7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri asiaa kuin oletat. LU TARKATI, MITÄ KYYTÄÄN!. Älä sotke skalaareita ja vektoreita keskenään. Opettele, mitkä suureet ovat skalaareita ja mitkä vektoreita. 3. Älä käytä vektoreiden tuloja (pistetulo ja ristitulo) kahden skalaarin tai skalaarin ja vektorin välillä. Älä myöskään käytä tavallista kerto- tai jakolaskua kahden vektorin välillä. Muista, että pistetulosta saadaan vastauksena skalaari ja ristitulosta vektori. Ole looginen tässä asiassa läpi koko lausekkeen. 4. Jos tehtävässä kysytään jotain vektorisuuretta, muista ilmoittaa vastauksessa myös suunta. uunnan voi antaa vektorina, sanallisesti tai kuvan avulla. 5. Jos et muista jotain kaavaa etkä osaa johtaa sitä, päättele yksikkötarkastelun avulla, mitä suureita kaavassa esiintyy. 6. Tarkista lopuksi, että yksiköt täsmäävät vastauksissa. Näin löydät mahdollisia virheitä. 8. elvitä itsellesi esimerkiksi alempana tällä sivulla olevaa taulukkoa käyttäen, milloin voit käyttää Gaussin ja milloin käytetään jotain muuta menetelmää. 9. Jos et osaa ratkaista tehtävää kokonaan, kirjoita ratkaisu siihen asti kuin osaat. Jos et ollenkaan osaa ratkaista tehtävää, selitä asiat sanallisesti. Kirjoita myös kaavat, joita kyseisessä laskussa tarvitaan ja selitä, mihin asiaan ne liittyvät. Näin osoitat osaamisesi, vaikka et juuri kyseistä tehtävää osaisi ratkaista. Irtopisteitä annetaan. 1. Perustele kaikki laskutoimenpiteesi esimerkiksi Gaussin käyttäessäsi. e antaa ammattimaisen vaikutelman ja tekee tentinkorjaajan hyväntuuliseksi. 11. Jos kysytään käsitteitä ja vastaat kaavan muodossa, selitä kaikki symbolit, joita käytät. elitä mieluummin liikaa kuin liian vähän. 1. Lue teoria huolellisesti!
Gaussin lain integraalimuoto = sähkökentän vuo kahdella tavalla lausuttuna Φ = d = Q ε sis Vinkkejä Gaussin lain integraalimuodon käyttöön laskettaessa sähkökenttiä Piirrä ensin varauksista lähtevät kenttäviivat. Valitse sitten Gaussin suljettu pinta ja piirrä se kenttäviivojen kanssa samaan kuvaan. Gaussin pinta on yleensä näissä laskuissa joko pallo tai sylinteri. Pistevarauksille, palloille ja pallokuorille valitaan pallon muotoinen Gaussin pinta. Pitkille langoille, sylintereille, sylinterikuorille ja tasoille valitaan sylinterin muotoinen Gaussin pinta. (Katso alempana oleva taulukko!) tsi ne kohdat, missä Gaussin pinta ja kenttäviivat ovat yhdensuuntaiset. iellä tulo d s on nolla. tsi seuraavaksi ne kohdat, joissa Gaussin pinta ja kenttäviivat ovat kotisuorassa toisiaan vastaan. iellä voidaan kirjoittaa ds tai -ds. d s
Jos Gaussin pinta on oikein valittu, yleensä edellisen kohdan pinnalla sähkökenttä on vakio, jolloin voidaan ottaa integraalimerkin eteen. Nyt d on pelkkä pinta-ala niille alueille, joilla Gaussin pinta ja kenttäviivat ovat kohtisuorassa. Huomaa, että nyt ei enää ole välttämättä kyseessä suljettu pinta, jolle merkittäisiin d Laske seuraavaksi Gaussin lain oikea puoli eli määritä suljetun pinnan sisään jäävät varaukset Q I. Merkitse yhtäsuuriksi se, minkä sait Gaussin lain vasemmalta puolelta ja se, minkä sait Gaussin lain oikealta puolelta. Ratkaise yhtälöstä sähkökenttä. Käytä eristeille Gaussin lain muotoa: D d = Q I ( free) ja määritä sen jälkeen -kenttä D-kentästä. Q (free) tarkoittaa vapaita varauksia eli niitä varauksia, jotka eivät johdu eristeen polarisoitumisesta. HUOM: Opettele pallon ja sylinterin pinta-alan ja tilavuuden lausekkeet!
YHTNVTO TOIMIVITA GAUIN PINNOITA Varausjakauman muoto Gaussin pinta Pistevaraus Umpinainen pallo kuori isäkkäiset pallot Pitkä umpinainen sylinteri ylinteri Pitkä ontto sylinteri ylinteri Koaksiaalikaapeli ylinteri Pitkät sisäkkäiset sylinterit ylinteri Pitkä suora lanka ylinteri Laaja taso ylinteri tai Useita yhdensuuntaisia laajoja tasoja ylinteri tai Kahden eri aineen tasomainen rajapinta ylinteri tai Jatkuva varausjakauma esimerkiksi ilmassa tai ylinteri tai avaruudessa Lyhyt lanka i voi käyttää Gaussin Ympyrälevy i voi käyttää Gaussin Ympyrärengas i voi käyttää Gaussin pämääräisen muotoinen kappale i voi käyttää Gaussin
Muutamia yksinkertaisia esimerkkejä Gaussin lain käytöstä: simerkki 1: Äärettömän pitkässä suorassa langassa on varaus pituusyksikköä kohden = λ. Laske sähkökenttä r:n etäisyydellä langasta. (Langan poikkileikkaus on ympyrä, jonka säde on R.) Ratkaisu: Gaussin laki: d = Q sis ε Nyt valitaan Gaussin pinnaksi sylinteri, jonka pituus on L ja pohjan säde r (> R). Lasketaan ensin yhtälön vasen puoli. d on pinta-alkiovektori. en itseisarvo eli suuruus on pinta-alkion d suuruinen ja sen suunta on kohtisuoraan pintaa vastaan. on sähkökenttä ja se on tällaisen äärettömän pitkän langan tapauksessa kohtisuorassa lankaa vastaan. d d Kuvasta nähdään, että Gaussin pintana toimivan sylinterin vaipalla ja d ovat yhdensuuntaisia. ylinterin päissä sensijaan ja d ovat kohtisuorassa. Miten käy pistetulon d? Kun vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, niiden välinen pistetulo tulee nollaksi. Näin käy sylinterin päissä. Kun vektorit ovat yhdensuuntaisia, niiden välinen pistetulo tulee pelkäksi itseisarvojen tuloksi eli tässä tapauksessa d:ksi. Näin käy vaipalla. (dellä on sovellettu kaavaa: kulma.) A B = L A B cosα, missä α on vektoreiden A ja B välinen
Paloitellaan Gaussin lain vasen puoli: d = d + d = d + = d = d = päät πrl saatiin ottaa pois integraalimerkin sisältä, sillä sähkökentän itseisarvo on vakio vaipan alueella, koska on vakioetäisyydellä r langasta. Tällöin integraali: kuvaa pelkkää vaipan alaa, joka on πrl. d Gaussin lain vasen puoli saatiin kuntoon. Nyt oikea puoli: Q sis tarkoitti Gaussin pinnan sisään jäävää varausta. Lasketaan siis sylinterin sisään jäävä varaus. ylinterin pituus on L. Langassa on varaus pituusyksikköä kohden λ, joten sylinterin sisään jää Q sis = Lλ. Nyt saadaan Gaussin laki muotoon: λl π rl = = ε λ πε r (Kuvan olen piirtänyt sillä oletuksella, että langan varaus on positiivinen.) simerkki : R-säteisessä pallossa on tasaisesti jakautuneena positiivinen varaus Q. Laske sähkökenttä pallon ulkopuolella. Ratkaisu: Valitaan Gaussin pinnaksi pallo, jonka säde r on isompi kuin R. Gaussin pinta d
(Positiivisesta pistevarauksesta ja) positiivisesti varatusta pallosta lähtee säteettäin ulospäin sähkökentän kenttäviivoja, jotka ovat kohtisuorassa kyseisen varatun pallon pintaa vastaan. ähkökenttävektori on siis kohtisuorassa myös Gaussin pallon (joka on ulompana) pintaa vastaan ja yhdensuuntainen pinta-alkiovektorin kanssa. Lisäksi sähkökentän itseisarvo on vakio kyseisellä pinnalla. Näiden kahden ehdon perusteella saamme Gaussin lain vasemman puolen muotoon: d = d = d = 4π r Oikea puoli saadaan helposti, sillä Q sis = Q. Nyt saamme lopulta: 4 r Q ε π = = Q 4πε r li varatun pallon kenttä on kuin pistevarauksen kenttä. simerkki 3: Tasaisesti varatussa R-säteisessä pallossa on varaustiheys ρ. Laske sähkökenttä pallon sisäpuolella. Ratkaisu: Gaussin pinnaksi valitaan taas pallo. Gaussin lain vasemmasta puolesta tulee samanlainen kuin edellisessä esimerkissä (ja samoin perustein), nyt vain r on pienempi kuin R. Oikealla puolella pitää laskea Q sis eli r-säteisen pallon sisäpuolelle jäävä varaus. e on helppoa, koska varaustiheys on vakio: Q sis = ρv sis = ρ(4/3)π r 3 Nyt Gaussin laki on saatu muotoon: 4 3 πr ρ r 3 ρ 4π = = r ε 3ε