiouora ja reiduaalit. b) Otokorrelaatiokerroin tulikin jo lakettua edellieä kohdaa: r xy = 0.9770 Yhden elittäjän lineaariea mallia elityate on otokorrelaation neliö: Lopulta jäännövarianin etimaatti: c) H 0 : β = 0 H 1 : β 0 Tetiuure: R = r xy 0.9545 = SSE n = (1 r xy )SST n T = ˆβ /( nˆσ x ) 11.3 0.44 Nollahypoteein pätieä tetiuure on jakautunut Studentin t-jakauman mukaan vapauatein n, joten kriittiiki arvoiki aadaan: ±t α/ (n ) = ±t 0.05 (6) = ±.447. Hylkäyalue on näiden rajojen ulkopuolella. Koka nyt T 11.3 > t 0.05 (6) =.447, nollahypoteei hylätään. β 0 d) H 0 : ρ xy = 0 H 1 : ρ xy 0 Tetiuure: r xy T = n 11.3 1 r xy
Nollahypoteein pätieä tetiuure on jakautunut Studentin t-jakauman mukaan vapauatein n, joten kriittiiki arvoiki aadaan: ±t α/ (n ) = ±t 0.05 (6) = ±.447. Hylkäyalue on näiden rajojen ulkopuolella. Koka nyt T 11.3 > t 0.05 (6) =.447, nollahypoteei hylätään. ρ xy 0 Kahden viimeien kohdan tetiuureet ovat todella yhtenevät. Käytännöä toien tetin uorittaminen riittää kertomaan toienkin tuloken. P. 6 henkilön verenpainetta mitattaea aatiin euraavat tuloket (X on henkilön ikä ja Y henkilön verenpaine): X 40 45 55 60 65 70 Y 15 140 146 146 151 159 a) Määrää regreiomallin Y i = α +βx i +ǫ i regreiokertoimien PNS-etimaatit ja piirrä pitediagrammi ekä etimoitu uora. b) Määrää etimoidun regreiomallin jäännövarianin etimaatit ja elityate ekä otokorrelaatiokerroin. p. Ratkaiu: a) Taulukoidaan havaitut arvot, niiden neliöt ja niiden tulot ototunnulukujen lakemita varten: i x Y x xy 1 40 15 1600 1565 5000 45 140 05 19600 6300 3 55 145 305 105 7975 4 60 146 3600 1316 8760 5 65 151 45 801 9815 6 70 159 4900 581 11130 umma 335 866 19375 15648 48980 x = 1 n x i = 335 n 6 55, 8333 Ȳ = 1 n Y i = 866 144, 3333 n 6 x = 1 ( x i n x 134.1667 Y = 1 ( = 1 ( x i Y i n xȳ 15.6667 r xy = 0.9477 131.0667 Yllä olevien harhattomien varianietimaattoreiden liäki on hyvä lakea valmiiki myö harhaiet varianietimaattorit: ˆσ x = 1 ( x i n n x 111.8056 ˆσ Y = 1 n ( n 109. Näiden tietojen peruteella etimaatit regreiokertoimille ovat: ˆβ = x 0.9366 ˆα = Ȳ ˆβ x 9.0373
170 160 150 140 130 10 110 100 90 80 70 60 50 40 30 0 10 0 0 5 10 15 0 5 30 35 40 45 50 55 60 65 70 Pitediagrammi, ovitettu regreiouora ja reiduaalit. b) Otokorrelaatiokerroin edellietä kohdata: r xy = 0.9477 Yhden elittäjän lineaariea mallia elityate on otokorrelaation neliö: Lopulta jäännövarianin etimaatti: R = r xy 0.8981 = SSE n = (1 r xy )SST n 16.7019 P3. Otoketa lakettiin euraavat tunnuluvut: n = 6, x = 8.188, ȳ = 15.1333, x = 4.7667, y = 95.1333, xy = 15.44 ja r xy = 0.8356 ekä = 111.389, ˆσ x = 187.3056, ˆσ Y = 45.9444 ja x i = 4100. Liäki piteitöön ovitettiin uora: Y i = β 0 + β 1 x i + ǫ i. Regreiokertoimien PNS-etimaateiki aatiin: ˆβ 0 = 03.7754 ja ˆβ 1 = 0.9575. a) Tetaa regreiomallin kerrointa β 1 kokevaa nollahypoteeia H 0 : β 1 = 0. Käytä ykiuuntaita vaihtoehtohypoteeia H 1 : β 1 > 0 ja 5%:n merkitevyytaoa. b) Tetaa korrelaatiokerrointa ρ xy kokevaa nollahypoteeia H 0 : ρ xy = 0.7. Käytä kakiuuntaita vaihtoehtohypoteeia ja 1%:n merkitevyytaoa. p.
Ratkaiu: a) Hypoteeit H 0 : β 1 = 0 H 1 : β 1 > 0 Tetiuure: T = ˆβ 1 /( nˆσ x) 3.04 Nollahypoteein pätieä tetiuure on jakautunut Studentin t-jakauman mukaan vapauatein n, joten kriittieki arvoki aadaan: t α (n ) = t 0.05 (4) =.13. Hylkäyalue on tämän rajan oikealla puolella. Koka nyt T 3.04 > t 0.05 (4) =.13, nollahypoteei hylätään. β 1 > 0 b) H 0 : ρ xy = 0.7 H 1 : ρ xy 0.7 Tetiuure: Z = ( 1 1 + log rxy 1 r XY ) 1 ( 1 + log ρ0 1 ρ 0 1 n 3 ) = 0.5874 Nollahypoteein pätieä tetiuure on approkimatiivieti normaalinen N(0,1). Merkitevyytaolla 0.01 kriittiiki rajoiki aadaan ±z 0.005 ±.575. Koka tetiuureen Z arvo on rajojen iällä, hyväkytään nollahypoteei. ρ xy = 0.7 L4. Muuttujien x ja Y havaitut arvot ovat: x 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 4 4 5 7 8 9 a) Määrää käänteiregreiomallin x i = γ + δy i + ǫ i regreiokertoimien PNS-etimaatit ja piirrä pitediagrammiin etimoitu uora. b) Määrää etimoidun regreiomallin jäännövarianin etimaati ja elityate ekä otokorrelaatiokerroin. c) Tetaa regreiomallin kerrointa δ kokevaa nollahypoteeia H 0 : δ = 0. Käytä ykiuuntaita vaihtoehtohypoteeia ja 1%:n merkitevyytaoa. d) Tetaa korrelaatiokerrointa ρ xy kokevaa nollahypoteeia H 0 : ρ xy = 0. Käytä ykiuuntaita vaihtoehtohypoteeia ja 1%:n merkitevyytaoa. e) Lake tämän tehtävän etimoidun uoran ja D1-tehtävän etimoidun uoran leikkaupite. Mikä erityinen aema tällä piteellä on? Ratkaiu:
Käänteiregreioa elittävän ja elitettävän muuttujan roolit vaihdetaan kekenään. a) Taulukointi ei muutu mitenkään alkuperäien tehtävän ratkaiuta: i x Y x xy 1 1 1 1 1 1 3 9 4 6 3 4 4 16 16 16 4 6 4 36 16 4 5 8 5 64 5 40 6 9 7 81 49 63 7 11 8 11 64 88 8 14 9 196 81 16 umma 56 40 54 56 364 Tunnuluvut ovat myö amat: x = 1 n x i = 56 n 8 = 7 Ȳ = 1 n Y i = 40 n 8 = 5 x = 1 ( x i n x 18, 8571 Y = 1 ( = 1 ( x i Y i n xȳ = 1 r xy = 0.9770 ˆσ x = 1 ( x i n x 16.5 ˆσ = 1 ( n n Näiden tietojen peruteella etimaatit regreiokertoimille ovat: = 8 = 7 ˆδ = Y 1.5000 ˆγ = x ˆδȲ 0.5000 10 9 8 7 6 5 4 3 1 0 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14
b) Otokorrelaatiokerroin on ama kuin alunperinkin: r xy = 0.9770 Selityate ei muutu, koka otokorrelaatiokerroin ei muutu: R = r xy 0.9545 Jäännövarianin etimaatti en ijaan vaihtuu, koka kokonaineliöumma SST vaituu: = SSE n = (1 r xy )SST n 1.000 c ja d) Koka d)-kohdan tuloken on pakko olla ama kuin alkuperäieä tehtävää, ei c) kohdankaan tulo voi muuttua. e) Laketaanpa tulo teorian puolelta: Aetetaan yhtälöt yhtäuuriki: { Y = α + βx x = γ + δy Y = Ȳ x x + x x x = x Ȳ + Y Y Y x = x (Ȳ Y ) + x xy x = x (Y Ȳ ) Y Sijoitetaan takaiin: x (Ȳ Y ) + x = x xy (Y Ȳ ) Y ( x ) xy (Ȳ Y ) = 0 Y Ȳ Y = 0 Y = Ȳ x = x (Ȳ Y ) + x = x (Ȳ Ȳ ) + x = x Leikkaupite on ( x, Ȳ ) = (7, 5). Piteen erikoiaema lienee ilmeinen.
10 9 8 7 6 ( x, Ȳ ) 5 4 3 1 0 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 Pitediagrammi, molemmat regreiouorat, reiduaalit (molemmille uorille) ja leikkaupite.