Ratkaisu. Tapa (a), perusmenetelmä: Sovellamme kaavaa (1.26) mutta huomaa, että nyt kyseessä ei ole x:n vaan 2x + 3:n itseisarvo!

Transkriptio

1 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matemaattinen analyysi I Harjoitus 3 / Ratkaisut Tehtävissä yleisohjeistuksena oli: Perustele vastauksesi hyvin ja selvästi! Esitä riittävästi lähdeviittauksia: mitä tämän kurssin määritelmää, lausetta, esimerkkiä tms. hyödynnät. Muista aina todentaa käytettävät oletukset! (Katso pykälä 1.5.) Tehtäväalue ulottuu kohtaan.14 asti. Pisteet: = Ratkaise epäyhtälö x + 3 < x käyttäen kahta eri menetelmää kuten tehtävässä h/t6: (a) perusmenetelmää (ks. sivu 11 ja esimerkki 1.7) sekä (b) näppärästi lauseen 1.8 kohtaa (4). Mieti aina, missä kannattaa käyttää ekvivalensseja, missä vain implikaatioita, ja ole tarkkana! Muista huomautus 1.5 ja pykälä 1.4. Ratkaisu. Tapa (a), perusmenetelmä: Sovellamme kaavaa (1.6) mutta huomaa, että nyt kyseessä ei ole x:n vaan x + 3:n itseisarvo! Siis x + 3, kun x eli kun x 3 x + 3 =. x 3, kun x eli kun x 3 Tutkimme nyt epäyhtälöä yllä saadussa kahdessa (osittain päällekkäisessä) tapauksessa erikseen: (i) x 3 : Nyt epäyhtälö on x + 3 < x, ja tämä on yhtäpitävä toisen asteen epäyhtälön x x 3 > 0 kanssa (implikaatio oikealle ja vasemmalle saadaan, kun molemmille puolille lisätään (tai vähennetään) sama luku). Saadulla epäyhtälöllä ( ) x x 3 > 0 on tässä siis määrittelyjoukkona x R x 3 }, mutta ensin voimme ratkaista sen koko R:ssä. Ratkaisumenetelmiä on paljon; kaikki tuntenevat ainakin sen, jossa ensin ratkaistaan toisen asteen yhtälö x x 3 = 0, sitten ajatellaan ylöspäin aukeavaa paraabelia ja päätellään siitä ratkaisuvälit. Esitämme tässä ns. neliöksi täydentämistä hyödyntävän (mikä kyllä on äsken mainitunkin takana), koska se on hyvä temppu hallita! Selvästi x x 3 = x x+1 4 = (x 1) 4 (binomin neliön kaava), joten ( ) (x 1) > 4. Neliöjuuren aidon kasvavuuden takia pätee ekvivalenssi (x 1) > 4 x 1 = (x 1) > 4 = ; katso myös kurssin tuoretta liitettä C! Nyt lauseen 1.8 kohdan (4) ensimmäistä ekvivalenssia käyttäen (negaatiot ottaen 1 ) saadaan x 1 > x 1 < x 1 >. Siis ( ) x < 1 x > 3, kun määrittelyjoukkona on R. (Tulos olisi saatu kätevästi myös lauseen kohdan (4) kolmannesta ekvivalenssista.) Loppuvastaus tapauksessa (i) on 3 x < 1 x > 3. 1 Sen mukaan suoraan saadaan ekvivalenssi x 1 x 1 x 1. 1

2 (ii) x 3 : Nyt epäyhtälö on x 3 < x, ja tämä on yhtäpitävä toisen asteen epäyhtälön x + x + 3 > 0 eli (neliöksi täydentämällä) (x + 1) + > 0 kanssa. Koska reaaliluvun neliö on aina epänegatiivinen ja > 0, saatu epäyhtälö toteutuu kaikille x R. Kun leikataan ii-kohdan määrittelyjoukolla x R x 3 }, saadaan tapauksen (ii) loppuvastaukseksi x 3. Selvisimme tapauksissa (i) ja (ii) pelkin ekvivalenssein! Käytettävissä oli aina sopiva, sellaisen antava lause tai vastaava. Kokoamme tulokset: Vastaus: x < 1 x > 3. Tapa (b), näppärä : Lauseen 1.8 kohdan (4) oletus (vaikka itse asiassa onkin turha), että a 0, on taas voimassa: nyt valitsemme a = x. (Muistamme, että reaaliluvun neliö on aina epänegatiivinen.) Siitä saamme seuraavan ketjun ensimmäisen ekvivalenssin. Loput saadaan kuten a-kohdassa, nyt vain epäyhtälöiden määrittelyjoukkona on koko ajan R: x + 3 < x x < x + 3 < x x + x + 3 > 0 x R x < 1 x > 3 x x 3 > 0 x < 1 x > 3.. (a) Mikä on yhtälön 1/ 1 x = 1/x määrittelyjoukko? (b) Ratkaise esimerkin 1.33 yhtälö uudestaan: käyttämällä pelkästään ekvivalensseja, jotka perustelet hyvin (mm. käytät hyväksi lausetta 1.35). Neuvo: Jaa määrittelyjoukko osiin vähän samaan tapaan kuin tekisit itseisarvoyhtälön ratkaisemisen perusmenetelmässä! (c) Ratkaise yhtälö x 1 = x + 1. Muista perustella huolellisesti kaikki ekvivalenssit (ja implikaatiot). Ratkaisu. (a) Lauseke 1 x on määritelty täsmälleen, kun 1 x 0. Lauseke 1/ 1 x on määritelty täsmälleen, kun 1 x > 0 eli x < 1 eli [koska on aidosti kasvava] x < 1 eli x < 1 eli 1 < x < 1. (Kaksi jälkimmäistä yhtäpitävyyttä ( eli ) vastaavasti kuin tehtävässä 1. Hyödynnä myös liitettä C, jossa nyt on jo neliöjuuresta ja itseisarvosta!) Lauseke 1/x on määritelty täsmälleen, kun x 0. Yhtälön määrittelyjoukko on se, jossa kaikki em. lausekkeet ovat yhtäaikaa määriteltyjä eli joukko ] 1, 1[ 0} = ] 1, 0[ ]0, 1[. (b) Lause 1.35 olettaa yhtälön molemmat puolet epänegatiivisiksi tai molemmat epäpositiivisiksi. Tässä yhtälön oikeana puolena on neliöjuuren arvo, jollainen on aina epänegatiivinen. Vasen puoli on epänegatiivinen, kun x 0. Jaetaan yhtälön määrittelyjoukko (esimerkin 1.33 mukaan ], ]) kahteen osaan ja toimitaan sitten kuten tehtävässä 1.a:

3 (i) 0 x : Tässä pätevät ekvivalenssit x = x (1) x = x () x + x = 0 (3) x = 1 ± ( ) 1 (4) x = x = 1 (5) x = 1. = 1 ± 9 = 1 ± 3 Perustelut: (1): Lause 1.35, jonka oletukset juuri järjestimme kuntoon. (): Molemmille puolille lisätään sama. (3): Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava (diskriminantti epänegat.). (4): Sievennys edellisestä. (5): Otetaan eksplisiittisesti huomioon tämän i-kohdan rajoitus. (ii) x < 0: Tässä yhtälön vasen puoli on negatiivinen mutta oikea puoli epänegatiivinen. Siis ei ratkaisuja! Kokoamme tapausten (i) ja (ii) tulokset: x ], ]: x = x x = 1, mikä tarkoittaa, että yhtälömme ratkaisu on x = 1. (c) Tässä yhtälön määrittelyjoukko on koko R (koska x ). Lauseen 1.35 oletukset ovat voimassa koko määrittelyjoukossa, joten lausetta voidaan kåyttää rajoituksetta! Saadaan x 1 = x + 1 (1) (x 1) = x + 1 (3) x 4 3x = 0 (5) x = 0 x = 3 () x 4 x + 1 = x + 1 (4) x (x 3) = 0 (6) x = 0 x = ± 3. Perustelut: (1): Lause 1.35, jonka oletukset ovat voimassa, kuten perusteltiin. Lisäksi itseisarvon ja neliöjuuren määritelmät. (): Binomin neliön kaava. (3): Molemmille puolille lisätään sama. (4): Sievennys edellisestä. (5): Tulon nollasääntö. (6): Monta eri tapaa, lukija saa valita! 3. Ratkaise yhtälöpari x y x 3 = 0 y x y 3 = 0. Tämä ei ole lineaarinen eikä siihen ole valmista, kaavamaista menetelmää. Älä yritä edetä ekvivalenssein! Muodosta ensin implikaatioita huolellisesti, kunnes pääset ns. ratkaisuehdokkaaseen, ja koeta sitten, missä määrin saat aikaan päinvastaisia implikaatioita. (Vrt. esimerkki 1.33!) Perustelut ovat tämän(kin) tehtävän juju: esitä ajatuksesi ja perustelusi hyvin selvästi! 3

4 Ratkaisu. Yhtälöparin määrittelyjoukko on kaikkien reaalilukuparien (x, y) joukko (sitä merkitään R ). Saamme implikaatiot, jotka paljolti perustuvat samanlaisiin asioihin kuin edellisissä tehtävissä; emme esitä aivan kaikkea uudelleen! x y x 3 = 0 (1) x 3 = y 3 () 3 x 3 = 3 y 3 (3) 3 x 3 = 3 ( y) 3 y x y 3 = 0 (4) x = y x + x = x y (5) x = x 3 x(1 x ) = 0 x = 0 x = ±1 (6) (x, y) = (0, 0) (x, y) = (±1, 1). Erityisiä perusteluja: (1) Yhtälöiden yhteenlasku. () Kuutiojuuri puolittain. (3) Pariton eksponentti. (4) Kuutiojuuri R R on kääntyvä funktio (ns. bijektio); huomaa tärkeä ero neliöjuureen! (5) Tämä ei ole implikaatio takajäsenestä etujäseneen, vaan (hieman vääräoppisesti) otetaan huomioon implikaatioketjussa aiemmin ollut: erityisesti ensimmäinen yhtälö! (6) Tässä sama: otetaan huomioon myös aiempi yhtälö, nyt x = y. Nyt on tarkistettava, onko ehdokaskokoelmassa (0, 0), (1, 1), ( 1, 1)} ns. ylimääräistä: mitkä sen lukupareista toteuttavat alkuperäisen yhtälöparin! Itse asiassa ei ole ylimääräistä (tarkista!). Siis po. kolmialkioinen joukko on yhtälöparin ratkaisujoukko. 4. (a) Miksi vakiojono ei kasva rajatta? Selitä määritelmän. mukaan. Ratkaisu. Oletetaan, että (a n ) n N on vakiojono ts. että on olemassa sellainen c R, että a n = c kaikille n (esimerkki.1.1). Valitaan nyt M = maxc + 1, 1}. Silloin M > 0 ja a n = c < M, siis a n M jopa kaikille n N. Näin ollen määritelmässä. vaadittua indeksiä n M ei voi olla olemassa tätä lukua M > 0 kohti. (b) Perustele (todista) kohdan.5.1 vastine rajatta väheneville jonoille. Ratkaisu. Oletus: (a n ) ja (b n ) ovat lukujonoja. Väite: Jos (a n ) ja (b n ) vähenevät rajatta, samoin tekee summajono (a n + b n ) n N. Todistus: Oletetaan, että (a n ) ja (b n ) vähenevät rajatta. Osoitamme määritelmään.3 perustuen, että jono (a n + b n ) n N vähenee rajatta. Sitä varten oletamme, että m < 0; etsimme sellaisen indeksin n m N, jolle määritelmän ehto ( ) pätisi: Koska (a n ) ja (b n ) vähenevät rajatta, tiedämme samasta määritelmästä, että on olemassa sellaiset luvut n m,a N ja n m,b N, joille pätee ( ) n n m,a a n m ja n n m,b b n m. Valitaan n m :ksi luku maxn m,a, n m,b }. Silloin n m N ja max n n m,a ( ) a n m n n m n n m,b b n m a n + b n m + m m<0 < m a n + b n m. 4

5 Siis löysimme sellaisen indeksin n m N, jolle määritelmän ehto ( ) pätee. Näin ollen summajono (a n + b n ) n N vähenee rajatta. (c) Tutki, onko rajatta kasvavan ja rajatta vähenevän jonon summajono välttämättä jompaa kumpaa tyyppiä. Riittää löysähkö perustelu! Ratkaisu. Ei! Tarkastellaan jonoja (n) ja ( n). Edellinen on esimerkin.4 nojalla rajatta kasvava ja jälkimmäinen eli (( 1)n) siksi rajatta vähenevä (lause.5., missä kerroin c = 1 < 0). Näiden summajono on (n n) = (0), siis vakiojono, joka tehtävän a- kohdan nojalla ei ole rajatta kasvava eikä selvästikään myöskään rajatta vähenevä. (Jälkimmäisen voi osoittaa samaan tapaan kuin a-kohdan todistus oli tai sitten epäsuorasti a-kohdan ja lauseen.5. avulla!) 5. Määritä lauseen.14 avulla seuraavat lukujonojen raja-arvot, mikäli ne ovat olemassa: (a) n lim +n+1 3n, (b) lim 3 n +n 7n, (c) lim 5 5n 3 +3n. n 6 n+n 3 1+n 5 +n 9 Huomaa, että koska po. lause sisältää vain jossittelua (implikaatio), tarvitset jotakin muutakin! Se on kyllä kurssitekstissä sanottu. Mitä? Vihjeitä: Yhdessäkin kohdassa saatat tarvita monta kertaa lausetta.14. Selitä yksityiskohdat! Jos kohtaat kielletyn muodon (tai ainakin sellaisen, jota ei ole julistettu sallituksi ), kannattaa supistaa luvulla n! Ratkaisu. Lauseen.14 jossittelun lisäksi pärjäämme esimerkin.1 tiedoin, että ( ) c c ja n, kuten tekstissä esimerkin jälkeen vihjailtiinkin. Ensin spekuloidaan: Käyttämällä monta kertaa lauseen i- ja ii-kohtia näyttäsi osoittajalle tulevan raja-arvo α = ja nimittäjälle β =. Nyt iii-kohtaa varten tarvitsi osamäärän α olla määritelmän.13 sallittujen muotojen β listassa mutta se ei ole! (Kurssilla myöhemmin selitetään, että itse asiassa on kielletty muoto.) Niinpä täytyy laskea toisin. Vihjeen mukaisesti koetetaan, miten luvulla n supistaminen siis osoittajan ja nimittäjän jakaminen tällä luvulla n 0 auttaisi. n N: n + n + 1 n = n n 1 n = = 1.13 = 1.13 = ( 1) =. 1 Huomaa, että tällaiset, joissa käytetään lausetta.14, on luettava oikealta vasemmalle: vasta kun nähdään, että lopulta tulee sallittu muoto, lause kertoo, että alkuperäinen raja-arvo on olemassa ja että se on lopuksi saatu! (Katso lauseen edellä annettu selitys.) Ja huomaa, että kohdassa, jossa perusteluna oli.14, oikeasti tarvittiin myös tietoja ( ) edellä. Esimerkiksi n : Koska (siis pro Jos kuten n 5

6 lauseessa) n ja koska ja koska + on sallittu muoto, pätee, että n + +. Ja niin edelleen. Tapauksesta (b) huomataan, että tulee kiellettyjä muotoja, vaikka olisi jo supistettukin luvulla n 0. (Tässä kielletty olisi jo sekä osoittaja että nimittäjä erikseenkin! Näihin saataisiin näet.) Mutta voidaanhan uudestaankin supistaa n:llä! No, yhä kielletty... Mutta tietysti kolmannen supistuksen jälkeen saadaan sallittu muoto 3. Raja-arvo on siis olemassa 1 ja = 3. Tapauksessa (c) saadaan luvulla n 5 supistamisen jälkeen, että tulee sallittu 7 muoto, joka on siis (olemassa oleva) raja-arvo = 0! Vastaus: Kaikki raja-arvot ovat olemassa: (a):, (b): 3, (c): Miksi + on sallittu muoto mutta on kielletty muoto? (Ajattele asiaa lauseen.14 näkökulmasta! Tarvitset mm. vastaesimerkkiä.) Ratkaisu. Kannattaa muistaa, että merkintä lim x n = on vain osin vaarallinen lyhennys ilmaisulle jono (x n ) kasvaa rajatta! Kun lauseessa.14 tulee muoto +, on kyseessä sen kohta (i) ja meillä on jonot (x n ) ja (y n ), jotka molemmat kasvavat rajatta. Tiedämme jo lauseesta.5, että tällöin summajono (x n +y n ) myös kasvaa rajatta, siis niin sanotusti lim (x n + y n ) =. Siis: jos määrittelemme, että + =, lauseen.14.i kaava, joka pätee suppeneville jonoille (ja ehkä originaalimmassa merkityksessä), pätee myös rajatta kasvaville jonoille! Se on mukavaa sallia. Mutta koska lim y n = tarkoittaa, että jono (y n ) vähenee rajatta, merkintä tai + ( ) viittaisi lauseessa.14.i rajatta kasvavan ja rajatta vähenevän jonon summajonon raja-arvoon, jonka ei tarvitse olla olemassa, ei merkintää kannata sallia, koska sitä ei kuitenkaan voisi käyttää lauseessa.14 tms.! Perustellaan vielä, että rajatta kasvavan ja rajatta vähenevän jonon summajonolla ei aina ole raja-arvoa: Asetetaan x n = n + sin n ja y n = n kaikille n N. Tällöin kaikille n N on x n + y n = n + (sin n) + ( n) = sin n, eikä summajonolla (x n + y n ) n N = (sin n) n N esimerkin.11.ii mukaan ole raja-arvoa! Kuitenkin jono (y n ) vähenee rajatta (tehtävä 4.c) ja jono (x n ) kasvaa rajatta (esimerkin.4 tapainen yksinkertainen argumentti, joka perustuu siihen, että aina x n = n + sin n n 1; myöhemmin kätevästi Kuristusperiaate, lause.0., lauseen.14.i ja esimerkin.1.1 tukemana). Huomaa, että yksinkertaisempi vastaesimerkki saataisiin käyttämällä esim. valintaa x n = n+( 1) n, mutta sinifunktion käytöstä on hyvä tuntea, sillä se soveltuu myös (seuraavan pykälän) reaalifunktioiden raja-arvotarkasteluihin. 6

7 Ohjeita itse- ja vertaisarviointiin Yleisohje: Ajattelu ja perustelu on normaalisti periaatteessa tärkeämpää kuin tulosten virheettömyys: Väärästä tuloksesta huolimatta voi saada jopa täydet, jos ajatukset ovat oikein mutta on sattunut jokin lipsahdus! Oikea tulos mutta väärin tai puuttuvin perusteluin/ajatuksin ei yleensä tuota (läheskään?) täysiä pisteitä! Perustelut ovat tärkeitä, ellei toisin sanota. Yleensä tärkeitä ovat myös lähdeviittaukset. Molempiahan vielä painotettiin tehtäväpaperin alussa! Erityisohjeita yksittäisiin tehtäviin (yleisohjeita unohtamatta): 1. Tarjottavat pisteet voinee jakaa tasan kohtien kesken (7 + 7 pistettä), mutta tehtävän kokonaisuus ja kohtien osittainen päällekkäisyys kannattaa ottaa positiivisella tavalla huomioon! pistettä. Tehtävän yleisohje (ks. alin rivi) painotti ekvivalenssien (ja implikaatioiden) perustelun merkitystä. 3. Perustelut ovat tehtävän juju! (Oikein perustelu) implikaatio alusta loppuun on ehdottomasti tärkein osa ratkaisua. Vaikka oheisessa malliratkaisussa ei implikaatiota takaisin päin näytettykään eksplisiittisesti (vaan vain sanottiin sen toimivan), olisi ratkaisussa jotenkin näyttävä, että tekijä on sen tehnyt. Riippuu vähän kokonaisuudesta, millainen näyttö on uskottava. (Esimerkiksi eo. malliratkaisu on niin huolellinen ja perusteellinen, että on uskottavaa, että sen tekijä on myös ratkaisuehdokkaiden kelvollisuuden tarkistuksen tehnyt kuten onkin! :) ) pistettä. Rajatta kasvavuuden (ja rajatta vähenevyyden) määritelmän ymmärtäminen on tärkeintä. Ei ole vakavaa, jos a-kohdassa ei ole huomannut järjestää luvun M positiivisuutta (mikä onkin otettu määritelmään vain tietyn mukavuuden takia; käsite ei riipu siitä.) Kohdan (b) ratkaisu on tekninen ja pitkä, mutta itse asiassa vain tietyissä paikoin kurssitekstin valmista mallia tarvitsi muuttaa. Kokonaisuus voidaan tässäkin joskus ottaa huomioon: jos jossakin kohdassa on puute tai virhe, mutta vastaava asia on hyvin hallittu muualla, voidaan kompensoida pistettä ja kokonaisuus huomioon! 6. Asioiden ymmärtäminen on tärkeintä. Edellä tarjottu ratkaisu on tilanteen osalta tarpeettoman hieno: osoitettiin, että siinä on mahdollista summajonon jäädä kokonaan vaille rajaarvoa! Riittäisi toki jo sellainen, että osoittaa summajonon voivan saada eri raja-arvoja. Tämä sitä paitsi kävisi jo suoraan hyödyntämällä tarjolla olleita esimerkkejä ja lauseita! (Esim. x n = n + c, y n = n.) Lopuksi: muista alun yleisohjeet! 7