RISTIKKO Määritelmä: Kitkattmilla nivelillä tisiinsa yhdistettyjen sauvjen mudstamaa rakennetta santaan ristikksi. Ristikn sauvat vat rakennesia, jtka ttavat vastaan vain vet tai puristusrasituksen. Js ristikn kaikki sauvat vat samassa tasssa, ristikka kutsutaan tasristikksi, muutin avaruusristikksi. Ristikn mekaniikan malleissa tehdään seuraavat idealisinnit: 1. Ristikn sauvjen liitkset letetaan kitkattmiksi niveliksi. 2. Ristikn ulkiset vimat vaikuttavat vain ristikn niveliin. 3. Ristikn sauvjen akseleiden letetaan leikkaavan liitksessa (nivelessä) samassa pisteessä. Sauvjen painsta jhtuva rasitus n tavallisesti pieni ulkisten kurmien aiheuttaman rasituksen rinnalla. Js sauvan painn vaikutus halutaan ttaa humin, niin se jaetaan sauvan päiden nivelille puliksi. Samin menetellään muiden jakautuneiden kurmitusten, kuten esimerkiksi lumi ja tuulikurman, kanssa. 1
Kun sauvassa n vetrasitus (sauva 2), viman ja vastaviman lain perusteella myös niveliin khdistuu veta. Vastaavasti, js sauvassa n puristusrasitus (sauva 1), niin se työntää niveliä. Sekä sauvjen että nivelten tulee tietenkin lla tasapainssa. Ristikn jäykkyys ja isstaattisuus Ristikn jäykkyydellä tarkitetaan sitä, että ristikk pystyy leellisesti mutaan muuttamatta kantamaan siihen khdistuvat ulkiset kurmitukset. Ristikk n isstaattinen, js sen tukireaktit ja sauvavimat vidaan ratkaista vain tasapainehtja käyttäen. Kuvan isstaattisesti tuettua ristikka kurmittaa vima P. Tasapainasemassa (katkviiva) ristikk menettää alkuperäisen mutnsa sauvjen pituuksien pysyessä samina. Tämä jhtuu siitä, että sauvja n liian vähän, jllin rakenne n mekanismi. 2
Js ristikn mut ei sitä kurmitettaessa leellisesti muutu, ristikka santaan sisäisesti jäykäksi (ylempi kuva). Js ristikssa n sauvja niin paljn (alempi kuva), että se säilyy jäykkänä, vaikka siitä pistetaan jkin sauva, santaan ristikka sisäisesti ylijäykäksi. Tällöin ristikk n sisäisesti hyperstaattinen, tisin sanen sen sauvavimia ei vida ratkaista pelkkien tasapainehtjen avulla. Ristikk n nyt tuettu klmella eri tavalla. Kuvassa (a) ristikk n tuettu riittämättömästi (liikkuva). Kuvassa (b) ristikn tuenta n riittävä ja isstaattinen. Kuvan (c) tuenta n riittävä, mutta hyperstaattinen, tisin sanen tasapainehdt yksin eivät riitä tukireaktiiden ratkaisemiseen. Välttämätön, mutta ei riittävä eht, että ristikk lisi sekä jäykkä että isstaattinen, n, että n vimassa 2n s r missä n n nivelten, s sauvjen ja r tukireaktikmpnenttien lukumäärä 3
Nivelten tasapainehtjen menetelmä Eräs tapa ratkaista ristikn sauvavimat n nivelten tasapainehtjen menetelmä. Siinä valitaan spivassa järjestyksessä nivelet (tasristikssa enintään kaksi tuntematnta niveltä khden), jiden vapaakappalekuvat piirretään ja jihin svelletaan partikkelin tasapainehtja. Nivelten vk kuvia piirrettäessä tuntemattmille sauvavimille tetaan letusarvna vetrasitus. Js laskennan tulksena saadaan negatiivinen arv, tiedetään, että kyseisessä sauvassa n puristusrasitus. Js ristikk n yksinkertainen, niin spivalla laskentajärjestyksellä vidaan aina ratkaista kerrallaan kaksi tuntematnta sauvavimaa tai tukireaktikmpnenttia nivelen vapaakappalekuvasta. Yhdistetyillä ja kmpleksisilla ristikilla päädytään yleensä lineaariseen yhtälöryhmään, jsta kaikki tuntemattmat sauvavimat ja tukireaktikmpnentit ratkaistaan. Yksinkertaisen ristikn tuntemattmien ratkaisemisessa n siis humattavasti vähemmän työtä kuin yhdistettyjen ja kmpleksisten ristikiden ratkaisemisessa. Vähänkin suuremmat ristikiden statiikan tehtävät kannattaa laskea käyttäen hyväksi tietkneita ja niille tätä tarkitusta varten kehitettyjä hjelmistja. 4
Muutamia tasristikn erityiskysymyksiä: 1. Js ristikn kurmittamattmaan niveleen tulee neljä sauvaa, jiden akselit vat parittain samalla suralla kuvan (a) mukaisesti, niin n vimassa S S & S S 1 2 3 4 tai js niveleen tulevan neljännen sauvan sijasta niveleen vaikuttaa saman suuntainen kurmitusvima kuvan (b) mukaisesti, niin n vimassa S S & S F 1 2 3 2. Js ristikn kurmittamattmaan niveleen tulee klme sauvaa, jista kahden akselit vat samalla suralla ja klmannen akseli ei yhdy tähän suuntaan kuvan (c) mukaisesti, niin n vimassa S S & S 1 2 3 0 3. Js kurmittamattmaan niveleen tulee vain kaksi sauvaa, jiden akselit eivät le samalla suralla kuvan (d) mukaisesti, niin n vimassa S S 1 2 0 Sellaisia sauvja, jiden sauvavima n nlla, santaan nllasauviksi. 5
ESIMERKKI Laske kuvan ristikn sauvavimat nivelten tasapainehtjen menetelmällä. : 5 S sin 45 0 S 7,071kN (pur.) 1 1 : S cs 45 S 0 S 5kN (veta) 1 2 2 : 7,071 cs 45 S cs 45 0 S 7,071kN (pur.) 4 4 : 7,071 sin 45 S sin 45 S 0 S 10kN (veta) 4 3 3 : 5 S 0 S 5kN (veta) 5 5 Nivelen B vapaakappalekuvasta vidaan tarkistaa, että tasapainehdt tteutuvat, jllin vi luttaa siihen, että sauvavimat n laskettu ikein. 6
ESIMERKKI Laske kuvan ristikn sauvavimat nivelten tasapainehtjen avulla. Ristikn maa paina ei tarvitse ttaa humin. Niveliin A ja B liittyvien sauvjen sauvavimat vidaan kirjittaa suraan esitettyjen sääntöjen perusteella: S S S S 1 4 9 10 16,18kN (pur.) 32,21kN (veta) 0 (nllasauva) 28,39kN (pur.) : 16,18 20 S sin 45 0 S 5,402kN (pur.) 3 3 : S S cs45 0 S 3,820kN (veta) 2 3 2 : 3,820 30 cs55 S 0 S 13,39kN (pur.) 6 6 : 30 sin 55 S 0 S 24,57kN (pur.) 5 5 7
: 5,402 sin 45 24,57 S sin 45 0 S 7 : 32,21 5,402 cs45 S cs45 S 0 S 9 40,15kN (veta) 7 7 9 0,000kN (kuten pitikin!) : 13,39 40,15 cs 45 15 0,000 : 40,15 sin 45 S 0 S 10 10 28,39kN (pur.) Laske kuvan ristikn sauvavimat nivelten tasapainehtjen menetelmällä. 8
Laske kuvan ristikn sauvavimat nivelten tasapainehtjen menetelmällä. F 50 kn Laske kuvan ristikn sauvavimat nivelten tasapainehtjen menetelmällä. 9
Laske kuvan ristikn sauvavimat nivelten tasapainehtjen menetelmällä. (Tukireaktit n laskettu aiemmin.) Laske kuvan ristikn sauvavimat nivelten tasapainehtjen menetelmällä. (Ohje: Laske suraan alkaen nivelistä E, D ja C) (Vast: S1 17,5 S2 10 S3 9 ) S 7,5 S S 8 4 5 6 10
Laske kuvan ristikn sauvavimat S nivelten tasapainehtjen menetelmällä. 1,... S6 ja S8,... S10 Etsi kuvan ristiksta 0 sauvat kuvassa esitetyllä kurmituksella. Laske sen jälkeen tukireaktit ja sauvavima S 5 nivelten tasapainehtjen menetelmällä. 11
Etsi kuvan ristiksta 0 sauvat kuvassa esitetyllä kurmituksella. Laske sen jälkeen tukireaktit ja sauvavimat nivelten tasapainehtjen menetelmällä kurmituksesta F 20kN. S 5 Laske sauvavima nivelten tasapainehtjen menetelmällä. 12
Laske sauvavima S 5 nivelten tasapainehtjen menetelmällä. Kaikkien sauvjen pituus 2m. Leikkausmenetelmä Leikkausmenetelmässä ristikk jaetaan spivasti (halutut sauvavimat muuttuvat ulkisiksi) siin, jiden vapaakappalekuvista tuntemattmat sauvavimat ratkaistaan. Osien n tteutettava jäykän kappaleen tasapainehdt, jten yleensä enintään 3 tuntematnta sauvavimaa vidaan ratkaista. Osien vk kuvia piirrettäessä tuntemattmille sauvavimille tetaan letusarvna vetrasitus. 13
ESIMERKKI Laske kuvan ristikn sauvavimat S4, S5 ja S6 leikkausmenetelmällä. F 50 kn Osien vapaakplkuvat Vasen pulisk : S5 sin45 50 33,33 0 S 23,57 kn S S 6 4 3 33,33 3 0 S 33,33 kn Oikea pulisk 6 5 3 16,67 3 0 S 16,67 kn 4 ESIMERKKI Laske kuvan ristikn sauvavimat S6, S7 ja S8 leikkausmenetelmällä. Kaikkien sauvjen pituus 2m. Leikkauksen a a ikean pulen vkk Oikean puliskn vkk:sta (Hum! Tukireaktit laskettu aiemmin) h 2 sin60 1,732m S S 1,732 + 20 2 0 S 23,09kN 8 8 6 1,732 20 1 20 3 0 S 6 23,09kN : S sin60 20 20 0 S 0 7 7 14
Määritä kuvan ristikn sauvavimat S1, S2 ja S3 leikkausmenetelmällä. V : S 4 kn, S 15 kn, S 16 kn 1 2 3 Määritä kuvan ristikn sauvavimat S4, S5 ja S6 leikkausmenetelmällä. V : S 15 kn, S 5 kn, S 18 kn 4 5 6 15
Kuvan ristikn kaikki sauvat vat saman mittaiset. Laske sauvavimat S6, S7 ja S8 Laske kuvan ristikn sauvavimat S leikkausmenetelmällä. 5, S6, S7 ja S8 16
Määritä kuvan ristikn sauvavimat S leikkausmenetelmällä. 2, S6 ja S9 (V: S 8,75 S 16,25 S 2,50) 2 6 2 Laske kuvan ristikn sauvavimat S. 8, S9 ja S10 (Vast: S8 23,6kN S9 7,45kN S 20kN ) 10 17
Laske kuvan ristikn sauvavimat S1, S4 ja S6 leikkausmenetelmällä. Laske tämän jälkeen tukireaktit tukinivelten vkk:sta. (Vast: S1 17,5 S4 7,5 S6 8 ) A 10,5 A 14 B 4,5 B 14 x y x y Laske kuvan Pratt ristikn sauvavimat S4, S7 ja S10. (Vast: S4 62,2 S7 6,67 S 62,2 ) 10 18
Määritä kuvan Pratt ristikn sauvavimat S9, S10, S11 ja S12. (Vast: ) a) laske sauvavimat S1, S2, S3 ja S4 b) laske sauvavimat S9, S10, S11 ja S12 (V: a) S2 86,00 S4 41,00 b) S 5,657 S 21,00 ) 9 12 19
Määritä kuvan ristikn sauvavimat sauvissa 6, 7 ja 9. Ohje: Käytä esitettyjä leikkauksia a a ja b b. (Vast: S 9 S 0 S 19 ) 6 7 9 Kuvan ristikn kaikki sauvat vat yhtä pitkiä. a) laske sauvavimat S1, S2, S3 ja S4 b) laske sauvavimat S9, S10, S11 ja S12 20