Malliratkaisut Demo 4

Transkriptio

1 Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) () = 2+1. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että minimoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) () = (suurin kokonaisluku ). Funktion arvo paloittain vakio. Pienillä askelilla ei parannusta! Ei-unimodaalinen minimoinnin eikä maksimoinnin suhteen. Funktio on myös epäkonveksi ja epäkonkaavi. Kuva 1: () = c) () = sin + a, a > 0 ja () = cos + a. a 1 0 a 1 a 1 Kuva 2: () = sin + a, a > 0 a > 1: Nyt () > 0. Unimodaalinen sekä minimoinnin että maksimoinnin suhteen. Ei konveksi eikä konkaavi. Ei ääriarvoja. (Konveksin unktion epigraai on konveksi) 0 < a < 1: Ei unimodaalinen minimoinnin eikä maksimoinnin suhteen. Ei konveksi eikä konkaavi. a = 1: Nyt () = 0, kun = π. Kyseessä on satulapiste. Funktio ei kuitenkaan ole vakio tässä pisteessä ja sen välittömässä läheisyydessä = pienikin askel tuottaa parannusta. Unimodaalinen sekä minimoinnin että maksimoinnin suhteen. Ei konveksi eikä konkaavi. 1

2 d) () =. Kuva 3: () = Unimodaalinen minimoinnin, mutta ei maksimoinnin suhteen. Epäkonveksi. e) () = ma {a, 2 1 } a 0 0 a 1 a 1 Kuva 4: () = ma {a, 2 1 } a 0: Ei unimodaalinen minimoinnin eikä maksimoinnin suhteen. Epäkonveksi. 0 < a < 1: Ei unimodaalinen minimoinnin eikä maksimoinnin suhteen. Epäkonveksi. a = 1 tai a 1: Unimodaalinen minimoinnin suhteen, mutta ei maksimoinnin suhteen. Konveksi. 2. tehtävä Päätösmuuttujiksi voidaan valita i : päivänä i aloittavien poliisien määrä (1:maanantai, 2:tiistai,...). Jos poliisi aloittaa töissä päivänä i, hän on töissä myös seuraavat 4 päivää. Minimoidaan poliisien kokonaismäärää eli sitä kuinka monta poliisia minäkin päivänä aloittaa. Tällöin optimointitehtäväksi saadaan min s. t i 0, i = 1,..., 7. i {0, 1, 2,...}, i = 1,..., 7. 2

3 Ratkaisuksi saadaan 1 = 1, 2 = 2, 3 = 2, 4 = 2, 5 = 3, 6 = 1 ja 7 = 0. Lingossa muuttuja voidaan pakottaa kokonaislukumuuttujaksi kirjoittamalla mallin sisään Jos poliisien ei oleteta olevan kokonaisia, ratkaisuksi saadaan 1 = 0.67, 2 = 2, 3 = 2.67, 4 = 2, 5 = 2.67, 6 = 0.67 ja 7 = 0. Pyöristettynä kokonaisiksi poliiseiksi siis 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3, 4 = 2, 5 = 3, 6 = 1 ja 7 = 0, missä siis keskiviikkona työt aloittaa yksi poliisi enemmän kuin, jos tehtävä ratkaistaan kokonaislukumuuttujilla. 3. tehtävä Puusepällä on käytössä 50 kpl 6.5 m lautaa 200 kpl 4 m lautaa ja tavoitteena on tehdä mahdollisimman monta 2 2m m hyllyä. Ensiksi pitää määrätä kaikki eripituisten lautojen erilaiset sahaustavat, joiksi saadaan Nyt voidaan päätösmuuttujiksi valita laudan pituus 2 m palat 1.25 m palat tapa 6.5 m m i : tavalla i sahattu lauta z : valmistuneiden hyllyjen lukumäärä. Koska maksimoidaan valmistuneiden hyllyjen lukumäärä { } z = min, , 2 on kyseessä mamin-tyyppinen optimointitehtävä. Se voidaan kirjoittaa muotoon ma z s. t z z i N +, i = 1,..., 7. 3

4 4. tehtävä Tarkastellaan ylimääriteltyä yhtälöryhmää 2 y = y = 18 + y = 5. Kertoimien perusteella saadaan matriisi A ja vektori b seuraavasti: A = 2 3 R 3 2 b = Yhtälöryhmä ratkaistaan minimoimalla residuaalia A b = r, toisin sanoen kohdeunktiona on min A b. a) Muodostetaan ensin optimointitehtävä 1 -normia käyttäen. Merkitsemällä seuraavassa 1 = ja 2 = y saadaan min a ij j b i = 2 {}}{{}}{ y y y 5 i=1 j=1 s. t., y R. b) Muodostetaan sitten optimointitehtävä -normia käyttäen seuraavasti: min 2 ma i=1,...,3 j=1 a ij j b i = min ma{ 2 y 1, 2 + 3y 18, + y 5 } s. t., y R. Tehtävien linearisoimiseksi otetaan käyttöön apumuuttujat s + i = itseisarvon i sisällä olevan lausekkeen positiiviosa, i = 1, 2, 3 s i = itseisarvon i sisällä olevan lausekkeen negatiiviosa, i = 1, 2, 3. a) Normia 1 käyttäen laadittu tehtävä muuttuu näiden avulla muotoon min s s 1 + s s 2 + s s 3 s. t. 2 y 1 = s + 1 s y 18 = s + 2 s 2 + y 5 = s + 3 s 3 s + i 0, s i 0, i = 1, 2, 3. Tehtävän numeeriseksi ratkaisuksi saadaan = y = 4.25 =

5 b) Normia käyttäen laaditussa tehtävässä korvataan ensin itseisarvolausekkeet summilla, jolloin tehtävä saa muodon min ma {s s 1, s s 2, s s 3 } s. t. 2 y 1 = s + 1 s y 18 = s + 2 s 2 + y 5 = s + 3 s 3 s + i 0, s i 0, i = 1, 2, 3. Korvataan vielä kohdeunktion min ma-lauseke merkinnällä ja lisätään uusi rajoite, jolloin tehtävä on linearisoitu muotoon min s. t. s + i + s i, i = 1, 2, 3 2 y 1 = s + 1 s y 18 = s + 2 s 2 + y 5 = s + 3 s 3. Tehtävän numeeriseksi ratkaisuksi saadaan = 2 y = 4.25 = tehtävä Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä ma c T s. t. A b 0, missä, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä min s. t = 0 1, 4 0, 2 0, 3 R sellaiseksi, että sen voi ratkaista kyseisellä ohjelmistolla. Lisäksi määrätään luvut n ja m, vektorit c ja b sekä matriisi A. Muutetaan ensin minimointi maksimoinniksi kertomalla luvulla ( 1), jolloin saadaan ma Käännetään sitten ensimmäisen ja toisen rajoitteen epäyhtälöt kertomalla luvulla ( 1), jolloin ja

6 Yhtälörajoite voidaan korvata kahdella epäyhtälörajoitteella Lopuksi korvataan rajoittamaton muuttuja 3 kahden ei-negatiivisen muuttujan erotuksella 3 = + 3 3, missä + 3, 3 0 ja epäpositiivinen muuttuja 2 = 2, missä 2 0. Edellisten muutosten jälkeen optimointitehtävä saa muodon ma s. t , 2, + 3, 3, 4 0. Merkitään sitten = ( 1, 2, + 3, 3, 4 ) T, jolloin n = 5 ja m = 4. Pyydetyt vektorit ja matriisi ovat nyt c = 20 10, b = 0, A =