BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 6, Kevät 2018 Päivityksiä: Ratkaisuja päivitetty paljon. 1. Fiktiivisellä saarella asuu pieniä otuksia, joiden elinkaari on seuraavanlainen: jokainen otus elää yhden vuoden, ja kuolee vuoden päättyessä. Seuraavan vuoden alussa seuraava sukupolvi näitä otuksia kuoriutuu munista saaren hietikoilla. Jokainen syntyvä sukupolvi on 5 prosenttia kookkaampi kuin sitä edeltänyt. Eräänä kohtalokkaana vuonna kuullaan vertahyytävä profetia: kun 10 6 otusta on kuollut tällä saarella profetian jälkeen, tulee tälle pikku saarivaltakunnalle viimein maailmanloppu. Kuinka monta vuotta otukset ehtivät saarella elää profetian jälkeen, ennenkuin maailmanlopun vuosi viimein koittaa? Otusten määrä profetian vuonna oli 1000 yksilöä. Voit käsitellä otusten määrää reaalilukuna, ei siis tarvitse joka vuoden jälkeen pyöristää otusten määrää kokonaisluvuksi. 2. Oletetaan, että kaupungin väkiluvun muutoksessa ei ole mitään muita tekijöitä kuin syntymien ja kuolemien suhdeluku (syntyvyys/väkiluvun kasvu, usein prosenteissa) ja kaupungista sisään tai ulos muutto. Tutkitaan muutamaa esimerkkikaupunkia. Datana mallin kirjoittamisessa meillä on kaupunkilaisten määrä per vuosi, eli tarkastelemme tätä mallia diskreettinä. Aika ei siis ole jatkuva, vaan jaettu t:n mittaisiin steppeihin; nyt t:n pituus on yksi vuosi. (a) Kaupungin väkiluku on 10 6 tarkastelumme alkuhetkellä. Syntymät/kuolemat ovat tasapainossa, syntyvyys on siis 0%. Kaupunkiin muuttaa d = 1250 ihmistä vuodessa. Montako ihmistä kaupungissa on 60 vuoden päästä? Rakenna malli siten päin että ensin otetaan syntyvyys huomioon ja vasta sen jälkeen muutto kaupunkiin (tai sieltä pois). (b) Olkoon nyt muutto sama kuin edellisessä kohdassa ja syntyvyys vaikkapa 6 %. Mikä on kaupungin väkiluku 60 vuoden päästä? (c) Mikä olisi kaupungin väkiluku 60 vuoden päästä alkuhetkestä, jos muutto olisi ollut 0 ja syntyvyys sama kuin edellisessä kohdassa? (d) Jatketaan edelleen erilaisten skenaarioiden tutkimista. Jos edelleenkin ihmismäärä alkuhetkellä on 10 6 ja syntyvyys 6%, niin mikä pitää olla muuton d, jotta ihmismäärä pysyisi koko ajan vakiona? (e) Jos ihmismäärä alkuhetkellä on 10 6 ja ihmisiä muuttaa kaupungista pois 1250 vuodessa, niin mikä saa olla syntyvyys, jotta väkiluku pysyisi muuttumattomana? 3. Aiemmissa opinnoissa olemme (toivottavasti) oppineet että tiheysfunktion avulla voidaan kuvata todennäköisyyksiä. Eli jos satunnaismuuttuja X noudattaa tiheysfunktion f(x) määrittelemää jakaumaa niin P (a < X < b) = b a f(x)dx. Myös satunnaisille pistepareille (X, Y ) voidaan määritellä jakauma tiheysfunktion f(x, y) avulla. Eli P ((X, Y ) Ω) = Ω f(x, y)dω. Olkoon nyt f(x, y) = Ce x y, määrittelyjoukkona koko R 2. (a) Mikä täytyy olla vakion C kun tiheysfunktion ja xy-tason väliin jäävän tilavuuden täytyy olla 1? 1
(b) Millä todennäköisyydellä (X, Y ) kuuluu alueelle jota rajaavat suorat x = 1, y = 2 ja koordinaattiakselit? (c) Millä todennäköisyydellä (X, Y ) pisteen etäisyys pisteestä (0, 0) on vähemmän kuin 0.5? Pelkkä lauseke riittää vastaukseksi, tosin kyllähän tämän laskenta (esim. tietokoneavusteisesti) himottaisi kovasti. 4. Lisää aritmeettista/geometrista sarjaahömppää, erilaisella taustatarinalla (a) Aritmeettisen sarjan neljän ensimmäisen termin summa on 36 ja 11 ensimmäisen termin summa on 253. Mitkä ovat sarjan neljä ensimmäistä termiä? Paljonko on 20 ensimmäisen termin summa? (b) Geometrisen sarjan kolmas termi on 448 ja viides termi on 7. Mikä on ensimmäinen termi? Mikä on kahden peräkkäisen termin suhdeluku? Jos sarjassa on ääretön määrä termejä, mikä on sarjan summa? (c) Huonekalutehtaassa tuotetaan 500 sohvaa viikossa tällä hetkellä (viikko 1). Seuraavilla viikoilla tuotantoa on kuitenkin tarkoitus lisätä. Vastaa seuraaviin kysymyksiin Mikä on tuotanto viikolla 15? Kuinka monta sohvaa viidessätoista viikossa yhteensä valmistetaan? Millä viikolla tuotanto saavuttaa vähintään tuhannen sohvan viikottaisen tuotannon? seuraavissa skenaarioissa: A: Viikon yksi jälkeen tuotantoa lisätään 20 sohvalla viikottain. B: Viikon yksi jälkeen tuotantoa lisätään 5 prosentilla viikottain. Mikä on tuotanto viikolla 15 ja kuinka monta sohvaa viidessätoista viikossa tuotetaan. 5. Sinulla on 10 miljoonaa pääomaa. Tämän rahan voit investoida joko tai A: pitkäaikaiseen (20 vuotta) sijoitukseen joka tuottaa joka vuosi 5% korkoa, joka lisätään aina pääomaasi. B: tehtaaseen, joka tuottaa joka vuosi sinulle 1 miljoonan voittoa vuosittain, mutta ensimmäisen kerran vasta kolmen vuoden kuluttua. Nämä voitot voit sijoittaa jatkossa tuottamaan 3% korolla (ja korko liitetään aina pääomaan). Kuinka paljon kumpainenkin skenaario tuottaa 20 vuodessa kun (a) tehdas säilyttää arvonsa eli voidaan 20 vuoden jälkeen myydä samaan 10 miljoonan hintaan? (b) tehdas menettää arvoaan joka vuosi yhden prosentin edellisvuoteen nähden? 6. Sarjassa n i=1 a i, termit a i kuvaavat erään tuotteen päivittäistä valmistusmäärää ja sarjan summa siis kuvaa kokonaismäärää joka tuotteita valmistetaan n päivässä. Meidän täytyy tuottaa yhteensä 10 6 kappaletta tuotteita. Tuotanto joudutaan käynnistämään pienemmällä volyymillä ja sitä lisätään pikkuhiljaa. Mitä nopeammin tuotantoa lisätään, sitä kalliimpaa se on. Lisäksi tuotteet pitäisi saada valmistettua mahdollisimman nopeasti, muuten napsuu toimitussakkoa nassuun. 2
(a) Olkoon a i+1 = a i + d ja a 1 = 100. Eli kokonaistuotantoa kuvaa aritmeettinen sarja. Tuotteista saatavan voiton määrää kuvatkoon funktio f(d, n) = 10 7 4n 4000d. Etsi se neljännen asteen polynomi jonka nollakohdat etsimällä voiton (ainakin limain) maksimoiva n (ja sitten d) saataisiin. Voitpa vaikka tietokoneella tämän likimääräisen optimiratkaisun etsiäkkin. (b) Olkoon a i+1 = qa i ja a 1 = 100. Eli kokonaistuotantoa kuvaa geometrinen sarja. Tuotteista saatavan voiton määrää kuvatkoon funktio f(q, n) = 10 7 4n 4000q. Etsi se yhtälö/yhtälöryhmä joka ratkaisemalla voiton (ainakin likimain) maksimoiva n ja q saataisiin. 7. Tuplaintegraalien rajojen hahmottaminen vaatii lisätreeniä. Oletetaan, että tunnemme jonkin funktion f = f(x, y). Kirjoita jokaisessa kohdassa integraalilauseke näkyviin jommassa kummassa alla annetuista muodoista x=? y=? x=? y=? tai y=? x=? y=? x=? f(x, y) dx dy ja tarvittaessa useampaan integraaliin jakaen, kun alue, jonka yli integroidaan, on (a) kolmio, jonka kärkipisteet ovat ( 2, 0), (0, 2) ja (0, 2). (b) kolmio, jonka kärkipisteet ovat ( 1, 0), (1, 2) ja (3, 2). (c) sellainen, jota rajoittavat käyrät y = x 2 ja y = x 4 1. (d) sellainen, jota rajoittavat käyrät y = e x, y = x 2 + 1 ja suora x = 1. (e) ympyröiden (x 1) 2 + y 2 = 1 ja (x + 1) 2 + y 2 = 1 ja suoran y = 1 rajoittama. 8. Tunnemme funktion f(x, y) = 3 2 x2 + xy + y 2. Muodosta tämän funktion gradientti. Laske gradientin arvo pisteessä (x, y) = (1, 1), ja piirrä tämä gradienttivektori näkyviin. (a) Laske pisteessä (x, y) = (1, 1) suunnattu derivaatta f:lle suuntaan i. Piirrä tämä näkyviin vektori, joka on tämä suunnatun derivaatan arvo kertaa suunta(vektori) johon se laskettiin. Piirrä tämä vektori näkyviin. Huomaa, kuinka suunnatun derivaatan arvo on itse asiassa tutkittavan vektorin komponentti kyseiseen suuntaan. (b) Laske pisteessä (x, y) = (1, 1) suunnattu derivaatta f:lle suuntaan j. Piirrä näkyviin vastaava vektori kuin (a)-kohdassa, ja tee sama johtopäätös. (c) Laske pisteessä (x, y) = (1, 1) suunnattu derivaatta f:lle suuntaan u = 2i j. Huomaathan, että nyt vektori pitää skaalata ykkösen mittaiseksi (aiemmissa kohdissa suunnan määräävät vektorit olivat sitä valmiiksi). Piirrä tämä näkyviin vektori, joka on tämä suunnatun derivaatan arvo kertaa suunta(vektori) johon se laskettiin; tässä pitää nyt käyttää ykkösen mittaiseksi skaalattua vektoria û suuntavektorina. Huomaa jälleen, kuinka suunnatun derivaatan arvo on itse asiassa tutkittavan vektorin komponentti kyseiseen suuntaan. 3
Vastaukset 1. 80 2. (a) 1075000 (b) 3.3654 10 7 (c) 3.2988 10 7 (d) d = 60000 (e) 1.00125 3. (a) c = 1/4 (b) 0.136643 (c) 0.5 0.5 0.5 2 x 2 4. (a) {3, 7, 11, 15} 0.5 2 x 2 0.130052 (b) a 1 = 28672 ja q = ±1/8 (c) A: a 15 = 780 S 15 = 9600 n = 26 B: a 15 = 990 S 15 = 10789 5. (a) Tapaus A: Rahan kokonaismäärä 2.6533 10 7, eli tuotto 1.6533 10 7. Tapaus B: Rahan kokonaismäärä 3.3414 10 7, eli tuotto 2.3414 10 7. 6. (a) (b) Tapaus B: Rahan kokonaismäärä 3.1594 10 7, eli tuotto 2.1594 10 7. 7. (a) (b) (c) (d) (e) x=0 y=x+2 x= 2 y= x 2 1 0.5x+0.5 1 y= x 1 5+1 2 x 2 5+1 2 1 x 2 +1 0 exp( x) x 4 1 0 1 1 1 (x+1) 2 3 + + 0.5x+0.5 1 y=2x 4 1 1 0 1 (x 1) 2 8. (a) 4
Malliratkaisut 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 5