MS-C1420 Fourier-analyysi osa II

MS-C142 Fourier-analyysi osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. helmikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 1 / 36 1 Fourier-sarjat ja Fourier-integraalit Poissonin summakaava Whittaker-Shannonin interpolointikaava 2 Vaimennetunen distribuution Fourier-muunnos 3 Aliasoituminen 4 Ikkunoitu Fourier-muunnos 5 Diskreettien signaalien konvoluutiot G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 2 / 36

Fourier-kertoimien numeerinen laskeminen ( Jos 1-jaksollisesta signaalista s on saatu havainnot q(j) = s j N j =, 1,..., N 1 ja halutaan laskea Fourie-kertoimien ŝ(k) approksimaatioita niin voidaan menetellä seuraavalla tavalla: Muodostetaan ensin s:n korvikkeena funktio g(t) = ( q(j)p N t j ), N missä p N (t + 1) = p N (t) ja { 1, t =, p N (t) =, t = k N, k = 1, 2,..., N 1, ( ) ( ) jolloin siis g j N = q(j) = s j N kaikilla j. Tämän funktion Fourier-kertoimet ovat ĝ(k) = ˆq(k) p N (k). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 3 / 36 ), Miksi? Funktion g Fourier-kertoimiksi saadaan ĝ(k) = 1 = e i2πkt = q(j)p N (t j N e i2πkj N q(j) 1 e i2πkj N ) dt e i2πk(t j N ) p N (t j N q(j) 1 j N = j N ) e i2πkt p N (t) dt e i2πkj N dt = q(j) pn (k) = ˆq(k) p N (k). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 4 / 36

Jaksollistetut funktiot Jos s L 1 () ja siitä tehdään jaksollien funktio s J kaavalla s J (t) = j Z s(t j) = j Z s(t + j) niin s J L 1 (/Z) ja ŝ J (k) = ŝ(k), k Z. Tämä ei välttämättä onnistu jos ainoastaan oletetaan, että s L 2 (). Miksi Koska e i2πkj = 1, k, j Z niin muuttujan vaihdolla t = τ + j saadaan e i2πkt s(t) dt = j+1 e i2πkt s(t) dt = 1 e i2πk(τ+j) s(t+j) dt j Z j j Z = j Z 1 e i2πkτ s(t + j) dt = 1 e i2πkτ s(t + j) dτ. j Z G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 5 / 36 Esimerkki jaksollistamisesta Jos N > 1 ja p L 1 () on sellainen, että p() = 1, p(j) = kaikilla j Z \ {} ja p N (t) = j Z p(n(t j)) niin silloin p N (t + 1) = p N (t), p N (t) = 1 kun t = ja p N (t) = kun t = k N ja k = 1, 2,..., N 1. Lisäksi pätee p N (k) = 1 ( ) k N ˆp, k Z. N G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 6 / 36

Poissonin summakaava Jos s L 1 (), s on jatkuva kokonaislukupisteissä ja jono N j= N suppenee tasaisesti kun t ( δ, δ) kun N missä δ > niin lim N N k= N s(k) = lim N N k N k= N N ŝ(k) ja jos esim. k Z s(k) < ja k Z ŝ(k) < niin pätee ŝ(k). k Z s(k) = k Z s(t + j) Huom! Soveltamalla tätä tulosta tyyppiä t s(t x), t e i2πxt s(t) ja t s(at) oleviin funktioihin ja niiden kombinaatioihin saadaan lisää kaavoja. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 7 / 36 Miksi Poissonin summakaava on voimassa Kyse on oleellisesti siitä missä mielessä, jos lainkaan, käänteiskaava s J (t) = k Z ei2πk t ŝ J (k) pätee kun t =. Olkoon g(t) = lim N N j= N s(t + j) jolloin g L1 (/Z) ja ĝ(k) = ŝ(k). Oletuksesta, että jono N j= N s(t + j) suppenee tasaisesti kun t (, δ) seuraa, että g on jatkuva pisteessä. Silloin pätee lim (F N g)() = g() N missä F N = 1 N ( ) 2 sin(nπt) sin(πt) ja koska toisaalta (F N g)() = N k= N N k N ei2πk ĝ(k) = N k= N N k N ŝ(k) niin saadaan väite g:n määritelmästä. Jos k Z s(k) < ja k Z ŝ(k) < rajat-arvot voidaan ottaa ja saadaan väite k Z s(k) = k Z ŝ(k). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 8 / 36

Whittaker-Shannonin interpolointikaava Jos s L 2 () ja ŝ(ν) = kun ν > 1 2 niin s(t) = k Z s(k)sinc (t k) t, missä sinc (t) = sin(πt) πt jos t ja 1 jos t =. Jos s L 1 () ja ŝ(ν) = kun ν > 2 1 niin s L2 () ja oletuksesta s L 2 () seuraa, että k Z s(k)sinc (t k) < kaikilla t. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 9 / 36 Vaimennetut distribuutiot S () = { h : h on jatkuva ja lineaarinen funktio: S() C }. Jatkuvuus? Funktio h : S() C on jatkuva jos lim n h(ψ n ) = h(ψ) kun ψ n, ψ S() ja lim n ψ n = ψ eli lim n d(ψ n, ψ) = missä d(ϕ, ψ) = k= m= 2 (k+m) sup t t k (ϕ (m) (t) ψ (m) (t)) 1 + sup t t k (ϕ (m) (t) ψ (m) (t)). Näin ollen funktio h : S() C on jatkuva jos jokaisella ψ S() ja jokaisella ɛ > on olemassa δ > siten että jos ϕ S() ja d(ϕ, ψ) < δ niin h(ϕ) h(ψ) < ɛ. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 1 / 36

Vaimennetun distribuution Fourier-muunnos Jos h S () niin ĥ = F(h) on vaimennettu distribuutio ĥ(ψ) = h( ˆψ). Huom! Jotta voidaan osoittaa, että ĥ S () jos h S () pitää ensin osoittaa että Fourier-muunnos on jatkuva: S() S(). (Lineaarisuus on melkein itsestään selvä asia.) Esimerkki Jos s : C on mitallinen ja on olemassa m siten, että s(t) (1 + t ) m dt < niin voidaan määritellä vaimennettu distribuutio s D (tai pelkästään s) kaavalla s D (ψ) = s(t)ψ(t) dt. Jos s D (ψ) = kun ψ S(), eli s D =, niin s(t) = melkein kaikilla t. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 11 / 36 Diracin δ-funktio Voidaan määritellä vaimennettu distribuutio δ T seuraavasti: δ T (ψ) = ψ(t ). Jos p L 1 () on sellainen, että p(t) dt = 1, esim. p(t) = e πt2, ja merkitään p a (t) = ap(at) niin p a (t T )ψ(t) dt = ψ(t ), lim a joten δ T on funktioiden p a (t T ) raja-arvo distribuutiomielessä. Distribuution δ T Fourier-muunnos δ T on määritelmän mukaan distribuutio jonka arvo testifunktiolla ψ on δ T (ψ) = δ T ( ˆψ) = ˆψ(T ) = e i2πt ν ψ(ν) dν, eli funktion t e i2πt ν generoima distribuutio. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 12 / 36

Diracin δ-funktio, jatk. Funktion p a (t T ) Fourier-muunnos on e i2πνt ap(a(t T )) dt a(t = T ) = τ e i2π ν a τ e i2πt ν p(τ) dτ i2πt = e νˆp ( ν ), a koska dt = 1 a dτ ja t = τ a + T. Kun a saadaan raja-arvona funktio e i2πt ν koska lim a ˆp ( ) ν a = ˆp() = p(t) dt = 1 oletuksen mukaan, jolloin taas nähdään että δ T :n Fourier-muunnos on funktio e i2πt ν (tai tämän funktion generoima distribuutio). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 13 / 36 Vaimennetun distribuution Fourier-muunnos on järkevästi määritelty! Jos s L 1 () tai s L 2 () niin Miksi? ŝ D = (ŝ) D eli F(s D ) = F(s) D. Jos esim. s L 1 () niin määritelmän mukaan F(s D )(ψ) = s D ( ˆψ) = s(t) ˆψ(t) dt. Koska sekä s että ψ L 1 () niin kertolaksukaavan nojalla, joka pätee myös kuin kuin molemmat funktiot ovat neliöintegroituvia, s(t) ˆψ(t) dt = ŝ(t)ψ(t) dt = (ŝ) D (ψ), ja koska ψ S() oli mielivaltainen, niin väite seuraa. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 14 / 36

Vaimennetun distribuution derivaatta Jos h S () niin sen derivaatta h määritellään kaavalla h (ϕ) = h(ϕ ). Kun todistetaann, että h on vaimennettu on ensin osoitettava, että derivointi on jatkuva funktio: S() S(). Miksi näin? Jos s on derivoituva funktio ja on olemassa m siten, että ( s(t) + s (t) )(1 + t ) m dt niin s D ja (s ) D ovat vaimennettuja distribuutioita ja pätee (s D ) (ψ) = s D (ψ ) = s(t)ψ (t) dt / = s(t)ψ(t) dt + s (t)ψ(t) dt = (s ) D (ψ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 15 / 36 Operaatioita vaimennetuilla distribuutioilla Kun s on funktio C voimme määritellä seuraavat operaatiot: (T x s)(t) = s(t x), (M x s)(t) = e i2πxt s(t), (C x s)(t) = s(xt) (missä x ) ja ehdosta L x s D = (L x s) D missä L = T, M tai S, niin saadaan seuraavat määritelmät vaimennetuille distribuutioille: (T x h)(ψ) = h(t x ψ), (M x h)(ψ) = h(m x ψ), ( ) (C x h)(ψ) = h 1 x C 1 ψ x Lisäksi jos ϕ C () ja sup t (1 + t ) k(m) ϕ (m) (t) < kaikilla m jollain k(m) niin määritellään funktion ϕ ja vaimennetun distribuution h tulo kaavalla (ϕh)(ψ) = h(ϕψ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 16 / 36.

Fourier-muunnos ja derivaatta Jos h S () niin F(h) = F(( i2πt)h), F(h ) = (i2πt)f(h). Miksi? F(h) (ψ) = F(h)(ψ ) = h(f(ψ )) = h((i2πt)f(ψ)) = (( i2πt)h)(f(ψ)) = F(( i2πt)h)(ψ), ja F(h )(ψ) = h (F(ψ)) = h(f(ψ) ) = h(f(( i2πt)ψ) = F(h)((i2πt)ψ) = ((i2πt)f(h))(ψ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 17 / 36 Jaksollisen funktion Fourier-muunnos Jos s L 1 (/Z) niin s määrittelee myös funktion: C siten, että s(t) (1 + t ) 2 dt < ja silloin ŝ D = k Z ŝ(k)δ k, missä ŝ(k) on s:n Fourier-kerroin ja δ τ (ψ) = ψ(τ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 18 / 36

Jaksollisen funktion Fourier-muunnos Määritelmän mukaan ŝ D (ψ) = s(t) ˆψ(t) dt. Koska ˆψ S niin funktio ϕ(t) = j Z ˆψ( t + j) on jaksollinen ja äärettömän monta kertaa derivoituva. Näin ollen se voidaan kirjoittaa Fourier-summana ϕ(t) = k Z e i2πkt ˆϕ(k). Koska s on jaksollinen niin s(t) ˆψ(t) dt = j Z j+1 j s(t)ψ(t) dt = 1 s(t)ϕ( t) dt = k Z ˆϕ(m) 1 e i2πkt s(t) dt = k Z ˆϕ(k)ŝ(k), G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 19 / 36 Jaksollisen funktion Fourier-muunnos, jatk. missä ŝ tarkoittaa jaksollisen funktion Fourier-muunnos. Toisaalta 1 ˆϕ(k) = e i2πkt j Z ˆψ( t + j) dt = e i2πkt ˆψ( t) dt = e i2πkt ˆψ(t) dt = ψ(k). Näin ollen ŝ D (ψ) = k Z ŝ(k)ψ(k), eli ŝ D = k Z ŝ(k)δ k. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 2 / 36

Aliasoituminen I Olkoon s jatkuva-aikainen signaali jonka Fourier-muunnos ŝ L 1 () jolloin s on ainakin jatkuva funktio siten, että lim t s(t) =. Jos nyt otetaan näytteitä s(k t), k Z, tästä signaalista niin Fourier-muunnoksen käänteiskaavan nojalla ne voidaan esittää Fourier-muunnoksen ŝ avulla seuraavasti: s(k t) = e i2πk tν ŝ(ν) dν. Mutta funktio ν e i2πk tν on jaksollinen jaksolla ν = 1 t määritellään ŝ J, ν (ν) = j Z ŝ(ν j ν) niin joten jos nyt s(k t) = ν e i2πk tν ŝ J, ν (ν)dν = ν 2 ν 2 e i2πk tν ŝ J, ν (ν)dν. Näin funktio ŝ J, ν (ν) määrittää jonon s(k t) ja päinvastoin eikä jälkimmäisen jonon avulla ole mahdollista sanoa luvuista ŝ(ν j ν) muuta kuin niiden summa. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 21 / 36 Aliasoituminen I, jatk. Toisaalta jos ŝ on nolla tietyn ν-pituisen välin ulkopuolella, niin silloin on mahdollista rekonstruida signaali lukujen s(k t) avulla Whittaker-Shannonin interpolointikaavan (modifikaation) avulla. Aliasoituminen II Tarkastellaan seuraavaksi mahdollisimman yksinkertainen signaali eli s(t) = e i2πνt jonka taajuus on ν ja poikkeuksena edelliseen tapaukseen otetaan nyt vain N näytettä q(k) = s(t + k t), k =,....N 1. Nämä näytteet määräytyvät yksikäsitteisesti tämän jonon diskreetistä Fourier-muunnoksesta ˆq(m) = k= mk i2π e N s(t + k t) = k= mk i2π e N e i2πν(t +k t) = e i2πνt k= e i2πk(ν t m N ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 22 / 36

Aliasoituminen II, jatk. Funktion e i2πt jaksollisuudesta ja geometrisen sarjan summakaavasta seuraa, että Ne i2πνt, jos e i2π(mod (ν t,1) m N ) = 1, ˆq(m) = e i2πνt 1 ei2π(nmod (ν t,1) m) 1 e i2π(mod (ν t,1) m N ), muuten. Näin ollen ainoa tieto taajuudesta joka saadaan diskreetistä Fourier-muunnoksesta ja siten myös jonosta s(t + k t) on mod (ν t, 1) ja se näkyy siten, että diskreetti Fourier-muunnos saa itseisarvoltaan suurimmat arvonsa kun m N mod (ν t, 1). Muista myös, että jokainen vaimennettu distribuutio on trigonometristen polynomien raja-arvo (tosin aika heikossa mielessä), ja yllä oleva lasku on myös sovellettavissa niihin. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 23 / 36 Aikataajuudessa rajoitettu signaali on Ainoa funktio s L 1 () jolle on olemassa M < siten, että s(t) = kun t M ja ŝ(ν) = kun ν M on s =. Aikataajuudessa rajoitettu signaali on Olkoon s tällainen funktio. Määritellään sen avulla funktio q(t) = s(4mt + M) jolloin nähdään, että q(t) = kun kun t 1 2 ja kun t. Seuraavaksi muodostetaan tämän funktion jaksollistus q J (t) = j Z q(t j) jolle siis pätee, että q J(t) = kun t [, 1 2 ]. Koska ˆq(ν) = e i2π ν 4 ŝ( ν 4M ) niin ˆq(ν) = kun ν 4M2. Erityisesti tämä tarkoittaa sitä, että q J :llä on ainoastaan äärellisen monta nollasta poikkeavaa Fourier-kerrointa koska q J (k) = ˆq(k). Näin ollen q voidaan esittää Fourier-summana q(t) = m k= m e i2πkt ˆq(k), ja voimme olettaa, että ˆq( m) + ˆq(m) > jos s jolloin q. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 24 / 36

Aikataajuudessa rajoitettu signaali on, jatk. Koska Fourier-summa sisältää vain äärellisen monta termiä niin q on äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva ja koska q(t) = kun < t < 1 2 niin myös kaikki sen derivaatat ovat tällä välillä ja jatkuvuuden nojalla myös pisteessä t = eli = q(j) () (i2πm) j = m k= m ( ) k j ˆq(k). m Nyt pätee lim j m 1 k= m+1 ( k m) j ˆq(k)e i2πkt = joten saadaan lim j (( 1) j ˆq( m) + ˆq(m)) =, josta seuraa, että ˆq( m) = ˆq(m) = ja s =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 25 / 36 Ikkunoitu Fourier-muunnos Jos s signaali ja w on ikkuna -funktio niin s:n w-ikkunoitu Fourier-muunnos on F (s, w)(τ, ν) = e i2πνt s(t)w(t τ) dt. eli F (s, w)(τ, ν) = F(sT τ w)(ν) ja oletetaan, että w on valittu siten, että signaalin s(t)t τ w(t) Fourier-muunnos on hyvin määritelty. (Useimmiten ikkunafunktio w reaalinen, esim w(t) = e βt2 jolloin kompleksikonjugoinnilla ei ole merkitystä.) Miksi ikkunointia? Ikkunoitu Fourier-muunnos antaa jotakin informaatiota signaalin s sisältämistä taajuuksista lyhyellä aikavälillä mutta ei ole suinkaan ainoa korjausyritys Fourier-muunnoksen heikoimpiin puoliin, jotka liittyvät siihen, että sen arvo tietyssä pisteessä riippuu signaalin arvoista kaikissa pisteissä. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 26 / 36

Miksi ikkunointia? Kuten Fourier-sarjojen kohdalla voidaan todeta, saadaan yleensä parempi tulos kun signaali rekonstruoidaan Fourier-kertoimista jos käytetään painotettu summa N N k k= N N ŝ(k)ei2πkt kuin jos lasketaan N k= N ŝ(k)ei2πkt. Tässä tapauksessa käytetään siis diskreettiä ikkunafunktiota w(k) = N k N. Toisin sanoen, kun lasketaan Fourier-muunnoksia ja käänteismuunnoksia voi olla hyvä idea käyttää ikkunointia kiinteällä τ:n arvolla (esim. ) ja valita ikkunafunktioksi esim. e ɛt2 missä ɛ on pieni positiivinen luku. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 27 / 36 Esimerkki Alla olevassa kuvassa on esitetty signaalin s ikkunoidun Fourier-muunnoksen itseisarvo ikkunafunktiolla w(t) = e 4t2 missä s(t) = sin(2π5t) kun t 1, s(t) = sin(2π1t) kun 1 t 2 ja s(t) = muuten. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 28 / 36

Ikkunoidun Fourier-muunnoksen käänteismuunnos ja energia Jos w S() (mikä on järkevä valinta) ja sup t s(t) (1 + t ) m < jollain m niin Fourier-muunnoksen käänteismuunnoksella saadaan s(t) = (w(t τ)) 1 ei2πνt F (s, w)(τ, ν) dν, jos w(t τ). Mutta jos sen sijaan, että käänteismuunnoskaavassa jaetaan w(t τ):llä kerrotaan w(t τ):lla ja integroidaan τ:n suhteen saadaan 1 s(t) = e i2πνt F (s, w)(τ, ν)w(t τ) dν dτ w(τ) 2 dτ Koska ĥ(ν) 2 dν = h(t) 2 dt ja ν F (s, w)(τ, ν) on Fourier-muunnos niin F (s, w)(τ, ν) 2 dν dτ = s(t) 2 w(t τ) 2 dt dτ = w(τ) 2 dτ s(t) 2 dt = w(τ) 2 dτ ŝ(ν) 2 dν, eli ikkunoitu Fourier-muunnos jakaa signaalin energian toisella tavalla tasoon 2. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 29 / 36 Ikkunoitu Fourier-muunnos konvoluutiona Määritelmän mukaan F (s, w)(τ, ν) = e i2πνt s(t)w(t τ) dt. Oletetaan, että ikkuna-funktio w S(). Seuraavaksi esitetään funktio t e i2πνt w(t τ) Fourier-muunnoksena ja käänteismuunnoksen avulla todetaan, että e i2πνt w(t τ) = e i2πνt = e i2π(t τ)µ ŵ(µ) dµ e i2πt(µ+ν) e i2πτµ ŵ(µ) dµ µ + ν = γ = e i2πtγ e i2πτ(ν γ) ŵ(γ ν) dγ. Nyt ŵ(γ ν) = ŵ(ν γ)ja näin ollen funktio t e i2πνt w(t τ) on funktion γ e i2πτ(ν γ) ŵ(ν γ) Fourier-muunnos. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 3 / 36

Ikkunoitu Fourier-muunnos konvoluutiona, jatk. Kertolaskukaavan nojalla pätee F (s, w)(τ, ν) = ŝ(γ)e i2πτ(ν γ) ŵ(ν γ) dγ = (ŝ (M τ ŵ))(ν). missä siis M x ψ(t) = e i2πxt ψ(t). Huomaa, että kertolaskukaavan käyttö kuten edellä edellyttää että esim s L 1 () tai s L 2 () mutta vaimennetun distribuution Fourier-muunnoksen määritelmä on sama kaava joten yllä oleva tulos pätee myös jos s on vaimennettu distrubuutio koska jos h S () ja ψ S() niin (h ψ)(x) on distribuution h arvo testifunktiolla t ψ(x t). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 31 / 36 Diskreetti konvoluutio Jos a : Z C ja b : Z C ovat esim. sellaisia, että j Z a(j) < ja a(j) < niin niiden konvoluutio a b on j Z (a b)(k) = c(k) = j Z a(k j)b(j), k Z. Kun tällaisen signaalin Fourier-muunnos on â(ν) = j Z e i2πνj a(j), niin pätee â b(ν) = â(ν)ˆb(ν). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 32 / 36

Diskreetti jaksollinen konvoluutio Jos signaalit a : Z C ja b : Z C ovat jaksollisia jaksolla N niin niiden (jaksollinen) konvoluutio a J b on (a J b)(k) = a(k j)b(j), ja pätee â J b(m) = â(m)ˆb(m), m Z. Konvoluutio N :ssa Jos a : Z C ja b : Z C ovat sellaisia että a(j) = b(j) = kun j < niin k (a b)(k) = a(k j)b(j), k, ja (a b)(k) = kun k < ja kaikilla k on laskettava ainoastaan äärellinen summa. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 33 / 36 Konvoluution laskeminen Fourier-muunnoksen avulla Jos luvut a(j) ja b(j) tunnetaan kun j =,..., N 1 ja halutaan laskea (a b)(k) = k a(k j)b(j), k =,..., N 1, niin voidaan menetellä seuraavalla tavalla: Määritellään { a(j), j =,..., N 1, a 2N (j) = a 2N (j) = a 2N (j + 2N), j Z,, j = N,..., 2N 1, { b(j), j =,..., N 1, b 2N (j) = b 2N (j) = b 2N (j + 2N), j Z,, j = N,..., 2N 1, Sitten lasketaan jolloin c = F 1 2N (F 2N(a 2N ) F 2N (b 2N )) c(k) = (a b)(k), k =,..., N 1. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 34 / 36

Miksi? Koska jaksollisten jononjen konvoluution diskreetti Fourier-muunnos on Fourier-muunnosten tulo niin c = a 2N J b 2N eli c(k) = 2 a 2N (k j)b 2N (j), k Z. Koska b 2N (j) = b(j) kun j =,..., N 1 ja b 2N (j) = kun j = N,..., 2N 1 niin c(k) = a 2N (k j)b(j), k Z. Mutta jos nyt k N 1 ja k + 1 j N 1 niin N + 1 k j 1 jolloin N + 1 k j + 2N 2N 1 josta seuraa, että a 2N (k j) = a 2N (k j + 2N) =. Koska lisäksi a 2N (k j) = a(k j) kun j k N 1 niin G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 35 / 36 Miksi?, jatk. c(k) = k a 2N (k j)b(j) = k a(k j)b(j), k =,..., N 1. Jos lisäksi pätee a(j) = b(j) = kun j N ja N 1 k 2N 1 niin c(k) = a 2N (k j)b(j) = j=k N+1 a(k j)b(j) = k a(k j)b(j). ja saadaan kaikki konvoluution termit indekseillä k =, 1,..., 2N 1 (ja tässä tapauksessa konvoluutio on kun k 2N 1). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 36 / 36