TODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS
Klassinen todennäköisyys P suotuisten alkeistapausten lkm kaikkien alkeistapausten lkm P( mahdoton tapahtuma ) = 0 P( varma tapahtuma ) = 1 0 P(A) 1 Todennäköisyys voidaan ilmoittaa desimaalilukuna, murtolukuna tai prosentteina
E.2. Laatikossa on 2 valkoista, 3 mustaa ja 5 sinistä palloa. Otetaan yksi pallo. Mikä on todennäköisyys, että pallo on a) valkoinen b) sininen tai valkoinen? a) 2 1 P( valkoinen pallo) 0,2 10 5 b) A: Sininen tai valkoinen pallo 7 P( A) 10 0,7
E.4. Sateen todennäköisyys on 30%. Millä todennäköisyydellä ennusteen päivänä ei sada? A ={sataa} P(A) = 0,3 Ā = {ei sada} P( A _ ) 1 P( A) 0,7
Tilastollinen todennäköisyys tilastosta saatava alkeistapauksen lkm kaikkien havaintojen lkm
E.7.. Rahaa heitetään kolme kertaa. Millä todennäköisyydellä saadaan täsmälleen 2 kruunaa? krkrkr krkrkl krklkr krklkl klklkl klklkr klkrkl klkrkr 3 P(2 kruunaa kolmessa heitossa) 0,375 8
E.8. Noppaa heitetään 2 kertaa. Millä todennäköisyydellä pistelukujen summa on 8? 6 5 2. noppa P(" silmälukujen summa 8") 5 36 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1. noppa
Geometrinen todennäköisyys P(A) tapahtumalle A suotuisen osajoukon mitta Perusjoukon mitta E.1. Ellipsin muotoinen rata on 4 kilometriä pitkä. Radan varrella on varikko. Millä todennäköisyydellä radalla ajaessasi matka varikolle on alle 1 kilometriä? P(matka alle 1 km) = 2 4 = 0,5
Satunnaismuuttujan odotusarvo Satunnaismuuttujan jakauma Jakauman muodostaa satunnaismuuttujan arvot yhdessä niiden tulemisen todennäköisyyden kanssa. E.1. Nopanheitto Satunnaismuuttuja X = nopan pisteluku x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, x 4 = 4, x 5 = 5, x 6 = 6 p 1 = p 2 = p 3 = p 4 = p 5 = p 6 = 1/6
E.4. Noppaa heitetään kahdesti. Esitä satunnaismuuttujan X = silmälukujen erotuksen itseisarvo jakauma. x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, x 4 = 4, x 5 = 5 6 5 4 3 2. noppa 5 4 4 3 3 2 2 1 3 2 1 0 2 1 0 1 1 0 1 2 0 1 2 3 p 0 = 6/36 p 1 = 10/36 p 2 = 8/36 p 3 = 6/36 p 4 = 4/36 p 5 = 2/36 2 1 0 1 2 3 4 1 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1. noppa
E.6. Mikä on kahden nopan heitossa silmälukujen erotuksen itseisarvon odotusarvo? E.4 p 0 = 6/36 p 1 = 10/36 p 2 = 8/36 p 3 = 6/36 p 4 = 4/36 p 5 = 2/36 x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, x 4 = 4, x 5 = 5 E(X) = 6 36 0 10 36 1 8 36 2 6 36 3 4 36 4 2 36 5 35 18 Odotusarvon laskeminen E(X) = m = p 1 x 1 + p 2 x 2 + p 3 x 3 + +p n x n = n k 1 p k x k
Tuloperiaate E.1. Matilla on siniset, ruskeat ja mustat housut sekä valkoinen ja harmaa t-paita. Kuinka monta erilaista yhdistelmää näistä saa? Yhdistelmiä: S / V S / H R / V R /H M / V M / H Kokonaisuutta valittaessa vaiheittain: Valintamahdollisuuksien lkm = vaiheittaisten valintojen lukumäärän tulo Siis E.1. tuloperiaatteella: Yhdistelmiä = 3 2 = 6
PUUMALLI SIN RUS MUS VAL HAR VAL HAR VAL HAR
E.3. Kuinka monta erilaista numeroyhdistelmää on 4-numeroisella pankkikortilla? Numerot vaihtelevat välillä 0 9 Yhdistelmiä = 10 10 10 10 = 10000
Järjestysten lukumäärän laskeminen Jos joukossa on n alkiota, on erilaisissa järjestyksissä olevia jonoja eli permutaatioita n! kpl E.2. a) Monessako eri järjestyksessä voi 15 oppilasta lähteä luokasta? b) Montako eri lukua voidaan muodostaa numeroista 1, 2, 3, 4 ja 5, kun jokaista käytetään kerran? c) Seitsemän veljestä istuu pitkälle penkille. i) Monellako tavalla he voivat istua? ii) Monellako tavalla he voivat istua, jos nuorin ja vanhin on oltava vierekkäin? a) 15! = 1,3 10 12 b) 5! = 120 c) i) 7! = 5040 b) ii) 2! 5! 6 = 1440 Kertoma n! = n (n 1)... 4 3 2 1 (n Z + ) 0! = 1
c) Seitsemän veljestä istuu pitkälle penkille. i) Monellako tavalla he voivat istua? ii) Monellako tavalla he voivat istua, jos nuorin ja vanhin on oltava vierekkäin? c) i) 7! = 5040 c) ii) 2! 5! 6 = 1440 Perusteluja ii:lle Nuorin ja vanhin voivat istua vierekkäin 2! tavalla (tai 2 1) Viisi muuta veljestä voivat istua 5! tavalla Punainen väri (vanhin / nuorin) montako paikkaa - 6
Osajoukkojen lukumäärä k-kombinaatio = osajoukko, jossa on k eri alkiota otettuna n-alkioisesta joukosta k-kombinaatioiden lukumäärän laskemiskaava: n k n! k!( n k)! (binomikerroin) E.4. a) b) 6 2 6! 10 10! 15 2!(6 2)! 3 120 3!(10 3)! Laskin
E.5. a) Montako 3 hengen komiteaa voidaan valita 8 henkilön joukosta? b) Monellako tavalla voidaan 17 oppilaan ryhmästä valita 9 hengen pesäpallojoukkue? a) b) 8 56 3 17 9 24310
Todennäköisyyksiä kombinatoriikan avulla Kirjan mukaan E.1. Kunnanvaltuusto: 15 naista ja 10 miestä Valitaan arvalla 5-jäseninen toimikunta Millä todennäköisyydellä toimikunnassa a) pelkästään naisiab) 3 naista ja 2 miestä? TAPA I a) Kaikkien tapausten lukumäärä: 25 24 23 22 21 Suotuisia: 15 14 13 12 11 P(pelkästään naisia) 1514131211 2524232221 0,057 TAPA II a) Kaikkien alkeistapausten lukumäärä: Suotuisia: 25 5 15 5 P(pelkästään naisia) 15 5 25 5 0,057
Kertolaskusääntö Ehdollinen todennäköisyys P(A ja B) = P(A) P(B A) E.1. Luokalla on 7 poikaa ja 8 tyttöä. Arvotaan kaksi järjestäjää. Millä todennäköisyydellä he ovat poikia? P(ensimmäinen ja toinen on poika) 15 7 6 14 1 5
E.4. Koripalloilija onnistuu 1. vapaaheitossa 70% ja toisessa 80% todennäköisyydellä. Hän saa kaksi vapaaheittoa. Millä todennäköisyydellä hän onnistuu a) molemmissa b) ainakin yhdessä heitossa? A = 1. vapaaheitto onnistuu B = 2. vapaaheitto onnistuu a) P(kaksi koria) = P(A ja B) = P(A) P(B) = 0,70 0,80 = 0,56 b) P(ainakin yksi kori) = 1 P(0 koria) = 1 P(Ā ja B) = 1 0,3 0,2 = 0,94
Yhteenlaskusääntö Erillisten tapausten yhteenlaskusääntö -toisen tapahtuessa toinen ei voi tapahtua -tapahtumilla A ja B ei yhteisiä alkeistapauksia P(A tai B) = P(A) + P(B) TAI +
E.3. Abiturientilla on kaksi herätyskelloa. (YO:S06) Uudempi toimii oikein 98 %:n todennäköisyydellä ja vanhempi 85 %:n todennäköisyydellä. Matematiikan kokeen aattona abiturientti asettaa molemmat kellot soimaan seuraavana aamuna. Millä todennäköisyydellä kelloista soi oikeaan aikaan a) molemmat, b) vain toinen, c) ei kumpikaan? a) P(molemmat) = 0,98 0,85 = 0,833 c) P(ei kumpikaan) = 0,02 0,15 = 0,03 b) P(molemmat) = 0,98 0,15 + 0,02 0,85 = 0,164
E.5. Pakasta vedetään kortti. Millä todennäköisyydellä kortti on pata tai ässä?
Toistokoe (binomitodennäköisyys) P(n:ssä toistossa on k suotuisaa) =. n k p k (1 p) nk missä n = toistojen määrä k = suotuisten tapausten määrä p = suotuisan tapahtuman todennäköisyys
E.1. Noppaa heitetään 5 kertaa. Millä todennäköisyydellä saadaan kolme a) kuutosta b) samaa? k = kuutonen p(k) = 1/6 n = 5 k = 3 a) P(3 kuutosta) = b) 5 1 3 1 53 ( ) 3 6 (1 ) 6 0,032 P(kolme samaa) = 6 0,03215 0,192 n k p k (1 p) nk
http://www.youtube.com/watch?v=ondvynh6hcy
E.6. Suomalaisten naisten pituus noudattaa normaalijakaumaa keskipituuden ollessa 168,5 cm ja keskihajonnan 4,8 cm. Kuinka monta prosenttia suomalaisista naisista pituus on välillä 169 171? 169168,5 Z1 0,104... 0,10 4,8 171168,5 Z2 0,520... 4,8 P(169 < X < 171) = P(0,10 < Z < 0,52) = (0,52) - (0,10) = 0,6985 0,5398 = 0,1587 0,159 Vastaus: 15,9% 0,52 168,5 169 171 z1 z2
E.7. a) Yo-kokeen tulokset olivat jakautuneet normaalisti N(32,12). Määritä eximian raja, jotta noin 20 % kokelaista saa vähintään tämän arvosanan. b) Approbatur raja oli 13 pistettä. Montako prosenttia kokelaista reputti? (a) = 0,80 a = 0.84 X 32 12 0,84 X 42,08 80% Täten eximian rajaksi laitettava sitä seuraava kokonaisluku eli 43 pistettä
E.7. Yo-kokeen tulokset olivat jakautuneet normaalisti N(32,12). b) Approbatur raja oli 13 pistettä. Montako prosenttia kokelaista reputti? Z 13 32 12 1,58-1.58 P(X 13) = P(Z -1,58) = P(Z 1,58) = 1 P(Z < 1,58) = 1 - (1.58) = 1 0.9429 = 0,0571 V: 5,7%