1 VALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO 1 Työn tavoitteet Tässä työssä tutkit valoa aaltoliikkeenä. Tutustut valon taipumiseen eli diffraktioon, joka havaitaan esimerkiksi, kun monokromaattinen valo kulkee kapean raon läpi. Raon takana olevalla varjostimella nähdään tällöin kirkkaista ja tummista juovista muodostuva kuvio, jonka keskellä oleva kirkas päämaksimi voi olla rakoa leveämpi. Diffraktio voidaan selittää käyttämällä Huygensin periaatetta, jonka mukaan valo etenee palloaaltorintamana siten, että kukin aaltorintaman piste toimii uuden alkeisaallon lähteenä. Eri pisteissä syntyvät palloaallot interferoivat ja muodostavat uuden aaltorintaman, joka on niiden yhteinen tangenttipinta. Koska taipuen selitetään aaltoliikkeelle oaisen interferenssin avulla, valolla havaittavaa diffraktioilmiötä voidaan pitää todisteena valon aaltoluonteesta. Diffraktiomittaustesi perusteella pystyt määrittämään käyttämäsi raon leveyden. Tutkit myös valon polarisaatiota, jolla tarkoitetaan aaltoliikkeen amplitudin suuntariippuvuutta liikkeen etenemissuuntaan nähden kohtisuorassa suunnassa. Polarisaatio on oaista vain poikittaiselle aaltoliikkeelle. Valolla havaittava polarisaatio on osoitus siitä, että valo on poikittaista sähkömagneettista aaltoliikettä. Polarisaatiomittauksissa muutat hehkulampun lähettämän luonnollisen valon Polaroid-levyn avulla lineaarisesti polarisoiduksi valoksi, jossa sähkökenttä värähtelee vain yhdessä valon etenemissuuntaa vastaan kohtisuorassa suunnassa. Tutkit, miten valon intensiteetti käyttäytyy, kun luonnollinen valo muutetaan lineaarisesti polarisoiduksi ja miten valo käyttäytyy kulkiessaan kahden peräkkäisen polarisoivan suotimen läpi.
2 VALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO 2 Teoria 2.1 Valon diffraktio Valon diffraktiota tarkasteltaessa sovellamme Fraunhoferin diffraktiomallia, koska koejärjestelyssämme valolähde, rako ja varjostin ovat niin kaukana toisistaan, että sekä rakoon tulevaa että siitä lähtevää aaltorintamaa voidaan pitää tasoaaltoina. Tällainen tilanne on esitetty kuvassa 5.1. Kapeaan rakoon, jonka leveys on a, saapuu monokromaattinen tasoaalto. Kuvassa Kuva 5.1 Diffraktio kapeassa raossa kapea rako on hyvin pitkä, jolloin taipumista ei tapahdu vaakasuunnassa. (Huom. Todellisessa koejärjestelyssämme kapea rako on toisin päin eli se on kapea vaakasuunnassa ja pitkä pystysuunnassa, jolloin taipuen tapahtuu vaakasuunnassa.) Varjostimella havaittava, valoisista ja tummista kohdista muodostuva diffraktiokuvio syntyy, kun raon eri pisteistä tulevat alkeisaallot interferoivat. Diffraktiokuvion keskellä on kuvan 5.1 mukaisesti hyvin kirkas ja leveä päämaksimi, jonka molem puolin symmetrisesti havaitaan sivumaksimeja, joiden kirkkaus heikkenee siirryttäessä kauemmas päämaksimista. Maksimien välissä olevat tummat juovat ovat imejä. Tarkempi kuva kapean raon diffraktiokuviosta on kuvassa 5.2. Kuva 5.2 Kapean raon diffraktiokuvio Diffraktiokuvion intensiteetti (eli irradianssi) suunnassa olevassa varjostimen pisteessä P voidaan laskea jakamalla rako kuvan 5.3 mukaisesti äärettömän moneen kapeaan osaan ja laskemalla jokaisesta osasta tulevien aaltojen sähkökentät vaihe-erot huomioiden yhteen. Koska intensiteetti on suoraan verrannollinen sähkökentän amplitudin neliöön, saadaan myös intensiteetti selville. Intensiteetiksi I saadaan suunnassa = 0 olevan päämaksi intensiteetin I 0 avulla x Kuva 5.3 Diffraktiokuvion intensiteetin laskeen. ym
3 2 2 sin I I0. (5.1) 2 Yhtälössä (5.1) esiintyvä muuttuja tarkoittaa raon reunimmaisista osista lähtevien säteiden välistä vaihe-eroa, jolle saadaan yhtälö 2 a sin. (5.2) Yhtälössä (5.2) a on raon leveys, on kuvassa 5.3 näkyvä taipumiskulma ja on diffraktiokuvion synnyttämiseen käytetyn monokromaattisen valon aallonpituus. Minimien etäisyydet diffraktiokuvion keskikohdasta: Diffraktiokuvion tummien juovien eli imien etäisyydet kuvion keskikohdasta saadaan tarkastelemalla, milloin yhtälön (5.1) mukainen intensiteetti I = 0. Näin käy sellaisissa kohdissa, joissa osoittaja sin(/2) on nolla. Tästä saadaan imeille ehto 2 m m2, m 1, 2,. Ottamalla huomioon yhtälö (5.2) eli se, miten liittyy koejärjestelyn todellisiin muuttujiin a, ja, saamme 2 m2 asin sin m, m 1, 2,. a Fraunhoferin diffraktiossa, jossa rako on kapea ja varjostin on kaukana raosta, taipumiskulma on pieni. Tällöin voimme käyttää approksimaatiota sin tan. Kuvasta 5.3 nähdään, että tan ( x), jossa y m on kertalukua m olevan tumman y m juovan etäisyys kuvion keskikohdasta ja x on raon ja varjostimen välimatka. Olemme siis saaneet taipumiskulman sinille lausekkeen sin tan. x Asettamalla yllä saadut taipumiskulman sinit yhtä suuriksi saamme imien etäisyyksiksi y m y m y m x m, m 1, 2,. (5.3) a Sivumaksimien etäisyydet kuvion keskikohdasta: Diffraktiomaksimit löydettäisiin periaatteessa hakemalla yhtälön (5.1) mukaisen funktion maksimiarvot derivoimalla yhtälö muuttujan suhteen ja asettamalla derivaatta nollaksi. Tällöin päädytään kuitenkin lausekkeeseen tan( 2) 2, jota ei voida ratkaista analyyttisesti. Sivumaksi-
4 VALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO mien etäisyydet päämaksimista saadaan kuitenkin lasketuksi melko tarkasti katsomalla, milloin intensiteetin lausekkeen (5.1) osoittaja saa maksimiarvon. Tällöin vaihekulman sinin on oltava maksimissaan eli sin( 2) 1, jolloin saamme ehdon ( 2m 1), m 0, 1, 2,. Kun otamme huomioon, että kulma riippuu suureista a, ja yhtälön (5.2) mukaisesti ja että taipumiskulma on pieni, jolloin sin tan saamme sivumaksimien etäisyyksiksi päämaksimista x y m (2m 1). (5.4) 2a Tämän approksimaation mukaan sivumaksimit löytyisivät siis imien puolivälistä. Jos maksimien paikat ratkaistaisiin käyttäen yhtälöä tan( 2) 2, kulman ensimmäiset arvot olisivat 2,860, 4,918, 6,942,. Yllä oleva approksimaatio taas antaa kulmalle arvot, 3, 5, 7,. Huomaamme, että kohdan ± läheisyydessä ei todellisuudessa ole lainkaan sivumaksimia ja että tekemämme approksimaatio pätee sitä parem, mitä suurempi kertaluku on kyseessä. Yhtälössä (5.4) kertaluku m saa siten arvot m = 1, ±2, ±3,. Diffraktiokuvion maksimien intensiteetit: Kun sijoitamme maksimien ehdon ( 2m 1) intensiteetin lausekkeeseen (5.1), saamme sivumaksimien intensiteeteiksi I m 4I I 0 m, m 1, 2, 3, 2 2 (2m 1). (5.5) Sijoittamalla yhtälöön (5.5) m:n arvot sivumaksimien intensiteetit päämaksi intensiteetin I 0 avulla ovat I1 0,0450 I0, I2 0,0162 I0, I3 0,0083 I0,, kun tarkempi tarkastelu antaisi tulokset I1 0,0472 I0, I2 0,0165 I0, I3 0,0083 I0,. 2.2 Valon polarisaatio Valon polarisaatio on osoitus siitä, että valo on poikittaista sähkömagneettista aaltoliikettä, jolloin toisiaan vastaan kohtisuorasti värähtelevät sähkökenttä ja magneettikenttä värähtelevät kohtisuorasti myös valon etenemissuuntaa vastaan. Useat valolähteet, esimerkiksi hehkulamput ja aurinko lähettävät luonnollista eli polarisoitumatonta valoa, jossa sähkökenttä (ja myös magneettikenttä) värähtelee yhtä voimakkaana kaikissa valon etenemissuuntaa vastaan kohtisuorissa suunnissa. Polarisaatiotasoa on tapana tarkastella valon sähkökenttävektorin avulla, koska tavallisten valon ilmaisimien toita perustuu sähkökentän ja materiaaleissa olevien varausten välisiin vuorovaikutuksiin. Polarisoitumatonta valoa kuvataan piirroksissa usein kuvan 5.4 tapaan piirtä-
5 mällä näkyviin valon etenemissuunta ja useita sitä vastaan kohtisuoria sähkövektoreita, joiden pituus on sama. Luonnollinen valo voidaan muuttaa kuvan 5.4 mukaisesti lineaarisesti polarisoituneeksi valoksi, jossa sähkökenttä värähtelee vain yhdessä valon etenemissuuntaa vastaan kohtisuorassa suunnassa, asettamalla valon eteen polarisoiva levy eli polarisaattori. Jos polarisaattori on ideaalinen se päästää lävitseen polarisaatioakselinsa suunnassa tapahtuvat värähtelyt ja sammuttaa täysin akselia vastaan kohtisuorat värähtelyt. Tällöin luonnollisen valon intensiteetti pienenee puoleen. Polarisaattorit voidaan valmistaa esimerkiksi ns. dikroistisesta materiaalista, joka absorboi voimakkaasti tietyn suuntaisia värähtelyjä ja päästää niitä vastaan kohtisuorat värähtelyt läpi. Polarisaatioakseli Etenemissuunta Luonnollinen valo I0 I0/2 Lineaarisesti polarisoitunut valo Polarisaattori Ilmaisin Kuva 5.4 Luonnollisen valon muuttaen lineaarisesti polarisoituneeksi valoksi polarisaattorin avulla Työssä tutkit valon polarisaatiota kuvan 5.5 tapaisella systeemillä, jossa käytössä on kaksi polarisoivaa levyä. Ensimmäinen polarisoivaa levy eli polarisaattori muuttaa lähteeltä tulevan luonnollisen valon lineaarisesti polarisoituneeksi valoksi, jossa värähtelyt tapahtuvat vain polarisaattorin polarisaatioakselin suunnassa ja jonka sähkökenttävektori on E. Polarisaattorin läpäisseen valon annetaan kulkea vielä toisen polarisoivan levyn eli analysaattorin läpi. Polarisaattorin ja analysaattorin polarisaatioakseleiden välistä kulmaa voidaan säätää esimerkiksi pyörittämällä analysaattoria. Tarkastellaan tilannetta, jossa analysaattorin polarisaatioakseli on kulmassa polarisaattorin polarisaatioakseliin nähden. Jaetaan polarisaattorin synnyttämän valon sähkökenttävektori kahteen komponenttiin: Analysaattorin polarisaatioakselin suuntaiseen ( E cos ) ja sitä vastaan kohtisuoraan ( E sin ). Näistä vain E cos -komponentti läpäisee analysaattorin.
6 VALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO Polarisaatioakseli Luonnollinen valo Polarisaatioakseli E sin Lineaarisesti polarisoitunut valo Polarisaattori Lineaarisesti polarisoitunut valo Analysaattori Ilmaisin Kuva 5.5 Valon polarisaation tutkien polarisaattorin ja analysaattorin avulla. Koska intensiteetti on verrannollinen amplitudin neliöön, ilmaisimelle saapuvan valon intensiteetille saadaan lauseke I I 2 cos, (5.6) jossa on polarisaattorin ja analysaattorin polarisaatioakseleiden välinen kulma ja I on maksimiläpäisy, ts. läpi menneen valon intensiteetti, kun 0. Yhtälöä (5.6) kutsutaan ensimmäisen julkaisijansa Étienne Malusin mukaan Malusin laiksi.
7 3 Mittaukset 3.1 Diffraktiomittaukset Periaatekuva diffraktiomittauksen koejärjestelystä on kuvassa 5.6 ja valokuvat käytettävän laitteiston osista näkyvät kuvissa 5.7 a) ja b). Laitteistoon kuuluvat (osat näkyvät numeroituina myös kuvassa): 1. Monokromaattinen valolähde eli He-Ne-laser, joka lähettää valoa aallonpituudella = 632,8 nm. 2. Korkea, kapea rako, jonka leveyttä a voidaan säätää. 3. Etäisyydellä x raosta oleva ilmaisin, jona toimii kotelon sisällä oleva valodiodi. Kotelossa on pieni sisäänmenoaukko valoa varten. 4. Mitta-asteikko. Ilmaisimen paikkaa mitta-asteikolla voidaan muuttaa pyörittämällä siirtoruuvia kammen avulla. 5. Yleismittari, jolla mitataan valodiodin havaitseman valon intensiteettiin verrannollista jännitettä. Kun mittari näyttää mahdollisimman pientä lukemaa, ilmaisin on diffraktiokuvion m. i kohdalla sivumaksimien kohdissa, jännitemittarin lukema saa paikallisen maksimiarvon. Y m Y m mitta-asteikolla. Ilmaisimen ollessa 4. 4,5 5. 2. 3. 1. x Kuva 5.6 Diffraktiomittausten koejärjestely Y Aloita mittaukset säätämällä laitteisto ohjaajan avustuksella. Pane laser ja jännitemittari päälle ja tarkasta, että säde osuu hyvin sekä rakoon että ilmaisimen sisäänmenoaukkoon. Tutki ensin diffraktiokuviota käyttämällä vaaleaa pahvia tai paperia varjostimena ja tarkasta, että diffraktiokuvio on vaakasuorassa ja että sivumaksimit molem puolin päämaksimia näyttävät yhtä voimakkailta. Tutki sitten diffraktiokuviota yksityiskohtaisem jännitemittarin avulla liikuttamalla detektoria mittaasteikolla. Säädä tarvittaessa laserin ja raon paikkaa ja raon leveyttä.
8 VALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO 2. a) b) Siirtoruuvin 3. pyöritys 1. 5. 4. Kuva 5.7 Diffraktiomittausten laitteisto a) laser ja rako, b) ilmaisin, mitta-asteikko ja yleismittari. Siirrä varsinaisia mittauksia varten ilmaisin diffraktiokuviota tarkkailemalla ja jännitemittaria seuraten tarkasti kuudennen tai viidennen i kohdalle joko keskikoh- dan oikealle tai vasemmalle puolelle. Kirjaa ilmaisimen paikka mitta-asteikolla Y m ja vastaava jännitemittarin lukema mittauspöytäkirjaan. Siirrä sitten ilmaisin kohti kuvion keskikohtaa viereisen sivumaksi kohdalle ja kirjaa paikka sekä jännitelukema ylös. Ym Liikuta ilmaisinta edelleen kohti päämaksimia ja lue seuraavien imien ja niiden välissä sijaitsevien sivumaksimien paikat. Kirjaa mahdollista taustankorjausta varten ylös myös imejä vastaavat jännitteet sekä maksimien intensiteettisuhteiden määrittämiseksi sivumaksimeja vastaavat jännitteet. Tee vastaavat mittaukset myös diffraktiokuvion keskikohdan toiselta puolelta. Siirtäessäsi ilmaisinta päämaksi ohi, kuvion toiselle puolelle kirjaa ylös myös havaitsemasi suurin jännitemittarin lukema. Mittaa lopuksi ilmaisimen ja raon välimatka x metrimitalla. 3.2 Polarisaatiomittaukset Esimerkki polarisaatiomittauslaitteistoista on kuvassa 5.8. Laitteistoon kuuluvat: 1. Valolähteenä käytettävä hehkulamppu. 2. Kaksi polarisoivaa levyä, joista toinen on polarisaattori ja toinen analysaattori. Levyjen polarisaatioakseleiden suuntaa voidaan säätää. Molemmissa 5. levyissä on myös mitta-asteikko polarisaatioakseleiden välisen kulman mittaamiseksi. 3. Ilmaisimena toimiva valodiodi. 4. Yleismittari, jolla mitataan valodiodin havaitseman valon intensiteettiin verrannollista jännitettä tai virtaa.
9 5. Optinen penkki, johon lähde, ilmaisin ja levyt on kiinnitetty telineissään. Valolähde kotelossa Analysaattori Yleismittari Polarisaattori Polarisaatioakselien säätö Koteloitu valodiodi Optinen penkki Kuva 5.8 Polarisaatiomittausten laitteisto Polarisaatiomittaukset jakautuvat seuraaviin vaiheisiin: 1. Laitteiston säätäen ja ilmaisimen aiheuttaman taustan mittaus: Sytytä lamppu, pane mittari päälle ja tarkasta, että valo osuu hyvin ilmaisimeen. Peitä ilmaisimen kotelossa mahdollisesti oleva aukko tai estä muulla tavoin valon pääsy ilmaisimeen ja tarkasta, mitä lukemaa mittari näyttää (mittauspöytäkirjassa I tausta1 ). Anna sitten valon osua ilmaisimeen ja kirjaa ylös mittarin lukema I 01. 2. Polarisoivien levyjen ideaalisuuden tutkien: Aseta toinen polarisoivista levyistä lampun ja ilmaisimen väliin siten, että se on kohtisuorassa tulevaa valoa vastaan. Tutki, muuttuuko lukema, kun vaihdat levyn polarisaatioakselin asentoa pyörittämällä levyä. Kirjaa ylös havaitsemasi suurin jännitteen tai virran arvo I levy1. Toista mittaus myös käyttäen toista levyä. 3. Polarisaatioakselien välisen kulman vaikutuksen tutkien: Pane molemmat levyt lähteen ja ilmaisimen väliin siten, että ne kummatkin ovat kohtisuorassa tulevaa valoa vastaan. Aseta molempien levyjen polarisaatioakselien asentoa kuvaaviksi kulmiksi 0 o ja kirjaa ylös tilannetta vastaava jännitteen tai virran arvo I 02. Pyöritä analysaattoria myötäpäivään siten, että akselien välinen kulma saa arvot 15 o, 30 o, 45 o, 60 o, 75 o ja 90 o ja kirjaa ylös vastaavat mittarin lukemat. Toista mittaukset pyörittämällä analysaattoria vastapäivään ja mittaa em. kulman arvoja vastaavat jännitteet tai virrat myös toiselta puolelta.
10 VALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO 4 Mittaustulosten käsittely ja tulosten luotettavuuden arviointi 4.1 Diffraktiomittaukset Tulosten käsittelyssä voit edetä seuraavasti: 1. Raon leveys imien avulla: Yhtälöstä (5.3) huomataan, että imien paikat Y m mitta-asteikolla riippuvat lineaarisesti kertaluvusta m. Tätä riippuvuutta kuvaavan suoran yhtälö on muotoa x Ym ym Y0 m Y0 b1m a1, a jossa Y 0 on päämaksi paikka mitta-asteikolla. Esitä siis mittaustuloksesi ( m, Y ) koordinaatistossa ja sovita niihin pienimmän neliösumman suora. Määritä raon leveys virherajoineen suoran kulmakertoimen, laserin aallonpituuden sekä raon ja ilmaisimen välimatkan ja niiden virherajojen avulla ennakkotehtävässä johtamastasi yhtälöstä. 2. Raon leveys sivumaksimien avulla: Yhtälön (5.4) perusteella sivumaksimien paikat Y m riippuvat lineaarisesti kertaluvusta m yhtälön Y m y m Y 0 x x x ( 2m 1) Y0 m ( Y0 ) b2m a 2a a 2a mukaan. Jos maksimien paikat esitetään kertaluvun funktiona ( m, Y ) koordinaatistossa, tulisi pisteiden asettua suoralle. Sovittamalla pisteisiin pienimmän neliösumman suora voidaan raon leveys laskea virherajoineen vastaavasti kuin imien tapauksessa. 3. Maksimien intensiteettien suhteet: Määritä sivumaksimien intensiteetit diffraktiokuvion oikealta ja vasemmalta puolella mittaamiesi jännitelukemien keskiarvona. Käytä päämaksi voimakkuutena kuvion keskikohdasta havaitsemaasi jännitteen arvoa. Tee jännitelukemiin tarvittaessa taustankorjaus ohjaajan antaen neuvojen mukaan. Laske sitten suhteelliset intensiteetit I m I0 jännitteiden suhteiden avulla ja vertaa niitä ennakkotehtävässä laskemiisi teoreettisiin arvoihin. 2 4.2 Polarisaatiomittaukset 1. Polarisoivien levyjen ideaalisuuden tutkien: Tee ilman levyjä ja niiden kanssa mitattuihin intensiteettiin verrannollisiin jännitteen tai virran arvoihin mahdollinen taustakorjaus laskemalla erotukset I01 I tausta1, Ilevy1 I tausta1 ja Ilevy 2 Itausta1. Laske sitten taustakorjattujen levyjen kanssa mitattujen jännitteen tai virran arvojen suhde taustakorjattuun ilman levyjä havaittuun arvoon. Jos levyt olisivat ideaalisia, tämän suhteen tulisi olla 2 1.
11 2. Polarisaatioakseleiden välisen kulman vaikutuksen tutkien: Laske ensin samalla kulman arvolla molem puolin havaittujen jännitteen tai virran arvojen keskiarvot. Tee sitten näihin arvoihin taustakorjaus vähentämällä niistä kulman arvoa 90 o vastaava jännitteen tai virran arvo ( I tausta2 ). Tee taustakorjaus myös kulmalla 0 o havaittuun suurimpaan jännitteen tai virran arvoon I 02. Laske kokeelliset intensiteettisuhteet I I ) ( I I ) vertaamalla kullakin kulman arvolla las- ( tausta2 02 tausta2 kettua taustakorjattua intensiteettiin verrannollista jännitteen tai virran arvoa taustakorjattuun arvoon I. 02 I tausta2 5 Lopputulokset ja pohdintaa Ilmoita diffraktiomittausten lopputuloksina sekä imien että sivumaksimien avulla saadut raon leveydet virherajoineen. Pohdi, kumpi tuloksista on luotettavampi ja miksi. Esitä myös havaittujen jännitelukemien avulla lasketut maksimien intensiteettisuhteet ja vertaa niitä teoreettisiin suhteisiin. Anna polarisaatiomittausten lopputuloksena taulukko, jossa näkyvät polarisaatioakseleiden välisen kulman funktiona sekä mittaustuloksista määritetyt kokeelliset intensiteettisuhteet että vastaavat, ennakkotehtävässä lasketut teoreettiset suhteet. Ilmoita myös polarisaatiolevyjen ideaalisuuden tutkimuksesta saadut intensiteettisuhteet ja se, vaikuttiko levyjen pyörittäen tässä mittauksessa havaittuihin jännitteen tai virran arvoihin.