Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 Keraus K. A: III, B: I, C: II ja IV Kuvaaja: I II III IV
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K. a) lim ( ) Nimiäjä ( ) o aia posiiivie ja lähesyy lukua, ku. Tällöi o aia egaiivie ja se arvo pieeee rajaa. ( ) b) Ku oikeala, o posiiivie ja lähesyy arvoa. Tällöi. Ku vasemmala, o egaiivie ja lähesyy arvoa. Tällöi. Fukiolla ei siis ole epäoleellisa rajaarvoa kohdassa =.
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 c) Ku muuuja arvo kasvaa rajaa, myös arvo kasvaa rajaa ja fukio arvo lähesyy lukua. Ku muuuja arvo pieeee rajaa, arvo lähesyy ollaa ja fukio arvo lähesyy lukua. K. a) 5 (5 ) (5 )(5 ) (5 ) (5 5) 5 5 (5) b) Ku 5+, osoiaja lähesyy lukua 5 ja imiäjä 5 lukua posiiivisia arvoja saade. Niipä. 5 5 Ku 5, osoiaja lähesyy lukua 5 ja imiäjä 5 lukua egaiivisia arvoja saade. Niipä. 5 5 Fukiolla ei ole raja-arvoa, eikä epäoleellisa raja-arvoa kohdassa = 5.
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 c) Ku 5, osoiaja lähesyy lukua 5 ja imiäjä ( 5) lukua posiiivisia arvoja saade. Niipä. 5 ( 5) d) lim f ( ) lim ( ) 5 5 5 lim f ( ) lim ( ) 5 5 5 Fukiolla ei ole raja-arvoa, eikä epäoleellisa raja-arvoa kohdassa = 5.
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K4. a) ( ) b) ( ) 5 ( 5 ) 5 c) ( ) ( )
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 d) 4 ( ) 4 e e e e e 4 e e e e ( ) e e K5. a) lim lim lim lim lim ( ) b) lim lim lim lim lim ( )
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 c) ( )( ) lim ( ) lim lim lim lim K6. a) b) c) ( ) 5 4 (5 4 ) 5 4 5 5 ( ) ( )
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K7. Määrieää lukujoo raja-arvo. a 6 a 6 6 6 6 a 5 Lukujoo jokaise jäsee eäisyys raja-arvosa o vähemmä kui sadasosa luvusa = 5 alkae. K8. a) a = ( ) + a = ( ) + = a = ( ) + = a = ( ) + = Lukujoossa vuoroeleva luvu ja, joe lukujoo ei suppee vaa hajaauu. b) a =, ku Lukujoo jäsee kasvava rajaa, ku kasvaa rajaa, joe lukujoo hajaauu.
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 c) cos Ku kasvaa rajaa lähesyy lukua ja sie cos lähesyy lukua a cos =. Sie lauseke ole raja-arvoa. cos pieeee rajaa, eikä lukujoolla ei K9. a) b) e e e ( e ) e π > e, joe e. Tällöi ( e ) ee, ku kasvaa rajaa. a si a si sisi a si si si Lukujoo äyäisi oleva geomerie lukujoo. Lukujoossa a a = si ja q = si si si. a si Geomerie lukujoo suppeee, ku < q. Epäyhälö < si oeuuu kaikilla muilla : arvoilla, paisi ku si =, eli ku. Lukujoo suppeee, ku.
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K. a) Suhdeluku q 6. Koska < q <, lukujoo suppeee. a S 4 q b) Suhdeluku q 8. Koska < q <, lukujoo suppeee. 6 a S 6 6 4 q ( ) c) Suhdeluku q. Koska < q <, lukujoo suppeee. a S 5 5 q ( ) 5 K. a) Sarja o geomerie sarja, joka suhdeluku q = e ja a = π. Koska e < π, q ja sarja suppeee. ( e ) e e e b),777 =,7 +,7 +,7 + = 7 7 7... 7 (...) 4 6 Sarja o geomerie sarja, jossa a = 7 ja q =. 7 S 7 7 99 99
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K. a) Sarja o geomerie sarja, jossa q = ( + ) ja a =. Sarja suppeee, ku < ( + ) <, eli ku < + <, eli < <. b) Ku sarja suppeee, S. ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) 4 4 4 64 4 8 4 4 4 Sekä =,9... eä =,77... kuuluva välille < <, jolla arkaselava sarja suppeee. Niipä yhälö rakaisu o = ai =. K. a) Sarja o geomerie sarja, joka suhdeluku q = 4. sarja hajaauu. Koska q >, b) a = + ( ) = a = + ( ) = a = + ( ) = Lukujoossa vaiheleva luvu ja. Koska yheelaskeavie lukuje joolla ei ole raja-arvoa, sarja hajaauu. c). Koska lim a, sarja hajaauu. a
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K4. a) d lim d lim d lim/ lim lim( / ) b) Fukio 5 ( ) o rajoiamao pääepisee = läheisyydessä. 5 4 d lim d lim ( ) d lim ( ) 5 5 / ( ) ( ) 4 lim / lim( ) 4 4 4 4( ) 4( ) 4 ( ) c) ( ) ( ) lim ( ) lim / / ( ) d lim d lim ( ) d lim( ) ( )
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K5. Piirreää kuva. Määrieää -akseli leikkauspise. ( ) Kuvaaja ei leikkaa -akselia ja o ( )d., joe aluee pia-ala ( )d lim ( )d Pia-ala o l. lim /(l() l( )) lim l / lim(l l) lim(l ) l l
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K6. Tilavuus o 4 lim ( ) dlim 4 ( ) d lim d lim / lim / lim ( ) ( ) K7. a) Koska f() =, ii g() =. Arvoa g() ei voi määriää, sillä ei iedeä kohaa, jossa f saa arvo. Koska f() =, ii g() =. b) f(g()) = g(f(4)) = 4 K8. a) f() =, joka peruseella g() =. Koska f( ) =, ii g() =. Vasaavasi, koska f( ) =, ii g( ) =. b)
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K9. Fukiolla o kääeisfukio, jos se o moooie. Fukio f o määriely, ku + 4, eli ku ja derivoiuva, ku >. f( ) (4) 4 Derivaaa o posiiivie, ku >, joe fukio f o kasvava ja sie sillä o kääeisfukio. y 4 y ja y 4 y 4 y 4 y Kääeisfukio o f ( ). Fukio f määrielyjoukko o. Fukio f arvojoukko o [, [, sillä f( ) =, f o kasvava ja jakuva, ja lim f( ) lim 4. Kääeisfukio f määrielyjoukko o fukio f arvojoukko ja arvojoukko fukio f määrielyjoukko [, [.
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K. a) f(, ) = + = 6 + = 5 Pise (,, 5) ei ole fukio kuvaajalla, koska f(, ) 5. b) D ( y) y Dy ( y) f (,) f (,) y c) f(, y) = 4, eli y + = 4 y = Esimerkiksi pise (, ) oeuaa yhälö. K. a) y = y = + y = Fukio saa arvo ympyrä + y = piseissä. b) D ( y ) Dy ( y ) y f (4,) 48 f (4,) y
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K. f(, y) = + y Tasa-arvokäyrille + y = c y = + c Tasa-arvokäyrä ova ylöspäi aukeavia paraabelejä, esimerkiksi y = + (c = ) y = + (c = ) ja y = + (c = ).
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 Kokoavia ehäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) lim f ( ) b) lim f ( ) 5 c) lim f( ) f() (agei kulmakerroi kohdassa = ) d) e) f ( ) f() lim ei ole olemassa, sillä erousosamäärä oispuoleise raja-arvo ova erisuure. f ( ) f(9) lim ei ole olemassa, sillä fukio f ei ole kohdassa = 9 9 jakuva eikä siksi voi myöskää olla derivoiuva. 9 f) f( ) f() lim (agei kulmakerroi kohdassa = ). a) f(, ) = + + 4 5 = 4 5 = Pise (,, ) ei ole fukio f kuvaajalla, koska f(, ). b) D ( y 4 y 5) y D ( y4y5) 4 y f (4, ) 4 ( ) 8 5 f (4, ) 4 4 4 6 y
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8. a) Sarja o lukuje lopuo summa ja lukujoo o joo lukuja. b) Lukujoo suppeee, ku se yleisellä jäseellä o äärellie raja-arvo. Sarja suppeee, ku se osasummalla o äärellie raja-arvo. Suppeeva lukujoo o esimerkiksi geomerie lukujoo,,,... eli a ( ). Tällöi lim a. Suppeeva sarja o esimerkiksi..., joka o geomerie sarja, jossa a = ja q =. Koska < q <, sarja suppeee ja summa o. 9 9 9 c) Epäoleellie iegraali suppeee, jos se määrielyssä käyeävillä määräyillä iegraalilla o äärellie raja-arvo. / / d lim d lim ( ) lim ( ) lim( ) Iegraali ei suppee. 4. a) ( ) e e e e ( ) e e e e b) e e
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 5. a) b) a! ( )... ( )! ( ) ( ) ( )... ( )( ) ( ) ( )( ) a ( ) ( ) ( )
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 6. ( ) a 4 Ku, + > ja 4. Koska erous a o egaiivie, a < kaikille ermeille. a ( ) a ( ) ( ) ()( ) ( )( ) ( 44) ( )( ) 8 4 ( )( ) Ku, a + a >, joe a + > a kaikille ermeille. ( ) a ( ) 7. S l l l... l l 4 l l l l 4... l( ) l l l( ) ll( ) l( ) l( ) Sarja ei suppee.
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 8. f ( ) ae,ku, ku Tulee olla f(), joe a. Lisäksi ulee olla f ( )d. f ( )d d ae d limae d a a lim / ae lim( ae ae ) lim( a a) a a e f ( ) e, ku, ku Ku <, kerymä o. Ku, s s s s s e d / e e e e e Kerymäfukio o, F( ). e,. PX ( ) F ( ) ( e ) e, ku.
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 9. a) Fukio g o jakuva kohdassa =, jos g() = f() = g() lim g( ). lim g( ) lim( f ( ) ) f ( ) 5 Fukio g o jakuva kohdassa =. Fukio g o derivoiuva kohdassa =, jos raja-arvo o olemassa. g ( ) g() lim g( ) g() f( ) f() f( ) lim lim lim lim f ( ) Fukio f raja-arvo olemassaolosa kohdassa = ei iedeä miää, joe fukio g derivoiuvuudesa kohdassa = ei voida saoa miää. b) g() = f() = f ( ) 5 lim g( ) lim( f ( ) ) Fukio g o jakuva kohdassa =. g ( ) g() f( ) f() lim lim f( ) a koha lim lim f( ) Fukio g o derivoiuva kohdassa =.
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8. Tiedeää, eä + a + a + =. Koska sarja o geomerie, a voidaa kirjoiaa a a... qq.... q q q q q q 9 99 lg a lg a lg a... lg a lglg qlg q... lg q lg qlg qlg q... 99lg q lg q (... 99) Summa + + + + 99 o arimeeie summa, jossa o 99 jäseä.... 99 99 99 99 5 495 lg a lg a lg a... lg a lg q (... 99) lg 9 495 (lg9 lg) 495 (lg9 ) 495 495(lg )
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 APUVÄLINEET SALLITTU. a) aika viikossa edey maka (m). viikko. viikko,95. viikko,95,95 =,95. viikko,95 Maka muodosava geomerise lukujoo, jossa a = ja q =,95. Esimmäise puole vuode aikaa kaiveu maka: +,95 +,95 + +,95 5 6,95 47,9...,95 Roboi o edey oi 5 meriä. b) Sarja +,95 +,95 + o geomerie sarja, joka suppeee, koska < q <. Tällöi S.,95 Tueli piuus lähesyy lukua m. c),95,95 6,95,5,95,5,95,5 log,5,5...,95 Roboila meee kaivamisee 4 viikkoa.
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8. Fukio f o jakuva väleillä < ja >. Tarkasellaa jakuvuua kohdassa =. f () lim f( ) lim ( a 4 ) a 4 9 9 lim f ( ) lim ( ) Fukio o jakuva kohdassa =, ku a 4 9 a 9 a 9 4,ku f ( ) 9 9.,ku Fukio f o derivoiuva väleillä < ja >. Tarkasellaa derivoiuvuua kohdassa =. 4 f( ) f() lim lim 9 9 lim 9 9 lim lim 9 9 9 ( ) f( ) f() ( ) lim lim lim lim lim ( )( ) 6 9 Erousosamäärällä o raja-arvo kohdassa =, joe fukio f o derivoiuva kohdassa =. Fukio f o derivoiuva kaikkialla.
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 lim lim lim ( ) lim ( 4 ) 9 9. a) Pääely o virheellie: lukujoo suppeemisesa ei voi pääellä sarja suppeemisa. Pääely o epäosi. Jos sarja suppeee, lim a. Ny lim a lim( ). b) Pääely o virheellie: fukio kasvavuus ja jakuvuus eivä riiä akaamaa, eä fukio olisi kerymäfukio. Joa fukio f voisi olla sauaismuuuja kerymäfukio, ulee olla f(). Koska f() = e = e >, f ei voi olla kerymäfukio. c) Pääely o oikei: Rajaa kasvava fukio f arvo o suurempi kui josaki muuuja arvosa c alkae. Niipä ällaiselle fukiolle päee c f ( )d lim f ( )d lim f ( )d f ( )d c c c lim f ( )dd lim f ( )d( c). c Fukio epäoleellise iegraali hajaaumise voi odea myös laskemalla: d lim d lim/ lim( ) lim( ).
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 4. 4 4 4 8, 4,ku 4 f ( ),ku 4,ku f ( )d f ( )d f ( )d f ( )d 4 d 4 d d 4 4 lim d d lim d 4 4 5 lim lim / / / 5 lim ( ) ( ( )) lim( ) 5 5 ( ) ( ) 5 6 5
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 5. a) f () lim Fukio f o jakuva kohdassa =. f ( ) f () lim lim lim lim lim ( ) lim lim lim lim ( ) ( ) ( ) lim lim lim ( ) ( ) ( ) Fukio f ei ole derivoiuva kohdassa =. b) Fukioa f ei ole määriely kohdassa =, joe se jakuvuua ja derivoiuvuua ei voida arkasella ässä kohdassa. 6. a) f() = l + +, > f () = + Ku >, f () >, joe f o kasvava ja sillä o kääeisfukio. b) f() = l + + = l + = Huomaaa, eä ku =, l + = + =. Koska f() =, g() =. g() f ()
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 c) Kääeisfukio g kuvaaja saadaa peilaamalla fukio f kuvaaja suora y = suhee. Kuvaaja leikkaava siksi oisesa piseissä, joissa e leikkaava suora y =. Esiää e fukio f kuvaajalla oleva pisee, joide ja y koordiaai ova sama, eli rakaisaa yhälö f() =. l + + = l = = e = e Piseessä (, ). e e d) Kuvaajie välie kulma o sama kui leikkauspiseesee piirreyje ageie välie kulma. Tageie välie kulma saadaa laskeua kulmakeroimie eli derivaaa arvoje avulla. f( ) e e g( ) e f ( ) e e k k a kk e a e ( e ) e 59,89... Kuvaajie välie kulma o 59,9.
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 7. Poikkileikkauskäyrä yhälö o f(, ) = f (,) e f (,) e e e e e. Tagei o asossa y =, joe se y-akseli suuaie kompoei eli kaavekori j kerroi o. Tagei kulmakerroi ilmoiaa, kuika paljo z-koordiaai e muuuu, ku -koordiaai kasvaa yhdellä. Eräs suuavekori o i k. e 8. a) b), f( ),, 4 C, f ( ) D, E, 4 Koska f() =, C =. Fukio ulee olla jakuva kohdassa =, joe lim f ( ) lim f( ) f () f () D lim f ( ) D lim f ( ) D D Fukio f ulee olla jakuva kohdassa =.
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 lim f ( ) lim f( ) f () f () lim f ( ) 4 E f lim ( ) 4E E, f( ),, 4 c) Suuri ja piei arvo saavueaa derivaaa ollakohdissa ai väli pääepiseissä. f() = f(4) = Derivaaa ollakohda ova = ja =. f() = Suuri arvo o ja piei.
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 9. Sarja cos k o geomerie sarja, jossa a = cos = cos ja k suhdeluku q = cos. Ku π, < cos < ja sarja suppeee, joe se summa o reaaliluku kaikissa määrielyjouko piseissä. k Tällöi cos cos. k cos f( ) cos, π, cos Ku π + π, ii cos. Sie lim f( ) lim cos. ππ ππ cos ( ) Näissä piseissä fukiolla f siis o raja-arvo, ja fukio voidaa laajeaa äissä piseissä jakuvaksi määrielemällä se arvoksi. lim f( ) lim cos π π cos Ku π, ii cos. Sie. Näissä piseissä fukiolla f ei ole raja-arvoa, eikä fukioa f siksi voida laajeaa äissä piseissä edes jakuvaksi fukioksi. Fukioa ei voida laajeaa derivoiuvaksi koko :ssa.
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8. a) Valiaa esimerkiksi a =, =,,, Tällöi a ja f( a ) si si π. a kaikilla b) Valiaa esimerkiksi a,,,,... Tällöi ja si( ) si( ) si a jokaiselle siifukio jaksollisuude peruseella. Niipä f ( a ) si( ) si si. a