Perustele vastauksesi hyvin ja selvästi! Esitä riittävästi lähdeviittauksia: mitä tämän kurssin määritelmää, lausetta, esimerkkiä tms. hyödynnät.
|
|
- Anton Karvonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matemaattinen analyysi I Harjoitus 2 / Ratkaisut Tehtävissä yleisohjeistuksena oli: Perustele vastauksesi hyvin ja selvästi! Esitä riittävästi lähdeviittauksia: mitä tämän kurssin määritelmää, lausetta, esimerkkiä tms. hyödynnät. Tehtäväalue ulottuu kohtaan.29 asti. Pisteet: = 80.. (a) Todista induktioperiaatetta käyttäen, että kaikille n N on ( ) n = 2 n. (Osaatko lisäksi piirtää väitteen pätevyyttä havainnollistavan kuvan?) (b) Oletetaan, että ja n N. Todista induktioperiaatetta käyttäen Bernoullin epäyhtälö ( ) ( + ) n + n. Kerro myös, tarvitsitko kaikkia oletuksia! Ole huolellinen! Muista myös esimerkin.9 käytäntö lopusta alkuun. Ratkaisu. (a) Todistus: Induktiotodistuksessa on kaksi vaihetta: Alkutapaus. Kun n =, on ( ):n vasen puoli 2 = 2 ja oikea puoli 2 = 2, joten kaava ( ) pätee arvolle n =. 2 Induktioaskel. Tässä näytetään, että k N: p(k) p(k + ), missä p(k) väittää, että kaava ( ) pätee arvolle k = n. Tyypillisesti sekä muotoa kaikille k että muotoa jos, niin olevat väitteet todistetaan olettamalla jotakin ja osoittamalla sitten jotakin. Tarkemmin sanoen oletetaan toisaalta, että on annettu k (mielivaltainen po. joukosta), ja toisaalta, että implikaation etujäsen on tosi. Induktio-oletus: k N ja kaava ( ) pätee arvolle n = k, ts. (io) k = 2 k. Induktioväite: ( ) pätee myös, kun n = k +, ts. (iv) k+ = 2 k+. Todistus (induktioaskeleen sisäinen): Tässä on teknisesti helppoa muokata induktioväitteen (iv) vasen puoli + ( ) + + = k+ (io) 2 + = k 2 k+ 2 k+ 2 k+ = k+ = + 2 k+ = 2 k+. (iv):n oikeaksi puoleksi, joten induktioaskeleen sisäinen väite (iv) pätee! Koska kumpikin ehdoista ja 2 saatiin todistetuksi, pätee kaava ( ) induktioperiaatteen nojalla kaikille n N.
2 Havainnollistus: Voisimme piirtää janan, pituudeltaan, ja merkitä sille pisteitä kuvaamaan kaavan ( ) oikean puolen summan kehittymistä: ensin pisteen janan puoliväliin ( ), 2 sitten pisteen jäljellä olevan osan puoliväliin ( + = 3), 2 sitten pisteen taas jäljellä olevan osan puoliväliin ( + + = 7) ja niin edelleen. Huomaisimme kuvasta, että jäljellä olevan janan pituus on ensin, 2 sitten, sitten jne. kaavan ( ) mukaisesti tietysti ja kutistuen 8 rajatta kohti nollaa... (b) Todistus: Induktiotodistuksessa on tosiaan kaksi vaihetta: Kun n =, on ( ):n vasen puoli ( + ) = + ja oikea puoli + = +, joten kaava ( ) pätee arvolle n =. 2 Induktio-oletus (IO): k N ja kaava ( ) pätee arvolle n = k, ts. (io) ( + ) k + k. Induktioväite: ( ) pätee myös, kun n = k +, ts. (iv) ( + ) k+ + (k + ). Todistus (induktioaskeleen sisäinen): Sille, että (io) (iv) (kun oletustemme mukaisesti ja k N), voidaan löytää perustelu kääritään hihat -tyylillä ja esittää se jälkiviisaasti -tyylillä. Esitämme molempia. Kääritään hihat : Kaavojen (io) ja (iv) vasemmat puolet ovat hyvin lähellä toisiaan. Kun kerrotaan (io) puolittain lausekkeella (+), joka on oletuksen perusteella epänegatiivinen, saadaan (vrt. lauseen.23 kohta (2)) ( ) ( + ) k+ ( + k)( + ). Saatiin vasen puoli tavoitteen mukaiseksi! [Oikeat puolet yo:ssa ja (iv):ssä luultavasti poikkeavat, ollaanhan todistamassa epäyhtälöä eikä yhtälöä.] Tutkitaan väite-epäyhtälön (iv) vasemman ja oikean puolen erotusta (jonka haluamme näyttää epänegatiiviseksi): ( + ) k+ ( + (k + ) ) ( + k)( + ) ( + (k + ) ) ( ) = + + k + k 2 ( + k + ) = k 2. (Käytimme tietysti lauseen.23 kohtaa ().) Mutta tämä on 0, koska k N ja R, jolloin k > 0 ja 2 0. Siis (iv) pätee. Jälkiviisaasti : Käyttäen lausetta.23.2 (ja lisäystä 0:lla kertomisesta) saadaan, koska + 0, että ( + ) k+ = ( + ) k ( + ) ( + k)( + ) määr. (io) joten (iv) on tosi. = + + k + k k k N (IO) = + (k + ), Tämä tapaus ei ehkä vielä ole niin monimutkainen, etteikö kokemus auttaisi heti kehittämään todistuksen jälkimmäisellä. Edellistä on tärkeää harjoitella miten se kulloinkin toimiikaan. 2
3 Koska kumpikin ehdoista ja 2 saatiin todistetuksi, pätee kaava ( ) induktioperiaatteen nojalla kaikille n N. Käytimme myös oletusta, että. Tämä oletus on voinut joiltakin unohtua, jolloin päättelyssä on virhe, koska epäyhtälön suunta kääntyy kerrottaessa negatiivisella + :lla! Toki käytimme myös oletusta, että n N, vaikkakin väite olisi itse asiassa pätenyt myös tapauksessa n = Osoita induktioperiaatteen avulla luentojen tapaan selvästi perustellen, että kun n N on kyllin suuri, pätee epäyhtälö n 2 < 2 n. Vihje: Alkutapaukseen on hyötyä tehtävästä h/t5 (jossa asiaa tarkasteltiin kokeellisesti). Induktioaskeleessa tarvitset IO:ta kahdesti(!) toisin kuin luentojen esimerkeissä. Valmennusapua saat myös tehtävästä! Ratkaisu. Mainitun tehtävän h/t5 nojalla tiedämme, ettei epäyhtälö päde, kun n =, mutta pätee, kun n = 5, ja luultavasti siitä eteenpäin. Asetamme siksi väitteen (toiveikkaina) seuraavasti: Väite: Kaikille luonnollisille luvuille n 5 pätee epäyhtälö n 2 < 2 n. Todistus: Käytämme huomautuksen.20 mukaista yleistettyä induktioperiaatetta, jossa alkutapaus on n = n 0 Z, valiten n 0 = 5. Todistuksessa on yhä kaksi vaihetta: Selvästi 5 2 = 25 < 32 = 2 5, joten epäyhtälö pätee arvolle n = 5. 2 Induktio-oletus (IO): Oletetaan, että luonnollinen luku k 5 ja että epäyhtälö pätee arvolle n = k eli että k 2 < 2 k. Osoitetaan, että tällöin se pätee myös, kun n = k +. Saadaan: 2 k+ = 2 2 k > 2 k 2 = k 2 + k 2 k 2 + 5k > k 2 + 2k + k määr. IO IO: k 5 k > 0 k 2 + 2k + = (k + ) 2. k (Käytimme kolmasti lausetta.23.2, jossa kertojana oli ensiksi 2 > 0.) Siis IO:sta seurasi, että epäyhtälö n 2 < 2 n pätee myös arvolle n = k+. Nyt yleistetyn induktioperiaatteen nojalla epäyhtälö n 2 < 2 n pätee kaikille luonnollisille luvuille n 5. Huomautus: Katso myös t:n induktioita. Yo. taitaa olla jälkiviisas. 3. (a) Tehtävän h/t5 ratkaisemisen jälkeen tiedetään, että tehtävän h/t.a taulukon alarivi antaa epäyhtälön n 2 < 2 n totuusarvot, kun n 6! Mietitään uudestaan induktion käyttöä huomautuksen.20 mielessä. Mille luvuista n 0,..., 5} olisi tosi alkutapaus, mille induktioaskel? Ratkaisu. Tehtävässä h/t5 saaduista tuloksista (alla) nähdään, että po. yleistetyn induktion alkutapaus n = n 0 on tosi, kun n 0, 5}. (Äskeisen todistuksen nojalla myös, kun n 0 6, 7, 8,... }!) 3
4 p() p(2) p(3) p() p(5) p(6)... t 0 e e e t t Tehtävän h/t5 tulosten (yllä) mukaan induktioaskel p(k) p(k + ) on epätosi, kun k =, mutta tosi, kun k 2, 3,, 5}. Jos vaaditaan, että kaikki induktioaskeleet ovat tosia (kuten pätevässä induktiossa pitää olla), tehtävien h/t5 ja h2/t2 tulosten nojalla näin on kysytyistä tapauksista vain tapauksessa n 0 = 5. [Kokonainen induktiotodistus (sekä alkutapaus että induktioaskeleet ovat tosia) saadaan eo. vastaukset yhdistäen tapauksessa n 0 = 5 ja vain siinä. (Kun po. induktio on h2/t2:ssa suoritettu, voidaan päätellä, että myös tapaukset n 0 = 6, 7, 8,... toimivat.) ] (b) Anna jokaiselle n N esimerkki konkreettisesta väittämästä p(n) niin, että induktiotodistusyrityksessä väitteelle n N: p(n) toimii alkutapaus muttei induktioaskel (ainakaan kaikkialla so. jokaiselle k N)! Vihje: Käytä taulukkoa h/t.a:ssa inspiraatiolähteenä. Ratkaisu. Yllä todetun mukaan väitteeksi p(n) käy jokaiselle n N epäyhtälö n 2 < 2 n. (c) Päin vastoin kuin b-kohdassa, anna väitteet p(), p(2),..., joille toimii induktioaskel (kaikkialla) muttei alkutapaus! Ratkaisu. Asetetaan jokaiselle n N väitteeksi p(n) yhtälö n = 0. Koska kurssillamme N =, 2,... } (pykälän.0 alku), on tässä p(n) epätosi kaikille n N, jolloin alkutapaus p() on epätosi, mutta jokainen induktioaskel (epätodesta epätoteen) on tosi (määritelmä.5). Huomaa: Kohdissa (b) ja (c) on nyt perusteltu huomautuksen.6 väitteet!. (a) Jos a > 0, niin päteekö kaikille, y 0, että < y a > a y? Vetoa lauseeseen.23 niin paljon kuin voit. Ratkaisu. Oletetaan, että a > 0. Valitaan = ja y =. Silloin, y 0 ja < y mutta a = a < 0 < a = a y. Siten implikaatio on epätosi (määritelmä.5) tälle valinnalle, y 0. Se ei siis päde kaikille, y 0; vastaus on ei. Huomaa kuitenkin, että implikaatio pätisi olettaen, y molemmat negatiivisiksi, minkä näkisi lauseen.23. avulla ovelasti: vastaluvun otto kääntää järjestyksen, positiivisen jakaminen kääntää takaisin!
5 (b) Päteekö kaikille a 0, että < y a < y a? Vetoa lauseeseen.23 niin paljon kuin voit. Ratkaisu. Valitaan a =. Silloin a 0. Valitaan = ja y = 2. Nyt < y mutta a = > y = y a. (Suunnan kääntyminen voidaan perustella lauseella.23.3.) Tälle valinnalle a 0 ekvivalenssi ei siis päde (sillä etu- ja takajäsenen totuusarvot ovat eri). Jälleen vastaus on ei. 5. (a) Pura itseisarvomerkit lausekkeesta 2 2 jokaiselle R. Ota rajatapaukset mukaan kahdesti kaavan (.26) ja vakiokäytäntömme mukaisesti! (So. käytä merkkejä ja, älä > ja <.) (b) Jos f : R R on funktio, määritellään funktio f : R R asettamalla f () = f() kaikille R. Päteekö implikaatio f on aidosti kasvava f on aidosti kasvava? Hahmottele sopivien f :ien kuvaajia sekä vastaavien f :ien kuvaajat! Saat vedota tällaisiin kuviin vastauksessasi. Ratkaisu. (a) Oletetaan, että R. Kaavan (.26) mukaan 2 2 2, kun = , kun Nyt tehtävän h/t muotoilun mukaan 2 2 = ( 2)( + ), mistä nähdään tulon merkkisäännön nojalla, että (muista merkintäsopimus (.) sekä muistisäänto!) ja (Toinen tapa määrittää ko. polynomin merkki eri osissa lukusuoraa olisi tietysti käyttää 2. asteen yhtälön ratkaisukaavaa jne.!) Siten 2 2 2, kun tai 2 2 = , kun 2 (b) Implikaatio ei päde: Funktio : R R on aidosti kasvava, mutta tämän funktion itseisarvo : R R ei ole aidosti kasvasva, kuten vaikka esimerkin.3 kuvasta nähdään. (Tässä riitti siis yksi kuva/tapaus: vastaesimerkki!) 5
6 6. Ratkaise epäyhtälö 3 < 2 käyttäen (a) perusmenetelmää (ks. sivu ja esimerkki.27) sekä (b) näppärästi lausetta.28. Ole erittäin tarkka ekvivalenssien suhteen, ks. huomautus.25! Mieti lukujen merkkejä ja implikaatioiden suuntia huolellisesti. Ratkaisu. Epäyhtälön määrittelyehto on, että 0. Kaikki implikaatiot ja ekvivalenssit alla tarkoitetaan pätemään kaikille R0} (ts. epäyhtälön määrittelyjoukossa). (a) Tärkeää kaavaamme (.26) jälleen käyttäen saadaan, että 3 = 3, kun 3 eli kun < 0 3 3, kun 3 eli kun 0 < 3. Yllä lukujen 3 ja / vertaaminen vaati paljon ajattelua! Se on tehtävä eksplisiittisesti (huomaa, että eli viittasi ekvivalenssiin): Tapaus < 0: Tällöin / < 0 < 3 aina. Tapaus > 0: Tällöin lauseen.23 kohdan (2) loppuosan avulla saadaan ekvivalenssit 3 3 sekä 3 3 (kun kerrotaan puolittain positiiviluvuilla ja 3 ). Nyt jaamme määritelyjoukon itseisarvomerkkien purkamisesta tulleisiin tapauksiin (ts. käytämme perusmenetelmää ): Tapaus < 0 tai 3 : 3 < 2 <. Alatapaus < 0: < ei tosi koskaan. Alatapaus 3 : < <. Osavastaus: 3 Tapaus 0 < : 3 5 Osavastaus: 5 < 3. Vastaus: 5 < <. (b) Kirjoitamme ekvivalensseja niin pitkään kuin vaivattomasti näemme ne päteviksi, sitten jatkamme pelkin implikaatioin. Tärkeimmät perustelut laitamme näkyviin; lukijan vastuulla on ajatella loputkin (jo tuttuja): 3 < < < < < < 5 < > 0 < < 5 < 0 ( > 0 < 5) 0 < < < 0 > 5 5 < < < < 5. Lukijalle jätettyjä pikku perusteluja helpotti, että ne olivat lähinnä implikaatioille! Kun aloimme lopussa muodostaa implikaatioita takaisin päin, suuntasimme onnistuneesti heti kohtaan, jossa olimme katkaisseet ekvivalenssien ketjun. (Tällaistahan monesti sanotaan tarkistukseksi. Hylättyjä ratkaisuehdokkaita ei nyt ollut.) Siis vastaus on 5 < <. 6
7 Ohjeita itse- ja vertaisarviointiin Yleisohje: Ajattelu ja perustelu on normaalisti periaatteessa tärkeämpää kuin tulosten virheettömyys: Väärästä tuloksesta huolimatta voi saada jopa täydet, jos ajatukset ovat oikein mutta on sattunut jokin lipsahdus! Oikea tulos mutta väärin tai puuttuvin perusteluin/ajatuksin ei yleensä tuota (läheskään?) täysiä pisteitä! Perustelut ovat tärkeitä, ellei toisin sanota. Yleensä tärkeitä ovat myös lähdeviittaukset. Molempiahan vielä painotettiin tehtäväpaperin alussa! Erityisohjeita yksittäisiin tehtäviin (yleisohjeita unohtamatta):. Kohdista maksimissaan pistettä, mutta samoista puutteista ei tarvitse sakottaa molemmissa erikseen! Arvioitava erikseen induktioperiaatteen hallintaa sinänsä ja sen teknistä toteutusta, jossa erityyppisten väitteiden todistamisessa voi olla aivan erilaiset haasteet. Kuva on a-kohdassa ylimääräistä (sitä ei siis vaadita), mutta oivaltavalla kuvalla (ks. malli yllä) voi kompensoida jotakin pientä ongelmaa toisaalla. Ymmärrystä siis painotetaan. Jos b-kohdassa ei huomannut käyttää oletusta (ja teki siis päättelyvirheen), menettää jonkin pisteen. (Riippuu hieman kokonaisuudesta.) 2. Tässä erityisesti korostettiin perustelujen selvyyttä. Esim. induktio-oletuksen käyttö pitää ehdottomasti osoittaa! (Se toinen käyttö siis on, että induktioaskeleessakin k 5.) Jos käytti alkutapauksena tapausta n = jolloin induktioaskeleet eivät voi ylittää kuilua :stä 5:een, menettää pisteitä. (Riippuu taas kokonaisuudesta.) 3. Pistejako kohtien välillä Kohdan (a) muotoilu saattoi aiheuttaa tulkintaongelmia; niissä kannattaa olla armelias (järkevä tulkinta hyväksytään) pistettä. Koska a-kohdassa luonnollisella kielellä esitetty kysymys suonee eri tulkintoja, kannattaa hyväksyä yksikin vastaesimerkki a > 0 (esim. a = ) ja vastaesimerkit, y 0 vaikka malliratkaisussa näytetään peräti, että kaikki luvut a > 0 mahdollistavat vastaesimerkkejä, y Pisteet + 6. Jos a-kohdassa on aidosti käsitetty, ettei purkamista tarvitse viedä :n tasolle (kuten yllä vietiin), voi olla armelias. Tämän takia: purkamishanke loppuun asti kompensoi pieniä virheitä myös b:ssä. 6. Tässä on päähuomio siinä, onko kehittänyt ekvivalenssit luotettavasti (eikä sattumalta oikein)! Ja että (joko kerralla tai eri suunnat erikseen) on lopulta saavuttanut ekvivalenssin alkuperäisen ey:n ja ns. ratkaisun välille! Ekvivalenssi, jota ei ole perusteltu vielä enemmän, jos vaikuttaa, että on ajateltu vain yhteen suuntaan, tuottaa miinusta. Jos samanlainen perustelu toistuu, ei sitä tarvinne joka kerta mainita (kuten ei mallissakaan). Implikaatioissakin on tietysti oltava huolellinen (ei sattumalta oikein). Perusmenetelmä (a-kohta) on tärkeä hallita! Lausetta.28 (b-kohta) voi käyttää ainakin parilla vaihtoehtoisella tavalla (vaikkakaan ne eivät kovin oleellisesti eroa toisistaan). Lopuksi: muista alun yleisohjeet! 7
4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
LisätiedotRatkaisu. Tapa (a), perusmenetelmä: Sovellamme kaavaa (1.26) mutta huomaa, että nyt kyseessä ei ole x:n vaan 2x + 3:n itseisarvo!
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matemaattinen analyysi I Harjoitus 3 / Ratkaisut Tehtävissä yleisohjeistuksena oli: Perustele vastauksesi hyvin ja selvästi! Esitä riittävästi lähdeviittauksia:
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
Lisätiedot= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
Lisätiedotb) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotTehtäväalue ulottuu kohdan 1.15 paikkeille (hiukan edemmäs, jos haluaa).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matemaattinen analyysi I Harjoitus 1 / Ratkaisut Tämän harjoituksen pääaihe on käsite implikaatio ja myös sen merkitseminen kaksoisnuolella. Muistutamme erityisesti
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotTehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotJokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
Lisätiedot-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotTodistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.
3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotYhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014
Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotRatkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoon totuusjakauma v sellainen että v(p i ) = 1 kaikilla i N ja A propositiolause, jossa
LisätiedotInsinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,
LisätiedotMatematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi. 1. Kurssikerta ( )
Matemaattisen analyysin tukikurssi 1. Kurssikerta (16.9.2019) Yleistä Tukikurssista - 1. periodi: maanantaisin klo 14:15-15:45 huoneessa SH2 yht. 5 kertaa. Tenttiviikolla ei tukikurssia. 2. periodin ajat
LisätiedotReaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista
säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,
LisätiedotVaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot
LisätiedotRekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
Lisätiedot(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
LisätiedotRatkaisu: (b) A = x 0 (R(x 0 ) x 1 ( Q(x 1 ) (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 )))).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Palataan Partakylään. Olkoon P partatietokanta ja M tästä saatu malli kuten Harjoitusten 1
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
LisätiedotLoogiset konnektiivit
Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotJuuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,
Lisätiedot1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen.
Joukko-oppia Matematiikan mestariluokka, syksy 2010 Harjoitus 1, vastaukset 20.2.2010 1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi asettele
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotKarteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21
säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)
Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen
Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 ari.vesanen (at) oulu.fi 5. Rekursio ja induktio Rekursio tarkoittaa jonkin asian määrittelyä itseensä viittaamalla Tietojenkäsittelyssä algoritmin määrittely niin,
LisätiedotVastaoletuksen muodostaminen
Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletus (Antiteesi) on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja vastaoletus yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
Lisätiedot+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain
Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin
LisätiedotRatkaisu: Yksi tapa nähdä, että kaavat A (B C) ja (A B) (A C) ovat loogisesti ekvivalentit, on tehdä totuustaulu lauseelle
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoot A, B ja C propositiolauseita. Näytä, että A (B C) (A B) (A C). Ratkaisu: Yksi tapa
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38
Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
Lisätiedot1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet.
1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet. Differentiaalilaskennassa on aika tavallinen tilanne päästä tutkimaan SULJETUL- LA VÄLILLÄ JATKUVAA FUNKTIOTA. Oletuksena on tällöin funktion
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.
Lisätiedot4.3. Matemaattinen induktio
4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 2, malliratkaisut
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus, malliratkaisut 1.-5.9.009 1. Muodosta joukot A B, A B ja A\B sekä laske niiden alkioiden lukumäärät (mikäli kyseessä on äärellinen
LisätiedotT Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )
T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation
LisätiedotInduktio, jonot ja summat
Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka
LisätiedotLuonnollisen päättelyn luotettavuus
Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä
LisätiedotNimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...
2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotDiskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista
Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )
LisätiedotTehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.
Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
Lisätiedotf(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 7 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset 6.. Olkoon f : G R, G = {(x, x ) R x > }, f(x, x ) = x x. Etsi differentiaalit d k f(, ), k =,,. Ratkaisu:
LisätiedotTehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
Lisätiedot2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
LisätiedotMatemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja
Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja Antti-Juhani Kaijanaho 7 maaliskuuta 0 Deduktiivinen ja induktiivinen päättely Deduktiivisessa päättelyssä johtopäätös seuraa aukottomasti premisseistä
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista: (a) {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 },
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
LisätiedotAlgebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.
Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)
LisätiedotLisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi
Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Esimerkki a) Lauseen Kaikki johtajat ovat miehiä negaatio ei
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
Lisätiedot3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
Lisätiedot