arvoja. Niiden muodostamaa joukkoa kutsutaan T resolventtijoukoksi ja merkitään

f ( n) Funktionaalianalyysi n J. Kompaktien operaattorien spektri Seuraavassa käsitellään lyhyesti rajoitettujen operaattorien spektraaliteoriaa ja erityisesti Fredholmin-Rieszin-Schauderin teoriaa kompaktien operaattorien ominaisarvoista ja -vektoreista. Rajoittumalla kompleksikertoimisiin Hilbertin avaruuden operaattoreihin saadaan todistukset yksinkertaisimmiksi kuin yleisemmässä Banachin avaruuden operaattorien tapauksessa. Esitys on lainattu Follandin kirjasta [8, Chapter ]. Tarkoituksena on osoittaa, että a) rajoitetun operaattorin spektri on epätyhjä; b) kompaktin operaattorin spektri koostuu ominaisarvoista sekä mahdollisesti luvusta nolla; c) kompaktin itseadjungoidun operaattorin ominaisvektoreista voidaan muodostaa ortonormaali kanta. F. Riesziltä peräisin oleva esitys löytyy teoksista [17, No. 77], [23, X.5], [6, Chapter XI], [13, Luku IX], [9, Chapter 5] ja [22, Kapitel VI]. Kirjassa [17, No. 93] käsitellään myös ominaisarvojen määrääminen niiden ääriarvoominaisuuden perusteella. Fredholmin klassinen menetelmä integraaliyhtälöille löytyy kohdasta 74 ja peräkkäisiin iteraatioihin perustuva menetelmä kohdista 64 69. Kirjassa [16, I, VI.5] tulokset pohjautuvat kompleksimuuttujan operaattoriarvoisten funktioiden ominaisuuksiin. Kirjassa [3, Chapitre VI] käsitellään laajasti sovelluksia osittaisdifferentiaaliyhtälöihin (mm. Sobolevin avaruuksia ja Dirichlet n ominaisarvotehtävää). Kirjassa [2, 9] käsitellään myös normaaleja operaattoreita ja Hilbertin-Schmidtin operaattoreita. Kirjassa [12, Kapitel VII] tarkastellaan myös yleisempää tapausta, Fredholmin operaattoreita. J.1. Spektri. Vrt. [13, Luku VIII]. Olkoon E Banachin avaruus. Luku λ K on jatkuvan lineaarioperaattorin T : E E spektraaliarvo, jos T λi ei ole kääntyvä renkaassa B(E, E), t.s. jos operaattorilla T λi ei ole jatkuvaa käänteiskuvausta. Operaattorin T spektraaliarvojen muodostama joukko on T :n spektri ja sitä merkitään Sp(T ) tai σ(t ). Luvut λ K, joille T λi on kääntyvä, ovat T :n säännöllisiä arvoja. Niiden muodostamaa joukkoa kutsutaan T resolventtijoukoksi ja merkitään ϱ(t ). Siis ϱ(t ) = K \ σ(t ). Avoimen kuvauksen lauseen perusteella T λi on kääntyvä, jos ja vain jos se on bijektio, joten T :n spektraaliarvoja ovat luvut λ K, joille T λi ei ole injektio tai surjektio. Operaattori T λi ei ole injektio, jos ja vain jos on olemassa x siten, että (T λi)x =. Tällaisia vektoreita x kutsutaan operaattorin T ominaisvektoreiksi ja vastaavia lukuja λ T :n ominaisarvoiksi. Seuraavan lauseen todistuksessa tarvitaan operaattoriarvoisesta geometrisesta sarjasta saatavaa yleistystä (vrt. [13, HT 6.19]). Lemma J.1. Olkoot T, T 1 B(E, E). Jos T on kääntyvä ja T 1 T < T 1 1, niin T 1 on kääntyvä ja T1 1 = 1 n= (T (T T 1 )) n T 1 Todistus. Carl Neumannin (eli geometrisen) sarjan avulla nähdään, että jos S B(E, E) ja S < 1, niin I S on kääntyvä ja (I S) 1 = n= Sn. Nyt T 1 = T + (T 1 T ) = T (I T 1 (T T 1 )). Oletukseksen nojalla T 1 (T T 1 ) 1

2 T 1 (T T 1 ) < 1, joten I T 1 (T T 1 ) on kääntyvä. Tällöin T (I T 1 (T T 1 )) on kahden kääntyvä operaattorin tulona kääntyvä. Lisäksi T1 1 = (I T 1 (T T 1 )) 1 T 1 = 1 n= (T (T T 1 )) n T 1. Lause J.2. Olkoon E kompleksinen Banachin avaruus. Jatkuvan operaattorin T B(E, E) spektri on epätyhjä ja kompakti. Todistus. Ks. [12, 23] tai [22, Satz VI.1.3]. Osoitetaan, että spektrin komplementti on avoin. Jos T λ I on kääntyvä, niin T λi = (T λ I) + (λ I λi) on kääntyvä lemman J.1 nojalla kun λ λ on riittävän pieni. Samoin nähdään, että T λi on kääntyvä, kun λ > T : Kun λ, on T = λi kääntyvä. Olkoot λ > T ja T 1 = T λi. Tällöin T 1 T = T < λ = T 1 1. Siis T 1 on kääntyvä. Samalla huomataan, että spektri sisältyy ympyrään {λ C λ T }. Spektrin epätyhjäksi näyttäminen on todistuksen hankalin osa. Tehdään antiteesi: Spektri on tyhjä. Tällöin T λi on kääntyvä kaikille λ C. Kun λ > T, saadaan lemman J.1 (eli geometrisen sarjan) avulla operaattorille R λ = (T λi) 1 R λ = λ 1 (I λ 1 T ) 1 = T n λ n 1. Kun λ 2 T, saadaan tästä kehitelmästä normille yläraja R λ T n λ n 1 T n λ n 1 λ 1 1 1 T λ 1 1 T. n= n= Olkoot λ, λ C, T = T λ I ja T 1 = T λi. Siis, kun λ λ on riittävän pieni, saadaan lemman J.1 avulla R λ = T1 1 = (T 1 (T T 1 )) n T 1 = Rλ n (λ λ ) n R λ. n= Olkoon ϕ (B(E, E)). Tällöin jokaisella pisteellä λ C on ympäristö, missä ϕ(r λ ) = ϕ(r n+1 λ )(λ λ ) n. n= Funktio C C, λ ϕ(r λ ), on siis koko tasossa määritelty analyyttinen funktio. Edellisen arvion nojalla ϕ(r λ ) ϕ R λ ϕ / T, kun λ 2 T. Toisaalta, kompaktissa joukossa {λ C λ 2 T } jatkuva funktio λ ϕ(r λ ) on rajoitettu. Kompleksianalyysistä tunnetun Liouvillen lauseen nojalla koko tasossa määritelty, rajoitettu analyyttinen funktio on vakio. Valitaan nyt λ =. Tällöin ϕ(r λ ):n potenssisarjan kaikkien kertoimien, vakiotermiä lukuunottamatta, tulee olla nollia. Erityisesti ϕ(r) 2 =. Mutta ϕ(r) 2 = ϕ(t 2 ). Koska ϕ (B(E, E)) on mielivaltainen, seuraa Hahnin ja Banachin lauseesta, että T 2 =, mikä on mahdotonta. Siis T :n spektri ei voi olla tyhjä. Huomautus J.3. Edellinen lause ei päde reaaliselle Banachin avaruudelle, ei edes äärellisulotteiselle. Esimerkiksi tason kierrolla ei välttämättä ole lainkaan ominaisarvoja. Huomaa, että äärellisulotteisessa tapauksessa spektri koostuu ominaisarvoista. n= n=

J.2. Kompaktit operaattorit. Olkoon E Banachin avaruus. Jatkuva lineaarinen operaattori T : E E on kompakti, jos jokaiselle rajoitetulle jonolle (x j ) E jonolla (T x j ) on suppeneva osajono. Operaattori T on äärellisasteinen, jos kuvajoukko T (E) on äärellisulotteinen. Selvästi jokainen äärellisasteinen operaattori on kompakti. Operaattorin kompaktiudelle yhtäpitäviä ehtoja ovat lisäksi: a) Yksikköpallon B kuva on relatiivikompakti, t.s. T (B) E on kompakti. b) Yksikköpallon B kuva on prekompakti, t.s. jokaiselle ε > on olemassa äärellinen joukko y 1,...,y n E siten, että T (B) B(y 1, ε)... B(y 1, ε). Esimerkki J.4. Olkoon K : [, 1] [, 1] K jatkuva. Integraalioperaattori T : C([, 1], K) C([, 1], K), (T f)(t) = 1 K(t, s)f(s) ds, on kompakti, kun C([, 1], K) varustetaan normilla f f = sup t [,1] f(t). Integraalioperaattori T : C([, 1], K) C([, 1], K) on kompakti myös, jos C([, 1], K) varustetaan normilla f f 2 = ( 1 f(t) 2 dt ) 1/2. Ks. [13, 18.3]. Integraalioperaattori T on kompakti myös operaattorina L 2 ([, 1], K) L 2 ([, 1], K), kun L 2 ([, 1], K) varustetaan normilla f f 2 = ( 1 f(t) 2 dt ) 1/2, vaikka oletettaisiin vain K L 2 ([, 1] [, 1], K). Ks. [22, II.3]. Esimerkki J.5. Olkoot λ = (λ n ) n=1 rajoitettu lukujono, H separoituva Hilbertin avaruus ja (e n ) n=1 sen Hilbertin kanta. Tällöin operaattori T : H H, T x = n=1 λ n(x e n )e n, on jatkuva. Operaattori T on kompakti, jos ja vain jos λ c, t.s. λ n, kun n. Operaattorin T ominaisarvot ovat luvut λ n. Niitä vastaavat ominaisvektorit e n. Jos vain äärellisen monta λ n, on T äärellisasteinen ja nolla sen ominaisarvo, jota vastaava ominaisavaruus {x H T x = } on ääretönulotteinen. Lause J.6. Kompaktien operaattorien joukko on suljettu kaksipuolinen ideaali operaattorialgebrassa B(E, E). Todistus. Väite tarkoittaa, että (i) jos T ja S ovat kompakteja, niin summa T + S on kompakti; (ii) jos edes toinen operaattoreista T, S B(E, E) on kompakti, niin tulo T S on kompakti; (iii) kompaktit operaattorit muodostavat operaattorinormin suhteen suljetun joukon avaruuteen B(E, E). Yksityiskohdat jätetään harjoitustehtäväksi viimeistä kohtaa lukuunottamatta. Siis olkoot T B(E, E) ja (T m ) m=1 jono kompakteja operaattoreita siten, että T m T, kun m. Olkoon (x j ) E rajoitettu jono, x j C kaikille j N. Koska T 1 on kompakti, jonolla (T 1 x j ) on suppeneva osajono. Merkitään kyseistä jonon (x j ) osajonoa (x 1,j ). Koska T 2 on kompakti, jonolla (T 2 x 1,j ) on suppeneva osajono. Merkitään kyseistä jonon (x 1,j ) osajonoa (x 2,j ). Näin jatkaen saadaan kaikille m N jono (x m,j ) siten, että (T m x m,j ) suppenee. 3

4 Asetetaan y j = x j,j, kun j N. Tällöin (T m y j ) suppenee kaikille m N. Mutta nyt T y j T y k T y j T m y j + T m y j T m y k + T m y k T y k T T m y j + T m y j T m y k + T m T y k 2C T T m + T m y j T m y k. Olkoon ε >. Valitaan m N siten, että T T m ε/4c. Seuraavaksi valitaan N N siten, että T m y j T m y k ε/2, kun j, k N. Tällöin T y j T y k ε, kun j, k N. Siis (T y j ) on Cauchyn jono, joten se suppenee. Seuraus J.7. Olkoot T rajoitettu lineaarinen operaattori ja (T m ) m=1 jono äärellisasteisia operaattoreita siten, että T m T, kun m. Tällöin T on kompakti. Jos E on Hilbertin avaruus, niin tämä seuraus voidaan kääntää: Lause J.8. Olkoot H Hilbertin avaruus ja T B(H, H) kompakti. Tällöin on olemassa jono (T m ) m=1 äärellisasteisia operaattoreita siten, että T m T, kun m. Todistus. Olkoon ε >. Koska yksikköpallon B kuvajoukon T (B) sulkeuma on kompakti, on kuvajoukko T (B) prekompakti, t.s. on olemassa y 1,...,y n T (B) siten, että jokaiselle y T (B) on olemassa j {1,..., n} siten, että y y j < ε. Olkoon P ε ortogonaaliprojektio vektoreiden y 1,...,y n virittämälle aliavaruudelle. Olkoon T ε = P ε T. Tällöin T ε on äärellisasteinen. Koska T ε x on pistettä T x lähinnä oleva piste, on kaikille x B voimassa Siis T T ε ε. T x T ε x min{ T x y j j {1,..., n}} ε. Huomautus J.9. Lausetta J.8 vastaava väite ei päde yleiselle Banachin avaruudelle (P. Enflo, 1973: on olemassa separoituva, refleksiivinen Banachin avaruus, jolla ei ole e.m. approksimaatio-ominaisuutta). Lause J.1 (Schauder). Operaattori T B(E, E) on kompakti, jos ja vain jos sen duaali T t B(E, E ) on kompakti. Todistus. Osoitetaan tässä vain implikaatio: jos T B(E, E) on kompakti, niin sen duaali T t B(E, E ) on kompakti. Olkoot B E:n ja B E :n yksikköpallo ja T B(E, E) kompakti. Olkoon (f j ) E rajoitettu jono. Voidaan olettaa, että f j B. Jono (f j ) on pisteittäin rajoitettu, yhtäjatkuva jono kuvauksia f j : E K (ks. [13, Huomautus 19.8]), joten niiden rajoittumiin f j T (B) : T (B) K voidaan soveltaa Ascolin ja Arzelán lemmaa [13, Seuraus 18.6] (onhan T (B) kompakti joukko). Siis jonolla (f j ) on joukossa T (B) tasaisesti suppeneva osajono, jota edelleen merkitään (f j ). Siis jono (T t f j ), T t f j (x) = f j (T x), suppenee tasaisesti pallossa B, eli jono (T t f j ) suppenee E :n normin suhteen. Käänteinen implikaatio jos T t B(E, E ) on kompakti, niin T B(E, E) on kompakti osoitettaisiin helposti seuraavasti: Edellisen nojalla T :n biduaali T tt =

(T t ) t B(E, E ) on kompakti. Mutta E on biduaalin E suljettu aliavaruus ja T = T tt E. Vertaa [13, Lause 24.3], [22, Lemma III.4.3] tai [12, Lemma 7.7]. Lemma J.11. Olkoon T B(E, E). Tällöin eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomat. 5 Todistus. H.T. Jatkossa H on Hilbertin avaruus. Lemma J.12. Olkoot H kompleksinen Hilbertin avaruus ja T B(H, H) itseadjungoitu. Tällöin T :n ominaisarvot ovat reaalisia ja eri ominaisarvoihin liityvät ominaisvektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Todistus. H.T. Lause J.13. Hilbertin avaruuden H operaattori T B(H, H) on kompakti, jos ja vain jos sen adjungaatti T B(H, H) on kompakti. Todistus. Operaattorin duaalin ja adjungaatin välinen yhteys on T t (Ry) = R(T y) kaikille y H, kun R: y f y on Fréchen ja Rieszin esityslauseen isomorfismi H H, f y (x) = (x y). Siis T t R = R T. Olkoon T kompakti. Lauseen J.1 nojalla duaali T t on kompakti. Tällöin R 1 T t R = T on kompakti. Olkoon T kompakti. Edellisen perusteella T :n adjungaatti T on kompakti. Mutta T = T. Lause J.14 (Fredholm-Riesz-Schauder). Olkoot H kompleksinen Hilbertin avaruus ja T B(H, H) kompakti. Jokaiselle λ C asetetaan Tällöin V λ = {x H T x = λx} = ker(t λi) W λ = {x H T x = λx} = ker(t λi) a) Niiden λ C joukko Λ, joille V λ {}, on äärellinen tai numeroituva. Jälkimmäisessä tapauksessa luku nolla on joukon Λ ainoa kasaantumispiste. Lisäksi dim V λ < kaikille λ. b) Jos λ, niin dim V λ = dim W λ. c) Jos λ, niin operaattorin T λi kuvajoukko on suljettu. Todistus. a) Väite on yhtäpitävä sen kanssa, että dim ( λ ε V λ) < kaikille ε > Huomaa, että kyseessä oleva summa on lemman J.12 nojalla suora, kun summasta jätetään pois nolla-avaruudet eli ne λ C, joille V λ = {}. Tehdään antiteesi: On olemassa ε > sekä jonot (λ j ) C ja (x j ) H siten, että vektorit x j ovat lineaarisesti riippumattomat, T x j = λ j x j ja λ j ε kaikille j N. Ehdosta T x j = λ j x j seuraa λ j T. Heinen ja Borelin lauseen nojalla löydetään suppeneva osajono, jota merkitään edelleen (λ j ) C. Olkoon H m = {x 1,..., x m }. Jokaiselle m N valitaan y m H m siten, että y m = 1 ja y m ja

6 H m 1. Tällöin on olemassa c m,j C siten, että y m = m c m,jx j, joten m m 1 λ 1 m T y m = λ 1 m c m,j T x j = c m,m x m + λ 1 m c m,j λ j x j = y m + m 1 c m,j (λ 1 m λ j 1)x j = y m + z m 1, missä z m 1 H m 1. Kun n < m, on λ 1 m T y m λ 1 n T y n = y m + z m 1, missä z m 1 H m 1. Koska y m = 1 ja y m H m 1, saadaan Pythagoraan lauseen nojalla Mutta tällöin λ 1 m T y m λ 1 n T y n 1. 1 λ 1 m T y m λ 1 m T y n + λ 1 m T y n λ 1 n T y n λ 1 m T y m T y n + λ 1 m λ 1 n T y n, t.s. T y m T y n λ m 1 λ m λ 1 n T y n. Kun m, n, on 1 λ m λ 1 n ja T y n T. Koska λ m ε, ei jonolla (T y m ) m=1 voi olla suppenevaa osajonoa. Mutta tämä on ristiriidassa T :n kompaktiuden kanssa. b) Olkoon λ. Lauseen J.8 nojalla on olemassa äärellisasteinen T ja T 1 B(H, H) siten, että T = T + T 1 ja T 1 < λ. Tällöin operaattori λi T 1 = λ(i λ 1 T 1 ) on kääntyvä (muista lemma J.1, onhan λ 1 T 1 < 1). Siis (1) (λi T 1 ) 1 (λi T ) = (λi T 1 ) 1 (λi T 1 T ) = I (λi T 1 ) 1 T. Asetetaan T 2 = (λi T 1 ) 1 T. Tällöin x V λ, jos ja vain jos x T 2 x =. Yhtälöstä (1) saadaan adjungaatille (λi T )(λi T 1 ) 1 = I T 2. Näin vektori y = (λi T 1 ) 1 x kuuluu aliavaruuteen W λ, jos ja vain jos x T 2 x =. Riittää siis osoittaa, että yhtälöillä x T 2 x = ja x T 2 x = on sama määrä lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja. Koska T on äärellisasteinen, on sitä myös T 2. Olkoon {u 1,..., u N } kuvajoukon T 2 (H) kanta. Tällöin on olemassa f j H, 1 j N, siten, että T 2 x = N f j (x)u j kaikille x H. Rieszin-Fréchet n esityslauseen nojalla on olemassa v 1,..., v N H siten, että N T 2 x = (x v j )u j kaikille x H.

Asetetaan β j,k = (u j v k ), ja kun x H, asetetaan α j = (x v j ). Jos x T 2 x =, niin x on vektoreiden u 1,..., u N lineaarikombinaatio, joten laskemalla sisätulot vektoreiden v k kanssa päädytään yhtälöryhmään N (2) α k β j,k α j =, k = 1,..., N. Kääntäen, jos α 1,..., α N toteuttavat yhtälöryhmän (2), niin vektori x = N α ju j toteuttaa x T 2 =. Toisaalta, on helppo todeta, että T2 x = N (x u j)v j kaikille x H. Samanlaisella päättelyllä todetaan, että x T2 x =, jos ja vain jos vektori x = N α jv j toteuttaa yhtälöryhmän N (3) α k β k,j α j =, k = 1,..., N. Mutta matriisit (δ j,k β j,k ) j,k ja (δ j,k β k,j ) j,k ovat toistensa adjungaatteja (eli transpoosin kompleksikonjugaatteja). Lineaarialgebran tietojen perusteella yhtälöryhmillä (2) ja (3) on sama määrä lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja. 1 c) Olkoon (y j ) (λi T )(H) siten, että y j y H. Olkoot x j H siten, että y j = (λi T )x j. Olkoot u j V λ ja v j Vλ siten, että x j = u j + v j. Tällöin (λi T )x j = (λi T )v j. Osoitetaan, että jono (v j ) on rajoitettu. Jos näin ei ole, siirrytään osajonoon, jolle v j. Asetetaan w j = v j / v j. Siirtymällä osajonoon voidaan olettaa, että jono (T w j ) suppenee. Olkoon z = lim j T w j. Koska jono (y j ) on rajoitettu ja v j, on Siis z V λ λw j = T w j + y j / v j z, kun j. ja z = λ. Toisaalta (λi T )z = lim j (λi T )λw j = lim j λy j / v j =, joten z V λ. Siis z V λ Vλ = {}. Mutta z = λ >. Ristiriita. Siis jono (v j ) on rajoitettu. Siirtymällä osajonoon voidaan olettaa, että jono (T v j ) suppenee. Olkoon x = lim j T v j. Tällöin joten Siis y (λi T )(H). v j = λ 1 (y j + T v j ) λ 1 (y + x), y = lim j (λi T )λv j = (λi T )λ 1 (y + x). 1 Muista, että matriisin A ranki r on sen sarakevektoreiden virittämän vektorialiavaruuden dimensio. Luku r on myös A:n rivivektoreiden virittämän vektorialiavaruuden dimensio; ks. esim. [1, 2.16]. Kun A tulkitaan lineaarikuvaukseksi R n R n, on sarakevektoreiden virittämä vektorialiavaruus sama kuin kuva-avaruus A(R n ). Vastaavasti rivivektoreiden virittämä vektorialiavaruus on A:n transpoosin A t kuva-avaruus A t (R n ). Mutta dimensiolauseen nojalla n dim ker A = dim A(R n ) = dim A t (R n ) = n dim ker A t, joten dim ker A = dim ker A t. Kompleksikonjugointi ei vaikuta dimensioihin. 7

8 Seuraus J.15 (Fredholmin vaihtoehtolause). Edellisen lauseen oletuksin on voimassa: Kun λ, niin (1) yhtälöllä (T λi)x = y on ratkaisu y H, jos ja vain jos y W λ ; (2) T λi on surjektio, jos ja vain jos se on injektio. Todistus. Ensimmäinen väite seuraa edellisen lauseen kolmannesta kohdasta, kun huomataan, että kaikille S B(H, H) pätee ker S = S(H). Kun kuvajoukko S(H) on suljettu, on (ker S ) = S(H). Kompaktille operaattorille T kuvajoukko (T λi)(h) on suljettu ja (T λi) = T λi. Siis itse asiassa (T λi)(h) = (ker(t λi)) = W. λ Ensimmäisen kohdan nojalla T λi on surjektio W = H W λ λ = {}. Edellisen lauseen toisen kohdan nojalla W λ = {} V λ = {} T λi on injektio. Lauseen tulos voidaan ilmaista myös seuraavasti: Olkoon λ. Jos yhtälöllä T x λx = on vain ratkaisu x =, niin yhtälöllä T x λx = y on yksikäsitteinen ratkaisu kaikille y H. Jos taas yhtälöllä T x λx = on ratkaisu x, niin yhtälöllä T x λx = on n = dim V λ lineaarisesti riippumatonta ratkaisua x. Tällöin myös yhtälöllä T y λy = on n lineaarisesti riippumatonta ratkaisua y, ja yhtälöllä T x λx = y on ratkaisu x, jos ja vain jos y W λ. Esimerkki J.16. Olkoot (λ n ) n=1 c, ja T : l 2 l 2, T (x n ) n=1 = (λ n x n ) n=1. Tällöin adjungaatille T on T (x n ) n=1 = (λ n x n ) n=1. Yhtälön (T λi)x = y ratkeavuuden karakterisoiminen jätetään harjoitustehtäväksi. Lause J.17 (Hilbertin ja Schmidtin lause; spektraalilause kompaktille itseadjungoidulle operaattorille). Olkoot H kompleksinen Hilbertin avaruus ja T B(H, H) kompakti ja itseadjungoitu operaattori. Tällöin H:lla on T :n ominaisvektoreista muodostuva Hilbertin kanta. Todistus. Lemman J.12 nojalla eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisavaruudet V λ ovat keskenään ortogonaaliset. Poistetaan aluksi ongelmallinen ominaisarvo λ = seuraavalla tavalla: Jos V {}, valitaan aliavaruudelle V Hilbertin kanta. Koska T kuvaa ortogonaalikomplementin V itselleen, voidaan jatkossa olettaa, että H = V. Kun seuraavaksi V :lle löydettävä Hilbertin kanta yhdistetään V :n Hilbertin kantaan, saadaan lauseessa haettu kanta. Valitaan jokaiselle V λ {}, λ, Hilbertin kanta ja yhdistetään eri ominaisarvoja vastaavat kannat. Näin saadaan T :n ominaisvektoreista muodostuva ortonormaali joukko {u j j N}. Olkoon λ j vektoria u j vastaava ominaisarvo. Vektorit voidaan olettaa järjestetyksi siten, että λ j λ k, kun j k. Olkoon H 1 = H. Kun m 2, olkoon H m aliavaruuden {u 1,..., u m 1 } ortogonaalikomplementti. Aputulos: T x λ m x kaikille x H m. Aputulos todistetaan myöhemmin. Lause saadaan sen avulla todistetuksi seuraavasti:

Olkoon P ortogonaaliprojektio vektoreiden u j, j N, virittämälle suljetulle aliavaruudelle, P x = (x u j)u j. Osoitetaan, että P x = x kaikille x H. Koska λ = ei tässä ole ominaisarvo, on T injektio ja siis myös surjektio. Olkoon x = T y T (H). Koska T :n ominaisarvot ovat reaaliset, on Asetetaan (x u j )u j = (T y u j )u j = (y T u j )u j = λ j (y u j )u j = T ( (y u j )u j ). x m = m (x u j )u j, y m = m (y u j )u j. Tällöin x x m = T (y y m ). Koska y y m on vektorin y projektio aliavaruuteen H m+1, on x x m = T (y y m ) λ m+1 y y m λ m+1 y. Mutta λ m+1, kun m, joten x m x. Siis P x = x. Aputuloksen T x λ m x kaikille x H m todistus. Olkoon C = sup{ T x x H m ja x = 1.} Voidaan olettaa, että C >, koska muuten väite on selvä. Tarkastellaan operaattoria A = C 2 I T 2. Kaikille x H m on (Ax x) = C 2 x 2 T x 2. Valitaan jono (x j ) H m siten, että x j = 1 ja T x j C. Tällöin (Ax j x j ). Kuvaus (u, v) (Au v) toteuttaa kompleksiselle sisätulolle asetetut ehdot, joten Cauchyn-Schwarzin-Bunjakovskin epäyhtälön nojalla saadaan Ax j 2 = (Ax j Ax j ) (Ax j x j ) 1/2 (A 2 x j Ax j ) 1/2 (Ax j x j ) 1/2 A 2 x j 1/2 Ax j 1/2 A 3/2 (Ax j x j ) 1/2. Siis Ax j. Koska T on kompakti, on jonolla (T x j ) suppeneva osajono. Merkintöjen yksinkertaistamiseksi osajono olkoon (T x j ) ja jonon raja-arvo y. Tällöin (huomaa: AT = T A) y = lim j T x j = C > ja Ay = lim j AT x j = lim j T Ax j =. Siis y, mutta Ay = (CI+T )(CI T )y =. Tällöin T y = Cy, tai muuten vektorille z = (CI T )y on z ja (CI + T )z =. Siis ainakin toinen luvuista C tai C on T :n ominaisarvo, jota vastaava ominaisvektori löytyy aliavaruudesta H m. (Vektori y H m, koska x j H m, y = lim j T x j ja T (H m ) H m. Myös z = Cy T y H m, koska T (H m ) H m.) Siis C on jokin luvuista λ m, λ m+1,.... Mutta C:n määritelmästä seuraa, että C sup{ λ j j m} = λ m, joten C = λ m. Näin apuväite on todistettu. Esimerkki J.18. Olkoot K L 2 ([, 1] [, 1], C) ja T : L 2 ([, 1], C) L 2 ([, 1], C), (T f)(t) = 1 K(t, s)f(s) ds. 9

1 Tällöin T on kompakti operaattori. Lisäksi T K 2. Todetaan aluksi, että T on hyvinmääritelty. Koska 1 1 K(t, s) 2 ds dt <, seuraa Fubinin lauseesta, että m.k. t [, 1] funktio s K(t, s) on neliöintegroituva. Olkoon f L 2 ([, 1], C). Hölderin epäyhtälön nojalla 1 K(t, s)f(s) ds on olemassa m.k. t [, 1]. Lisäksi joten (T f)(t) 1 ( 1 ) 1/2 ( 1 1/2, K(t, s) f(s) ds K(t, s) 2 ds f(s) ds) 2 T f 2 2 1 1 K(t, s) 2 ds dt f 2 2 = K 2 2 f 2 2 Siis T f L 2 ([, 1], C). Myös epäyhtälö T K 2 seuraa tästä. Olkoon nyt (ϕ k ) k=1 Hilbertin avaruuden L2 ([, 1], C) Hilbertin kanta. Tällöin funktiot ψ j,k, ψ j,k (t, s) = ϕ j (t)ϕ k (s), muodostavat Hilbertin kannan avaruudelle L 2 ([, 1] [, 1], C). Funktio K L 2 ([, 1] [, 1], C) voidaan siis esittää muodossa Kun N N, olkoon Tällöin K N (t, s) = 1 j+k N K = K N (t, s)f(s) ds = a j,k ψ j,k. j,k=1 a j,k ψ j,k (t, s) = j+k N j+k N a j,k ϕ j (t) 1 a j,k ϕ j (t)ϕ k (s). ϕ k (s)f(s) ds, joten integraalioperaattorin T N, jonka ydin on K N, kuvajoukko Im T N {ϕ 1,..., ϕ N }. Edellä olleesta normiepäyhtälöstä saadaan T T N K K N 2, kun N. Koska operaattorit T N ovat äärellisasteisia ja T niiden raja-arvo, on T kompakti. Integraalioperaattorin T adjungaatti T on myös integraalioperaattori, jonka määrittelevälle funktiolle K on K (t, s) = K(s, t). Seurauksen J.15 nojalla integraaliyhtälöllä 1 K(t, s)f(s) ds λf(t) = g(t) on siis ratkaisu, jos ja vain jos 1 g(t)h(t) dt = kaikille h L2 ([, 1], C), joille 1 K(t, s)h(s) ds λh(t) =. Jos lisäksi K(t, s) = K(s, t) kaikille s, t [, 1], niin T on itseadjungoitu ja Hilbertin ja Schmidtin lause nojalla operaattorin T ominaisfunktioista voidaan muodostaa ortonormaali kanta (e k ) k=1 L2 ([, 1], C). Kun λ k on funktiota e k vastaava ominaisarvo, on λ k, kun k, ja 1 K(t, s)e k(s) ds = λ k e k (t) kaikille k N.

Esimerkki J.19. Olkoon Ω R n rajoitettu alue. Tarkastellaan Laplacen yhtälön Dirichlet n reuna-arvotehtävään liittyvää ominaisarvo-ongelmaa { u = λu alueessa Ω, (4) u = alueen reunalla Ω. Poincarén epäyhtälön nojalla (u v) 1,2 = Ω ( n k=1 ) D k u D k v dx. on sisätulo Sobolevin avaruudessa H 1,2 (Ω) ja sen määräämä normi on ekvivalentti H 1,2 (Ω):n tavallisen normin kanssa. Huomaa sisätulon lausekkeessa esiintyvä kompleksikonjugointi; tässä funktioiksi sallitaan kompleksiarvoiset funktiot. Sobolevin avaruudessa H 1,2 (Ω) ominaisarvo-ongelmaa (4) vastaa (5) (u v) 1,2 = λu v dx kaikille v H 1,2 (Ω). Ω Fréchet n ja Rieszin esityslauseen nojalla kaikille f L 2 (Ω) on olemassa tasan yksi u H 1,2 (Ω) siten, että (u v) 1,2 = f v dx kaikille v H 1,2 (Ω). Ω Asetetaan T : L 2 (Ω) H 1,2 (Ω), T f = u. Tällöin T on lineaarikuvaus. Lisäksi CSB:n nojalla (valitaan v = u) u 2 1,2 = f u dx f 2 u 2 f 2 u 1,2, Ω joten T f 1,2 = u 1,2 f 2 ja siis T on jatkuva. Nyt (u v) 1,2 = λu v dx kaikille v H 1,2 (Ω) T (λu) = u. Ω Siis ominaisarvo-ongelma (5) on yhtäpitävä yhtälön T (λu) = u eli T u = λ 1 u kanssa (ainakin, kun λ ). Luku λ = ei voi olla ominaisarvo, koska tällöin yhtälöstä (5) seuraisi u = (valitse v = u). Siis yhtälöön (4) liittyvät ominaisarvot λ ovat operaattorin T ominaisarvojen käänteislukuja. Rellichin lemman nojalla upotus H 1,2 (Ω) L 2 (Ω) on kompakti. Kun T tulkitaan operaattoriksi L 2 (Ω) L 2 (Ω), on se yhdistetty kuvaus jatkuvasta operaattorista T : L 2 (Ω) H 1,2 (Ω) ja kompaktista operaattorista H 1,2 (Ω) L 2 (Ω), joten T : L 2 (Ω) L 2 (Ω) on kompakti operaattori. Lisäksi se on helppo todeta itseadjungoiduksi. Fredholmin, Rieszin ja Schauderin ominaisarvoteoriaa voidaan siis soveltaa ominaisarvo-ongelmaan (5). Hilbertin ja Schmidtin lauseen nojalla on olemassa jono (λ k ) k N R ja Hilbertin avaruuden L 2 (Ω) ortonormaali kanta (u k ) k N siten, että kaikille k N pätee (ainakin heikon ratkaisun mielessä) { uk = λ k u k alueessa Ω, 11 u k = alueen reunalla Ω.

12 Valitsemalla v = u k yhtälöstä (5) saadaan u k 2 1,2 = λ Ω k u k 2 dx, joten λ k > kaikille k N. Koska kompaktin operaattorin ominaisarvojen jono konvergoi kohti nollaa, on λ k +, kun k. Fredholmin vaihtoehtolauseen muotoilu yhtälölle (4) jääköön harjoitustehtäväksi. Samoin yleisemmän divergenssimuotoisen ominaisarvo-ongelman tarkasteleu jätetään harjoitustehtäväksi: n D k (a j,k D j u) = λu alueessa Ω, j,k=1 u = reunalla Ω. Tässä a j,k, a L (Ω), ja oletetaan, että on olemassa c > siten, että n a j,k (x)ξ j ξ k c ξ 2 ja a (x) c m.k. x Ω. j,k=1 Vastaava operaattori T on itseadjungoitu, kun lisäksi oletetaan, että a j,k (x) = a k,j (x) m.k. x Ω. Huomautus J.2. Jokaiselle itseadjungoidulle operaattorille T B(H, H) on T = sup{ (T x x) x 1}. Kompaktille itseadjungoidulle operaattorille voidaan näyttää, että ainakin toinen luvuista T ja T on T :n ominaisarvo (vrt. [17, No. 93]), mutta ei-kompaktilla, itseadjungoidulla operaattorilla ei tarvitse olla lainkaan ominaisarvoja (vrt. [13, Esimerkki 1.33]). Kompaktille itseadjungoidulle operaattorille ominaisarvojen määräämistä voidaan jatkaa seuraavasti: Olkoot λ 1 esimerkiksi edellä löydetty ominaisarvo, λ 1 = ± T, ja H 1 ominaisavaruuden V λ1 ortogonaalikomplementti. Tällöin T (H 1 ) H 1, joten edellistä menetelmää voidaan soveltaa operaattoriin T H1 : H 1 H 1. Siis ainakin toinen luvuista ± T H1 on T H1 :n ominaisarvo. Tämä ominaisarvo on tietysti myös T :n ominaisarvo. Huomautus J.21. Edelliset tulokset pätevät osin myös Banachin avaruuden E operaattorille T B(E, E). Vrt. [9, 4.13 ja 5.2] sekä [3, II.6, II.7, V.2 ja V.3]. Aliavaruuden V E annihilaattori on V = {f E f(x) = kaikille x V }. Aliavaruuden W E annihilaattori on W = {x E f(x) = kaikille f W }. Kun S B(E, E), on ker S = S t (E ) ja ker S t = S(E). Kun kuvajoukko S(E) on suljettu, on (ker S t ) = S(E). Kun T B(E, E) on kompakti, asetetaan V λ = {x E T x = λx} = ker(t λi) E W λ = {x E T t x = λx} = ker(t t λi) E. Tällöin a) Niiden λ C joukko Λ, joille V λ {}, on äärellinen tai numeroituva. Jälkimmäisessä tapauksessa luku nolla on joukon Λ ainoa kasaantumispiste. Lisäksi dim V λ < kaikille λ. b) Jos λ, niin dim V λ = dim W λ. ja

c) Jos λ, niin operaattorin T λi kuvajoukko on suljettu. Huomautus J.22. Kompaktien operaattorien teorian katsotaan alkaneen Fredholmin artikkeleista vuosilta 19 ja 193. Näissä hän tarkastelee integraaliyhtälöä f(t) λ 1 K(t, s)f(s) ds = g(t). Fredholmin idea on korvata integraali Riemannin summalla ja näin palauttaa ongelma äärellisulotteiseksi ominaisarvo-ongelmaksi. Menetelmä löytyy hahmoteltuna mm. kirjasta [17, No. 74]. Hilbert julkaisi vuosina 194 191 kuusi integraaliyhtälöihin liittyvää artikkelia. Näissä hän mm. määritteli kompaktin operaattorin ( heikosti suppenevan jonon kuvajono suppenee ) sekä toi käyttöön ominaisarvon ja ominaisfunktion käsitteet. Schmidtin artikkelista vuodelta 197 on peräisin idea käyttää lausetta J.8. Lisäksi hän ei olettanut integraalioperaattorin ydintä K jatkuvaksi, vaan salli sen olla neliöintegroituva. Hänen kunniakseen operaattoria f 1 K(, s)f(s) ds, missä K L 2 ([, 1] [, 1]), kutsutaan Hilbert-Schmidt-operaattoriksi. Menetelmä löytyy mm. kirjasta [17, No. 71]. Myös lauseen J.14 todistus noudattelee Schmidtin todistusmenetelmää. Lause J.1 on peräisin Schauderilta (193), samoin kuin operaattorin transpoosiin käsite. Kompaktin operaattorin käsite Banachin avaruudessa on peräisin Riesziltä (1918). Vaikka Riesz tarkasteli integraaliyhtälöitä, ovat hänen päättelynsä täysin yleispäteviä, ja ne ovat niin elegantteja, ettei niitä tähän päivään mennessä ole pystytty yksinkertaistamaan ([22, s. 284]). Menetelmä on jossakin määrin vastaava kuin matriisin saattaminen Jordanin normaalimuotoon. Rieszin menetelmä Rieszin esittämänä löytyy kirjasta [17, No. 77 8]. Luentomonisteen [13, 28.3] esitys pohjautuu Rieszin menetelmään. K. Harjoitustehtäviä K.1. Olkoot E Banachin avaruus ja S, T B(E, E). Osoita, että jos S ja T ovat kääntyviä, niin ST on kääntyvä ja (ST ) 1 = T 1 S 1. K.2. Olkoot E Banachin avaruus ja S, T B(E, E). Osoita, että (ST ) t = T t S t. K.3. Olkoot H Banachin avaruus ja S, T B(H, H). Osoita, että (ST ) = T S. K.4. Seuraavassa operaattorin T B(E, E) spektriä merkitään σ(t ). Olkoot H kompleksinen Hilbertin avaruus ja S B(H, H). Osoita, että (i) (S λi) = S λi; (ii) S λi on kääntyvä, jos ja vain jos S λi on kääntyvä; (iii) σ(s ) = {µ C µ σ(s)}. K.5. Olkoot (λ n ) n=1 rajoitettu lukujono ja T : l 2 l 2, T (x n ) n=1 = (λ n x n ) n=1. Osoita, että T on kompakti, jos ja vain jos λ n, kun n. 13

14 K.6. Olkoot (λ n ) n=1 rajoitettu lukujono, jolle λ n, kun n, ja λ n kaikille n N, ja T : l 2 l 2, T (x n ) n=1 = (λ n x n ) n=1. Osoita, että T on kompakti ja injektio. K.7. Olkoot (λ n ) n=1 rajoitettu lukujono ja T : l 2 l 2, T (x n ) n=1 = (λ n x n ) n=1. Millä ehdolla T on surjektio? K.8. Olkoon L: l 2 l 2, L(x 1, x 2, x 3,...) = (x 2, x 3,...). Osoita, että L:n spektri σ on suljettu yksikköympyrä D = {λ C λ 1} osoittamalla, että a) σ D ja b) jokainen λ C, jolle λ < 1, on L:n ominaisarvo. Osoita edelleen, että mikään λ C, jolle λ = 1, ei ole ominaisarvo. K.9. Olkoon R: l 2 l 2, R(x 1, x 2, x 3,...) = (, x 1, x 2, x 3,...). Osoita, että R:n spektri on suljettu yksikköympyrä D. Osoita edelleen, että operaattorilla L ei ole lainkaan ominaisarvoja. [Vihje: On helppoa osoittaa, että R = L.] K.1. Olkoot (λ n ) n=1 rajoitettu lukujono, jolle λ n kaikille n N ja lim n λ n =, sekä L: l 2 l 2, L(x 1, x 2, x 3,...) = (λ 2 x 2, λ 3 x 3,...). Osoita, että L:n spektri σ on suljetun yksikköympyrän D numeroituva, suljettu osajoukko. K.11. Olkoon L: l l, L(x 1, x 2, x 3,...) = (x 2, x 3,...). Osoita, että että jokainen λ D on L:n ominaisarvo ja että L:n spektri on yksikköympyrä D. K.12. Olkoot E Banachin avaruus ja T B(E, E). Osoita, että T :n eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomat. K.13. Olkoot H kompleksinen Hilbertin avaruus ja T B(H, H) itseadjungoitu. Osoita, että T :n ominaisarvot ovat reaalisia. K.14. (Jatkoa.) Osoita, että T :n eri ominaisarvoihin liityvät ominaisvektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. K.15. Olkoot H kompleksinen Hilbertin avaruus ja T B(H, H) itseadjungoitu. Osoita, että T (V λ ) V λ ja T (Vλ ) V λ, missä V λ = {x H T x = λx} = ker(t λi), kun λ C. K.16. Olkoot H Hilbertin avaruus ja S B(H, H). Osoita, että ker S = S(H). Osoita edelleen, että jos kuvajoukko S(H) on suljettu, on (ker S ) = S(H). Pohdiskelua: Edellisen tuloksen nojalla, jos kuvajoukko S(H) on suljettu, on yhtälöllä Sx = y ratkaisu, jos ja vain jos y ker S. Tämän tuloksen käyttökelpoisuutta parantaisivat seuraavat kaksi asiaa: a) jokin helppo tapa todeta kuvajoukkko S(H) suljetuksi, ja b) että adjungaatin S ydin olisi äärellisulotteinen (jotta ehdon y ker S tarkistamiseksi riittäisi tutkia vain äärellinen määrä lineaarisia yhtälöitä). Nämä kaksi ehtoa toteutuva, kun S = T λi, missä T on kompakti ja λ. K.17. Olkoot E ja F normiavaruuksia ja S B(E, F ). Osoita, että ker S t = S(E). Tässä S t on S:n duaali ja S(E) = {f F f(y) = kaikille y S(E)} kuvajoukon annihilaattori. Osoita edelleen, että jos kuvajoukko S(H) on suljettu, on (ker S t ) = S(E). Tässä (ker S t ) = {y F f(y) = kaikille f ker S t }. Vrt. [22, III.4.5] ja [9, 4.13.5].

K.18. Olkoot H Hilbertin avaruus ja A: H H jatkuva lineaarikuvaus s.e. sen kuvajoukko A(H) on suljettu. Osoita, että on olemassa vakio c > s.e. Ax c d(x, K) kaikille x H, kun K := ker A. Tässä d(x, K) = pisteen x etäisyys joukosta K, t.s. d(x, K) = inf{ x k k K}. K.19. Olkoot E ja F Banachin avaruuksia ja T : E F jatkuva lineaarikuvaus. Osoita, että seuraavavat ehdot ovat keskenään yhtäpitäviä: (i) On olemassa vakio C > s.e. T x C x kaikille x E. (ii) ker T = {} ja Im T on suljettu. K.2. (Tekijäavaruuksia tunteville.) Olkoot E ja F Banachin avaruuksia, T : E F jatkuva lineaarikuvaus ja K = ker T. Osoita, että seuraavavat ehdot ovat keskenään yhtäpitäviä: (i) On olemassa vakio C > s.e. T x C d(x, K) kaikille x E. (ii) Im T on suljettu. [Vihje: Kuvaus [x] = x+k T x, E/K F, on bijektio kuvauksena E/K Im T.] K.21. Olkoot H Hilbertin avaruus ja T B(H, H) itseadjungoitu. Oletetaan, että T :llä on ominaisarvo λ. Olkoon V ominaisavaruuden V λ = {x H T x = λx} ortogonaalikomplementti. Osoita, että T (V ) V. K.22. Olkoon T reaalinen, symmetrinen n n-matriisi. Selvitä, miten Lagrangen määräämättöminen kertoimien menetelmällä ja pallon {x R n x = 1} kompaktisuuden avulla voidaan määrätä T :n ominaisarvot ja R n :lle T :n ominaisvektoreista muodostuva ortonormaali kanta. [Vihje: Luvut max{(t x x) x = 1} ja min{(t x x) x = 1} ovat T :n ominaisarvoja (miksi?) ja vastaavat ääriarvopisteet ominaisvektoreita. Valitse näistä itseisarvoltaan suurempi, λ 1. Poista R n :stä tätä ominaisarvoa vastaava ominaisavaruus, t.s. tarkastele aliavaruutta H 1 = (ker(t λ 1 I)). Osoita, että T (H 1 ) H 1. Jatka samalla menetelmällä.] 15

16 Viitteet [1] Tom M. Apostol, Mathematical analysis, 2nd edition, 5th printing, Addison Wesley, 1981; ensimmäinen laitos 1957. [2] Stefan Banach, Theory of Linear Operations, North Holland Mathematical Library, 1987; alunperin Théorie des operations linéares, Monografie Matematyczne 1, Warszawa, 1932. [3] Haïm Brezis, Analyse fonctionelle. Théorie et applications, 2 e tirage, Collection mathématiques appliqueés pour la maîtrise, Masson, 1987. [4] Richard Courant und David Hilbert, Methoden der Mathematischen Physik Band I, Dritte Auflage, Heidelberger Taschenbücher 3, Springer-Verlag, 1968; Erste Auflage, 1924; Band II, Zweite Auflage, Heidelberger Taschenbücher 31, Springer-Verlag, 1968; Erste Auflage, 1937. [5] Ingrid Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, Third printing, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 61, SIAM, 1994. [6] Jean Dieudonné, Foundations of Modern Analysis, Third (enlarged and corrected) printing, Academic Press, 1969; alunperin Fondements de l Analyse Moderne, Gauthier Villars, 196. [7] Jean Dieudonné, Infinitesimal Calculus, Hermann, Paris 1971; alunperin Calcul infinitésimal, Hermann, Paris 1968. [8] Gerald B. Folland, Introduction to partial differential equations, Mathematical Notes, Princeton University Press, 1976. [9] Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis, Dover Publications, Inc., 1982; alunperin Holt-Rinehart-Winston, 197. [1] Werner Greub, Lineare Algebra, Heidelberger Taschenbücher Band 179, Springer-Verlag, 1976; alunperin Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 97, 1958. [11] Edwin Hewitt and Karl Stromberg, Real and Abstract Analysis. A Modern Treatment of the Theory of Functions of a Real Variable, Third printing, Graduate Texts in Mathematics 25, Springer-Verlag, 1975. [12] Friedrich Hirzebruch und Winfried Scharlau, Einführung in die Funktionalanalysis, Hochschultaschenbücher Band 296, Bibliographisches Institut, Mannheim, 1971. [13] Lauri Kahanpää, Funktionaalianalyysi. Suoraviivaista ajattelua osa II, Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, luentomoniste 51, 24. [14] Yitzhak Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, Dover Publications, Inc., 1976; alunperin John Wiley & Sons Inc., 1968. [15] A. Langenbach, Vorlesungen zur höheren Analysis, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1984. [16] Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis, Academic Press, 1972; II: Fourier Analysis, Self-Adjointness, 1975. [17] Frigyes Riesz and Béla Sz.-Nagy, Functional Analysis, Dover Publications, Inc, 199; alunperin Leçons d analyse fonctionelle, Académiai Kiadó, 1952; engl. käännös Functional Analysis, Frederick Ungar Publishing Co., 1955. [18] Walter Rudin, Functional Analysis, Tata McGraw-Hill, 1982; alunperin McGraw-Hill, 1973. [19] Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Second edition, Tata McGraw-Hill, 1979; alunperin McGraw-Hill, 1966. [2] Laurent Schwartz, Analyse Hilbertienne, Collection Méthodes, Hermann, 1979. [21] Karl Stromberg, An Introduction to Classical Real Analysis, Wadsworth International Mathematics Series, 1981. [22] Dirk Werner, Funktionalanalysis, Vierte, überarbeitete Auflage, Springer-Lehrbuch, Springer, 22. [23] Kôsaku Yosida, Functional Analysis, Fourth Edition, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete Band 123, Springer-Verlag, 1974.