Harjoitus 4 Tehtävä 1

Harjoitus 4 Tehtävä 1 19:39» Hei olen jumissa 1a) tehtävässä. Yritin näyttää että kovarianssi on nolla siten että E(Z m(x))(m(x) h(x)) E(Z m(x))(e(m(x) h(x)) = 0. Laskuista tuli aika raskaita enkä heti näe miten tuota iteroitua odotusarvoa voisi käyttää noiden sieventämisessä. Onko tämä oikea suunta vai olisiko jotain vinkkiä miten läheä tekemään? 21:07» 19:39: askel on ihan hyvä eli olet kirjoittanut kovarianssin jo muodossa EW EV ja haluaisit näyttää että E(V 1 V 2 ) EV 1 EV 2 = 0. 1) osoittautuukin, että se E(V 1 V 2 ) = E(V 1 ) = 0, kun V 1 = Z m(x). 2) Kokeile ensin miettiä, kuinka iteroidun odotusarvon avulla voisi päätellä että E(V 1 ) = 0.... PetteriP 21:07»... 3) Tuon E(V 1 V 2 ) = 0 osoittamiseen kannattaa laskea ensin, mitä on E(V 1 V 2 X = x) 4) Tämän jälkeen voikin määrätä, mitä on E(V 1 V 2 X) ja 5) nyt E(V 1 V 2 ) saadaankin iteroidun odotusarvon avulla. Auttoikohan tämä 19:39? PetteriP 21:39» Kiitos auttoi! Tuota kohtaa 3) täytyy vielä pohtia :D 22:13» 21:39: mainiota Lisävinkkinä monisteen kaava (8.7) (ja nyt myös sama oikein kalvossa...) eli tunnetut tekijät pihalle kaava PetteriP 14:20» Kiitos! 17:29» Vääntäkääs rautalangasta että onko edellisissä viesteissä V 1 = Z m(x) ja V 2 = m(x) h(x)? 17:52» Eikun taitaakin olla V 1 = X, V 2 = Y? Mitenköhän tästä ekasta tehtävästä saisi tolkkua. Ilmeisesti lähdetään kuitenkin tuosta cov 0 osoittamaan? 18:05» 14:20: ollos hyvä PetteriP 18:06» 17:29: rautalangaksi V 1 on kuin onkin Z m(x) ja V 2 = m(x) h(x). PetteriP 47

18:07» 17:52: Kun V 1 = Z m(x), niin mitä olisi EZ ja Em(X) (tähän auttanee odotusarvo iteroituna odotusarvona)? PetteriP 18:09».. tuohon 21:07 viesteihini tuo E(V 1 V 2 X = x) laskemiseen kannattaa miettiä, että mitä olisi E(V 1 (m(x) h(x)) X = x) kaavan (8.7) mielessä ja mitä olisi E(V 1 X = x)? Näillä ja noilla 21:07 vihjeillä tuon tehtävän pitäisi ratketa. Auttoikohan tämä 17:52? PetteriP 19:47» Onko niin, että T1 a) E(V 1 V 2 X = x) kaavalla 8.7 ajatellaan, että se g 1 (x) on se m(x)? 19:49» En nimittäin saa sitä tuloa sellaiseen muotoon, jossa tuon m(x):n saa kaavan tapaan ulos 21:02» 19:47 ja 19:49: itse asiassa tässä voi ajatella että g 1 (x) = m(x) h(x). Auttaisikohan tämä? Tällöin kaava (8.7):ssa olisi E(g 1 (X)g 2 (X, Y ) X = x) = g 1 (x)e(g 2 (X, Y ) X = x). Mikä tässä tehtävässä vastaisi tuota satunnaismuuttujaa g 2 (X, Y ) (sekä muunnosta g 2 (x, y))? PetteriP 21:05»... Kun vielä yrittää laskea tuota jäljelle jäävää ehdollista odotusarvoa, niin lineaarisuus ja kaava (8.7) uudestaan auttanee. Tästä jäljelle jäävästä ehdollisesta odotusarvosta pitäisi tulla nolla, jolloin 0 * jotain = 0... PetteriP 21:14» Auttaa kiitos! 21:52» 21:14: mainiota PetteriP 12:39» Mä olen nyt ihan hulluuden vuorilla tän ykköstehtävän kanssa, jos rupean laskemaan E(V 1 V 2 X = x), niin miten siitä päästään takaisin tuohon kovarianssin kaavaan? Mitä eroa on E(Z X = x):llä ja E(Z X):llä, ja mitä tarkoittaa 21:02 mainittu g 2 (X, Y ) g 2 (x, y) muunnos? 12:55» Itse ainakin lähdin siitä, et korrelaatiokaavan sen osoittajan tulee olla nolla ja koska riippumattomuudesta ei tiedetä, niin molempien termien osoittajassa tulisi olla nolla. 13:01» Ehkä oikea huomio oli, et sen ehdollisuuden voi laittaa termeille sulkujen sisällä erikseen ja et m(x) = E(Z X = x) ja m(x) = E(Z X), ja tuon 48

E(Z X = x) saa E(Z...) pyörittelyllä ja ihan vaan asettamalla tuon ehdollisuuden X = x. En kyl yhtään tiedä, mitä sai tehdä ja mitä ei, mutta vastaukseksi sain molempiin nolla. 13:07» Jooh no mä nyt aloin vähän laskeutumaan sieltä hulluuden vuorilta, ja luulen että sain ton 1a:n ainakin ratkastua. En kyllä oo yhtään varma et menikö kaikkien taiteen sääntöjen mukasesti ku oli aika villit pikkuäx-isoäx -pyörittelyt. 13:13» 12:39: Eli aiemmin oli tuolla oli että cov (V 1, V 2 ) = 0 jos E(V 1 V 2 ) EV 1 EV 2 = 0. Tuolla aiemmin oli, että 1) EV 1 = 0 iteroidun odotusarvon avulla, joten kunhan E(V 1 V 2 ) = 0, niin homma toimii... PetteriP 13:13»... Nyt E(V 1 V 2 ) = EE(V 1 V 2 X). Merkitään hetkeksi E(V 1 V 2 X = x) = h(x), mikä on luku kun x on jokin kiinteä luku. Tällöin luentojen määritelmän mukaan E(V 1 V 2 X) = h(x) eli se on muunnos X:stä (eli se on satunnaismuuttuja)... mutta 13:07:n perusteella olet sanut mainiota vertaistukea jo, joten yritän hieman aukaista tuota eroa esimerkillä lisää. PetteriP 13:20» Eli: jos katsotaan luentojen esimerkkiä 8.2, missä on hierarkinen malli X Y Bin (Y, θ) ja Y Poi (λ). Jos tietäisimme, että Y = 2, niin mallin mukaan X (Y = 2) Bin (2, θ) joten tässä m(2) = E(X Y = 2) = 2 θ. Vastaavasti m(3) = 3 θ ja yleisesti m(y) = y θ. Ehdollinen odotusarvo ehdolla sm:n Y arvo on siis luku (joka riippuu mikä arvo sattuu olemaan... PetteriP 13:25»... kun nyt y korvataankin sm:lla Y, niin saadaan m(y ) = Y θ, mikä on satunnaismuuttuja. Tämä m(y ) on kurssilla määritelty tarkoittavan ehdollista odotusarvoa E(X Y ) ehdolla sm Y. Selvensiköhän tämä näiden käsitteiden eroja? PetteriP 13:36» Juu. Kyse on siis vain muuttujiin sijoituksesta. Oon nyt saanut tuon muotoon V 2 m(x) V 2 Em(x), ja haluisin kovasti väittää että m(x) = Em(x), mutta se ei taida kyllä pitää paikkaansa? Tämä on itseasiassa sama kysymys kuin @12:27. 49

13:45» Eikun hmm, onko g(x, Y ) jokin luku vai sm? 13:45» Eg(x, Y ) tarkoitin 14:16» 13:36: tuo V 2 oli siis alun perin m(x) h(x), joten E(V 1 V 2 X) = V 2 E(V 1 X) aivan kuten päättelitkin. Tämä vastaa sitä, että E(V 1 V 2 X = x) = (m(x) h(x)) E(V 1 X = x). Tuo V 1 oli Z m(x), joten pitäisi miettiä 1) mitä on E(Z X = x), mitä on 2) E(m(X) X = x), ja 3) mitä on siis E(Z m(x) X = x) PetteriP 14:23» 13:36: jos m(x) on luku (eli ei satunnaismuuttuja), niin silloin kyllä Em(x) = m(x) (vakion odotusarvo on sama vakio), mutta hieman tuo vielä eroaa tuosta 14:16:n kommentistani PetteriP Harjoitus 4 Tehtävä 2 21:25» Onko tehtävän 2) tehtävänannossa typo? Siellä määritellään m(x) (pieni x) = E(g(X, Y ) X = x) mutta epäyhtälössä esiintyy vain m(x) mikä on varmaankin ykköstehtävän E(Z X)? 07:15» 21:25: tuo kohta ei ole typo Ehdollinen odotusarvo ehdolla sm E(Z X) määritellään kurssilla sm:n X muunnoksena m(x), kun muunnos m on määritelty tuolla m(x) = E(Z X = x) kaavalla, eli m(x) on sm:n Z ehdollinen odotusarvo ehdolla sm:n X arvo. Eli m(x) on sama kummassakin tehtävässä, tehtävässä 1 olisi minun pitänyt kirjoittaa tuo samalla tapaa kuin tehtävässä 2. PetteriP 07:16»... siis m(x) = E(Z X) myös tehtävässä 2, mutta siinä se on määriteltynä tarkemmin PetteriP Harjoitus 4 Tehtävä 3 12:27» Sain luultavasti väärin, että T3 ehdollisen odotusarvon varianssista tulisi nolla. Eikö odotusarvo m(x):stä ole m(x)? 50

14:39» 12:27 ja 13:36: jos katsotaan tehtävää 3, niin m(x) = E(Y X = x). Nyt E(Y X) olisi tätä vastaava sm:n muunnos m(x), joten Em(X) = EE(Y X) = EY, kun taas m(x) olisi E(Y X = x). PetteriP 14:44»... tätä ehkä voisi miettiä edelleen sen monisteen esimerkin 8.2. mukaan (eli tuon @13:20 ja @13:25 kommentit). Siinä esimerkissä (jossa Y ja X ovat eri päin kuin tehtävässä 3 vastaavat olisivat Em(Y ) = E(X θ) = θ EX = θ λ (koska X oli esimerkissä Poi (λ). Vastaavassa esimerkissä m(y) oli siis θ y, joten nämä eivät aina ole yhtäsuuria. PetteriP 14:44»... selvensiköhän tämä? PetteriP Harjoitus 4 Tehtävä 4 17:29» Öhm käytetäänkä tuohon T4 a tf:n f y x sitä kaavaa 1/(b a)? 18:14» 17:29: kyllä eli tasajakauman tiheysfunktiota Petteri.. 18:14» Väli (a, b) vain riippuu x:stä Petteri.. 18:36» Jääkö T4 c odotusarvoon ja varianssiin x? Eli voi käyttää ihan vain tasajakauman kaavoja odotusarvolle ja varianssille? 18:45» 18:36: kyllä Juuri siitä on kyse Tehtävän on tarkoitus korostaa, kuinka hierarkista malleja luetaan, joten tehtävän on tarkoitus olla varsin yksinkertainen. PetteriP Harjoitus 4 Tehtävä 5 14:23» Miten tehtävässä 5a) pitäisi toimia? En ole varma, saanko integroida odotusarvoa, joka on funktio x:stä. 51

Harjoitus 4 Tehtävä 6 19:58» Tarkistaisin vain, et onko tossa t6 d) tarkoitus selvittää sen kaavan kaikki osaset eli laskea EY, cov (X, Y ) ja var X? Vai kuuluuko jotenki huomioida ehdollisuus mukana? 22:09» 19:58: kyllä vain. Voit lopuksi vaikka graafisesti vertailla saamaasi regressiofunktiota m(x) = E(Y X = x) ja 6d):n parasta lineaarista ennustetta keskenään Tämä on tietty vapaaehtoista PetteriP 52