1. YLEISTÄ MAGNETISMISTA
|
|
- Marjatta Pääkkönen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1 1. YLEISTÄ MAGNETISMISTA Magneetin aiheuttama vetovoima on ollut tunnettu jo vuosituhansia. Jo kreikkalainen filosofi Thales (n. 600 ekr) tiesi, että tietyillä rautamalmeilla on kyky vetää puoleensa pieniä rautakappaleita. Magnetismin historiaan palataan tuonnenpana. Jos pieni magneettineula (esim. kompassineula) pääsee liikkumaan vapaasti vaakatasossa, se asettuu likimain pohjois-eteläsuuntaan. Neulan pohjoiseen osoittavaa päätä sanotaan pohjoiskohtioksi (N), toista eteläkohtioksi (S). Jos magneettineula jollakin alueella hakeutuu tiettyyn suuntaan, sanotaan, että siellä on magneettikenttä. Havaintojen mukaan Maata ympäröi magneettikenttä. voimakkaampi kenttä on. Magneettikentän suunta on määritelty suunnaksi, johon vapaasti liikkuvan magneettineulan N-kohtio osoittaa, kun neula on kentässä. Kenttä havainnollistetaan kenttäviivoilla, jotka piirretään siten, että ne osoittavat kentän suunnan. Kenttäviivan tangentti tietyssä pisteessä on samansuuntainen kuin pisteeseen asetetun pienen magneettineulan suunta. Kenttäviivat piirretään sitä tiheämpään, mitä
2 2 N S S N N S N S Sauvamagneetin navat (kohtiot) N = North; pohjoiskohtio S = South; eteläkohtio Erimerkkiset kohtiot vetävät toisiaan puoleensa ja samanmerkkiset karkottavat toisiaan Kohtisuoraan kenttää vastaan asetetun pinta-alayksikön läpi kulkevien kenttäviivojen lukumäärä ilmaisee magneettikentän vuon tiheyden, jonka symboli on B. Kokeelliset mittaukset ovat osoittaneet, että magneettikenttää vastaan kohtisuorasti liikkuvaan varaukseen vaikuttaa voima, joka on kohtisuorassa sekä kentän suuntaan että varauksen liikesuuntaan nähden. Jos voiman suuruus on F, varaus Q ja sen vauhti v, on voimassa: F = QvB
3 3 B = F/Qv (1) Alemmasta yhtälöstä saadaan magneettivuon tiheyden yksiköksi: N/As/(m/s) = N/Am = Vs/m 2, josta käytetään nimitystä Tesla (T), siis: T = Vs/m 2 = N/Am. Geomagneettiset kentät ovat heikkoja, ja tavallisesti käytetään yksikköä nanotesla (nt), 1 nt = 10-9 T. Maan magneettikenttä on Suomen alueella tyypillisesti nt = 50 µt = T. Vanhempi pois käytöstä jäänyt yksikkö (cgsjärjestelmässä) on Gaussi (Gs tai Γ). Sen yhteys teslaan on: 1 Gs = 10-4 T. Maan magneettikentän tyypillinen arvo on siis myös 0.5 Gs. Tavallisen "hevosenkenkämagneetin" synnyttämä vuontiheys voi olla tuhansia kertoja maan kenttää suurempi. Auringonpilkuissa vallitseva magneettikenttä on luokkaa Γ. Aiemmin käytettiin myös yksikköä gamma (γ), jolle pätee: 1γ = 10-5 Gs = 1 nt. MAGNEETTIKENTÄN YKSIKÖT Magneettivuon tiheys B on vektorisuure. Siihen liittyy suunta ja voimakkuus. Sen yksikkö on Tesla [B] = 1 T = 1 Vs/m2 = 1 N/Am Vaikka magneettikentän voimakkuus on fysikaalisesti eri asia kuin magneettivuon tiheys, tavallisesti (kun ei ole erehtymisen vaaraa) käytetään nimitystä magneettikentän voimakkuus synonyyminä suureelle magneettivuon tiheys. Maapallon magneettikentän vuon tiheys Etelä-Suomessa on tyypillisesti
4 nt = 50 µt 1 nt = 10-9 T; 1 µt = 10-6 T Maapallon globaalisen magneettikentän hidas muutos (sekulaarimuutos) on keskimäärin - 30 nt/vuosi: magneettikenttä siis heikkenee keskimäärin. Magneettisten myrskyjen aikana kentän muutos voi olla ±20 nt/s ja kenttä voi pienetä pysyvästä arvostaan 1-10 % tilapäisesti muutaman tunnin ajan. Sinimäisen vuorokausivaihtelun amplitudi on keskim nt vuodenajasta ja auringonpilkkujakson vaiheesta riippuen. Suurimmat magneettikentät maailmankaikkeudessa ovat neutronitähdissä (magnetar), joiden magneettikentät ovat jopa miljardimiljardia (10 18 ) kertaa suuremmat kuin Maan kenttä. Tesla on SI-järjestelmän mukainen yksikkö. Käytössä on myös cgs-järjestelmän mukainen yksikkö gaussi (Gs tai Γ) 1 Gs = 10-5 T eli 50 µt = 0.5 Gs Auringonpilkkujen magneettikenttä voi olla jopa Gs. Magneettivuo (Φ) on aikaisemman määritelmän mukaan: Φ = BA, missä A on kohtisuora pinta. Φ:n yksikkö on Weber (Wb); 1 Wb = 1 Vs. Magneettikenttä B on vektorisuure: siihen liittyy voimakkuus ja suunta. Geomagnetismissa B:n mittaukset tehdään maanpinnalla, joten luonnollinen komponenttijako on maanpinnan suhteen vaakasuora ja pystysuora komponentti, H ja Z. Näille vektorikomponenteille pätee:
5 5 B = H + Z; B 2 = H 2 + Z 2 (2) (Tekstissä lihavoidut kirjaimet ovat vektoreita ja ei-lihavoidut niiden skalaarisuureita). Maanpintaan kiinnitetyn xyz-koordinaatiston origo on maanpinnalla, x-akseli osoittaa kohti maantieteellistä pohjoista, y-akseli itään ja z-akseli alas kohti Maan keskipistettä (Kts. Kuva 1). Tässä koordinaatistossa vaakakomponentti (horisontaalikomponentti) H jaetaan pohjoiskomponenttiin (X) ja itäkomponenttiin (Y), siis H = X + Y; H 2 = X 2 + Y 2 (3) H:n suunta on sama kuin kompassineulan suunta eli paikallinen magneettinen pohjoissuunta. X H True North East Y Down B Kuva 1. Magneettikenttävektorin B komponenttiesitys Z H:n poikkeama maantieteellisestä pohjoissuunnasta (x-akselin suunnasta) on deklinaatio eli eranto, joka ilmoitetaan tavallisesti asteina (0 360 ) tai piiruina (0 v 6000 v ). Jälkimmäistä yksikköä käytetään Suomen topografikartoissa. Merikartoissa kompassieranto on ilmoitettu asteina kompassiruusukuviossa. Deklinaatiokulma on positiivinen itään ja negatiivinen länteen. Kuvan 2 mukaan helposti nähdään, että
6 6 tan D = Y/X; cos D = X/H; sin D = Y/H (4) Pohj.suunta (x) X H Maanpinta I H D Z B Y Itäsuunta (y) Alas (z) Kuva 2. Maan magneettikentän horisontaalivektorit Kuva 3. Magneettikenttävektorin inklinaatio I. Vektorin B kallistuskulma vaakatasoon nähden on inklinaatio (I). I > 0, jos B.n kärki osoittaa maanpinnasta alas, I < 0, jos kärki on ylöspäin. Kuvasta 3 saadaan yhtälö tan I = Z/H (5)
7 7 Tehtävä 1.1. Johda seuraavat yhtälöt X = B cos I cos D Y = B cos I sin D Z = B sin I Tehtävä 1.2. Etelä-Suomessa Maan magneettikentän tyypillinen arvo on B = nt, I = 73 ja D = 5 E. Laske muut komponentit. 1.1 Sähkövirran aiheuttama magneettikenttä Kokeellisesti on havaittu, että liikkuvat sähkövaraukset, esim. sähkövirta johtimessa, synnyttävät magneettikentän. Magneettiset ilmiöt voidaan siten aina palauttaa sähköisiin ilmiöihin. Havainnon teki ensimmäisenä tanskalainen fyysikko Hans Christian Örsted ( ) vuonna Tässä kokeessa suoran virtajohdon kanssa samansuuntainen magneettineula muuttaa suuntaansa, kun virta kytketään päälle. Vaikka koejärjestely on yksinkertainen, se merkitsi uuden fysiikan ilmiömaailman, sähkömagnetismin, keksimistä, millä on ollut mullistava vaikutus paitsi itse fysiikan perustutkimukseen niin myös erilaisten sähkömagnetismia hyödyntävien teknologisten laitteiden (lennätin, puhelin, radio, TV jne.) kehittämiselle (vrt. luento ). Suorassa sähköjohtimessa kulkeva virta (J) aiheuttaa magneettikentän B, jonka skalaariarvo saadaan yhtälöstä (kts. Kuva 4) B = (µ o /4π) 2J/R (6)
8 8 eli magneettikenttä heikkenee kääntäen verrannollisena etäisyyteen. Yhtälössä (6) µ o /4π on SI-järjestelmään kuuluva laatuvakio. µ o on ns. magneettinen vakio (tyhjiön permeabiliteetti), jonka lukuarvo on µ o = 4π 10-7 Tm/A (7) Viivavirta J! h R Z B Maanpinta! H Kuva 4. Korkeudella h maanpinnasta kulkevan virran J aiheuttama magneettikenttä B. etäisyydellä R. Virran suunta on paperin tasoa vastaan kohtisuora ulospäin.
9 9 Kuvassa 4 on hahmoteltu tilannetta, jossa virta J kulkee korkeudella h maanpinnasta ja aiheuttaa maanpinnalla etäisyydellä R magneettikentän B. Tällaisia virtoja kulkee Maan ionosfäärissä noin 100 km korkeudella ja siitä ylöspäin. Esim. revontuliin Lapin taivaalla liittyy voimakkaita viivamaisia sähkövirtoja suuruusluokaltaan A. Kuvan 4 esittämästä piirroksesta voidaan johtaa (johda) vektorin B komponenteille H ja Z lausekkeet H = B cos α Z = B sin α (8) Tehtävä 1.3. Laske B, H ja Z, kun viivavirta J = A ja h = R = 100 km. Osoita, että Z B ja H 0, kun R ja Z 0 ja H B, kun α 0. Suoran virtajohtimen magneettikentän johtaminen (joka tässä siis on sivuutettu) on suhteellisen yksinkertainen. Johdinjärjestelmän muodon ollessa monimutkaisempi, on myös magneettikentän lausekkeen johto vaikeampi. Yleisessä tapauksessa, johdinjärjestelmän ollessa mielivaltainen ja sähkövirran tiheyden muuttuessa paikan funktiota, magneettikenttä voidaan laskea käyttämällä Amperén-Laplacen yhtälöä.
10 10 Ympyrävirtasilmukan aiheuttamalle magneettikentälle saadaan yksinkertainen ratkaisu tarkastelupisteen sijaitessa ympyrän keskipisteen kautta kulkevalla suoralla, joka on kohtisuorassa ympyrän tasoon nähden. Jos ympyrän sädettä merkitään symbolilla a, on etäisyydellä R magneettikenttä B B = 2 µ o Ja 2 (a 2 + R 2 ) -3/2 (9) eli silmukan aiheuttama magneettikenttä heikkenee etäisyyden kasvaessa olennaisesti nopeammin kuin suoran johtimen tapauksessa. Yhtälöstä (9) nähdään, että B = 2 µ o Ja 2 R -3, jos R >> a (9')
11 11 Toisin sanoen magneettikenttä heikkenee kääntäen verrannollisena etäisyyden kuutioon. Esimerkki 1. Maapallon ytimen pinnalla ekvaattorin tasossa voidaan kuvitella kulkevan sähkövirta, joka aiheuttaa maanpinnalla havaitun magneettikentän. Laske tämä virta, kun ytimen säde on km ja magneettikenttä (B) pohjoisnavalla on 60 µt ja Maan säde km. Sähkövirta J voidaan suoraan ratkaista yhtälöstä 9: J = 0.5 Ba -2 (a 2 + R 2 ) 3/2 /µo = J = 3.0 GA. Edellä on todettu, että sähkövirta synnyttää magneettikentän. Tämän käänteisilmiötä sanaotaan induktioksi. Täsmällisemmin: on havaittu, että magneettivuon muutos (dφ) suljetussa virtapiirissä synnyttää jännitteen (V) ja induktiovirran. Tämä virta taas synnyttää uuden magneettikentän. Lenzin lain mukaan uuden ns. indusoituneen magneettikentän suunta on sellainen, että pyrkii vastustamaan alkuperäistä muutosta. Ajassa dt muodostuva indusoitu jännite saadaan yhtälöstä: V = dφ/ dt (10)
12 12 jossa miinusmerkkiin sisältyy Lenzin laki. Vuon muutos voi johtua siitä, että silmukka tai sen osat liikkuvat tai B:n aikariippuvuudesta. 1.2 Materian magneettisista ominaisuuksista Tietyt aineet, esim. rautakappale, magnetoituvat, kun niihin kohdistuu ulkoinen magneettikenttä, ns. magnetoiva kenttä H (jota ei tule sekottaa magneettivuon tiheyden horisontaalikomponenttiin). Magneettivuon tiheys, jonka ko. kappale aiheuttaa on B = µ o (H + M), (11) missä M on magnetoituma. H:n laatu on A/m 2. Aineille, joille magnetoituminen on pieni, on M = kh (11') missä k on aineen suskeptibiliteetti ja siis magnetoituma on suoraan verrannollinen ulkoiseen kenttään H. Yhdistämällä tulokset (11) ja (11'), saadaan B = µ o (H + kh) = µ o (1 + k)h = µh, jossa µ = µ o (1 + k) = µ o µ r µ on aineen magneettinen permeabiliteetti. Magnetoituma M voidaan jakaa kahteen osaan: pysyvään (remanenssi) ja indusoituneeseen, joka muuttuu ulkoisen kentän vaihdellessa.
13 13 Aineet voidaan magneettisuutensa suhteen jaotella kolmen pääryhmään riippuen suskeptibiliteettikertoimen k arvosta: diamagneettiset aineet (k < 0; µ r < 1) paramagneettiset aineet (k > 0; µ r > 1) ferromagneettiset aineet (k >> 0; µ r >>1) Diamagnetismia on periaatteessa kaikilla aineilla, koska se johtuu ulkoisen magneettikentän aiheuttamasta ko. aineen elektronien rataliikkeen muutoksesta. Diamagneettinen aine heikentää ulkoista kenttää. Tyypillisiä diamagneettisia aineita ovat esim. kvartsi, grafiitti, hopea ja sinkki sekä monet suolat. Ilmiö on heikko, tyypillinen k diam Paramagnetismi on myös aineen elektronirakenteeseen liittyvä ilmiö. Se esiintyy aineilla, joissa on pariton määrä elektroneja niin, että elektroneihin liittyvät alkeismagneetit (ns. spin) eivät kumoa toisiaan, vaan ulkoisen kentän vaikutuksesta aine magnetoituu kentän suuntaiseksi vahvistaen sitä. Ilmiö on hieman voimakkaampi kuin diamagnetismi, jonka vaikutus peittyy paramagnetismin alle. Tyypillinen k param Kun ulkoinen kenttä poistetaan, aineen paramagneettisuus katoaa ja atomien lämpöliike pian sekoittaa alkeismagneettien suuntauksen satunnaiseksi. Paramagneettisia aineita ovat mm. kromi, platina ja alumiini. Ferromagnetismi on kahden edellisen ryhmän erikoistapaus. Se vahvistaa ulkoista kenttää voimakkaasti. Ilmiö johtuu aineen kiderakenteesta siten, että ferromagneettisen aineen atomien alkeismagneetit ovat sisäisen vuorovaikutusvoiman vaikutuksesta kytketty samansuuntaisiksi makroskooppisen laajalla alueella. Kytkentä säilyy, vaikka ulkoinen kenttä poistetaan ja aine jää silloin kestomagneetiksi. Tyypillisiä ferromagneettisia aineita ovat rauta, nikkeli ja koboltti. Ferromagneettisella aineella suskeptibiliteetti voi vaihdella laajoissa rajoissa välillä ja vielä niin, että se on ulkoisen kentän funktio. Lämpötilan kohotessa yli tietyn lämpötilan (ns. Curie-piste) lämpöliike rikkoo atomien välisen vuorovaikutuksen, jolloin alkeismagneettien koherentti
14 14 suuntaus katoaa ja aine muuttuu paramagneettiseksi. Raudalla Curie-piste on 770 C Magneettikentän mittaamisesta Vanhin tyyppi magneettikentän mittauslaitteita ovat erilaiset mekaaniset magnetometrit, joissa mittaus perustuu suoraan Maan kentän magneettineulaan kohdistamaan voimaan tai vääntömomenttiin. Ensimmäinen tällainen mittausmenetelmä oli Gaussin kehittämä laite horisontaalikomponentin määrittämiseksi vuodelta Seuraavassa Gaussin menetelmän periaatteet lyhyesti (kts. myös oheinen kuvio). Mittaus on kaksivaiheinen. Ensin magneetti ripustetaan langan varaan ja mitataan sen heilahdusaika T. Se riippuu magneettikentästä ja magneetin voimakkuudesta (ns. dipolimomentti, M) siten, että T = 2π(K/MH) 1/2 (12) missä K on heilahtelevan magneetin hitausmomentti, joka voidaan laskea magneetin massasta ja dimensioista. Tuntemattomaksi jää tulo MH, joten kenttävoimakkuutta ei voida määrätä pelkillä heilahdushavainnoilla. Kylläkin eri kenttien suhteelliset voimakkuudet saadaan selville heilahdusaikojen suhdeluvuista.
15 15 MAGNEETTIKENTTÄ JA HEILAHDUSAIKA Heilurin heilahdusaika (T), kun pistemäinen massapiste (m) heilahtelee l-pituisen langan varassa vertikaalitasossa T = 2!! l g missä g on painovoiman kiihtyvyys. Jos heilahteleva massa on magnetoitunut ja sillä on pistemäisyydestä poikkeavat dimensiot, on (horisontaalitasossa) heilahdahdusaika magneettikentän (H) vallitessa: T = 2!! K MH missä K on heilahduskappaleen hitausmomentti (riippuu massasta ja massajakauman geometriasta) ja M magneetin magneettinen momentti. Tähän perustuu alkeellinen Maan magneettikentän mittalaite, joka antaa magneettikentän (H) suhteelliset arvot eri paikoissa mitattuna: H 1 H = T 2 2! 2 T 1 2 missä alaindeksit (1, 2) tarkoittavat tietyssä paikassa vallitsevia heilahdusajan ja magneettikentän arvoja. Esimerkkinä voi todeta sen, että magneetin heilahdusaika pienenee tekijällä "2 H:n kasvaessa paikasta 1 paikkaan 2 kaksinkertaiseksi (esim. Helsingistä päiväntasaajalle). H.N-a Tarvitaan siis vielä toinen mittaus. Siinä magneetilla A poikkeutetaan toista magneettia B siten, että A sijoitetaan kiskolle tunnetun etäisyyden (r) päähän B:stä ja sitä vastaan kohtisuoraan. Magneetti B:n suuntakulman muutos A:sta johtuen on α, joka saadaan yhtälöstä
16 16 Gaussin menetelmässä magneetilla (1) poikkeutetaan pientä magneettia (2), jonka poikkeutuskulma (α) mitataan teodoliitin kaukoputkella asteikolta. sin α = (µo/4π) 2M/Hr 3 (13) jossa siis suureet α ja r (on magneettien 1 ja 2 välinen etäisyys) on mitattavissa. Tulokseksi saadaan suhde M/H. Heilahdushavainnoista lasketusta tulosta MH ja poikkeutushavainnoista saadusta suhteesta M/H voidaan ratkaista sekä magneettikenttä H että magneetin dipolimomentti M. Gaussin menetelmä on varsin työläs ja hidas suorittaa ja lisäksi tarvitaan koko joukko erilaisia korjaustekijöitä (mm. lämpötila). Parhaimmissa tapauksissa voidaan yltää n. 5 nt tarkkuuteen. Mittauksen suorittaminen kokeneelta havaitsijalta vie noin puoli tuntia. Esimerkkinä modernista magnetometrista esitellään magneettivuon tiheyden skalaarikomponenttia mittaava protonimagnetometri. Muita laajassa käytössä olevia magnetometerejä ovat flux-gate ja absorptiomagnetometri. Vuonna 1953 amerikkalaiset Varian ja Packard keksivät uuden, ydinfysikaaliseen protonien prekessioilmiöön perustuvan magnetometrin, jonka toimintaperiaate on seuraava. Nestesäiliössä, joka sisältää paramagneettista vettä tai alkoholia, protonien alkeismagneetit (spin) ovat asettuneet maan kentän suuntaan (kts. oheinen kuvio). Nesteellä on siten pieni magneettinen
17 17 dipolimomentti maan kentän suuntaan (kuvassa vaihe a). Jos nyt aikaansaadaan nestesäiliön ympärille asetulla induktiokelalla voimakas lisäkenttä B p (vaihe b), esim 50 kertaa maan kenttä B ja sitä vastaan kohtisuorassa, protonien alkeismagneetit kääntyvät tähän suuntaan. Kun ulkoinen kenttä äkillisesti poistetaan, alkeismagneetit palaavat alkuperäiseen suuntaansa, mutta tehden ensin hyrrä- eli prekessioliikettä maan kenttävektorin B ympärillä (vaihe d). Prekessioliikkeen kulmataajuus ω on verrannollinen kenttään B ω = γb, (14) jossa γ on luonnonvakio, protonin gyromagneettinen suhdeluku. Protonien prekessioliike synnyttää induktiokelaan vaihtojännitteen, jonka taajuus on sama ω ja voidaan helposti mitata. Näin kenttä B voidaan laskea taajuuden ω = 2πf avulla B = 2πf/γ = gf, (14') jossa g = nt/hz. Mittaus palautuu siis tarkaksi taajuuden mittaukseksi. Nykyaikaisilla protonimagnetometreillä päästään helposti 0.1 nt tarkkuuteen, joten edistys Gaussin menetelmään on melkoinen. Mittausteknisesti
18 18 protonimagnetometrin operointi on ns. napin painamista, kun taas Gaussin menetelmän hallitseminen vaatii pitkällistä harjaannusta magneettisen teodoliitin käyttöön. Gaussin laite on tänä päivänä historiallinen kurioisiteetti. Protonimagnetometrilla voidaan mitata suoraan kenttävektorin horisontaali- ja vertikaalikomponentti, jos anturipullo sijoitetaan kahden toisiaan kohtisuorassa olevan ison induktiokelan keskelle, joilla vuoronperään kompensoidaan osa magneettikentästä. Tällaista laitetta kutsutaan vektoriprotonimagnetometriksi.
19 Flux-gate magnetometri 19!V mitattava jännite syöttövaihtojännite f ferriittisauva Ho mitattava magn.kenttä kela kela Oikeanpuolisesta kelasta syötetään vaihtojännite (kulmataajuudella f) ferriittisauvaan. Sinimäisesti muuttuva magneettikenttä ferriittisauvassa synnyttää vasemman puoleiseen kelaan vaihtojännitteen (!V), joka on!v = CHo 2 sin(2ft), missä Ho on mitattava ulkoinen magneettikenttä ja C kojevakio. Flux-gate magnetometri antaa siis ferriittisauvan suuntaisen magneettikenttäkomponentin vuontiheyden jatkuvasti ajan (t) suhteen
20 20 Nurmijärven observatoriossa käytössä oleva magneettinen teodoliitti suunnan (D ja I) määrityksiä varten. Flux-sensori on läpinäkyvässä kotelossa kaukoputken päällä. 2. Dipolin aiheuttama magneettikenttä Yksinkertaisin magneettikenttä on dipolikenttä, jollainen syntyy sauvamagneetin ympärille, kun ollaan riittävän kaukana magneetista. Magnetismissa sähköistä alkeisvarausta (q) vastaa napavoimakkuus. Seuraavalla sivulla olevan kuvan mukaan dipolikentän kenttäviivat ovat sulkeutuvia käyriä, jotka lähtevät magneetin N-kohtiosta ja päättyvät sen S-kohtioon."Magneettiset alkeisvaraukset" m esiintyvät aina pareittain + ja -, yksittäisiä magneettisia alkeisvarauksia (monopoleja) ei tunneta. Maan pyörimisakselin suuntaisen maapallon keskipisteeseen sijoitetun dipolin aiheuttama magneettikenttä maanpinnalla saadaan lausekkeista:
21 21 Z = 2(µ o /4π)mR -3 cosθ = 2(µ o /4π)mR -3 sinφ H = (µ o /4π)mR -3 sinθ = (µ o /4π)mR -3 cosφ (2.1) B= (µ o /4π)mR -3 (1 + 3 cos 2 θ ) 1/2 = (µ o /4π)mR -3 (4-3 sin 2 φ) 1/2 missä θ on kolatitudi (napakulma), joka lasketaan pohjoisnavalta (= 0 ) päiväntasaajan (= 90 ) kautta etelänavalle (= 180 ), φ on maantieteellinen leveysaste siten, että φ = 90 θ. m on dipolimomentti, joka kuvaa magneetin voimakkuutta. Sen laatu on Am 2. Magneettikenttävektorin B inklinaatio I on tan I = Z/H = 2 cotθ = 2 tanφ (2.2) MAAPALLON DIPOLIKENTTÄ Pohj.napa H B Z Päiväntasaaja m S "! R N +m Etelänapa Kuva 2.1 Maapallon dipolikenttä, jossa kentän aiheuttava dipoli on suunnistettu Maan pyörimisakselin suuntaiseksi pohjoisnavalta etelänavalle
22 22 josta havaitaan, että inklinaatio ei lainkaan riipu dipolin voimakkuudesta eikä etäisyydesta R, vaan ainoastaan napakulmasta θ tai leveysasteesta φ. Ilmeistä on, että deklinaatio on kaikkialla = 0, koska dipolinavat ja maapallon pyörimisnavat yhtyvät. Jos tarkastelupiste on navalla, joko pohjoisnavalla tai etelänavalla, yhtälöistä 2.1 ja 2.2 nähdään, että H = 0; B = Z = ± 2(µ o /4π)mR -3 ; I = ±90 (2.3) missä + liittyy maantieteelliseen pohjoisnapaan ja etelänapaan. Eli navoilla magneettikenttä on pystysuorassa, mutta vastakkaissuuntainen maanpinnan suhteen. Jos taas tarkastellaan kenttää päiväntasaajalla, on voimassa Z = 0; B = H = (µ o /4π)mR -3 ; I = 0 (2.3') eli magneettikenttä on nyt vaakasuorassa. Magneettivuon tiheyksien suhteelle navoilla ja päiväntasaajalla on B(θ = 0, 180 ) /B(θ = 90 ) = 2 (2.4) eli dipolikentän vuontiheys on navoilla kaksi kertaa niin voimakas kuin päiväntasaajalla. Jos magneettikenttätarkasteluissa rajoitutaan vakioetäisyydelle maan säteen (R = 6372 km) etäisyydelle keskipisteestä, on tietyllä ajanhetkellä lauseke M = (µ o /4π)mR -3 (2.5) vakio. Sen lukuarvo vuodesta 1980 lähtien on ollut M(t = ) = 30.0 µt
23 23 M(t = ) = 29.8 µt M(t = ) = 29.6 µt eli muutos johtuu dipolimomentin m aikariippuvuudesta. Dipolikentän voimakkuus siis pienenee n. 1 /v eli n. 20 nt vuodessa. Huomioimalla 2.5, saadaan dipolikentälle pallomaiseksi oletetun maapallon pinnalla seuraavat yksinkertaiset lausekkeet: Z = 2Mcosθ = 2Msinφ H = Msinθ = Mcosφ (2.6) B= M(1 + 3 cos 2 θ ) 1/2 = M(4-3 sin 2 φ) 1/2 Käytännössä voidaan maanpinnalla (tai jonkin muun taivaankappaleen) tehdyistä mittauksista laskea suure M ja sitä kautta magneettikentän dipolimomentti. Helposti nähdään yhtälöistä 2.6 (johda tämä), että M = [H 2 + (1/4)Z 2 ] 1/2 (2.7) Tehtävä 2.1. Laske maan dipolimomentti, kun tietyssä paikassa H = 15 µt ja Z = 49 µt. Tehtävä 2.2. Osoita, että dipolikentälle pätee B= M(4 3 sin 2 θ ) 1/2 Tehtävä 2.3. Millä leveysasteella dipolikentässä H = Z? Tässä kuvattua maapallon magneetikentän dipolimallia kutsutaan aksiaaliseksi dipolikentäksi (Axial Geomagnetic Dipole Field, AGDF). Magneettikenttämittaukset eri puolilla maapalloa ovat osoittaneet, että dipolikenttä sopii havaintoihin paremmin, jos dipolia kallistetaan niin, että sen
24 24 pyrstöpuoli kääntyy n. 11 Grönlannin luoteisrannikon suuntaan likimain meridiaanin 290 kohdalla Kuvan 2.2 osoittamalla tavalla. Kuvan 2.2. esittämässä tilanteessa magneettikenttä saadaan seuraavista lausekkeista, jotka vastaavat yhtälöitä 2.1: H = M sinθ Z = 2M cosθ (2.8) missä Θ on napakulma laskettuna dipolinavasta. Kulmaa 90 Θ sanotaan geomagneettiseksi leveyasteeksi. Tässä tapauksessa dipolikentän deklinaatio 0, koska magneettinen ja maantieteellinen napa on eri paikassa. MAAPALLON DIPOLIKENTTÄ Kallistettu dipoli Pohj.napa Geomagn.pohjnapa H Päiväntasaaja!# S "! B R Z N Geomagn.etelänapa Etelänapa
25 25 Kuva 2.2. Maan dipolikenttä, ns. kallistetun dipolin tapaus, jossa dipolin suunta poikkeaa n. 11 maan pyörimisakselin suunnasta. Kallistetun dipolin määräämän suoran ja maanpinnan leikkauspiste on dipolinapa (tai geomagneettinen napa, engl. dipole pole or geomagnetic pole). Puhutaan pohjoisesta dipolinavasta, kun se sijaitsee pohjoisella pallonpuoliskolla, vaikka itse dipolissa kyseessä on S-kohtio. Vuodesta 1980 lähtien pohjoinen dipolinapa on ollut paikassa: t = φ = 78.8 N; λ = E t = φ = 79.1 N; λ = E t = φ = 79.5 N; λ = E mistä nähdään, että dipoli on liikkeessä: se kiertyy vuosittain länteenpäin keskimäärin 0.05 ja kääntyy lähemmäs pyörimisakselin suuntaa 0.04 nopeudella Pituusaste ( E) Maapallon dipolinavan paikkakoordinaatit pohjoisella pallonpuoliskolla Leveysaste ( N) Maapallon dipolinavan liike pohjoisella pallonpuoliskolla
26 26 Dipole field on the Equator (nt) x Dipole moment (Am 2 ) Year Kallistettu dipoli (inclined dipole) kuvaa koko maapallon magneettikentästä n. 80 %, mutta tietyllä alueella magneettikentän arvot saattavat poiketa suurestikin dipolikentän ennustamista lukemista. Seuraava esimerkki on Nurmijärven magneettisesta observatoriosta. Allaoleva taulukko osoittaa kallistetun dipolin ja aksiaalisen dipolin avulla lasketut kentän arvot (X, Y, Z ja D komponentit) verrattuna paikan päällä mitattuihin. Taulukko 2.1. Dipolikenttä verrattuna Nurmijärvellä (v. 1980) mitattuihin magneettikentän arvoihin Nurmijärvi (θ = ; λ = E) X Y Z D Lähde nt 0 nt nt 0 Aks.dip Kall.dip Havaittu Taulukosta havaitaan heti, että kallistetun dipolin tapauksessa deklinaatio ja itäkomponentti poikkeavat merkittävästi havaituista arvoista. Y:n osalta ero on n nt. Muissa komponenteissa se on pienempi. Johtopäätös on siis: Suomessa (pätee yleensä Skandinaviassakin) magneettikentän deklinaatio on anomaalinen ja poikkeaa (kallistetun) dipolin ennustamasta suunnasta tyypillisesti n. 25 astetta itäänpäin. Kuva 2.3 havainnollistaa tilannetta horisontaalivektorin osalta.
27 27 Kuvan 2.3 mukaan havaittu horisontaalikomponentti (H) koostuu kahden vektorin summasta: dipolikentän osuudesta (H d ) ja jäännös(anomalia)- komponentista (H a ) siten, että H = H d + H a (2.9) Anomaliakomponentti syntyy samassa lähdealueessa kuin dipolikenttäkin, siis maapallon nesteytimessä, mutta sellaisten virtajärjestelmien tuotta- Hd Pohj.suunta (X) H D H = H d + H a ; H a = H - H d H a 2 = H d 2 + H 2-2H d H H a = H d 2 + H 2-2H d Hcos(! + D) cos(! a ) = H 2 + H a 2 - H d 2 2HH a!!a Itäsuunta (Y) Ha Kuva 2.3. Horisontaalikenttä Suomessa keskimäärin. Havaittu kentän (H) suunta poikkeaa paljon dipolikentän (Hd) ennustamasta suunnasta, mikä johtuu anomaalisesta häiriökentästä (Ha), joka kääntää kompassineulat pois dipolinavan suunnasta.
28 28 Liite: Dipoliyhtälön johto Kuvassa yllä +p ja -p ovat magneettisia "alkeisvarauksia", napoja (-p = S; +p = N) etäisyydellä 2d toisistaan. Tarkastelupisteessä r paikkavektori tekee kulman Φ katkoviivalla merkityn vaaka-akselin kanssa. Kahden navan systeemin magneettinen potentiaali on osapotentiaalien summa: V = µ op 4! ( 1 r + 1 r ) = µ op 4! (r r + r + r )
29 29 Jos r >> 2d on voimassa likimäärin r +! r d sin " r! r + d sin "!' "! jolloin etäisyyksien erotus ja tulo ovat: r r +! d (sin " + sin "') = 2d sin " r + r! r 2 d 2 sin 2 "! r 2 Sijoittamalla nämä potentiaalin lausekkeeseen saadaan: V = µ o 4! (2dp) r 2 = µ o 4! m sin " r 2 missä tulo 2dp = m on dipolimomentti Magneettisesta potentiaalista saadaan derivoimalla H (= B Φ ) ja Z (= -B r ): H = dv/rdφ = (µ o /4π)mr -3 cos Φ Z = -dv/dr = 2(µ o /4π)mr -3 sin Φ
1. YLEISTÄ MAGNETISMISTA
1 1. YLEISTÄ MAGNETISMISTA Magneetin aiheuttama vetovoima on ollut tunnettu jo vuosituhansia. Jo kreikkalainen filosofi Thales (n. 600 ekr) tiesi, että tietyillä rautamalmeilla on kyky vetää puoleensa
LisätiedotRATKAISUT: 19. Magneettikenttä
Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee
LisätiedotFysiikka 7. Sähkömagnetismi
Fysiikka 7 Sähkömagnetismi Magneetti Aineen magneettiset ominaisuudet ovat seurausta atomiydintä kiertävistä elektroneista (ytimen kiertäminen ja spin). Magneettinen vuorovaikutus Etävuorovaikutus Magneetilla
Lisätiedot1.1 Magneettinen vuorovaikutus
1.1 Magneettinen vuorovaikutus Magneettien välillä on niiden asennosta riippuen veto-, hylkimis- ja vääntövaikutuksia. Magneettinen vuorovaikutus on etävuorovaikutus Magneeti pohjoiseen kääntyvää päätä
LisätiedotMagneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän
3. MAGNEETTIKENTTÄ Magneettikenttä Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän Havaittuja magneettisia perusilmiöitä: Riippumatta magneetin muodosta, sillä on aina
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi
Sähköstatiikka ja magnetismi Johdatus magnetismiin Antti Haarto 19.11.2012 Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän
LisätiedotFYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ
FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ MIKKO LAINE 2. kesäkuuta 2015 1. Johdanto Tässä työssä määritämme Maan magneettikentän komponentit, laskemme totaalikentän voimakkuuden ja monitoroimme magnetometrin
LisätiedotMagneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi
Magneettikentät Haarto & Karhunen Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän Magneettikenttä aiheuttaa voiman liikkuvaan
LisätiedotAiheena tänään. Virtasilmukka magneettikentässä Sähkömagneettinen induktio. Vaihtovirtageneraattorin toimintaperiaate Itseinduktio
Sähkömagnetismi 2 Aiheena tänään Virtasilmukka magneettikentässä Sähkömagneettinen induktio Vaihtovirtageneraattorin toimintaperiaate Itseinduktio Käämiin vaikuttava momentti Magneettikentässä olevaan
Lisätiedot8a. Kestomagneetti, magneettikenttä
Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI 8. Kestomagneetti, magneettikenttä (molemmat mopit) Tarmo Partanen 8a. Kestomagneetti, magneettikenttä Tee aluksi testi eli ympyröi alla olevista kysymyksistä 1-8 oikeaksi arvaamasi
LisätiedotLuku 27. Tavoiteet Määrittää magneettikentän aiheuttama voima o varattuun hiukkaseen o virtajohtimeen o virtasilmukkaan
Luku 27 Magnetismi Mikä aiheuttaa magneettikentän? Magneettivuon tiheys Virtajohtimeen ja varattuun hiukkaseen vaikuttava voima magneettikentässä Magneettinen dipoli Hallin ilmiö Luku 27 Tavoiteet Määrittää
LisätiedotHarjoitustehtäviä kokeeseen: Sähköoppi ja magnetismi
Harjoitustehtäviä kokeeseen: Sähköoppi ja magnetismi 3. Selitä: a. Suljettu virtapiiri Suljettu virtapiiri on sähkövirran reitti, jonka muodostavat johdot, paristot ja komponentit. Suljetussa virtapiirissä
LisätiedotJakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen
Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0
Lisätiedota) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.
Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi
LisätiedotTÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA
TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022
LisätiedotKuva 8.1 Suoran virrallisen johtimen magneettikenttä (A on tarkastelupiste). /1/
8 SÄHKÖMAGNETISMI 8.1 Yleistä Magneettisuus on eräs luonnon ilmiö, joka on tunnettu jo kauan, ja varmasti jokaisella on omia kokemuksia magneeteista ja magneettisuudesta. Uudempi havainto (1820, Christian
LisätiedotMagneettikenttä väliaineessa
Luku 6 Magneettikenttä väliaineessa 6.1 Magnetoituma Edellä rajoituttiin magneettikentän määrittämiseen magneettisilta ominaisuuksiltaan tyhjönkaltaisessa väliaineessa. Aineen mikroskooppinen rakenne aiheuttaa
LisätiedotMagnetismi Mitä tiedämme magnetismista?
Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? 1. Magneettista monopolia ei ole. 2. Sähkövirta aiheuttaa magneettikentän. 3. Magneettikenttä kohdistaa voiman johtimeen, jossa kulkee sähkövirta. Magnetismi Miten
Lisätiedot34.2 Ulkoisen magneettikentän vaikutus ferromagneettiseen aineeseen
34 FERROMAGNETISMI 34.1 Johdanto Jaksollisen järjestelmän transitiometalleilla on täyden valenssielektronikuoren (s-kuori) alapuolella vajaa d-elektronikuori. Tästä seuraa, että transitiometalliatomeilla
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä
Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto.5.13 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä
LisätiedotSähköoppi. Sähköiset ja magneettiset vuorovaikutukset sekä sähkö energiansiirtokeinona.
Sähköoppi Sähköiset ja magneettiset vuorovaikutukset sekä sähkö energiansiirtokeinona. Sähkövaraus Pienintä sähkövarausta kutsutaan alkeisvaraukseksi. Elektronin varaus negatiivinen ja yhden alkeisvarauksen
Lisätiedottyhjönkaltaisessa väliaineessa. Aineen mikroskooppinen rakenne aiheuttaa todellisuudessa kullekin atomille ominaisen magneettisen dipolimomentin
Luku 6 Magneettikenttä väliaineessa 6.1 Magnetoituma Edellä rajoituttiin magneettikentän määrittämiseen magneettisilta ominaisuuksiltaan tyhjönkaltaisessa väliaineessa. Aineen mikroskooppinen rakenne aiheuttaa
LisätiedotMagnetismi Mitä tiedämme magnetismista?
Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? 1. Magneettista monopolia ei ole. 2. Sähkövirta aiheuttaa magneettikentän. 3. Magneettikenttä kohdistaa voiman johtimeen, jossa kulkee sähkövirta. Magnetismi Miten
LisätiedotFYSP1082 / K4 HELMHOLTZIN KELAT
FYSP1082 / K4 HELMHOLTZIN KELAT Johdanto Työssä mitataan ympyränmuotoisten johdinkelojen tuottamaa magneettikenttää kelojen läheisyydessä sekä sähkövirran että etäisyyden funktiona. Sähkömagnetismia ja
LisätiedotMagneettikenttä väliaineessa
Luku 6 Magneettikenttä väliaineessa 6.1 Magnetoituma Edellä rajoituttiin magneettikentän määrittämiseen magneettisilta ominaisuuksiltaan tyhjönkaltaisessa väliaineessa. Aineen mikroskooppinen rakenne aiheuttaa
LisätiedotFysiikka 1. Coulombin laki ja sähkökenttä. Antti Haarto
ysiikka 1 Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto 7.1.1 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä voi syntyä
LisätiedotMagneettikenttä ja sähkökenttä
Magneettikenttä ja sähkökenttä Gaussin laki sähkökentälle suljettu pinta Ampèren laki suljettu käyrä Coulombin laki Biot-Savartin laki Biot-Savartin laki: Onko virtajohdin entisensä? on aina kuvan tasoon
LisätiedotKESTOMAGNEETTI VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Jani Vitikka p87434 Hannu Tiitinen p87432. Dynaaminen kenttäteoria SATE2010
VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jani Vitikka p87434 Hannu Tiitinen p87432 Dynaaminen kenttäteoria SATE2010 KESTOMAGNEETTI Sivumäärä: 10 Jätetty tarkastettavaksi: 16.1.2008 Työn tarkastaja
LisätiedotFERROMAGNEETTISET MATERIAALIT
FERROMAGNEETTISET MATERIAALIT MAGNEETTITEKNOLOGIAKESKUS Harri Kankaanpää DIAMAGNETISMI Vesi, elohopea, kulta, vismutti,... Magneettinen suskeptibiliteetti negatiivinen: 10-9...10-4 (µ r 1) Heikentää/hylkii
Lisätiedoton radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).
H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika
LisätiedotMaapallon magneettisen peruskentän aikavaihtelujen ääriarvoja
Maapallon magneettisen peruskentän aikavaihtelujen ääriarvoja Heikki Nevanlinna Ilmatieteen laitos, Avaruus ja yläilmakehä heikki.nevanlinna@fmi.fi Abstract. A brief review is given about the geomagnetic
LisätiedotPotentiaali ja sähkökenttä: pistevaraus. kun asetetaan V( ) = 0
Potentiaali ja sähkökenttä: pistevaraus kun asetetaan V( ) = 0 Potentiaali ja sähkökenttä: tasaisesti varautut levyt Tiedämme edeltä: sähkökenttä E on vakio A B Huomaa yksiköt: Potentiaalin muutos pituusyksikköä
LisätiedotCoulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q
Coulombin laki Kahden pistemäisen varatun hiukkasen välinen sähköinen voima F on suoraan verrannollinen varausten Q 1 ja Q 2 tuloon ja kääntäen verrannollinen etäisyyden r neliöön F = k Q 1Q 2 r 2, k =
LisätiedotJohdanto. 1 Teoriaa. 1.1 Sähkönjohtimen aiheuttama magneettikenttä
FYSP105 / K2 HELMHOLTZIN KELAT Johdanto Työssä mitataan ympyränmuotoisten johdinkelojen tuottamaa magneettikenttää kelojen läheisyydessä sekä sähkövirran että etäisyyden funtiona. Sähkömagnetismia ja työssä
LisätiedotJ.J. Nervanderin tieteellisistä saavutuksista
Heikki Nevanlinna J.J. Nervanderin tieteellisistä saavutuksista Ilmatieteen laitos on J.J. Nervanderin perustaman magneettinen observatorion jälkeläinen, missä geomagneettinen ja meteorologinen havainto-
LisätiedotMAAN MAGNEETTIKENTÄN IHMEELLISYYKSIÄ: NAPAISUUSKÄÄNNÖKSET
MAAN MAGNEETTIKENTÄN IHMEELLISYYKSIÄ: NAPAISUUSKÄÄNNÖKSET Heikki Nevanlinna, Geofysiikan dos. (Ilmatieteen laitos, eläk.) URSA 9.4.2013 ESITELMÄKALVOT: Tämän esitelmän PowerPoint-kalvot on saatavilla ja
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio
Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio Antti Haarto.05.013 Magneettivuo Magneettivuo Φ on magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alavektorin A pistetulo Φ B A BAcosθ missä θ on
LisätiedotSATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV
SATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV Faradayn laki E B t Muuttuva magneettivuon tiheys B aiheuttaa ympärilleen sähkökentän E pyörteen. Sähkökentän
LisätiedotMenetelmäohjeet. Muuttuvan magneettikentän tutkiminen
Kannuksen lukio Maastossa ja mediahuoneessa hanke Fysiikan tutkimus Muuttuvan magneettikentän tutkiminen Menetelmäohjeet Muuttuvan magneettikentän tutkiminen Työn tarkoitus Opiskelijoille magneettikenttä
LisätiedotRAPORTTEJA RAPPORTER REPORTS 2009:1 GEOMAGNETISMIN ABC-KIRJA
RAPORTTEJA RAPPORTER REPORTS 2009:1 GEOMAGNETISMIN ABC-KIRJA Heikki Nevanlinna RAPORTTEJA RAPPORTER REPORTS 2009:1 GEOMAGNETISMIN ABC-KIRJA Heikki Nevanlinna Ilmatieteen laitos Meteorologiska Institutet
LisätiedotSähkömagneettinen induktio
Sähkömagneettinen induktio Vuonna 1831 Michael Faraday huomasi jotakin, joka muuttaisi maailmaa: sähkömagneettisen induktion. ( Magneto-electricity ) M. Faraday (1791-1867) M.Faraday: Experimental researches
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
Lisätiedot33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ
TYÖOHJE 14.7.2010 JMK, TSU 33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ Laitteisto: Kuva 1. Kytkentä solenoidin ja toroidin magneettikenttien mittausta varten. Käytä samaa digitaalista jännitemittaria molempien
Lisätiedot4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO
4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO Magneettivuo Magneettivuo Φ määritellään vastaavalla tavalla kuin sähkövuo Ψ Magneettivuo Φ on magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alan A pistetulo Φ= B A= BAcosθ
LisätiedotSÄHKÖ KÄSITTEENÄ. Yleisnimitys suurelle joukolle ilmiöitä ja käsitteitä:
FY6 SÄHKÖ Tavoitteet Kurssin tavoitteena on, että opiskelija ymmärtää sähköön liittyviä peruskäsitteitä, tutustuu mittaustekniikkaan osaa tehdä sähköopin perusmittauksia sekä rakentaa ja tutkia yksinkertaisia
Lisätiedot- Kahden suoran johtimen välinen magneettinen vuorovaikutus I 1 I 2 I 1 I 2. F= l (Ampèren laki, MAOL s. 124(119) Ampeerin määritelmä (MAOL s.
7. KSS: Sähkömagnetismi (FOTON 7: PÄÄKOHDAT). MAGNETSM Magneettiset vuoovaikutukset, Magneettikenttä B = magneettivuon tiheys (yksikkö: T = Vs/m ), MAO s. 67, Fm (magneettikenttää kuvaava vektoisuue; itseisavona
LisätiedotAineen magneettinen luonne mpötilan vaikutus magnetoitumaan
Aineen magneettinen luonne ja lämpl mpötilan vaikutus magnetoitumaan Jaana Knuuti-Lehtinen 3.4.2009 2.4.20092009 1 Johdanto Magnetoitumisilmiö Mistä johtuu? Mitä magnetoitumisessa tapahtuu? Magneettiset
LisätiedotSMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän
LisätiedotSATE2180 Kenttäteorian perusteet Induktanssi ja magneettipiirit Sähkötekniikka/MV
SATE2180 Kenttäteorian perusteet nduktanssi ja magneettipiirit Sähkötekniikka/MV nduktanssin määrittäminen Virta kulkee johtimessa, jonka poikkipinta on S a J S a d S A H F S b Virta aiheuttaa magneettikentän
LisätiedotYleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.
Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus
LisätiedotHARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE
HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE Harmoninen voima on voima, jonka suuruus on suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta
LisätiedotTietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan
3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden
LisätiedotMikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset
Lisätiedottyhjiönkaltaisessa väliaineessa. Aineen mikroskooppinen rakenne aiheuttaa todellisuudessa kullekin atomille ominaisen magneettisen dipolimomentin
Luku 6 Magneettikenttä väliaineessa 6.1 Magnetoituma Edellä rajoituttiin magneettikentän määrittämiseen magneettisilta ominaisuuksiltaan tyhjiönkaltaisessa väliaineessa. Aineen mikroskooppinen rakenne
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA
VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jussi Sievänen, n86640 Tuomas Yli-Rahnasto, n85769 Markku Taikina-aho, n85766 SATE.2010 Dynaaminen Kenttäteoria ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA
LisätiedotSähkövirran määrittelylausekkeesta
VRTAPRLASKUT kysyttyjä suureita ovat mm. virrat, potentiaalit, jännitteet, resistanssit, energian- ja tehonkulutus virtapiirin teho lasketaan Joulen laista: P = R 2 sovelletaan Kirchhoffin sääntöjä tuntemattomien
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän
LisätiedotSATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 5 Laskuharjoitus 14: Indusoitunut sähkömotorinen voima ja kertausta magneettikentistä
ATE112 taattinen kenttäteoria kevät 217 1 / 5 Tehtävä 1. Alla esitetyn kuvan mukaisesti y-akselin suuntainen sauvajohdin yhdistää -akselin suuntaiset johteet (y = ja y =,5 m). a) Määritä indusoitunut jännite,
LisätiedotKapasitiivinen ja induktiivinen kytkeytyminen
Kapasitiivinen ja induktiivinen kytkeytyminen EMC - Kaapelointi ja kytkeytyminen Kaapelointi merkittävä EMC-ominaisuuksien kannalta yleensä pituudeltaan suurin elektroniikan osa > toimii helposti antennina
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 76633A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 3 5-3 Kuorimalli Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 011 Kuva 7-13 esittää, miten parillis-parillisten ydinten ensimmäisen
Lisätiedot1. Tasavirta. Virtapiirin komponenttien piirrosmerkit. Virtapiiriä havainnollistetaan kytkentäkaaviolla
Fy3: Sähkö 1. Tasavirta Virtapiirin komponenttien piirrosmerkit Virtapiiriä havainnollistetaan kytkentäkaaviolla Sähkövirta I Sähkövirran suunta on valittu jännitelähteen plusnavasta miinusnapaan (elektronit
LisätiedotJakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina
Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina 31.5.2012. T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä.
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
Lisätiedot766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN
766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN Laske nämä tehtävät, jos koet, että sinulla on aukkoja Soveltavan sähkömagnetiikan perusasioiden hallinnassa. Älä välitä tehtävien numeroinnista.
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic
Lisätiedotkipinäpurkauksena, josta salama on esimerkki.
Sähkö 25 Esineet saavat sähkövarauksen hankauksessa kipinäpurkauksena, josta salama on esimerkki. Hankauksessa esineet voivat varautua sähköisesti. Varaukset syntyvät, koska hankauksessa kappaleesta siirtyy
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotLuento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotFy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7
Fy06 Koe 0.5.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 alitse kolme tehtävää. 6p/tehtävä. 1. Mitä mieltä olet seuraavista väitteistä. Perustele lyhyesti ovatko väitteet totta vai tarua. a. irtapiirin hehkulamput
LisätiedotVirrankuljettajat liikkuvat magneettikentässä ja sähkökentässä suoraan, kun F = F eli qv B = qe. Nyt levyn reunojen välinen jännite
TYÖ 4. Magneettikenttämittauksia Johdanto: Hallin ilmiö Ilmiön havaitseminen Yhdysvaltalainen Edwin H. Hall (1855-1938) tutki mm. aineiden sähköjohtavuutta ja löysi menetelmän, jolla hän pystyi mittaamaan
LisätiedotMAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5
LisätiedotKuva 1: Vaihtovirtapiiri, jossa on sarjaan kytkettynä resistanssi, kapasitanssi ja induktanssi
31 VAIHTOVIRTAPIIRI 311 Lineaarisen vaihtovirtapiirin impedanssi ja vaihe-ero Tarkastellaan kuvan 1 mukaista vaihtovirtapiiriä, jossa on resistanssi R, kapasitanssi C ja induktanssi L sarjassa Jännitelähde
LisätiedotMagneettikenttä väliaineessa
Luku 6 Magneettikenttä väliaineessa Tässä luvussa käsitellään magneettikentän ominaisuuksia väliaineessa (RMC luku 9 osittain; CL luku 7 osittain; esitiedot KII luku 4). 6.1 Magnetoituma Edellä rajoituttiin
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
LisätiedotSähkö ja magnetismi 1
Kokeellista fysiikkaa luokanopettajille Ari Hämäläinen kevät 2005 Sähkö ja magnetismi 1 Kestomagneetit Magneetit ovat tuttuja ainakin kaapinovien ja kynäpenaalien salvoista. Jääkaapin oveen kiinnitetään
LisätiedotElektroniikka. Tampereen musiikkiakatemia Elektroniikka Klas Granqvist
Elektroniikka Tampereen musiikkiakatemia Elektroniikka Klas Granqvist Kurssin sisältö Sähköopin perusteet Elektroniikan perusteet Sähköturvallisuus ja lainsäädäntö Elektroniikka musiikkiteknologiassa Suoritustapa
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
Lisätiedot23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen
3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista
LisätiedotL a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5
Tehtävä a) Energia ja rataliikemäärämomentti säilyy. Maa on r = AU päässä auringosta. Mars on auringosta keskimäärin R =, 5AU päässä. Merkitään luotaimen massaa m(vaikka kuten tullaan huomaamaan sitä ei
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 6 Magneettikentän lähteet (YF 28) Liikkuvan
Lisätiedota) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella
Jakso 2. Gaussin laki simerkki 2.1: Positiivinen varaus Q on jakautunut tasaisesti R-säteiseen palloon. Laske sähkökenttä pallon a) ulkopuolella ja b) sisäpuolella etäisyydellä r pallon keskipisteestä.
LisätiedotFysiikan perusteet ja pedagogiikka (kertaus)
Fysiikan perusteet ja pedagogiikka (kertaus) 1) MEKANIIKKA Vuorovaikutus vuorovaikutuksessa kaksi kappaletta vaikuttaa toisiinsa ja vaikutukset havaitaan molemmissa kappaleissa samanaikaisesti lajit: kosketus-/etä-
LisätiedotKOMPASSI. * Magneettisen pohjoissuunan ja maantieteellisen pohjoissuunnan
31 KOMPASSI * Magneettikompassi on laite, jossa vaakatasoon tasapainoitettu magneettineula asettuu likimain pohjois-eteläsuuntaan. Kompassineulan pohjoiskohtion suunta on sama kuin magneettinen pohjoissuunta,
LisätiedotRATKAISUT: 21. Induktio
Physica 9 2. painos 1(6) ATKAISUT ATKAISUT: 21.1 a) Kun magneettienttä muuttuu johdinsilmuan sisällä, johdinsilmuaan indusoituu lähdejännite. Tätä ilmiötä utsutaan indutiosi. b) Lenzin lai: Indutioilmiön
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotSTATIIKKA. TF00BN89 5op
STATIIKKA TF00BN89 5op Sisältö: Statiikan peruslait Voiman resultantti ja jako komponentteihin Voiman momentti ja voimapari Partikkelin ja jäykän kappaleen tasapainoyhtälöt Tukivoimat Ristikot, palkit
LisätiedotVAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI.
VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Oskari Uitto i78966 Lauri Karppi j82095 SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI Sivumäärä: 14 Jätetty tarkastettavaksi: 25.02.2008 Työn
LisätiedotSMG-1100: PIIRIANALYYSI I
SMG-1100: PIIRIANALYYSI I Keskinäisinduktanssi induktiivisesti kytkeytyneet komponentit muuntajan toimintaperiaate T-sijaiskytkentä kytketyn piirin energia KESKINÄISINDUKTANSSI M Faraday: magneettikentän
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
LisätiedotRATKAISUT: 22. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi
Physica 9. painos (0) RATKAST. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi RATKAST:. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi. a) Vaihtovirran tehollinen arvo on yhtä suuri kuin sellaisen tasavirran arvo, joka tuottaa vastuksessa
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän
LisätiedotVAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Jouko Esko n85748 Juho Jaakkola n86633. Dynaaminen Kenttäteoria GENERAATTORI.
VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jouko Esko n85748 Juho Jaakkola n86633 Dynaaminen Kenttäteoria GENERAATTORI Sivumäärä: 10 Jätetty tarkastettavaksi: 06.03.2008 Työn tarkastaja Maarit
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotPAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE
PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.
LisätiedotSähkö ja magnetismi 2
Kokeellista fysiikkaa luokanopettajille Ari Hämäläinen kevät 2005 Sähkö ja magnetismi 2 Sähkövirran magneettinen vaikutus, sähkövirran suunta Tanskalainen H.C. Ørsted teki v. 1820 fysiikan luennolla seuraavanlaisen
LisätiedotKuva 1. Ohmin lain kytkentäkaavio. DC; 0 6 V.
TYÖ 37. OHMIN LAKI Tehtävä Tutkitaan metallijohtimen päiden välille kytketyn jännitteen ja johtimessa kulkevan sähkövirran välistä riippuvuutta. Todennetaan kokeellisesti Ohmin laki. Välineet Tasajännitelähde
Lisätiedot