Demo 1: Lineaarisen tehtävän ratkaiseminen graafisesti ja Solverilla

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 2 Ehtamo Demo 1: Lineaarisen tehtävän ratkaiseminen graafisesti ja Solverilla Ratkaise lineaarinen optimointitehtävä graafisesti ja Excelin Solverin avulla. a) max 8 + 3x 2 s.e. 3 + 8x 2 48 4 + 3x 2 21 2x 2 1 0, x 2 0 b) min + x 2 s.e. 2 + 2x 2 4 3 x 2 1 0, x 2 0 c) Kirjoita tehtävät a) ja b) myös matriisimuodossa: min c T x s.e. Ax b x 0 Ratkaisu a) Piirretään, x 2 -kuvaajaan epäyhtälörajoitusten mukaiset suorat. Suoran piirtämisessä kannattaa esim. laskea :n ja x 2 :n arvot kahdessa eri pisteessä, joiden kautta piirtää suoran. Käypä alue jää rajoitusehtojen mukaisten suorien sisään. Optimaalinen ratkaisu löytyy piirtämällä kohdefunktion vakiokäyriä eli suoria, joissa kohdefunktio saa saman arvon. Siirrytään vakiokäyrillä kohdefunktion derivaatan eli suoran normaalin suuntaan, jolloin optimaalinen ratkaisu löytyy viimeisestä käyvästä pisteestä käyvällä alueella. Optimaalinen ratkaisu löytyy rajoitusehtosuorien 4 + 3x 2 21 ja 2x 2 1 leikkauspisteestä eli pisteestä = 4, 09 ja x 2 = 1, 55, jolloin kohdefunktion arvo on 37,36. Kannattaa muistaa, että lineaarisen optimointitehtävän ratkaisu löytyy aina jostain käyvän alueen kulmapisteestä. 1

9 8 7 6 5 3 + 8x 2 48 x2 4 3 0 4 + 3x 2 21 2 1 2x 2 1 0 x 2 0 1 1 0 1 2 3 4 5 Ratkaistaan tehtävä Excelin Ratkaisimella. Ratkaisu saadaan samalla tavalla kuin Harjoituksessa 1. Esitellään myös lineaarisen optimointitehtävän matriisiesitykseen perustuva ratkaisutapa Excelin Ratkaisimelle (kts. tehtävän c- kohta). Sijoitetaan päätösmuuttujat soluihin B2 ja C2. Sijoitetaan kustannusfunktion kertoimet soluihin B4 ja C4 ja lasketaan kustannusfunktion arvo soluun E4 kaavalla =SUMPRODUCT($B$2:$C$2;B4:C4), joka laskee yhteen vastaavien solujen tulot. $-merkit sijoitetaan soluviittauksen kirjaimen ja numeron eteen, jotta nämä solut lukkiutuvat. Näin ollen, kun kaavasolua kopioidaan alaspäin, soluviittaus pysyy samana. Kirjoitetaan 1. rajoitusehdon muuttujien kertoimet 3 ja 8 soluihin B7 ja C7 ja lasketaan kaavalla =SUMPRODUCT($B$2:$C$2;B7:C7) rajoitusehdon mukainen arvo soluun E7. Sijoitetaan rajoitusehdon mukainen vakioarvo 24 soluun G7. Toistetaan sama muille rajoitusehdoille soluihin G8 ja H8 ja käytetään näitä soluja Ratkaisimessa rajoitusehtojen asettamiseksi ja kohdefunktion solua E7 Aseta tavoite-kohdassa. b) Piirretään epäyhtälörajoitusten mukaiset suorat kuvaan käyvän alueen selvittämiseksi. Siirretään kohdefunktion vakiokäyrää kohdefunktion derivaatan suuntaan, jolloin optimaalinen ratkaisu löytyy, kun suora leikkaa käyvän alueen viimeiset arvot. Tässä tehtävässä optimaaliset ratkaisut ovat käyvän alueen reunalla eli + x 2 = 2, 0 ja x 2 1. 2

3 2.5 2 x2 1.5 1 x 2 1 0.5 0 2 + 2x 2 4 3 0 0.5 x 2 0 1 1 0 1 2 3 4 Kirjoitetaan tehtävä a-kohdan mukaisessa muodossa Exceliin. Tehtävää ratkaistessa huomataan, että alkuarvoa vaihtelemalla löydetään useita ratkaisuja, joissa + x 2 = 2, kun 0 ja x 2 1. c) Tehtävä a) Päätösmuuttujat ovat pystyvektorissa x eli [ ] x1 x = ja päätösmuuttujien kustannuskertoimet ovat pystyvektorissa c eli [ ] 8 c =. 3 Näin kohdefunktiosta muodostuu max c T x = [ 8 3 ] [ ] x 2 x 2 = 8 + 3x 2. Päätösmuuttujien epäyhtälömuotoisten rajoitusehtojen kertoimet ovat matriisissa A 3 8 A = 4 3 1 2 ja rajoitusehtojen arvot pystyvektorissa b eli 48 b = 21 1 3

Näin ollen rajoitusehdoista saadaan 3 8 [ ] 3 + 8x 2 48 Ax b 4 3 x1 = 4x + 3x 2 21 1 2 2 2x 2 1 Ei-negatiivisuusrajoitusehdoiksi tulee Tehtävä b) x 0 [ x1 x 2 ] [ ] 0 0 Tässä tehtävässä kohdefunktiosta muodostuu max c T x = [ 1 1 ] [ ] = x + x 2. 2 Rajoitusehdoissa on -rajoitusehtoja, jotka täytyy muuttaa -rajoitusehdoiksi kertomalla epäyhtälön molempia puolia -1:llä, jolloin epäyhtälö kääntyy eli 2 + 2x 2 4 2 2x 2 4 ja x 2 1 x 2 1. Näin rajoitusehdoista saadaan 2 2 [ ] 2 2x 2 4 Ax b 1 0 x1 = x 3 0 1 2 x 2 1 ja ei-negatiivisuusrajoitusehdoiksi tulee x 0 [ x1 x 2 ] [ ] 0 0 Demo 2: Lineaarisen optimointitehtävän formulointi Suomen Teräs Oy on heikentyneen taloustilanteen vuoksi päättänyt optimoida tuotantoaan, joka koostuu hiiliteräksestä, ruostumattomasta teräksestä ja työkaluteräksestä. Yrityksellä on viikon aikana käytettävissä 100 tonnia rautaa ja 10 tonnia kromia tuotantoaan varten. Kaksivuoroisen työviikon ansiosta tehokasta työaikaa on 80 h. Yhden hiiliterästonnin tuottamiseen tarvitaan 1,1 tonnia rautaa ja 1 h työaikaa. Yhden ruostumattoman terästonnin tuottamiseen menee 1 tonni rautaa, 0,1 tonnia kromia ja 1 h 15 min työaikaa. Yksi työkaluterästonni taasen tarvitsee 1 tonnin rautaa, 0,15 tonnia kromia ja 1 h 45 min työaikaa. Yritys on myös tehnyt United Components Ltd.:n kanssa sopimuksen, jonka mukaan yritys toimittaa United Componentsille joka viikko 25 tonnia hiiliterästä markkinahintaan. Nykyisten markkinahintojen mukaan hiiliteräksestä maksetaan 400 e/tonni, ruostumattomattomasta teräksestä 500 e/tonni ja työkaluteräksestä 700 e/tonni. Kuinka paljon yrityksen tulee tuottaa kutakin terästyyppiä saadaakseen suurimman tuoton teräksen myynnistä? Formuloi lineaarinen optimointitehtävä ja ratkaise se Excelin Solverilla. 4

Ratkaisu Valitaan päätösmuuttujiksi tuotantomäärät tonneina: := x 2 := x 3 := hiiliteräksen määrä ruostumattoman teräksen määrä työkaluteräksen määrä Tavoitteena on maksimoida tuotannosta saatavaa voittoa eli terästen hintoja kerrottuna terästen määrillä: max 400 + 500x 2 + 700x 3. Kaikkien terästen tuotannossa vaadittua rautaa on käytettävissä viikon aikana 100 tonnia, mikä rajoittaa terästen tuotantomäärää, koska yksi hiiliterästonni vaatii rautaa 1,1 tonnia, yksi ruostumaton terästonni 1 tonnin ja työkaluterästonni myös 1 tonnin: 1, 1 + x 2 + x 3 100. Ruostumattoman ja työkaluteräksen tuotanto tarvitsee myös kromia, jota on viikon aikana käytössä 10 tonnia ja jota tarvitaan 0,1 tonnia yhteen ruostumattomaan terästonniin ja 0,15 tonnia työkaluterästonniin: 0, 1x 2 + 0, 15x 3 10. Tuotannossa on tehokasta työaikaa 80 tuntia, mikä rajoittaa kaikkien terästen tuotantoa, koska yhden hiiliterästonnin valmistamiseen kuluu työaikaa 1 h, yhteen ruostumattomaan terästonniin 1,25 h ja yhteen työkaluterästonniin 1,75 h: + 1, 25x 2 + 1, 75x 3 80. Yritys on tehnyt sopimuksen, jonka mukaan se tuottaa vähintään 25 tonnia hiiliterästä, jolloin rajoitusehdoksi saadaan: 25. Terästen tuotantomäärät eivät voi olla negatiivisia eli rajoitetaan ne vähintää nolliksi: 0, x 2 0 ja x 3 0. Ratkaistaan tehtävä Excelin ratkaisimella. Ratkaisuksi saadaan, että tehtaan tulee tuottaa vain vaaditut 25 tonnia hiiliterästä ja käyttää loput resurssit työkaluteräkseen, jota tuotetaan 31,42 tonnia. Näin saadaan 32 000 e tuottoa. 5

Tehtävä 1: Lineaarisen tehtävän ratkaiseminen Ratkaise lineaarinen optimointitehtävä graafisesti ja Excelin Solverin avulla. Kuvaa käyvästä alueesta ei tarvitse laatia itse. a) max 6 + 5x 2 s.e. 3 + 8x 2 24 5 + 3x 2 12 2 + 5x 2 5 + x 2 1 0, x 2 0 b) min 6 + 5x 2 s.e. 3 + 5x 2 15 7 + 2x 2 14 + 3x 2 9 0, x 2 0 Ratkaisu a) Piirretään käypä alue ja kohdefunktion vakiokäyriä. Tehtävän ratkaisuksi saadaan rajoitusehtosuorien 5 + 3x 2 12 ja 3 + 8x 2 24 leikkauspiste eli = 0, 774 ja x 2 = 2, 710, jolloin kohdefunktion arvoksi tulee 20,13. Sama ratkaisu löytyy myös Excelin Ratkaisimella. 4 3.5 5 + 3x 2 12 3 2.5 3 + 8x 2 24 2 0 x2 1.5 1 0.5 2 + 5x 2 5 0 0.5 + x 2 1 x 2 0 1 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 b) Rajoitusehdot määrittelevät käyvän alueen ja kohdefunktion vakiokäyrät. Tehtävän ratkaisuksi saadaan = 0 ja x 2 = 3 eli rajoitusehtosuorien 0 ja 6

3 + 5x 2 15 leikkauspiste, jolloin kohdefunktion arvoksi saadaan 15. Samaan ratkaisuun päädytään myös Excelin Ratkaisimella. 4 3.5 + 3x 2 9 3 2.5 2 3 + 5x 2 15 x2 1.5 1 0 0.5 0 0.5 7 + 2x 2 14 x 2 0 1 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Tehtävä 2: Putte-Possun nimipäivät Putte-Possulla on nimipäiväjuhlat. Perinteisille juhlille saapuu joka vuosi entistä enemmän väkeä, ja tänä vuonna paikalle Putte odottaa 100 henkilöä. Juhlat eivät tosin ole mitään ilman tarjoiluja, ja Puten onkin valmistettava juhlaväelle valtava määrä herkkuja. Jotta hommat eivät paisuisi ihan mahdottomuuksiin, Putte on rajannut tarjoilut kolmeen vaihtoehtoon: täytekakku, jättikeksit ja pullat. Täytekakusta riittää syömistä 10 henkilölle, keksistä yhdelle ja pullasatsista 20 henkilölle. Juhliin on valitettavasti enää 10 h aikaa, ja sitä ennen pitäisi kaikki olla valmista. Yhden kakun tekemiseen hän tarvitsee 30 min tehokasta työaikaa, kekseihin menee keskimäärin 1 min, ja pullan leipomiseen 40 min. Vuosittaiset nimipäiväjuhlat käyvät Puten säästöjen päälle, joten kulujen kanssa on oltava tarkkana. Kakun ainekset maksavat 5 e, pullataikinan 10 e ja keksin 1 e. Minkälaiset määrät kutakin sorttia Puten kannattaa tehdä, jotta hän pääsisi mahdollisimman halvalla? Huomaa kuitenkin, että Putte on herrasmies, eikä hän kehtaa tarjota ainoastaan yhtä sorttia. Kutakin lajiketta on oltava tarjolla vähintään 20 henkilölle, ja kakkua on oltava tarjolla kaksi kertaa useammalle kuin keksejä. Formuloi tehtävä lineaarisena optimointitehtävänä, ja ratkaise se Excelillä. 7

Ratkaisu Valitaan päätösmuuttujiksi tarjoiltavien herkkujen määrät: := x 2 := x 3 := täytekakkujen määrä (kpl) keksien määrä (kpl) pullasatsien määrä (kpl) Putte-Possu minimoi herkkujen valmistusaineista aiheutuvat kustannukset: min 5 + x 2 + 10x 3. Juhliin Putte arvioi saapuvan 100 henkilöä, joille kaikille hän haluaa herkkujensa riittävän. Täytekakku ruokkii 10 henkilöä, keksi yhden henkilön ja pullasatsi 20 henkilöä, jolloin rajoitusehdoksi saadaan: 10 + x 2 + 20x 3 100. Putte herrasmiehenä haluaa, että jokaista herkkua on vähintään 20 hengelle tarjolla, joten: 10 20, x 2 20 ja 20x 3 20. Putte haluaa myös, että täytekakkua on tarjolla kaksi kertaa useammalle kuin keksejä eli: 10 2 x 2. Putella on 600 min aikaa valmistella herkut ja koska täytekakun valmistamiseen kuluu aikaa 30 min, keksiin 1 min ja pullasatsiin 40 min. Näin saadaan rajoitusehto: 30 + x 2 + 40x 3 600. Herkkujen valmistusmäärät eivät voi olla negatiivisia, joten: 0, x 2 0 ja x 3 0. Ratkaistaan tehtävä Excelin Ratkaisimella, jolloin saadaan ratkaisuksi, että Putte valmistaa 6 täytekakkua, 20 keksiä ja yhden pullasatsin. Näiden valmistusaineet aiheuttavat 60 e:n kustannukset. Optimiratkaisu toteuttaa epäyhtälörajoitukset yhtälöinä, eli rajoitukset ovat aktiivisia. Pisteissä, joissa rajoitusehdot eivät ole aktiivisia, kohdefunktion arvo on pienempi kuin optimissa. Tehtävällä on itse asiassa useita ratkaisuja, ja 60 e:n kustannuksiin päästään muillakin päätösmuuttujien arvoilla kuin edellä esitetyillä. 8

Tehtävä 3: Asuinalueen kaavoitus Rakennusyhtiö omistaa 800 ha maata, jolle voidaan rakentaa omakoti-, pari- sekä kolmiperhetaloja. Arvioidaan, että omakotitalo voidaan myydä hintaan 200 000 e, sen vaatima maapinta-ala on 1 ha, rakentaminen aiheuttaa kustannuksen 145 000 e, ja sen vedenkulutus on 2 000 l/vrk. Paritalon kohdalla vastaavat arvot ovat 240 000 e, 1,5 ha, 165 000 e, 2 700 l/vrk, ja kolmiperhetalolle 300 000 e, 2 ha, 215 000e ja 3 200 l/vrk. ˆ Vähintään 50 % rakennettavista taloista on oltava omakotitaloja. ˆ Alueen vedenkulutus ei saa ylittää 850 000 l/vrk. ˆ Jokaista 200 perhettä kohti on varattava pinta-alaltaan 0,5 ha suuruinen virkistysalue. Virkistysalueiden kustannukset ovat 125 000 e ja vedenkulutus on 2 500 l/vrk. ˆ Katujen yms. rakentamiseen käytetään 15 % koko alueen pinta-alasta. Muodosta lineaarinen optimointitehtävä, ratkaise se Excelin Solverilla ja tutki, mitä taloja yhtiön tulisi rakentaa talojen tuottamien tulojen maksimoimiseksi. Huomaa. Lineaarisen tehtävän voi ratkaista myös kokonaislukutehtävänä rajoittamalla muuttujat kokonaisluvuiksi (integer) Solverin Constraints-kohdassa int rajoitteella. Ratkaisu Valitaan päätösmuuttujiksi rakennettavien talojen ja virkistysalueiden määrät: := x 2 := x 3 := x 4 := omakotitalojen määrä (kpl) paritalojen määrä (kpl) kolmiperhetalojen määrä (kpl) virkistysalueiden määrä (kpl) Rakennusyhtiö pyrkii maksimoimaan taloista saamaansa voittoa, joka jää, kun taloista saaduista myyntituloista vähennetään rakennuskustannukset: max 200 000 + 240 000x 2 + 300 000x 3 145 000 165 000x 2 215 000x 3 125 000x 4 Omakotitalojen määrän tulee olla vähintään puolet rakennettavien talojen kokonaismäärästä, jolloin saadaan rajoitusehto: 1 2 ( + x 2 + x 3 ) 1 2 1 2 x 2 1 2 x 3 0. Alueen vedenkulutus ei saa olla yli 850 000 l/vrk, kun omakotitalo kuluttaa 2 000 l/vrk, paritalo 2 700 l/vrk, kolmiperhetalo 3200 l/vrk ja virkistysalue 2500 l/vrk eli: 2 000 + 2 700x 2 + 3 200x 3 + 2 500x 4 850 000. Jokaista 200 perhettä kohti tulee olla yksi virkistysalue, joten rajoitusehdoksi tulee, kun omakotitalossa yksi perhe, paritalossa kaksi ja kolmiperhetalossa kolme: x 4 1 200 ( + 2x 2 + 3x 3 ) 1 200 1 100 x 2 3 200 x 3 + x 4 0. 9

Rakennusyhtiöllä on käytettävissä 800 hehtaaria (ha) maata, josta 15 % (120 ha) käytetään katujen yms. rakentamiseen, jolloin talojen ja virkistysalueiden rakentamista rajoittaa käytettävissä oleva pinta-ala, kun omakotitalo tarvitsee maata 1 ha, paritalo 1,5 ha, kolmiperhetalo 2 ha ja virkistysalue 0,5 ha: + 1, 5x 2 + 2x 3 + 0, 5x 4 680. Talojen ja virkistysalueiden määrät eivät voi olla negatiivisia, jolloin rajoitetaan päätösmuuttujat seuraavasti: 0, x 2 0, x 3 0 ja x 4 0. Ratkaistaan tehtävä Excelin Ratkaisimella, jolloin ratkaisuksi saadaan, että yrityksen tulee rakentaa noin 180 omakotitaloa, 180 paritaloa, ei yhtään kolmiperhetaloa ja 3 virkistysaluetta, jolloin yrityksen tuotoiksi tulee noin 23 miljoonaa e. Tehtävän muuttujat voidaan myös asettaa Excelin Ratkaisimessa kokonaisluvuiksi lisäämällä Reunaehto-kohtaan viittaus päätösmuuttujien soluihin ja valitsemalla rajoitukseksi kok. Tällöin ratkaisuksi saadaan 182 omakotitaloa, 177 paritaloa, ei yhtään kolmiperhetaloa ja 3 virkistysaluetta. Tehtävä 4: 3-ulotteinen graafinen ratkaiseminen Ratkaise tehtävä graafisesti (kuvaa käyvästä alueesta ei tarvitse laatia itse). Tarkista vastauksesi Excelin Solverilla. max 4x + 2y + 11z s.e. x + 2y + 3z 15 x + z 6 z 2 x 0, y 0, z 0 Ratkaisu Piirretään rajoitusehtojen mukaiset tasot x, y, z-kuvaajaan, jolloin saadaan esiin käypä alue. 10

Piirretään kohdefunktion vakiokäyrä, tässä tasopinta, ja siirretään sitä tason normaalin suuntaan, kunnes käyvästä alueesta jää jäljellä vain yksi piste, optimaalinen ratkaisu. Optimaalinen ratkaisu on x = 4, y = 2, 5 ja z = 2, jolloin kohdefunktion arvo on 43. Tehtävä 5: Herkkyysanalyysi* *Ylimääräinen tehtävä; ei esitellä taululla Tässä tehtävässä tutustutaan Excelin Ratkaisimen herkkyysanalyysiraporttiin. Ratkaise tehtävä 2 Ratkaisimen avulla, jolloin avautuu Ratkaisimen tulokset-ikkuna, jonka oikeasta reunasta valitaan halutut raportit (Herkkyysanalyysi, Vastaus ja Rajoitus). Selvitä mitä raporttien arvot kuvaavat. Tutki erityisesti Varjohintaa. Vinkki. Koita miten optimiratkaisu muuttuu, kun muutat esimerkiksi jonkin epäyhtälörajoituksen vakiotermiä yhdellä ja ratkaiset tehtävän uudelleen. Ratkaisu Tutkitaan Tehtävän 2 ratkaisua valitsemalla Ratkaisimen tulokset-ikkunasta Herkkyysanalyysi-kohta, jolloin Excel luo tiedostoon uuden sivun, jossa tutkitaan lineaarisen mallin herkkyyttä. Valitaan samalla myös Vastaus- ja Rajoitus-kohdat. Näin avautuu kolme uutta välilehteä, joista löytyy vastaavat raportit. 11

Vastaus-välilehdeltä ensimmäiseltä riviltä löytyy Ratkaisimen kohdefunktion lähtöja loppuarvo. Seuraavaksi löytyy päätösmuuttujien alku- ja loppuarvot ja Kokonaisluku-kohdasta nähdään, että onko muuttuja reaaliarvoinen vai kokonaisluku. Reunaehdot-kohdasta nähdään rajoitusehdon saama arvo, rajoitusehdon soluviittausten kaavat. Tila-kohta kertoo onko rajoitusehto sitova (yhtäsuuruus pätee) vai ei. Liukuma-kohta kertoo kuinka paljon rajoitusehdon saama arvo pystyy muuttumaan (ennen kuin yhtäsuuruus pätee). Herkkyys-välilehden ensimmäisessä osassa nähdään päätösmuuttujien lopulliset arvot, Vähentyneet kustannukset-kohta kertoo kuinka paljon muuttujan kohdefunktion kertoimen tulee kasvaa ennen kuin muuttuja siirtyy kantaan (kantamuuttujille arvo on 0), ja Tavoitekerroin ilmaisee kuinka paljon kohdefunktion arvo muuttuu, jos tietyn päätösmuuttujan arvoa muutetaan yhdellä. Sallittu lisäys ja vähennys kertovat kuinka paljon päätösmuuttujan kerroin kohdefunktiossa saa lisääntyä tai vähentyä ennen kuin optimaalisen ratkaisun päätösmuuttujien arvot muuttuvat. Välilehden toisessa osassa Varjohinta kertoo kuinka paljon kohdefunktion arvo kasvaa, jos rajoitusehdon vakiotermin arvoa kasvatetaan yhdellä. Oikean puolen reunaehto kertoo rajoitusehdon vakiotermin arvon ja Sallittu lisäys ja vähennys kertovat kuinka paljon vakiotermin arvo voi lisääntyä tai vähentyä ilman, että optimaalisen ratkaisun päätösmuuttujien arvot muuttuvat. Rajoitus-välilehdeltä löytyy ensimmäisenä kohdefunktion arvo. Toisess osiossa kerrotaan jokaisen päätösmuuttujan nykyinen arvo, sen mahdollisimman pieni ja suuri arvo ja näillä arvoilla saatavat kohdefunktion arvot, kun muiden päätösmuuttujien arvot pysyvät vakioina. 12

Huomaa. Tehtävällä on kaksi optimaalista ratkaisua, joissa = 4 ja x 3 = 2 tai = 5 ja x 3 = 1, mikä vaikuttaa raportin antamiin kohdefunktion arvoihin. 13