Matriisihajotelmat. MS-A0007 Matriisilaskenta. 5.1 Diagonalisointi. 5.1 Diagonalisointi
|
|
|
- Pirjo Pesonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MS-A0007 Matriisilaskenta 5. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Laskentaongelmissa käsiteltävät matriisit ovat tyypillisesti valtavia. Jotta laskut menisivät läpi edes jossain määrin järjellisessä ajassa, käytetään hyväksi mm. matriisihajotelmia. Ideana niissä on purkaa matriisi useamman, yksinkertaisemman matriisin tuloksi. Matriisihajotelmia on koko joukko, ne soveltuvat eri käyttötarkoituksiin ja erityyppisille matriiseille. Tällä kurssilla tarkastelemme varsinaisesti näistä kahta: diagonalisointia ja singulaariarvohajotelmaa (. Lisäksi harjoituksessa 4 esiintyi LU-hajotelma. 1 / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5. 2 / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi Esimerkki 1 (Luentoharjoitus R n n neliömatriisi A, joilla on n riippumatonta ominaisvektoria, voidaan diagonalisoida. Tämä tarkoittaa, että matriisi A R n n voidaan kirjoittaa muodossa A SΛS 1, missä matriisin S sarakkeet ovat matriisin A ominaisvektorit, ja matriisi Λ on diagonaalimatriisi, jossa kussakin sarakkeessa on matriisissa S samassa sarakkeessa olevaan ominaisvektoriin liittyvä ominaisarvo. Aiemmin laskimme matriisille A ( ominaisarvot ja -vektorit, ( ja saimme ominaisarvoa 1 vastaavaksi ( 1 1 ominaisvektoriksi ja ominaisarvoa 3 vastaavaksi. 1 1 Diagonalisoi A. Vastaus: A SΛS 1 ( ( ( 1/2 1/2 1/2 1/2 3 / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5. 4 / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5.
2 Huom n n-matriisi diagonalisoituu, jos sillä on n lin. riippumatonta ominaisvektoria. Erityisesti tämä tapahtuu silloin, kun matriisilla on n erisuurta ominaisarvoa, mutta voi siis tapahtua muulloinkin! Esimerkki 2 Matriisi A ( ei diagonalisoidu. Sen ainoa ominaisarvo on nimittäin 0, eli m a (0 2. Ominaisvektoreita laskettaessa kuitenkin havaitaan, että löytyy vain yksi ominaisvektori, eli m g (0 1, eikä A diagonalisoidu. Esimerkki 3 Matriisi A diagonalisoituu: Sen ominaisarvot ovat 3 ja 1, m a (3 2 ja m a ( 1 1, mutta onneksi (kuten aiemmin laskettiin ominaisarvoa 3 vastaten löytyy ominaistaso, eli saadaan kaksi lin. riippumatonta ominaisvektoria om. arvolle 3. Saadaan hajotelma A / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5. 6 / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi Huom. Jos matriisi on diagonalisoituva, sen potensseja on hyvin näppärä laskea: A 2 SΛ S} 1 {{ S} ΛS 1 SΛ 2 S 1 I A 3 SΛ } S 1 {{ S} Λ } S 1 {{ S} ΛS 1 SΛ 3 S 1 I I A k SΛ k S 1 Diagonaalimatriisin potenssithan ovat helppoja: Λ k λ λ n k λ k λ k n. Esimerkki 4 (Luentoharjoitus Laske A 2014, kun Vastaus: A SΛS 1 A 2014 A ( ( ( ( ( ( ( , ( / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5. 8 / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5.
3 Huom. Käänteismatriisin löytäminenkin on diagonalisoidulle matriisille helppoa: Diagonaalimatriisillehan A 1 (SΛS 1 1 SΛ 1 S 1. λ Λ λ n 1 λ λ 1 n Joissakin tapauksissa diagonalisointi onnistuu erityisen mukavasti: tästä on kyse normaalin matriisin unitaarisessa diagonalisoinnissa. Ensin hieman terminologiaa: Matriisi A C n m on matriisin A C m n konjugaattitranspoosi, jos (A kj A jk. Matriisi A C n n on symmetrinen, jos A A. Matriisi A C n n on normaali, jos A A AA. Matriisi U C n n on unitaarinen, jos U U 1. 9 / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi Lause 5 (Normaalin matriisin unitaaridiagonalisointi Matriisille A C n n seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: 1 A on normaali. 2 A UΛU, missä U C n n on unitaarinen ja Λ C n n diagonaalinen. Esimerkki 6 Jos A on symmetrinen, eli A A, niin A on normaali: A A A 2 AA. Symmetrinen matriisi on siis aina unitaarisesti diagonalisoituva. Esimerkki 7 (lasketaan luennolla ( 0 1 Osoita, että matriisi A ei ole normaali. 0 0 Lause 8 (Erikoistapaus unitaaridiagonalisoinnista Jos A C n n on symmetrinen ja sen ominaisarvot ovat erisuuret, niin A UΛU, missä U C n n on unitaarinen ja Λ C n n diagonaalinen. Todistus. Taululla, jos ehditään. 11 / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5.
4 Huom. Kompleksisille vektoreille u, v C n pistetulo on u v n u i v i. Kompleksiset vektorit ovat ortogonaaliset, kun pistetulo on 0. Huom. Normaalin matriisin eri ominaisarvoja vastaavat normeeratut ominaisvektorit ovat ortonormaaleja. Samaa ominaisarvoa vastaavat ominaisvektorit voidaan valita siten, että ne ovat ortonormaaleita. i1 Matriisi U saadaan siis normeeratuista, ortonormaaleista ominaisvektoreista. Esimerkki 9 (lasketaan luennolla ( 0 1 Osoita, että matriisi A on normaali ja diagonalisoi 1 0 se unitaarisesti. Ratkaisu: Lasketaan ( A 0 1 A 1 0 ja AA ( ( ( ( ( , joten A on normaali ja se voidaan diagonalisoida unitaarisesti. 13 / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi Etsitään ominaisarvot: det(a λi λ 1 1 λ λ2 + 1, joten λ 1 i, λ 2 i. Etsitään ominaisvektorit: yhtälöstä (A ii x 0 saadaan ( ( i 1 i 1 1 i 0 0 eli ehto ix 1 + x 2 0. Valitaan ominaisvektoriksi v 1 (1/ 2, i/ 2 T. (Tällöin sen pituus on 1! Vastaavasti ominaisarvolle λ 2 i saadaan ominaisvektori v 2 (1/ 2, i/ 2 T. Matriisille A saadaan siis unitaarinen diagonalisointi A ( ( 1/ 2 1/ 2 i/ 2 i/ 2 UΛU. (Tarkista kertolaskulla! ( i 0 0 i ( 1/ 2 i/ 2 1/ 2 i/ 2 15 / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5.
5 (a Alkuperäinen kuva, 210 KB 17 / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5. (b :llä pakattu kuva, 82 KB Kuten edellä huomattiin, vain neliömatriisin voi diagonalisoida olettaen, että sillä on täysi määrä riippumattomia ominaisvektoreita. Kaikille matriiseille voidaan kuitenkin tehdä singulaariarvohajotelma (Singular Value Decomposition. :n ideana on purkaa lineaarikuvaus kolmeen osaan: unitaariseen kuvaukseen, venytykseen ja toiseen unitaariseen kuvaukseen. (Unitaariset kuvaukset voi usein tulkita kierroiksi. :tä käytetään mm. signaalinkäsittelyssä ja statistiikassa. Siihen perustuvat esimerkiksi jotkin kuvanpakkausmenetelmä ja Googlen hakukoneen toiminta. liittyy läheisesti ns. pääkomponenttianalyysiin, jossa tavoitteena on löytää monidimensioisesta datasta ne komponentit, joilla sen keskeisimmät piirteet voidaan esittää menettämättä oleellista informaatiota. 18 / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi Lause 10 ( Matriisille A R m n on olemassa hajotelma A A UΣV T, missä U on m m-ulotteinen ortogonaalinen matriisi, V on n n-ulotteinen ortogonaalinen matriisi ja Σ on m n-ulotteinen diagonaalimatriisi, joka sisältää matriisin A singulaariarvot. Muistutus: Matriisin on ortogonaalinen, jos käänteismatriisi on sen transpoosi: U 1 U T. Tällöin sen sarakevektorit ovat ortonormaaleja. (Huomaa, että reaaliselle matriisille ortogonaalisuus ja unitaarisuus ovat sama asia. V^T U Sigma Figure: A kierto + venytys + kierto 19 / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5.
6 Huom. Vain matriisi Σ on yksikäsitteinen (kun singulaariarvot asetetaan diagonaalille suurimmasta pienimpään, muita voi löytyä useita. Luku σ > 0 on matriisin A singulaariarvo, jos on olemassa vektorit u ja v siten, että Av σu ja A T u σv. Jos σ on matriisin A singulaariarvo, niin σ 2 on matriisin A T A ominaisarvo. on olemassa myös kompleksisille matriiseille, silloin transpoosin V T sijaan tarvitaan adjungaatti V (kompleksikonjugaatin transpoosi ja U ja V ovat unitaarisia, eli V 1 V, U 1 U. voidaan laskea seuraavien tietojen perusteella: Matriisin Σ diagonaalialkiot σ j ovat matriisin A T A ominaisarvojen positiiviset neliöjuuret. Matriisin V sarakevektorit v j (eli V T :n rivit ovat matriisin A T A yksikköpituiset ominaisvektorit. Matriisin U sarakevektorit u j ovat matriisin AA T yksikköpituiset ominaisvektorit. Jos σ j 0, niin sarakevektori u j Av j /σ j. Huom. Matriisit AA T R m m ja A T A R n n ovat aina symmetrisiä, joten niillä on täysi määrä ortogonaalisia ominaisvektoreita. Koko :n idea perustuu tähän. 21 / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi Esimerkki 11 (Luentoharjoitus Etsi matriisin A ( singulaariarvohajotelma. ( Ratkaisu: Matriisin A T A ominaisarvot ovat 50 ja , joten singulaariarvot ovat σ 1 50, σ 2 ( 0. Matriisin A T A 1/ 5 yksikköpituiset ominaisvektorit ovat v 1 2/ ja 5 ( 2/ 5 v 2 1/ ( ( 5/ 5 Nyt u 1 Av 1 /σ 1 15/ 1 1/ /. Koska σ 2 0, 10 vektoria u 2 ei saada samalla tavalla, vaan se täytyy ( laskea matriisin 5 15 AA T yksikköpituisena ominaisvektorina: AA T, ja sen ominaisarvoa ( 0 vastaava yksikköpituinen ominaisvektori on 3/ 10 u 2 1/. Näin ollen hajotelma on 10 A UΣV ( T 1/ 10 3/ 10 3/ 10 1/ 10 (Tarkista kertolaskulla! ( ( 1/ 5 2/ 5 2/ 5 1/ / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5.
7 Esimerkki 12 Alkupera ista n n matriisia voidaan approksimoida :n avulla ottamalla k ensimma ista saraketta matriisista U, k k osa diagonaalimatriisin Σ vasemmasta yla kulmasta ja k ensimma ista rivia matriisista V T, eli ensimma ista k:ta singulaariarvoa vastaava osuus. Huom: Singulaariarvot oli valittu suuruusja rjestykseen, suurimmasta pienimpa a n. Na in saadaan alkupera ista matriisia approksimoiva matriisi, jonka rangi on k. 25 / 31 N. Hyvo nen, c R. Kangaslampi 5. A skeisen esimerkin matriisille saadaan approksimaatio /10 3/10 1/5 2/ / 10 1/ 10 2/ 5 1/ 5 1/ / 5 2/ 5 3/ 10 1/ / N. Hyvo nen, c R. Kangaslampi 26 / Esimerkki 13 Testikuvassa on pikselia, eli se voidaan esitta a matriisilla, pikselin va ri antaa arvon ko. alkiolle matriisissa. Ta lle matriisille voidaan tehda singulaariarvohajotelma, ja approksimoida sitten kuvaa ottamalla hajotelmasta k:ta ensimma ista singulaariarvoa vastaava osuus. Huomataan, etta va hempikin ma a ra dataa riitta a kuvan esitta miseen tunnistattavasti ja jopa silma ma a ra isesti riitta va n tarkasti. (a k 1 (b k 10 (c k 20 (d k 50 Seuraavalla sivulla kuvat, kun k 1, 10, 20, 50, 100 ja 200 seka alkupera inen kuva. (e k / 31 N. Hyvo nen, c R. Kangaslampi / 31 (f k 200 N. Hyvo nen, c R. Kangaslampi (g k
8 Kun alkuperäisen m n-matriisin sijaan käytetään :stä k ensimmäistä singulaariarvoa, tarvittavien lukujen määrä on k + km + kn, eli k singulaariarvoa, niistä vastaavat k ensimmäistä sarakevektoria (putuus m matriisista U ja k ensimmäistä rivivektoria (pituus n matriisista V T. Neliömatriisille n n tämä tarkoittaa, että jos k < n 2 /(1 + 2n, niin datan määrä pieneni. Edellä käytetylle kuvalle n 512, joten k < 255 vähentää datamäärää. Esimerkki 14 (Luentoharjoitus On saatu seuraava singulaariarvohajotelma: / / / / 5 Approksimoi kyseessä olevaa matriisia kahden ja sitten kolmen singulaariarvon avulla. Mitä saat? Miksi? Laske myös alkuperäinen matriisi. 29 / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi Esimerkki 15 Käydään läpi :hen perustuva hahmontunnistusdemo Matlabilla. Demon ohjeet ovat jaossa Noppa-sivulla, voit kokeilla sitä myöhemmin itsekin. Huomattiin siis, että :n avulla voidaan poimia datasta olennainen ja päästä turhasta kohinasta eroon, pienentäen samalla käsiteltävää datamäärää merkittävästi. :n muut sovellukset jätämme myöhempiin kursseihin, tämä kurssi päättyy tähän! 31 / 31 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5.
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
MS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6
MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja
Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
Ortogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
Matematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
Similaarisuus. Määritelmä. Huom.
Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP
Ominaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma
Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3 Kevät 2011 1 Singulaariarvohajotelma (Singular Value Decomposition, SVD) Olkoon A R m n matriisi 1. Tällöin A voidaan esittää muodossa A = UΣV T,
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma
Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
Paikannuksen matematiikka MAT
TA M P E R E U N I V E R S I T Y O F T E C H N O L O G Y M a t h e m a t i c s Paikannuksen matematiikka MAT-45800 4..008. p.1/4 Käytännön järjestelyt Kotisivu: http://math.tut.fi/courses/mat-45800/ Luennot:
Matematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat:
Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 5. luento.2.27 Lineaarialgebraa - Miksi? Neuroverkon parametreihin liittyvät kaavat annetaan monesti
Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot
Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut
MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A
Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen.
Pns ratkaisu (Kr. 20.5, Lay 6.5 C-II/KP-II, 20, Kari Eloranta Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen. Määritelmä Jos A on
1.1. Määritelmiä ja nimityksiä
1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x
OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA
1 OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA Olkoon x = (x 1,..., x n ) avaruuden R n piste (l. vektori). Vektori x samaistetaan n 1-matriisin (x 1 x 2... x n ) T kanssa, ts. voidaan yhtä hyvin kirjoittaa x1
3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset
32 Idea: Lineaarikuvausten laskutoimitusten avulla määritellään vastaavat matriisien laskutoimitukset Vakiolla kertominen ja summa Olkoon t R ja A, B R n m Silloin ta, A + B R n m ja määritellään ta ta
Ominaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt
Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3
Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016
Matriisialgebra harjoitukset, syksy 6 MATRIISIALGEBRA, s. 6, Ratkaisuja/ M.Hamina & M. Peltola 8. Olkoon 4 A 6. 4 Tutki, onko A diagonalisoituva. Jos on, niin määrää matriisi D T AT ja siihen liittyvä
Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä
Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty
Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1
, määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,
3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. Olkoot A 2 := AA =
3 3 Olkoot 9 8 B 7 6 ja A 5 4 [ 3 4 Nyt A + B, AB ja BB eivät ole mielekkäitä (vastaavilla lineaarikuvauksilla menisivät dimensiot solmuun tällaisista yhdistelmistä) Kuitenkin voidaan laskea BA ja 9( )
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 205 / 3 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista Differentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
1 Singulaariarvohajoitelma
1 Singulaariarvohajoitelma Tähän mennessä on tutkittu yhtälöryhmän Ax = y ratkaisuja ja törmätty tapauksiin joissa yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu ("helppo"tapaus) yhtälöryhmällä on ääretön
Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
Matemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
Ratkaisuehdotukset LH 8 / vko 47
Ratkaisuehdotukset LH 8 / vko 47 Tehtävä 1: Olkoot A R n n matriisi, jonka singulaariarvohajotelma on A [ ] [ ] Σ U 1 U r 0 [V1 ] T 2 V 0 0 2 Jossa Σ r on kääntyvä matriisi, [ U 1 U 2 ] ja [ V1 V 2 ] ovat
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
Esimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).
Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun
Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45
Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Tehtävä : Olkoot A, B, X R n n, a, b R n ja jokin vektorinormi. Kätetään vektorinormia vastaavasta operaattorinormista samaa merkintää. Nätä, että. a + b a b, 2. A
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Ennakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
Determinantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
Milloin A diagonalisoituva?
Milloin A diagonalisoituva? ) Oletus: A on diagonalisoituva eli D = TAT, jollakin D = diag(λ, λ 2,..., λ n ). A:n ja D:n ominaisarvot ovat samat λ, λ 2,..., λ n ovat myös A:n ominaisarvot... D e i = D
Neliömatriisit A ja B ovat similaareja toistensa suhteen, A B, jos on olemassa kääntyvä matriisi P, jolle pätee A = PBP 1.
Similaarisuus 1 (Kreyszig 8.4, Lay 5.2) Aalto MS-C1340, 2014, Kari Eloranta Määritelmä Neliömatriisit A ja B ovat similaareja toistensa suhteen, A B, jos on olemassa kääntyvä matriisi P, jolle pätee A
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
Vektoriavaruudet MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V
Käänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus
Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä
6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
MATRIISIN HESSENBERGIN MUOTO. Niko Holopainen
MATRIISIN HESSENBERGIN MUOTO Niko Holopainen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2013 Tiivistelmä: Niko Holopainen, Matriisin Hessenbergin muoto Matematiikan
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Viime luennolla Käsittelimme matriisien peruskäsitteitä ja laskutoimituksia Vakiolla kertominen, yhteenlasku ja vähennyslasku
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
ominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
Lineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg
Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa
Laskennallinen data-analyysi II
Laskennallinen data-analyysi II Saara Hyvönen, Saara.Hyvonen@cs.helsinki.fi Kevät 2007 Ulottuvuuksien vähentäminen, SVD, PCA Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2007, Helsingin yliopisto visualisointi
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja
Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät
Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
Lineaariset mollit, kl 2017, Harjoitus 1
Lineaariset mollit, kl 07, Harjoitus Heikki Korpela 7 huhtikuuta 07 Tehtävä Symmetristä matriisia A(n n) sanotaan positiivisesti definiitiksi (merkitään A > 0), jos x T Ax > 0 kaikilla x 0, x R n (ks monisteen
3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
3 MS-A7 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 925 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita ratkotaan
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Simo Jaakkola. Ortogonaalisuudesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Simo Jaakkola Ortogonaalisuudesta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Joulukuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö JAAKKOLA, SIMO: Ortogonaalisuudesta
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita
Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit
Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää
C = {(x,y) x,y R} joiden joukossa on määritelty yhteen- ja kertolasku seuraavasti
Vaasan yliopiston julkaisuja 189 9 OMINAISARVOTEHTÄVÄ Ch:EigSystem Sec:CMatrix 9.1 Kompleksinen lineaariavaruus 9.1.1 Kompleksiluvut Pian tulemme tarvitsemaan kompleksisen lineaariavaruuden alkeita. Tätä
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Matriisinormi
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi
HELSINGIN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Niko Kaitarinne Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Helmikuu 01 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
Matriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.
Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k
Käänteismatriisin. Aiheet. Käänteismatriisin ominaisuuksia. Rivioperaatiot matriisitulona. Matriisin kääntäminen rivioperaatioiden avulla
Käänteismatriisi, L5 1 Tässä kalvosarjassa käsittelemme neliömatriiseja. Ilman asian jatkuvaa toistamista oletamme seuraavassa, että kaikki käsittelemämme matriisit ovat neliömatriiseja. Määritelmä. Olkoon
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 /
MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 3. 7..27 Tehtävä (L): Etsi kaikki yhtälön Ax = b ratkaisut, kun 3 5 4 A = 3 2 4 ja b = 6 8 7 4. Ratkaisu : Koetetaan ratkaista
800350A / S Matriisiteoria
800350A / 800693S Matriisiteoria Emma Leppälä Tero Vedenjuoksun luentomonisteen pohjalta 15 syyskuuta 2017 Sisältö 1 Lineaarialgebraa 2 11 Merkintöjä 2 12 Matriisien perusominaisuuksia 4 13 Matriisien
ja F =
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2016 Tehtävissä 1 ja 2a käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3 A =,B = 7 1 2 2 3,C = 4 4 2 5 3,E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1.
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Kurssitiedot Luennot alkavat ke 11.1.2012 Ke 12-14 L3 To 14-16 L6 Kurssin viimeinen luento To 22.3 2012 Kurssin suorittaminen välikokein:
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot