Korrelaatiokertoinen määrittely 165
|
|
- Jalmari Timo-Pekka Jaakkola
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Muuttujien X ja Y lineaarista riippuvuutta mittaa korrelaatiokerroin xy ( x)( y)/n r = ( x 2 ( ) ( x) 2 /n y 2 ( y) /n) 2 Tätä kutsutaan myös Pearsonin tulomomenttikorrelaatiokertoimeksi erotukseksi muista korrelaatiokertoimista.
2 kertoinen määrittely 166 Jos merkitään on SS xy = SS xx = SS yy = n (x i x)(y i ȳ) = i=1 n (x i x) 2 = i=1 n (y i ȳ) 2 = i=1 r = i=1 n n n x i y i ( x i )( y i )/n i=1 i=1 n n xi 2 ( x i ) 2 /n n i=1 y 2 i ( i=1 n y i ) 2 /n i=1 SS xy SSxx SS yy i=1
3 kertoimen ominaisuuksia 167 1) 1 r 1 2) kerroin r mittaa muuttujien välistä lineaarista riippuvuutta. Jos r < 0, muuttujien välillä on negatiivista riippuvuutta: suuriin x-arvoihin liittyy yleensä pieni y-arvo ja pieniin x-arvoihin suuri y-arvo. Jos r > 0, muuttujienvälillä on positiivista riippuvuutta: suuriin x-arvoihin liittyy yleensä suuri y-arvo ja pieniin x-arvoihin pieni y-arvo. Jos r 0, muuttujien välillä ei ole lineaarista riippuvuutta. Jos r = 1, havaintopisteet ovat samalla suoralla, jonka kulmakerroin on positiivinen. Jos r = 1, havaintopisteet ovat samalla suoralla, jonka kulmakerroin on negatiivinen.
4 kertoimen ominaisuuksia 168 3) kertoimen arvo on riippumaton käytetystä mitta-asteikosta, ts. se ei muutu, vaikka muuttuja-arvoille tehdään lineaarinen muunnos. Esimerkkejä: a) positiivinen korrelaatio b) negatiivinen korrelaatio c) ei korrelaatiota
5 Tarkastellaan, kuinka tietyn elintarvikkeen rikkiyhdistepitoisuus Y riippuu säilytysajasta X. Havainnot (n = 6): x y x = 10.3, x 2 = 20.95, y = 13.5, y 2 = 33.91, xy = SS xy = /6 = SS xx = /6 = SS yy = /6 = r = =
6 n merkitsevyys 170 Koska r on otossuure, sen arvosta ei voida suoraan päätellä, onko muuttujien välillä todellista riippuvuutta vai ei. Jos otos on pieni, korrelaatiokerroin voi sattuman vaikutuksesta näyttää suurelta, vaikka muuttujilla ei olisi mitään tekemistä toistensa kanssa. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakaumaan perustuva lineaarisen korrelaation kerroin on ρ = σ xy σ x σ y missä σ xy = E((X µ x )(Y µ y )) = E(XY ) µ x µ y on muuttujien X ja Y kovarianssi.
7 n merkitsevyys 171 Teoreettinen korrelaatiokerroin ρ on koko populaatiota koskeva, yleensä tuntematon parametri, jonka estimaattori on otoskorrelaatiokerroin r. n testaus koskee parametria ja testisuure perustuu otossuureeseen r. Hypoteesi: H 0 : ρ = 0 (ei lineaarista riippuvuutta) Testisuure: H 1 : ρ 0 (on lineaarinen riippuvuus) T = r n 2 t(n 2) 1 r 2 Hylkäysehto: Hypoteesi H 0 hylätään riskitasolla, jos t > t 1 α/2 (n 2). Sama P-arvon avulla: P = P(T > t ) + P(T < t ) Hypoteesi H 0 hylätään riskitasolla α, jos P < α.
8 n merkitsevyys 172 n testaus tehdään yleensä kaksisuuntaisena. Jos riippuvuus voi periaatteessa olla vain yhdensuuntaista (joko positiivista tai negatiivista), tehdään yksisuuntainen testaus, jolloin hypoteesit ovat H 0 : ρ = 0 (ei lin. riippuvuutta) Hylkäysehto: H1 : ρ > 0 (positiivinen lin. riippuvuus) t > t 1 α (n 2) tai H 0 : ρ = 0 (ei lin. riippuvuutta) Hylkäysehto: H 1 : ρ < 0 (negatiivinen lin. riippuvuus) t < t 1 α (n 2)
9 Kasvaako elintarvikkeen rikkiyhdistepitoisuus säilytysajan myötä eli onko muuttujien välillä positiivinen korrelaatio? H 0 : ρ = 0 H 1 : ρ > 0 kertoimen arvo r = 0.59, otoskoko n=6. Testisuureen arvo: t = r n 2 = = r Olkoon valittu riskitaso α = 0.05, krittinen arvo t 1 α (n 2) = t 0.95 (4) = 2.13 Koska t < t 0.95 (4), niin H 0 jää voimaan eli säilytysajan ja rikkiyhdistepitoisuuden välillä ei voida todeta merkitsevää positiivista korrelaatiota.
10 Otoskoon merkitys 174 Minkä suuruinen korrelaatio on merkitsevä kaksisuuntaisessa testissä esim. tasolla α = 0.05 eri n:n arvoilla? n r vähintään VAROITUS: Havaittu tilastollinen riippuvuus ei välttämättä merkitse suoraa syy-seuraus-suhdetta muuttujien välillä! Kyseessä voi olla molempiin muuttujiin yhdessä vaikuttava kolmas tekijä tai useampia tekijöitä. Em. varoitus koskee myös χ 2 -riippumattomuustestiä ja regressioanalyysia.
11 Regressioanalyysi 175 Regressioanalyysin tavoitteena on kuvata ja analysoida selitettävän eli riippuvan muuttujan Y riippuvuutta selittävistä eli riippumattomista muuttujista X 1, X 2,..., X k. Lineaarinen regressiomalli: Y = β 0 + β 1 X β k X }{{ k + } }{{} ɛ deterministinen osa satunnaisosa parametrit β 0, β 1,..., β k ovat tuntemattomia vakioita jäännöstermi eli residuaali on satunnaismuuttuja selittävät muuttujat X j voivat olla satunnaismuuttujia tai niiden arvot voidaan määrätä kontrolloidusti, jolloin niitä merkitään x 1, x 2,..., x k.
12 Regressioanalyysin vaiheet Mallin muodostaminen: selittävien muuttujien valinta ja riippuvuutta kuvaavan funktion valinta. 2. Mallin parametrien estimointi. 3. Satunnaisvaihtelun estimointi (satunnaistermin jakauma ja parametrit). 4. Mallin parametrien ja/tai yhteensopivuuden testaus. 5. Mallilla ennustaminen
13 Yhden selittävän muuttujan lineaarinen regressioanalyysi 177 Tutkitaan muuttujan Y lineaarista riippuvuutta yhdestä selittävästä muuttujasta x. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Malli: Y = β 0 + β 1 x + ɛ missä β 0 on vakiotermi ja β 1 regressiokerroin Eri havaintoihin i = 1,..., n liittyvät jäännöstermit ɛ i ovat riippumattomia, samoin jakautuneita ja E(ɛ i ) = 0, D 2 (ɛ i ) = σ 2 kaikilla i Jos mallia käytetään tilastolliseen päättelyyn, esim. testaukseen, oletetaan, että ɛ i N(0, σ 2 ).
14 Regressiomallin parametrien estimointi pienimmän neliösumman menetelmällä 178 Merkitään estimaattoreita ˆβ 0 = b 0 ja ˆβ 1 = b 1. Estimaattorit pyritään määräämään siten, että havaitut arvot sopivat mahdollisimman hyvin mallin antamiin arvoihin ŷ i = b 0 + b 1 x i. Tämä saadaan aikaan minimoilla jäännösneliösummaa SSE = n (y i ŷ i ) 2 = i=1 n (y i b 0 b 1 x i ) 2 i=1 parametrien b 0 ja b 1 funktiona. Minimissä osittaisderivaattojen arvot ovat nollia.
15 Regressiomallin parametrien estimointi pienimmän neliösumman menetelmällä 179 SSE b 0 = 2 SSE b 1 = 2 josta saadaan normaaliyhtälöt: n (y i b 0 b 1 x i ) = 0 i=1 n (y i b 0 b 1 x i )x i = 0 i=1 nb 0 + ( x i )b 1 = y i ( x i )b 0 + ( x 2 i )b 1 = x i y i Normaaliyhtälöiden ratkaisuna saadaan kertoimien pienimmän neliösumman estimaatit eli pns-estimaatit
16 Pienimmän neliösumman estimaatit eli pns-estimaatit 180 n n n x i y i ( x i )( y i )/n i=1 i=1 i=1 β 1 = b 1 = = n n SS xy SS xi 2 ( x i ) 2 xx /n ( i=1 i=1 n ) β 0 = b 0 = 1 n y i b 1 x i = ȳ b 1 x n i=1 Sovitettu regressiosuora: ŷ = b 0 + b 1 x antaa ennusteet Y :lle x:n funktiona. Havaintopisteittäin lasketut sovitteet ovat ŷ i = b 0 + b 1 x i ja havaitut poikkeamat eli jäännökset e i = y i ŷ i. i=1
17 Vaihtelun tutkiminen 181 Regressioanalyysin tavoitteena on Y :n vaihtelun syiden tutkiminen. Poikkeamien y i ȳ neliösumma (y i ȳ) 2, joka kuvaa Y :n kokonaisvaihtelua, voidaan hajoittaa komponentteihin: (yi ȳ) 2 = (ŷ i ȳ) 2 + (y i ŷ i ) 2 eli SST = SSD + SSE SST = (y i ȳ) 2 = y 2 ( y i ) 2 /n = SS yy on selitettävän kokonaisneliösumma SSD = (ŷ i ȳ) 2 = b 1 (xi x)(y i ȳ) = b 1 SS xy = b 1 (xi x) 2 = b 1 SS xx = SS 2 xy/ss xx on selitetty neliösumma SSE = (y i ŷ i ) 2 = (y i b 0 b 1 x i ) 2 = SST SSD on jäännösneliösumma, virheneliösumma
18 Vaihtelun tutkiminen 182 Regressiomallin sopivuutta havaintoaineistoon kuvaa mallin selitysaste R 2 = SSD SST joka on mallin selittämä osuus y-arvojen vaihtelusta. Selitysasteen neliöjuuri, yhteiskorrelaatiokerroin R = SSD/SST on y i -arvojen ja ŷ i -arvojen välinen korrelaatiokerroin. Yhden selittävän muuttujan tapauksessa R = r xy.
19 Vaihtelun tutkiminen 183 Selitysaste on välillä 0 R 2 1. Jos lineaarinen malli sopii hyvin aineistoon eli havaintopisteet lähellä regressiosuoraa, SSE 0 ja R 2 = SSD SST = SST SSE SST = 1 SSE SST on lähellä ykköstä Satunnaisvirheen ɛ varianssin eli jäännösvarianssin σ 2 harhaton estimaatti on otoksesta laskettu jäännösvarianssi s = jäännöshajonta, s 2 = SSE n 2
20 Mallin parametrien luottamusvälit ja testaus 184 Kertoimien β 0 ja β 1 estimaattorit ˆβ 0 = b 0 ja ˆβ 1 = b 1 ovat satunnaismuuttujia, joiden voidaan osoittaa noudattavan jakaumia b 1 N(β 1, σ 2 /SS xx ) b 0 N(β 0, σ 2 x 2 i /(nss xx)) Korvaamalla σ 2 estimaatillaan s 2 = SSE/(n 2) saadaan hajontaestimaatit s(b 1 ) = s SSxx s(b 0 ) = s x 2 i nss xx 1 = s n + x2 SS xx Voidaan osoittaa, että T = b j β j s(b j ) t(n 2), j = 0, 1
21 Mallin parametrien luottamusvälit ja testaus 185 Luottamusvälit: Parametrien β 0 ja β 1 (1 α)100% luottamusvälit ovat β j = b j ± t 1 α/2 (n 2)s(b j ), j = 0, 1 : H 0 : β j = b H 1 : β j b Missä j = 0 tai 1 ja b testattava lukuarvo, yleensä 0. Testisuure: T = b j b s(b j ) t(n 2) Olkoon testisuureen laskettu arvo t. H 0 hylätään riskitasolla α, jos t > t 1 α/2 (n 2). Yksisuuntaiset hypoteesit vastaavasti, käyttäen toispuoleisista hylkäysrajaa.
22 Tutkitaan vannesahan tehonkulutuksen Y riippuvuutta sahattavan kappaleen paksuudesta x. Havainnot (n = 6): x y x = 48.0 x 2 = y = 22.2 y 2 = xy = SS xy = /6 = 20.7 SS xx = /6 = 60.0 SS yy = /6 = 8.60 Kertoimien pns-estimaatit: b 1 = SS xy /SS xx = 20.7/60 = b 0 = ȳ b 1 x = ( )/6 = SST = SS yy = 8.6 SSD = SS xy /SS xx = SSE = SST SSD =
23 Selitysaste: R 2 = 0.83 Jäännösvarianssi: s 2 = SSE/(n 2) = /4 = s 2 Hajontaestimaatit: s(b 1 ) = = SS xx s 2 x 2 s(b 0 ) = = nss xx 95%:n luottamusvälit, t (4) = β 0 = ± = ± β 1 = ± = ±
24 Testataan riskitasolla α = 0.05 hypoteesiparit H 1) 0 : β 0 = 1 H 1 : β 0 < 1 Testisuureen arvo t = b 0 1 s(b 0 ) = = ) Kriittinen arvo: t 0.95 (4) = Koska t > t 0.95 (4), niin H 0 jää voimaan H 0 : β 1 = 0 H 1 : β 1 0 Testisuureen arvo t = b 1 0 s(b 1 ) = = Kriittinen arvo: t (4) = Koska t > t (4), niin H 0 hylätään
25 Ennusteet ja niiden luottamusvälit 189 Mallin Y = β 0 + β 1 x + ɛ antama ennuste, kun x:llä on kiinteä arvo a, on ŷ = b 0 + b 1 a. 1) Y:n odotusarvon eli regressiosuoran luottamusrajat Y :n odotusarvo,kun x = a, on µ = EY = β 0 + β 1 a ja µ:n piste-estimaatti on ŷ = b 0 + b 1 a = ȳ + b 1 (a x) 1 Ennusteen hajontaestimaatti: s(ŷ) = s n + (a x)2 SS xx Satunnaismuuttuja y µ s(y) t(n 2), josta saadaan (1 α)100% luottamusväli Y : n odotusarvolle µ = β 0 + β 1 a eli regressiosuoran luottamusrajat pisteessä x = a. 1 (a x)2 1 (a x)2 µ = ŷ±t 1 α/2 (n 2)s + = b 0 +b 1 a±t n SS 1 α/2 (n 2)s + xx n SS xx
26 Ennusteet ja niiden luottamusvälit 190 2) Y:n arvon eli yksittäisen ennusteen luottamusrajat Y :n arvon luottamusväli mallin Y = β 0 + β 1 x + ɛ puitteissa perustuu satunnaismuuttujaan Y ŷ = µ ŷ + ɛ Hajontaestimaatti: s(y ŷ) = s n + (a x)2 SS xx Satunnaismuuttuja Y y s(y y) t(n 2), josta saadaan (1 α)100% luottamusväli Y :lle eli yksittäisin ennusteen luottamusrajat pisteessä x = a. µ = ŷ ± t 1 α/2 (n 2)s n + (a x)2 SS xx
27 Regressiomalli 191 Lineaarinen regressiomalli on muotoa Y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x β k x k + ɛ Selittävät muuttujat x j voivat olla havaintoarvoja sellaisinaan, niiden logaritmeja, potensseja tms. funktioita. Satunnaisvirheen ɛ oletetaan noudattavan normaalijakaumaa, jonka odotusarvo on 0 ja varianssi on vakio σ 2
28 Regressiomallin kertoimien estimointi 192 Jos regressiomallin kertoimille annetaan arvot (b 0,..., b k ), voidaan Y :n havaitut arvot lausua y 1 = b 0 + b 1 x b k x 1k + e 1 y 2 = b 0 + b 1 x b k x 2k + e 2. y n = b 0 + b 1 x n b k x nk + e n Sovitettu malli on ŷ = b 0 + b 1 x b k x k ja e i = y i ŷ i ovat havaitut jäännökset eli residuaalit
29 Regressiomallin kertoimien estimointi 193 Otetaan käyttöön seuraavat matriisimerkinnät: 1 x 11 x x 1k 1 x 21 x x 2k X = , Y = 1 x n1 x n2... x nk Yhtälöt voidaan kirjoittaa muotoon Y = X b + ē y 1 y 2. y n, b = b 1 b 2. b n
30 Regressiomallin kertoimien estimointi 194 Kertoimien β j estimaatit määrätään etsimällä yhtälöistä kertoimille b j sellaiset arvot, jotka minivoivat poikkeamien neliösumman eli jäännösneliösumman SSE = ei 2 = (y i ŷ i ) 2 n = (y i b 0 b 1 x i1... b k x ik ) 2 t=1 Minimi löydetään merkitsemällä osittaisderivaatat nolliksi: SSE b j = 0, j = 0,..., k
31 Regressiomallin kertoimien estimointi 195 Ehto tuottaa kertoimien b j määräämiseksi muotoa A x = ū olevan yhtälöryhmän, joka tapauksessa k=2 saa seuraavan muodon n xi1 xi2 b 0 xi1 x 2 yi i1 xi1 x i2 b 1 = xi1 y i xi2 xi1 x i2 x 2 i2 b 2 xi2 y i Matriisimerkinnöin nämä normaaliyhtälöt voidaan ilmaista X X b = X Y Ratkaisuksi saadaan kerroinestimaatit b = ˆβ = (X X ) 1 X Y
32 Satunnaisvaihtelun varianssin estimointi 196 Regressiomallin satunnaisvirheen ɛ varianssille σ 2 voidaan johtaa estimaatti ˆσ 2 = s 2 = SSE n k 1 Jäännösneliösumman SSE lauseke voidaan laskemista varten saattaa muotoon SSE = y 2 i = Y Y b X Y b 0 yi b 1 xi1 y i... b k xik y i
33 Mallin sopivuuden tutkiminen 197 Regressiomallin kykyä selittää havaittuja Y :n arvoja voidaan tutkia vertaamalla jäännösneliösummaa SSE havaittuun Y :n kokonaisvaihtelun neliösummaan SST = (y i ȳ) 2 = y 2 i + 1 n ( y i ) 2 ja selitettyyn neliösummaan SSD = SST SSE Regressiomallin sopivuutta havaintoaineistoon kuvastaa selitysaste R 2 = SSD SST = SST SSE SST
34 Mallin sopivuuden tutkiminen 198 Mallin tilastollista merkitsevyyttä voidaan arvioida testaamalla hypoteeseja H 0 : β 1 = β 2 =... = β k = 0 H 1 : β j 0, joillakin j = 1,..., k SSD/k Testisuure: F = F (k, n k 1) SSE/(n k 1) Jos F > F 1 α (k, n k 1), niin H 0 hylätään riskitasolla α.
35 Regressiokertoimien testaus 199 Saadut regressiokertoimien estimaatit b j = ˆβ j ovat satunnaismuuttujien arvoja. Laskemalla voidaan todeta, että estimaattori b j = ˆβ j noudattaa normaalijakaumaa N(β, σ 2 v jj, missä v jj on matriisin V = (X X ) 1 j:s lävistäjäalkio. Muotoa H 0 : β j = b olevaa hypoteesia voidaan siten testata suureen T = b j b s v jj t(n k 1) avulla. Mikäli hypoteesit on asetettu muotoon H 0 : β j = 0, H 1 : β j 0, hylätään H 0 riskitasolla α, mikäli b j /(s v jj ) > t 1 α/2 (n k 1)
36 Tekstiilitehtaassa tutkittiin kankaan värjäävyyttä Y kun vaihdeltiin värjäysliuoksen lämpötilaa X 1 ja kiuotusaikaa X 2. Värjäävyyttä mitattiin kankaaseen absorboituneen väriaineen määrän mukaan. Mittaustulokset olivat seuraavat: X 1 ( o C) X 2 (min) Y (mg) Sovitetaan aineistoon kahden selittävän muuttujan lineaarista regressiomallia Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + ɛ A) Estimoi mallin parametrit (myös jäännösvarianssi). B) Laske mallin selitysaste ja yhteiskorrelaatiokerroin. C) Testaa regression merkitsevyys F-testillä. D) Mikä ennuste imeytyneen väriaineen määrälle, jos liuoksen lämpötila on 95 ja liuotusiaika 25 min?
37 A) Estimoi mallin parametrit (myös jäännösvarianssi). Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + ɛ Normaaliyhtälöt X Xb = X Y n = 6 k = 2 X = X X = = Y = xi xi2 n xi1 xi2 x 2 i1 xi1 x i2 xi1 x i2 x 2 i
38 X Y = yi xi1 y i xi2 y i Normaaliyhtälöt Ratkaisu = b 0 b 1 b 2 b = ˆβ = (X X ) 1 (X Y ) = SST = SS yy = y 2 ( y) 2 n = = =
39 SSE = Y Y bx Y = y 2 (b 0 b 1 b 2 ) = = y SSD = b X 2 Y = SST SSE = n Jäännösvarianssi s 2 = SSE n k 1 = = s = 5.44 B)Laske mallin selitysaste ja yhteiskorrelaatiokerroin. Selitysaste R 2 = SSD = SST Yhteiskorrelaatiokerroin R =
40 C) Testaa regression merkitsevyys F-testillä. H 0 : β 1 = β 2 = 0 (Malli ei selitä) H 1 : ainakin toinen β 0 (Malli selittää) Testisuure: SSD/k F = SSE/(n k 1) = / /(6 2 1) = Kriit. arvo tasolla α = 0.05F 0.95 (k, n k 1) = F 0.95 (2, 3) = 9.55 Kriit. arvo tasolla α = 0.01F 0.99 (2, 3) = F > F 0,99 H 0 hylätään : malli selittää merkitsevästi värjäävyyttä Y D) Mikä ennuste imeytyneen väriaineen määrälle, jos liuoksen lämpötila on 95 ja liuotusiaika 25 min? Kun, x 1 = 95 C, x 2 = 25min ennuste ŷ = b 0 + b b 2 25 = mg
Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
Lisätiedotxi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =
1. Tutkitaan paperin ominaispainon X(kg/dm 3 ) ja puhkaisulujuuden Y (m 2 ) välistä korrelaatiota. Tiettyä laatua olevasta paperierästä on otettu satunnaisesti 10 arkkia ja määritetty jokaisesta arkista
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1
Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Lineaarinen regressiomalli ja suurimman uskottavuuden menetelmä Minimin löytäminen
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n
LisätiedotHarjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotKoska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.
24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Satunnaismuuttujien välinen riippuvuus Kokeellisen tutkimuksen keskeinen tehtävä on selvittää mitattavien muuttujien välisiä
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotYleistetyistä lineaarisista malleista
Yleistetyistä lineaarisista malleista Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Klassinen lineaarinen malli y = Xb + e eli E(Y) = m, jossa m = Xb Satunnaiskomponentti: Y:n komponentit
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yleinen lineaarinen malli Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Yleisen lineaarisen mallin matriisisesitys Yleisen
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Odotusarvojen erotuksen testi, hajonnat σ 1 σ 2 tuntemattomia Oletetaan jälleen, että X ja Y ovat normaalijakautuneita.
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotYleinen lineaarinen malli
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 1: 1 Määritelmä ja standardioletukset 2
Lisätiedotedellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotFoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo
FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
Lisätiedot1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotHAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT
HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT F: E: Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies (1) 59 28 4 91 Nainen (2) 5 14 174 193 Yhteensä 64 42 178 284 Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies
LisätiedotAalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 2016 Laskuharjoitus 5, Kotitehtävien palautus laskuharjoitusten
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotAki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO
Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme
Lisätiedot806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.
806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ
LisätiedotUSEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI
TEORIA USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI Regressiomalleilla kuvataan tilanteita, jossa suureen y arvot riippuvat joukosta ns selittäviä muuttujia x 1, x 2,..., x p oletetun funktiomuotoisen
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
LisätiedotTA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET 16..015 1. a Poliisivoimien suuruuden lisäksi piirikuntien rikostilastoihin vaikuttaa monet muutkin tekijät. Esimerkiksi asukkaiden keskimääräinen
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017
LisätiedotLuottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.
6.10.2015/1 MTTTP1, luento 6.10.2015 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla
LisätiedotLuottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.
6.10.2016/1 MTTTP1, luento 6.10.2016 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een
031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11
LisätiedotLatinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt
TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Hypoteesin testauksesta Tilastollisessa testauksessa on kyse havainnoista tapahtuvasta päätöksenteosta. Kokeellisen tutkimuksen
Lisätiedot9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut
9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
Lisätiedot1. Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 5 RATKAISUEHDOTUKSET 232215 1 Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia Y i = β + β 1 X 1,i + β 2 X 2,i + u i (a) Kirjoita regressiomalli muodossa
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotLuottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.
5.10.2017/1 MTTTP1, luento 5.10.2017 KERTAUSTA Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla todennäköisyydellä,
LisätiedotLohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Lohkoasetelmat Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 1/3 Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla voidaan tutkia kahden tekijän A ja B vaikutusta sekä niiden yhdysvaikutusta tutkimuksen kohteeseen Kaksisuuntaisessa
LisätiedotEstimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet Deterministiset mallit ja regressioanalyysi
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio Tilastollinen riippuvuus, korrelaatio ja regressio Kahden muuttujan
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?
MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo
LisätiedotTutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)
1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi
Lisätiedot1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 7 RATKAISUEHDOTUKSET 16.3.2015 1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset regressiomallin oletukset pätevät (Key Concept
Lisätiedotl (φ; y) = l(θ(φ); y) Toinen derivaatta saadaan tulon derivaatan laskusäännöllä Uudelleenparametroidun mallin Fisherin informaatio on
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 018 Harjoitus B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1 (Monisteen tehtävä 14) Olkoon f Y (y; θ) tilastollinen malli, jonka
LisätiedotErityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen
Lisätiedot2. Keskiarvojen vartailua
2. Keskiarvojen vartailua Esimerkki 2.1: Oheiset mittaukset liittyvät Portland Sementin sidoslujuuteen (kgf/cm 2 ). Mittaukset y 1 ovat nykyisestä seoksesta ja mittaukset y 2 uudesta seoksesta, jossa lisäaineena
Lisätiedotr = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.
A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma Jaetaan perusjoukko rhmiin kahden tekän A ja B suhteen
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotHavaitsevan tähtitieteen peruskurssi I. Datan käsittely. Jyri Lehtinen. kevät Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos
Datan käsittely Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos kevät 2013 3. Datan käsittely Luennon sisältö: Havaintovirheet tähtitieteessä Korrelaatio Funktion sovitus Aikasarja-analyysi 3.1 Havaintovirheet Satunnaiset
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
Lisätiedot