KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 3. Kompleksinen derivointi 3.1. Määritelmä. Olkoon G kompleksitason C epätyjä osajoukko. Olkoon z 0 joukon G sisäpiste. Funktio f : G C on kompleksisesti derivoituva pisteessä z 0, jos on olemassa raja-arvo f(z 0 + ) f(z 0 ) (3.1) lim, 0 missä z 0 + G. 3.2. Huomautus. Meillä on nyt kunta (R 2, +, ) = C ja kunnan laskusäännöt, joten on kompleksiluku ja jakolasku on madollinen. Raja-arvoa (3.1) merkitään f (z 0 ) ja se on funktion f kompleksinen derivaatta pisteessä z 0. 3.3. Huomautus. Kompleksinen derivoituvuus pisteessä ei riitä rakentamaan mielenkiintoista teoriaa, vaan tarvitaan kompleksinen derivoituvuus pisteen avoimessa ympäristössä. Funktio f : G C on analyyttinen pisteessä z 0, jos on olemassa avoin kiekko D(z 0, δ) G jollain δ > 0 siten, että funktiolla f on kompleksinen derivaatta jokaisessa kiekon D(z 0, δ) pisteessä. Olkoon A kompleksitason C avoin joukko. Funktio f : A C on analyyttinen kompleksitason avoimessa joukossa A, jos funktion f on analyyttinen jokaisessa joukon A pisteessä. Funktio f : z f (z) on funktion f kompleksinen derivaatta. Funktion f määrittelyjoukko on se kompleksilukujen joukko, jossa f on kompleksisesti derivoituva. 3.4. Huomautus. Funktion f : R 2 R 2 kompleksinen derivoituvuus on paljon vavempi ominaisuus kuin reaalinen differentioituvuus. Date: 27092012. 1

2 Kompleksianalyysi I kurssi/rhs 3.5. Esimerkki. 1. Olkoon f : C C, f(z) = z 2. Kiinnitetään piste z 0 C. Silloin f(z 0 + ) f(z 0 ) lim 0 Siis f (z) = 2z kaikilla z C. 2. Olkoon f : C C, f(z) = z. Silloin = lim 0 (z 0 + ) 2 (z 0 ) 2 = lim 0 2z 0 + 2 = lim 0 (2z 0 + ) = 2z 0. f(z 0 + ) f(z 0 ) = z 0 + z 0 = 1 kaikilla z 0 C. Siis f (z 0 ) = 1 kaikilla z 0 C. 3. Jokainen vakiofunktio on kompleksisesti derivoituva ja vakiofunktion derivaatta on nolla: Olkoon f(z) = c C kaikilla z. Silloin kaikilla z 0 f(z 0 + ) f(z 0 ) = c c = 0. 3.6. Esimerkki. Olkoon f : C C, f(z) = z. Olkoon piste z 0 C kiinnitetty. Valitaan kaksi eri läestymissuuntaa pisteeseen z 0. Olkoon n N. Merkitään z 0 = (x 0, y 0 ). Valitaan ensin = 1 eli = ( 1, 0). Silloin n n f(z 0 + ) f(z 0 ) = z 0 + 1 n z 0 1 n Valitaan sitten = i n eli = (0, 1 n ). Silloin = 1. f(z 0 + ) f(z 0 ) = z 0 + i n z 0 i n = i n i n = 1. Siis funktio f ei ole kompleksisesti derivoituva missään kompleksitason pisteessä. Toisaalta, kun f : R 2 R 2, f(x, y) = (x, y) ; siis f 1 : (x, y) x, f 2 : (x, y) y. Silloin komponenttifunktioiden tavalliset reaaliset osittaisderivaatat ovat f 1 x (x, y) = 1 ja f 1 (x, y) = 0 y f 2 x (x, y) = 0 ja f 2 (x, y) = 1. x

Kompleksianalyysi I kurssi/rhs 3 Koska komponenttifunktioiden f 1 ja f 2 osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia jokaisessa tason pisteessä (x, y), niin funktio f on reaalisesti differentioituva koko reaalitasossa. Geometrinen esitys on kadessa seuraavassa lemmassa: Olkoot A kompleksitason C epätyjä avoin osajoukko, funktio f joukossa A määritelty kompleksiarvoinen funktio ja z 0 A. 3.7. Lemma. Jos funktiolla f on pisteessä z 0 kompleksinen derivaatta f (z 0 ) = α, niin jossain kiekossa D(z 0, δ) pätee (eli on olemassa keitelmä) f(z 0 + ) = f(z 0 ) + f (z 0 ) + ɛ f,z0 (), missä lim 0 ɛ f,z 0 () = 0. Todistus. Määritellään ɛ f,z0 (0) = 0 ja ɛ f,z0 () = f(z 0 + ) f(z 0 ) f (z 0 ), 0. 3.8. Lemma. Jos on olemassa δ > 0 siten, että z 0 -keskisessä δ-säteisessä kiekossa D(z 0, δ) on määritelty funktio ɛ f,z0, jolle lim ɛ f,z 0 () = 0 0 ja luku α C siten, että kiekossa D(z 0, δ) pätee f(z 0 + ) = f(z 0 ) + α + ɛ f,z0 (), niin funktio f on kompleksisesti derivoituva pisteessä z 0. Tällöin f (z 0 ) = α. Todistus. f(z 0 + ) f(z 0 ) = α + ɛ f,z0 () α, kun 0. 3.9. Huomautus. Toinen merkintä on ɛ f,z0 ( ) = ɛ f (, z 0 ). 3.10. Huomautus. Siis läellä lukua z 0 eli luvun z 0 riittävän pienessä ystössä g(z 0 + ) = f(z 0 ) + f (z 0 )() g(w) = f(z 0 ) + f (z 0 )(w z 0 ) g(w) = f(z 0 ) z 0 f (z 0 ) + f (z 0 )w g(w) = λ w + µ,

4 Kompleksianalyysi I kurssi/rhs missä λ = f (z 0 ) C ja µ = f(z 0 ) z 0 f (z 0 ) C. (Muistutus: Kaden kompleksiluvun tulo (tässä λ w) on kierto ja venytys/kutistus.) Funktiota f voidaan siis approksimoida pisteen z 0 läellä lineaarisella kompleksikertoimisella polynomilla. 3.11. Huomautus. Funktio f : A C, A C avoin, on kompleksisesti derivoituva pisteessä z 0 A, jos f(z) f(z 0 ) lim = f (z 0 ) =: z z 0 z z 0 d dz f(z 0). Jälkimmäinen merkintä d dz f(z 0) on Leibniz in merkintä. Operaattori d dz operoi w = f(z):lla, siis d dz w = f (z). 3.12. Korollaari. Olkoot A kompleksitason avoin osajoukko, f : A C, z 0 A. Jos funktio f on kompleksisesti derivoituva pisteessä z 0 niin funktio f on jatkuva pisteessä z 0. Todistus. lim z z 0 (f(z) f(z 0 )) = lim z z0 f(z) f(z 0 ) z z 0 (z z 0 ) = f (z 0 ) 0 = 0. Käänteinen ei päde: f(z) = z on jatkuva koko kompleksitasossa, mutta f(z) = z ei ole kompleksisesti derivoituva missään. Useimmat kompleksisen derivoituvuuden seuraukset ovat erilaiset kuin reaalisen differentioituvuuden, mutta algebralliset derivoimissäännöt ovat samanlaiset. Myös niiden todistukset ovat samantapaiset sekä reaali- että kompleksisessa tapauksessa. 3.13. Lause. Summan, tulon ja osamäärän derivaatat -lause. Olkoon G kompleksitason epätyjä osajoukko. Olkoot f : G C ja g : G C kompleksisesti derivoituvia pisteessä z 0 int G. Silloin (1) funktio f + g : G C on kompleksisesti derivoituva pisteessä z 0 ja (f + g) (z 0 ) = f (z 0 ) + g (z 0 ), (2) funktio fg : G C on kompleksisesti derivoituva pisteessä z 0 ja (fg) (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) + f(z 0 )g (z 0 ). (3) Jos lisäksi g(z 0 ) 0, niin funktio f : G C on määritelty g jossain pisteen z 0 ympäristössä ja funktio f on kompleksisesti g derivoituva pisteessä z 0 ja ( f g ) (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) f(z 0 )g (z 0 ) (g(z 0 )) 2.

Kompleksianalyysi I kurssi/rhs 5 Todistus. Kun on riittävän pieni, niin ja f(z 0 + ) f(z 0 ) = f (z 0 ) + ɛ f,z0 () g(z 0 + ) g(z 0 ) = g (z 0 ) + ɛ g,z0 (), missä lim 0 ɛ f,z0 () = 0 ja lim 0 ɛ g,z0 () = 0. Summaamalla saamme missä (f + g)(z 0 + ) = f(z 0 + ) + g(z 0 + ) = f(z 0 ) + g(z 0 ) + (f (z 0 ) + g (z 0 )) + ɛ f+g,z0 () = (f + g)(z 0 ) + (f (z 0 ) + g (z 0 )) + ɛ f+g,z0 (), ɛ f+g,z0 () = ɛ f,z0 () + ɛ g,z0 () 0, kun 0. Summaa koskeva väite on todistettu. Tulokaavan todistus: Kerrotaan funktioiden f ja g keitelmät keskenään, jolloin missä (fg)(z 0 + ) = f(z 0 + )g(z 0 + ) = (fg)(z 0 ) + f(z 0 )g (z 0 ) + f(z 0 )ɛ g,z0 () + f (z 0 )g(z 0 ) + f (z 0 )g (z 0 ) + f (z 0 )ɛ g,z0 () + g(z 0 )ɛ f,z0 () + g (z 0 )ɛ f,z0 () + ɛ g,z0 ()ɛ f,z0 () = (fg)(z 0 ) + (f (z 0 )g(z 0 ) + f(z 0 )g (z 0 )) + f (z 0 )g (z 0 ) + (f(z 0 ) + f (z 0 ))ɛ g,z0 () + (g(z 0 ) + g (z 0 ))ɛ f,z0 () + ɛ f,z0 ()ɛ g,z0 (), ɛ fg,z0 () = f (z 0 )g (z 0 ) + (f(z 0 ) + f (z 0 ))ɛ g,z0 () + (g(z 0 ) + g (z 0 ))ɛ f,z0 () + ɛ f,z0 ()ɛ g,z0 () 0, kun 0. Siis tuloa koskeva väite on todistettu. Osamäärää koskevan väitteen todistus: Riittää laskea ( 1 g ) (z 0 ). Kun on kyllin pieni, niin 1 g(z 0 + ) 1 g(z 0 ) = g(z 0) g(z 0 + ) g(z 0 + )g(z 0 ) = g (z 0 ) ɛ g,z0 () g(z 0 + )g(z 0 ) = g (z 0 ) (g(z 0 )) + g (z 0 ) 2 (g(z 0 )) + g (z 0 ) ɛ g,z0 (). 2 g(z 0 + )g(z 0 )

6 Kompleksianalyysi I kurssi/rhs Asetamme ɛ 1/g,z0 () = ɛ ( ) g,z 0 () g(z 0 + )g(z 0 ) + g (z 0 ) 1 g(z 0 ) g(z 0 ) 1. g(z 0 + ) Koska ɛ g,z0 () 0, kun 0, ja funktion g jatkuvuuden perusteella g(z 0 + ) g(z 0 ), kun 0, saamme vaaditun keitelmän missä 1 g(z 0 + ) = 1 g(z 0 ) g (z 0 ) (g (z 0 )) + ɛ 2 1/g,z 0 (), ɛ 1/g,z0 () 0, kun 0. 3.14. Lause. Ketjusääntö. Olkoot A ja B kompleksitason avoimia joukkoja. Olkoot funktiot f : A C ja g : B C analyyttisiä, ja oletetaan, että f(a) B. Silloin ydistetty kuvaus g f : A C on analyyttinen joukossa A ja kaikilla z 0 A. (g f) (z 0 ) = g (f(z 0 ))f (z 0 ) Todistus. Olkoon z 0 A. Koska joukot A ja B ovat avoimia ja f on jatkuva, niin on olemassa δ > 0 siten, että z 0 + A ja f(z 0 +) B, kunan < δ. Funktioiden f ja g analyyttisyyden nojalla kunan on kyllin pieni, ja f(z 0 + ) f(z 0 ) = f (z 0 ) + ɛ f,z0 (), g(w 0 + k) g(w 0 ) = g (w 0 )k + kɛ g,w0 (k). kaikilla w 0 B, kunan myös k on riittävän pieni. Valitaan w 0 = f(z 0 ) ja k = f(z 0 + ) f(z 0 ). Nyt missä (g f)(z 0 + ) (g f)(z 0 ) = g(f(z 0 + )) g(f(z 0 )) = g(w 0 + k) g(w 0 ) = g (w 0 )k + kɛ g,w0 (k) = g (w 0 )(f(z 0 + ) f(z 0 )) + (f(z 0 + ) f(z 0 ))ɛ g,w0 (k) = g (f(z 0 ))f (z 0 ) + g (f(z 0 ))ɛ f,z0 () + (f (z 0 ) + ɛ f,z0 ())ɛ g,f(z0 )(f(z 0 + ) f(z 0 )) = g (f(z 0 ))f (z 0 ) + ɛ g f,z0 (), ɛ g f,z0 () = g (f(z 0 ))ɛ f,z0 () + (f (z 0 ) + ɛ f,z0 ())ɛ g,f(z0 )(f(z 0 + ) f(z 0 )) 0, kun 0, funktion f jatkuvuuden perusteella.

Kompleksianalyysi I kurssi/rhs 7 3.15. Seurauslauseita ja uomautuksia. (1) Potenssifunktio z z n, n 1, n N, on analyyttinen koko kompleksitasossa ja sen derivaatta on nz n 1. (2) Kompleksikertoiminen n : nnen asteen polynomi P : C C, P (z) = a n z n + +a 1 z +a 0, missä a k C, k = 0, 1,, n 1, a n C\{0}, eli n P (z) = a k z k, k=0 on analyyttinen koko kompleksitasossa. Tällöin n P (z) = ka k z k 1. k=1 (3) Olkoot P ja Q polynomeja. Silloin rationaalifunktio R(z) = P (z) Q(z) on analyyttinen niissä kompleksitason pisteissä z 0, joissa Q(z 0 ) 0. (4) Koska z z ei ole analyyttinen ja z = z 2 z, kun z 0, niin funktio f : z z 2 = x 2 + y 2 ei ole analyyttinen missään. Tosin f on kompleksisesti derivoituva origossa. Toisaalta funktio (x, y) x 2 + y 2 on reaalisesti differentioituva kaikkialla reaalitasossa. 3.16. Lause. Käänteiskuvauksen derivaatta. Olkoon A kompleksitason avoin joukko. Olkoon funktiolla f : A C pisteessä z A kompleksinen derivaatta f (z) 0. Olkoon funktiolla f pisteen f(z) =: w jossakin ympäristössä U määritelty jatkuva käänteiskuvaus f 1. Silloin käänteiskuvauksella f 1 on kompleksinen derivaatta pisteessä w ja (f 1 ) (w) = 1 f (z) = 1 f (f 1 (w)). Todistus. Koska funktiolla f on kompleksinen derivaatta pisteessä z, niin f(z + ) f(z) = f (z) + ɛ f,z (), missä lim 0 ɛ f,z () = 0. Olkoon k niin pieni, että w + k U. Tälöin jokaiselle sellaiselle k C on oma C siten, että f 1 (w + k) = z +. Koska f 1 on jatkuva ympäristössä U, niin lim(z + ) = lim f 1 (w + k) = f 1 (w) =, k 0 k 0

8 Kompleksianalyysi I kurssi/rhs siis 0, kun k 0. Silloin kun k 0. f 1 (w + k) f 1 (w) = z + z k w + k w = f(z + ) f(z) = f (z) + ɛ f,z () 1 = f (z) + ɛ f,z () 1 f (z), 3.17. Lause. Caucyn Riemannin ytälöt. Olkoon A kompleksitason avoin joukko. Olkoon f : A C funktio siten, että f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y), jossa u ja v ovat reaaliarvoiset komponenttifunktiot ja x ja y ovat reaalisia. Olkoon z 0 = (x 0, y 0 ) A. Silloin funktio f on kompleksisesti derivoituva pisteessä (x 0, y 0 ), jos ja vain jos f on reaalisesti differentioituva pisteessä z 0 = (x 0, y 0 ) ja reaaliarvoisten komponenttifunktioiden osittaisderivaatat toteuttavat Caucyn-Riemannin ytälöt { u (x x 0, y 0 ) = v (x y 0, y 0 ) v (x x 0, y 0 ) = u(x y 0, y 0 ). Merkinnöistä Karakterisaatiolauseen todistuksessa. ( u u(x 0, y 0 ) = x (x 0, y 0 ), u ) y (x 0, y 0 ) on funktion u gradientti pisteessä (x 0, y 0 ) ja (a b) = a 1 b 1 + a 2 b 2 on vektoreiden (a 1, a 2 ) ja (b 1, b 2 ) välinen sisätulo. Todistus. Oletetaan, että f on reaalisesti differentioituva pisteessä z A ja Caucyn-Riemannin ytälöt ovat voimassa. Olkoon = 1 + i 2. Koska u ja v ovat reaalisesti differentioituvia pisteessä z, niin ja u(z + ) u(z) = Du(z) + ɛ 1 () = ( u(z) ) + ɛ 1 () = u x (z) 1 + u y (z) 2 + ɛ 1 () v(z + ) v(z) = Dv(z) + ɛ 2 () = v x (z) 1 + v y (z) 2 + ɛ 2 (),

Kompleksianalyysi I kurssi/rhs 9 missä ɛ k () 0, kun 0, ja k = 1, 2. Merkitään ɛ 1 () + iɛ 2 () = ɛ(). Koska Caucyn-Riemannin ytälöt ovat voimassa, niin ( ) ( ) f(z + ) f(z) = u(z + ) u() + i v(z + ) v(z) ( u = x (z) 1 + u ) ( v y (z) 2 + i x (z) 1 + v ) y (z) 2 + ɛ 1 () + iɛ 2 () ( u = x (z) 1 v ) ( v x (z) 2 + i x (z) 1 + u ) x (z) 2 + ɛ() ( ) u = (z) + i v x x (z) ( 1 + i 2 ) + ɛ() ( ) u = (z) + i v x x (z) + ɛ() ( ) u = (z) + i v x x (z) + ɛ 0 (), missä ɛ 0 () = ( ɛ())/, kun 0, ja ɛ 0 (0) = 0, ja ɛ 0 () 0, kun 0. Siis f on kompleksisesti derivoituva pisteessä z A ja (3.2) f (z) = u (z) + i v x x (z). Eli väitteen toinen suunta on todistettu. Todistamme vielä toisen suunnan. Olkoon f kompleksisesti derivoituva pisteessä z 0 A. Silloin on olemassa keitelmä, kunan on kyllin pieni, (3.3) f(z 0 + ) = f(z 0 ) + α + ɛ(), missä α = f (z 0 ) ja lim 0 ɛ() = 0. Merkitsemme α = α 1 + iα 2 ja = 1 + i 2. Silloin ytälön (3.3) vasen puoli on f(z 0 + ) = u(x 0 + 1, y 0 + 2 ) + iv(x 0 + 1, y o + 2 ) ja ytälön (3.3) oikea puoli on f(z 0 ) + α + ɛ() = u(x 0, y 0 ) + iv(x 0, y 0 ) + (α 1 + iα 2 )( 1 + i 2 ) + ( 1 + i 2 )ɛ( 1 + i 2 ) = u(x 0, y 0 ) + iv(x 0, y 0 ) + α 1 1 α 2 2 + i(α 1 2 + α 2 1 ) + Re(ɛ()) + i Im(ɛ()).

10 Kompleksianalyysi I kurssi/rhs Siis ytälön (3.3) perusteella ja u(x 0 + 1, y 0 + 2 ) = u(x 0, y 0 ) + α 1 1 α 2 2 + Re(ɛ()) = u(x 0, y 0 ) + ((α 1, α 2 ) ( 1, 2 )) + Re(ɛ()), v(x 0 + 1, y 0 + 2 ) = v(x 0, y 0 ) + α 2 1 + α 1 2 + Im(ɛ()) = v(x 0, y 0 ) + ((α 2, α 1 ) ( 1, 2 )) + Im(ɛ()). Olkoon 0. Silloin Re(ɛ()) = (Re(ɛ()))/ ja Im(ɛ()) = (Im(ɛ()))/. Merkitään ɛ 1 () = Re(ɛ())/ ja ɛ 2 () = Im(ɛ())/. Silloin ɛ j () ɛ(), j = 1, 2. Siis ja u(x 0 + 1, y 0 + 2 ) = u(x 0, y 0 ) + ((α 1, α 2 ) ( 1, 2 )) + ɛ 1 (), v(x 0 + 1, y 0 + 2 ) = v(x 0, y 0 ) + ((α 2, α 1 ) ( 1, 2 )) + ɛ 2 (), missä ɛ j () 0, kun 0, j = 1, 2. Siis funktiot u : A R ja v : A R ovat reaalisesti differentioituvia pisteessä (x 0, y 0 ) ja koska funktion u derivaatta on yksikäsitteinen pisteessä (x 0, y 0 ) ja koska funktion v derivaatta on yksikäsitteinen pisteessä (x 0, y 0 ), niin { α1 = u x (x 0, y 0 ) ja α 2 = u y (x 0, y 0 ), α 2 = v x (x 0, y 0 ) ja α 1 = v y (x 0, y 0 ). Siis f on reaalisesti differentioituva pisteessä (x 0, y 0 ) ja Caucyn-Riemannin ytälöt ovat voimassa. Seurauksena saamme tuloksen analyyttisille funktioille. 3.18. Lause. Okoon A kompleksitason avoin joukko. Olkoon f : A C, f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y), jossa u ja v ovat reaaliarvoiset komponenttifunktiot, x R ja y R. Funktio f on analyyttinen joukossa A, jos ja vain jos funktiot u ja v ovat reaalisesti differentioituvia joukossa A ja toteuttavat Caucyn-Riemannin ytälöt. 3.19. Esimerkki. Milloin seuraavat funktiot ovat kompleksisesti derivoituvia? Missä ne ovat analyyttisiä? (1) f(z) = Im(z) (2) f(z) = z Im(z) (3) f(x + iy) = x 2 + iy 2.

Kompleksianalyysi I kurssi/rhs 11 3.20. Esimerkki. (1) Olkoon f : C C, f(x, y) = x 2 y 2 +i2xy. Funktio f on analyyttinen koko kompleksitasossa: Merkitsemme u(x, y) = x 2 y 2 ja v(x, y) = 2xy. Funktiot u ja v ovat reaalisesti differentioituvia koko tasossa ja Caucyn-Riemannin ytälöt ovat voimassa. (1) Olkoon f : C C, f(z) = z 1 + z. Funktio f ei ole kompleksisesti derivoituva pisteessä z C\{0}, koska Caucyn-Riemannin ytälöt eivät ole voimassa silloin. (2) Funtiota vastaavien Caucyn-Riemannin ytälöiden voimassaolo pisteessä z 0 ei yksinään riitä siien, että funktio olisi derivoituva pisteessä z 0. Esimerkiksi: Olkoon f : C C määritelty siten, että luvulle z = x + iy, x R ja y R, (3.4) f(z) = { xy 2 (x+iy) x 2 +y 4 kun z 0, 0 kun z = 0. Tällöin Caucyn-Riemannin ytälöt ovat voimassa origossa, mutta f (0) ei ole olemassa. Ongelmana on, että Caucyn -Riemannin ytälöt eivät kuitenkaan ole voimassa punkteeratussa origokeskisessä avoimessa kiekossa. 3.21. Huomautus. Jos f : R 2 R 2 on reaalisesti differentioituva kuvaus siten, että f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)), niin funktion f Jacobin determinantti pisteessä (x 0, y 0 ) on ( x det u(x 0, y 0 ) u(x ) y 0, y 0 ) v(x x 0, y 0 ) v(x. y 0, y 0 ) Siis analyyttisen funktion f Jacobin determinantti pisteessä z 0 on f (z 0 ) 2. 3.22. Huomautus. Määrittelemme, että avoimessa joukossa määritelty funktio on lokaalisti vakio, jos funktio on vakio jokaisen pisteen jossain avoimessa ympäristössä. Itse asiassa lokaalisti vakio funktio on vakio jokaisessa määrittelyjoukkonsa ytenäisessä komponentissa. 3.23. Korollaari. Jos funktio f : A R on analyyttinen reaaliarvoinen funktio kompleksitason avoimessa joukossa A, niin funktio f on lokaalisti vakio. Todistus. Olkoon a A. Koska f on analyyttinen avoimessa joukossa A, niin on olemassa δ > 0 siten, että f on kompleksisesti derivoituva jokaisessa kiekon D(a, δ) A pisteessä (x 0, y 0 ). Siis Im f x (x 0, y 0 ) = Im f y (x 0, y 0 ) = 0.

12 Kompleksianalyysi I kurssi/rhs Caucyn-Riemannin ytälöiden nojalla myös Re f x (x 0, y 0 ) = Re f y (x 0, y 0 ) = 0. Siis f on lokaalisti vakio. 3.24. Huomautus. Määritellään Laplace-operaattori = 2 x + 2 2 y. 2 Olkoon A tason avoin joukko. Kadesti jatkuvasti differentioituva kuvaus f : A R on armoninen, jos kaikilla (x, y) A. f(x, y) = 0, 3.25. Lause. Analyyttisen funktion reaaliosa ja imaginääriosa ovat armonisia funktioita. Todistus. Jos funktio on analyyttinen, niin funktio on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva. Osoitamme tämän myöemmin. (Paljon enemmänkin on totta, palaamme tään Luvussa 8.) Caucyn-Riemannin ytälöiden nojalla Re f = 2 Re f + 2 Re f x 2 y 2 = Re f x x + Re f y y = Im f Im f = 0. x y y x Siis Ref = 0. Vastaavasti Imf = 0. 3.26. Lause. Jos u on armoninen kiekossa D(z 0, r), niin löytyy kiekossa analyyttinen funktio f, jolle Re f = u. 3.27. Huomautus. Lokaalisti armoniset funktiot ovat täsmälleen analyyttisten funktioiden reaali- ja imaginääriosat. 3.28. Huomautus. Eri tapoja osoittaa, että f ei ole kompleksisesti derivoituva: (1) Jos f on epäjatkuva pisteessä z 0, niin f ei ole kompleksisesti derivoituva pisteessä z 0. (2) Osoittaaksesi, että f ei ole kompleksisesti derivoituva pisteessä z 0, osoita, että raja-arvoa erotusosamäärälle f(z) f(z 0 ) z z 0.

Kompleksianalyysi I kurssi/rhs 13 (3) Osoittaaksesi, että f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) ei ole kompleksisesti derivoituva pisteessä z 0 = x 0 + iy 0, niin osoita, että f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) ei ole reaalisesti differentioituva pisteessä (x 0, y 0 ). (4) Olkoon f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y), jossa u ja v ovat reaaliarvoiset komponenttifunktiot, x R ja y R. Jos u x (x 0, y 0 ) v y (x 0, y 0 ) tai v x (x 0, y 0 ) u y (x 0, y 0 ), niin f ei ole kompleksisesti derivoituva pisteessä z 0. (5) Summan, tulon ja osamäärän yödyntäminen. (6) Voit käyttää tietoa, että analyyttisen funktion komponenttifunktiot ovat armonisia. 3.1. Lineaarikuvauksista. Derivoituvuus liittyy lineaariseen approksimointiin, joten kertaamme lineaarifunktion käsitteen. Olkoon V vektoriavaruus ja K sen kerroinkunta. Funktio L : V V on K-lineaarinen, jos (1) L(x + y) = Lx + Ly kaikilla x, y V (2) L(λx) = λlx kaikilla λ K ja x V. 3.29. Lause. Olkoon L : C C funktio, joka on R-lineaarinen. Silloin L(z) = az + b z kaikilla z C, missä a = 1 2 (L(1) il(i)) ja b = 1 (L(1) + il(i)). 2 Todistus. Olkoon z = x+iy, missä x R ja y R. Silloin R-lineaarisen kuvauksen määritelmän nojalla ja kompleksiluvun reaaliosan ja imaginääriosan ominaisuuksien nojalla L(x + iy) = xl(1) + yl(i) = z + z 2 L(1) + z z L(i) 2i = z 1 2 (L(1) il(i)) + z 1 (L(1) + il(i)) =: az + bz. 2 Vastaavasti kirjoittamalla z = 1 z saadaan suoraan 3.30. Lause. Jokainen C-lineaarinen kuvaus L : C C on muotoa L(z) = az kaikilla z C, missä a = L(1) on kompleksinen vakio. 3.31. Lause. Funktio L : C C funktio, joka on R-lineaarinen, on C-lineaarinen, jos ja vain jos L(iz) = il(z) kaikilla z C.

14 Kompleksianalyysi I kurssi/rhs Todistus. Suoraan C-lineaarisuus implikoi, että L(iz) = il(z) kaikilla z C. Toisaalta R-lineaariselle kuvaukselle Siis eli Siis, jos L(iz) = a(iz) + biz = i(az bz). L(iz) = il(z), joss i(az bz) = i(az + bz), L(iz) = il(z), joss iaz ibz = iaz + ibz. niin b = 0 ja L on C-lineaarinen. L(iz) = il(z) kaikilla z C, Kerrataan vielä reaalisesta differentioituvuudesta seuraava: Funktio f : R 2 R 2 on reaalisesti differentioituva pisteessä z 0, jos funktiolla f on keitelmä f(z 0 + ) f(z 0 ) = L f,z0 () + ɛ f,z0 (), missä kuvaus L f,z0 : R 2 R 2 on R-lineaarinen ja lim 0 ɛ f,z0 () = 0. Ko. edon täyttävää R-lineaarikuvausta sanotaan funktion f derivaataksi pisteessä z 0 ja merkitään Df(z 0 ). Toisaalta, jos f on reaalisesti differentioituva pisteessä z 0, edellä oleva keitelmä on voimassa. Funktiolla f on kompleksinen derivaatta pisteessä z 0 täsmälleen silloin, kun kuvaus L f,z0 ei ole vain R-lineaarinen vaan on myös C-lineaarinen. Olkoot a = a 1 + ia 2 ja b = b 1 + ib 2 ja myös z = x + iy ja w = u + iw. Oletetaan a k, b k, x, y, u, v R, k = 1, 2. Koska R-lineaariselle funktiolle w = az + bz saadaan, w = az + bz = (a 1 + ia 2 )(x + iy) + (b 1 + ib 2 )(x iy) = (a 1 x a 2 y + b 1 x + b 2 y) + i(a 1 y + a 2 x b 1 y + b 2 x) = (a 1 + b 1 )x (a 2 b 2 )y + i((a 2 + b 2 )x + (a 1 b 1 )y), niin R-lineaarinen kuvaus w = az + bz voidaan esittää katena reaalisena ytälönä u = (a 1 + b 1 )x (a 2 b 2 )y, v = (a 2 + b 2 )x (a 1 b 1 )y. Siis geometrisesti R-lineaarinen kuvaus on tason affiini kuvaus y = Ax, jonka matriisi A on ( ) a1 + b 1 (a 2 b 2 ) a 2 + b 2 a 1 b 1.

Jakobiaani on siis Kompleksianalyysi I kurssi/rhs 15 J = a 2 1 b 2 1 + a 2 2 b 2 2 = a 2 b 2. Tämä kuvaus on ei-singulaarinen, jos a b. Se säilyttää suunnistuksen, jos a > b, ja vaitaa suunnistuksen, jos a < b. Kuvaus kuvaa suorat suoriksi, ydensuuntaiset suorat ydensuuntaisiksi suoriksi ja neliöt vinoneliöiksi. Mutta C-lineaarinen kuvaus ei muuta suunnistusta, sillä sitä vastaava Jakobi on J = a 2 0. Lisäksi C-lineaarinen kuvaus ei ole singulaarinen, ellei a = 0. Kun merkitsemme a = a (cos α + i sin α) ja muistamme kompleksilukujen kertomisen geometrisen merkityksen, niin C-lineaarinen, ei-degeneroitunut, kuvaus w = a (cos α + i sin α)z on kiertokulman α verran ydistettynä venytykseen tai kutistukseen a verran. Tällaiset kuvaukset säilyttävät kulmat ja kuvaavat neliöt neliöiksi. Palaamme näiin kuvauksiin myöemmin. 3.32. Historiaa. Léonard Euler (1707 1783) oli ilmeisestikin ensimmäinen matemaatikko, joka systemaattisesti tutki kompleksimuuttujan funktioita ja niiden sovelluksia analyysissä, ydrodynamiikassa ja karttateoriassa. Jean D Alembertin (1717 1783) ja Eulerin nimi voitaisiin myös liittää nykyisin Caucyn-Riemannin ytälöiin kutsuttuiin osittaisdifferentiaaliytälöiin, koska e tutkivat vastaavia asioita jo 1700-luvulla. Kompleksisen derivoituvuuden keittäjinä pidetään kuitenkin läinnä matemaatikkoja Augustin-Louis Caucy (1789 1857) ja Georg Friedric Bernard Riemann (1826 1866).