mperee tekillie yliopisto hum.8.3 Kostruktiotekiik litos EDE-00 Elemettimeetelmä perusteet. Lueto vk Syksy 03. Mtemtiik j mtriisilske kertust Yleistä Kirjoittele täe joiti kurssi keskeisiä sioit iille, jotk eivät io ivestoid trvittv pääomosuutt oppikirj hkit, v ikovt hyödytää se jolli premmll tvll. ässä esityksessä o vrmsti joiti virheitä, joist toivo vlpp lukij ilmoittv miulle. Nottiost (Nottio) Nimike Merkitä tekstissä Muu merkitä Srkevektori ti pystyvektori = = ( ) = = Mtriisi, joss o m riviä j srkett = = m m m m m m Derivtt dy ( ) y ( ) y, ( ) = y '( ) = D y ( ) = d det Determitti ( ) Mtriisi jälki (toistuv ideksi, jote utomttie summus) Määrätty itegrli Virtulie siirtymä (oik. Chdruptl) Virtulie veymä (oik. Chdruptl) Viivkuorm [N/m, N/mm] Piekuorm [N/m, N/mm ] ilvuuskuorm [N/m 3, N/mm 3 ] rce b = i= ( ) ( ) ii ii rce ( ) = b ( ) ( ) I = f ( ) d = F ( ) I = f d = F δu ( ), δu = N δq φ ( ), φ = Nψ δε ( ), δε δ q q y = q = B Q ε ( φ ), ( ) p p y = p f f y = f b / b ε φ = Bψ p p y = p y = f f y = f
mperee tekillie yliopisto hum.8.3 Kostruktiotekiik litos EDE-00 Elemettimeetelmä perusteet. Lueto vk Syksy 03. Rivi- j srkevektorit (Row d colum vectors) Rivivektori = Srkevektori = Yhteelsku (dditio d subtrctio) C = + B eli c = + b m m m ij ij ij Sklrill kertomie (Multiplictio by sclr) α α α α α α α α α α = m m m Kertolsku (Multiplictio) C = B eli c = b = b m m p p ij ik kj ik kj k = p Huom. Mtriisie välissä void käyttää ti oll käyttämättä s. pisteoperttori. Vert khde vektori pistetulo, joss pistettä o syytä käyttää. Lisäksi void käyttää myös s. kksoispistetulo (Double Dot Product) m α = : B eli α = b = b, α R m m ij ij ij ij i= j= rspoosi (rspose) m m = = m m m m
mperee tekillie yliopisto hum.8.3 Kostruktiotekiik litos EDE-00 Elemettimeetelmä perusteet. Lueto vk Syksy 03. Derivoiti j itegroiti (Differettio d itegrtio) + y y d y B = B = 6 y d 0 + 3 = y y 3 3 y y b b + y b + y + y y 3 3 B d = d dy = dy = dy 0 06 + y 0 0 6 + y 6 + y y y y y + 3 4 6y + b 0 b b b b + 3 4 3 = b b 6b + Huom! Itegroitiluee oletet olev suorkide, jok leveys o j korkeus o b. Yleisemmillä itegroitirjoill itegroiti hkloituu. Digolimtriisi (Digol mtri) 0 D d 0 0 0 d 0 0 0 d = Idetiteettimtriisi (Idetity mtri) I 0 0 0 0 = 0 0 Symmetrie mtriisi (Symmetric mtri) =
mperee tekillie yliopisto hum.8.3 Kostruktiotekiik litos EDE-00 Elemettimeetelmä perusteet. Lueto vk Syksy 03. Yläkolmiomtriisi (Upper trigulr mtri) U u u u 0 u u 0 0 u = det U = u u u Huom! ( ) Determitti (Determit) Kurssill käsitellää eliömtriisej, joide rivie lukumäärä o, ti 3, mikäli o trkoitus lske determitti käsipeli. [ ] det ( ) = = = = det ( ) = 3 = 3 det ( ) = + 3 3 3 33 3 3 3 33 3 33 3 3 Kääteismtriisi (Iverse mtri) Kurssill käsitellää eliömtriisej, joide rivie lukumäärä o, ti 3, mikäli o trkoitus lske kääteismtriisi käsipeli. Neliömtriisi kääteismtriisi määritellää yhteydellä: = I = [ ] = = =
mperee tekillie yliopisto hum.8.3 Kostruktiotekiik litos EDE-00 Elemettimeetelmä perusteet. Lueto vk Syksy 03. 3 C C C3 = 3 = C C C 3 det ( ) C C C 3 3 33 3 3 33 C = + C = C = + 3 3 3 3 33 3 33 3 3 C = C = + C = C 3 3 3 3 33 3 33 3 3 3 3 = + C3 = C33 = + 3 3 3 Huom! ( ) det 0 Yhtälöryhmä (System of simulteous equtios) ällä kurssill lsketmlli solmusiirtymät rtkist yhtälöryhmästä K K Km Q F K K K m Q F K Q = F = = Km Km KmmQm Fm yhtälöryhmä void rtkist käsipelillä m<4 käyttäe kääteismtriisi Q = K F jos m>3, ii void käyttää esimerkiksi Gussi elimitiomeetelmää ti joti vlmisohjelm yhtälöryhmä rtkisufuktiot, jolloi (yleesä) ei oll kiiostueit kääteismtriisist v iost rtkisuvektorist Q. Omiisrvot j vektorit (Eigevlues d eigevectors) Yhtälöryhmä = λ mm rtkisu λ i o mtriisi omiisrvo, jos ryhmällä o ei-trivilirtkisu ts. [ ] = 0. ällöi vektori o omiisrvoo λ i liittyvä omiisvektori., m Symmetrisellä positiividefiiitillä eliömtriisill mm o m kpplett positiivisi (ei välttämättä erisuuri) omiisrvoj j sille void vlit m kpplett keskeää ortogolisi omiisvektoreit.
mperee tekillie yliopisto hum.8.3 Kostruktiotekiik litos EDE-00 Elemettimeetelmä perusteet. Lueto vk Syksy 03. Mtriisi omiisrvot sd rtkisemll krkteristise yhtälö ( λi) λ m λ m det = = 0 m m mm λ juuret. Omiisrvoo λ i liittyvä omiisvektori i o homogeeise ryhmä ( ) i I = 0 λ i ei-trivili rtkisu. (Omiisvektoriss i i o yläideksiä, jott lideksiä void käyttää omiisvektori kompoetille ). Esimerkki: Erää levyrketee (tsojäitystil) pistee P jäityskompoetit ovt: [ ] σ = σ σ y τ y = 4 95 65 MP Jäitystil vstv jäitysmtriisi o σ τ y 4 65 σ = MP τ y σ = y 65 95 Lsket jäitysmtriisi omiisrvot (ilm dimesioit) j omiisvektorit. i j 4 λ 65 det = 0 65 95 λ λ 9λ 5055 = 0 λ = 3.57 λ = 3.57 Esimmäisee omiisrvoo liittyvä (eräs) omiisvektori sd 4 3.57 65 0 65 95 3.57 = 0 8.57 65 0 65 77.57 = 0 8.57 + 65 = 0
mperee tekillie yliopisto hum.8.3 Kostruktiotekiik litos EDE-00 Elemettimeetelmä perusteet. Lueto vk Syksy 03. Viimeie yhtälö stii esimmäiseltä riviltä. Sm yhtälö stisii myös lemmlt riviltä (tote). Kosk omiisvektori pituutt ei ole ettu, ii vlit (premm tiedo puutteess) omiisvektori esimmäise kompoeti pituus ykköseksi, jolloi = 0.856 Vstvll tvll toisee omiisrvoo liittyvä omiisvektori sd 4 + 3.57 65 0 65 95 3.57 = 0 + 7.57 65 0 65 8.57 = 0 65 + 8.57 = 0 jote = 3.5 käy toiseksi omiisvektoriksi. ll olevss kuvss o vielä hviollistettu omiisrvoj λ j λ uolill j omiisvektoreit elemeti kiertymisellä. Omiisogelm käsitellää tällä kurssill omiisvärähtelytehtävä yhteydessä.
mperee tekillie yliopisto hum.8.3 Kostruktiotekiik litos EDE-00 Elemettimeetelmä perusteet. Lueto vk Syksy 03. Positiividefiiitti mtriisi (Positive defiite mtri) Symmetristä eliömtriisi mm sot positiividefiiitiksi, jos se kikki omiisrvot ovt idosti positiivisi (>0). oie määritelmä positiividefiiittisyydelle: Symmetristä mtriisi sot positiividefiiitiksi, jos kikill vektoreill [ ] = 0, m > 0 ällä kurssill oletet, että jos lsketmlli jäykä kpplee liike o estetty j mterilirvot ovt järkevät, ii lsketmlli globli jäykkyysmtriisi K o symmetrie j positiividefiiitti. Gussi elimitio (Guss elimitio) Gussi elimitio o tehoks meetelmä rtkist yhtälöryhmä = b jos eliömtriisi : dimesio o pieehkö. Gussi elimitio ide o suoritt yhtälöryhmälle vkrivimuuoksi site, että jäljelle jää yhtälöryhmä, joss kerroimtriisi o muuttuut yläkolmiomtriisiksi. Gussi elimitiot käytetää myös mtriisi determiti lsket. http://people.revoledu.com/krdi/tutoril/lierlgebr/rref.html#rref