Tehtäväalue ulottuu kohdan 1.15 paikkeille (hiukan edemmäs, jos haluaa).
|
|
- Joel Ketonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matemaattinen analyysi I Harjoitus 1 / Ratkaisut Tämän harjoituksen pääaihe on käsite implikaatio ja myös sen merkitseminen kaksoisnuolella. Muistutamme erityisesti siitä, että kirjoittamalla p q emme tällä kurssilla koskaan tarkoita Koska p, niin q. ks. huomautus 1.8. Tehtäväalue ulottuu kohdan 1.15 paikkeille (hiukan edemmäs, jos haluaa). 1. (a) Mitkä seuraavista ovat välttämättömiä ehtoja, entä riittäviä, sille, että X on banaani? X on hedelmä, X on omena. (b) Mitkä seuraavista ovat välttämättömiä ehtoja, entä riittäviä, sille, että x > 1? x > 2, x 0, x 2 1 > 0, x 2 x 2 = (x 2)(x + 1) > 0. (c) Onko se, että x 0, riittävää, entä välttämätöntä sille, että x 2 > 0? Perustele kaikki vastauksesi jotenkin lähtien ko. käsitteiden määritelmistä! Ratkaisu. Kaikki lähtee siitä, että on katsottava, mitä termit riittävä ja välttämätön tarkoittavat: on etsittävä määritelmä! Sitten sovelletaan määritelmää. Tässä tehtävässä tapahtuu niin, että po. luonnollisen kielen ilmaisut kääntyvät matematiikan (tai formaalin logiikan) kielelle, jossa ongelmat sitten ratkaistaan, ja vastaus lopuksi käännetään takaisin luonnolliselle kielelle! 1 (a) Sivun 2 mukaan, kaavaan (1.2) liittyen, em. käsitteet yksinkertaisesti tarkoittavat tiettyjä implikaatioita! Kysymys Onko ehto X on hedelmä välttämätön sille, että X on banaani? kääntyy kysymykseksi Onko implikaatio X on banaani X on hedelmä tosi?. Ja tämähän on tosi: kaikki banaanit ovat hedelmiä! Siis vastaus on kyllä, X:n hedelmäisyys on välttämätön ehto X:n banaanisuudelle. (Voimme myös sanoa, että X ei voi olla banaani olematta hedelmä: siitä hedelmäisyyden välttämättömyys banaanisuudelle.) Vastaavasti kysymys Onko ehto X on omena välttämätön sille, että X on banaani? on määritelmän nojalla sama (yhtäpitävä) kuin kysymys Onko implikaatio X on banaani X on omena tosi?. 1 Tässä tehtävässä oletetaan, että banaani on hedelmä. Uusimman biologisen tiedon :) mukaan näin ei kuitenkaan ole: banaani on marja! Jos joku on toiminut tämän tiedon varassa, ratkaisu kelpaa, kunhan on siitä lähtökohdasta oikein! 1
2 Tämä taas on epätosi: voimme esittää banaanin, joka ei ole omena! (Itse asiassa lienee jopa niin, ettei yksikään banaani ole omena.) Siis vastaus on tässä ei, X:n omenaisuus ei ole välttämätön ehto banaaniudelle. Edelleen sivun 2 mukaan, kaavaan (1.2) liittyen, kysymys Onko ehto X on hedelmä riittävä sille, että X on banaani? kääntyy kysymykseksi Onko implikaatio X on hedelmä X on banaani tosi?. Tämä implikaatio on epätosi, joten X:n hedelmäisyys ei ole riittävä ehto X:n banaanisuudelle! Neljäskin vastaus on kielteinen: X:n omenaisuus ei ole riittävä ehto banaaniudelle! Loppuvastaus, luettelo: X:n hedelmäisyys on välttämätöntä muttei riittävää X:n banaaniudelle; X:n omenaisuus ei ole välttämätöntä eikä riittävää X:n banaaniudelle. Huomautus. Vastaukset tuntuvat arkikielenkäytön mukaan järkeviltä, tosin kysymykset välttämättömyydestä eivät siitä näkökulmasta ole niin selviä... Matematiikassa ja analysissä välttämättömyys kuitenkin on tärkeä käsite. Kannattaa oppia myös se periaate, että määritelmät ovat kovin tärkeitä! (b) Tässä alkuperäiset kysymykset käännetään vastaavasti kysymyksiksi implikaatioista: ehdolle x > 1 välttämättömiä ehtoja ovat siis ne, jotka seuraavat ehdosta x > 1, ja riittäviä ne, joista ehto x > 1 seuraa. Ensin loppuvastaus: Sille, että x > 1, välttämättömiä ehtoja ovat ja vain ne sekä riittäviä ja vain se. x 0, x 2 1 > 0 x > 2 Joitakin perusteluja implikaatiotasolla: x > 1 x > 2: esimerkiksi 3/2 > 1 mutta ei ole 3/2 > 2. Tässä siis vastaesimerkki sille, että implikaatio olisi pätenyt kaikille x R. x > 1 x 0: Selvä, koska 1 > 0. (Tätä käyttäessämme oletamme, että x > 1. Sitten päättelemme, että x > 0. Tästä seuraa, että x 0.) x > 1 x 2 1 > 0: Tähän on monta helppoa tapaa. Yksi opettavainen on seuraava: Oletetaan, että x > 1. Nyt x 2 1 = (x + 1)(x 1) > 0 tulon merkkisäännön mukaan, koska tässä kumpikin tekijä on oletuksen perusteella positiivinen: x + 1 > = 2 > 0 ja x 1 > 1 1 = 0. x > 1 (x 2)(x + 1) > 0: Esim. arvolle x = 3/2 on implikaation etujäsen tosi mutta takajäsen epätosi (tulon merkkisääntö). Siis 2
3 on epätosi (merkityksessä seuraa aina ) eli pätee (merkityksessä ei seuraa aina ). (Muita ratkaisutapoja: Joku on kenties käyttänyt toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa ja miettinyt ylöspäin aukeavaa paraabelia... ) Päinvastaisten implikaatioiden tutkiminen. Se, että x > 2 x > 1, on selvää, koska 2 > 1. (Vrt. edellä.) Lopuissa käänteinen implikaatio on epätosi. Se nähdään sopivien vastaesimerkkien avulla (vrt. edellä), mikä jätetään tässä lukijalle! (c) Se, että x 0, on sekä riittävää että välttämätöntä, sille, että x 2 > 0. Tämä johtuu siitä, että ekvivalenssi x 0 x 2 > 0 on tosi (kaikille x R), ts. aina pätee, että x 0 x 2 > 0 ja että x 0 x 2 > 0. Edellinen on osoitettu esimerkissä 1.7, ja jälkimmäinen nähdään käyttäen epäsuoraa todistusta: Oletetaan, että x 2 > 0. Väitteenä on, että x 0. Todistuksen aluksi tehdään vastaväite (eli antiteesi), että x = 0. Mutta tästä seuraa ristiriita: x 2 = 0 2 = 0, vaikka oletuksen mukaan x 2 > Mitkä seuraavista väittämistä ovat tosia, mitkä epätosia? Muista varsinkin määritelmä 1.5! Tässä riittävät lyhyet perustelut. (a) 0 > 0 0 = 1, (c) x 0 x 2 > 0, (b) 0 > 0 0 = 1, (d) x N: x 0 x 2 > 0. (Viimeinen tarkoittaa x N: (x 0 x 2 > 0) suoritusjärjestyssäännön mukaan.) Ratkaisu. Tosia ovat (a), (b) ja (d). Epätosi on (c). Kaksi ensimmäistä johtuvat suoraan implikaation määritelmästä 1.5: niissä etujäsen 0 > 0 on epätosi! Kahdessa jälkimmäisessä väittämässä ei ole kyseessä yksittäinen implikaatio vaan kummassakin äärettömän monta implikaatiota, joiden kaikkien väitetään olevan tosia. Väittämä (c) on epätosi: > 0 on epätosi (määritelmä 1.5), koska etujäsen 0 0 on tosi mutta takajäsen 0 > 0 epätosi; lisäksi 0 R, joten näemme, ettei implikaatio päde kaikille x R, kuten (c):ssä tarkoitetaan. (Annoimme vastaesimerkin). Kuitenkin väittämä (d) on tosi (määritelmä 1.5): Oletetaan, että x N. Oletetaan, että x 0. Tällöin itse asiassa x > 0, koska 0 / N. Nyt saadaan tulon merkkisäännöstä, että x 2 > 0. Siis implikaatio pätee kaikille x N. 3. Mille reaaliluvuille x, y R seuraavat väittämät ovat tosia, mille epätosia? Tässä tehtävässä ei tarvitse (mutta kannattaa) perustella vastauksiaan. Ratkaisu. (a) x > y x 2 > y 2, (b) (x + 1)x(x 1) 0. 3
4 (a) Pohdiskelua: Tämä kysymys on hankala! Huomaa, että kysytään, mille pareille (x, y) implikaatio pätee, mille ei! Perinteisellä lähestymistavalla tulee mutkikasta: Ehkä olettaisimme, että x > y, ja yrittäisimme todistaa, että tällöin x 2 > y 2, ja tässä voisi tutkia eri tapauksia, esim. minkä merkkisiä x ja y ovat (kertolaskua kun harrastetaan). Mutkikasta jo tuo puhumattakaan siitä, että itse asiassa meidän pitäisi tarkastella, mille pareille (x, y) todistus onnistuu, mille ei... Jne.! Yllä mainitussa yksi hankaluus on, että implikaatio voi olla tosi niin monella eri tavalla: kolmella neljästä (ks. määritelmä 1.5). Mutta tästä tuleekin idea! Katsotaankin, milloin implikaatio on epätosi! Siihenhän on vain yksi tapa... Selvitetään ensin, mille (x, y) on implikaatio x > y x 2 > y 2 epätosi ts. milloin on x > y tosi mutta x 2 > y 2 epätosi: No, x 2 y 2 täsmälleen, kun x 2 y 2, eli täsmälleen, kun x 2 y 2 0, eli täsmälleen, kun (x + y)(x y) 0. (Muistathan peruskaavan, että summan ja erotuksen tulo on neliöiden erotus!) Ottaen jälleen huomioon tulon merkkisäännön saamme siis, että (x > y x 2 > y 2 ) on epätosi täsmälleen, kun x > y ja x + y 0. (Käytimme sitä, että tulon (x+y)(x y) merkki on sama kuin edellisen tekijän merkki, jos jälkimmäinen tekijä x y > 0 eli jos x > y.) Vastaus: Epätosi täsmälleen, kun x > y ja x + y 0. Tosi täsmälleen, kun x y tai x + y > 0. 2 Huomaa, että vastaus voidaan ilmoittaa myös seuraavasti: Implikaatio on epätosi, kun y < x ja y x, ja tosi, kun y x tai y > x. Voit nyt piirtää ne koordinaattitason osajoukot, joissa implikaatio on epätosi/tosi. Edellinen osajoukko muodostaa neljännestason y-akselin alapuolen ympärillä! Kumpaankin joukkoon sisältyy tasan yksi niistä kahdesta puolisuorasta, jotka rajaavat osajoukot toisistaan. Toinen huomio: Nyt kun vastaus on löydetty, olisi helppoa perustella se oikeaksi epäyhtälöiden käsittelysääntöjen avulla! (b) Tässä(kin) vastaus löydetään tulon merkkisäännön avulla: Taulukko x x x (x + 1)x(x 1) antaa tulokseksi, että väittämä on tosi, kun x [ 1, 0] tai x [1, [, ja epätosi muutoin (ts. kun x ], 1[ tai x ]0, 1[). 2 Huomaa, miten sana ja vaihtui sanaksi tai, kun otimme ns. negaation! Tässä on kyseessä ns. de Morganin laki. 4
5 4. (a) Merkitse seuraavaan implikaatioiden totuusarvo (1=tosi, 0=epätosi erilaiset merkinnät, jotta erottuvat), kun väittämien p(1), p(2),..., p(6) totuusarvot on annettu (t=tosi, e=epätosi): p(1) p(2) p(3) p(4) p(5) p(6)... e 1 e 1 e 1 e 1 e 1 e 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t? e 1 t 0 e 1 t 0 e 1 t? t 0 e 1 e 1 e 1 t 1 t? Ratkaisu (yllä) perustui määritelmään 1.5. Huomautus. Tässä keskusteltiin ohjauksissa jonkin verran siitä, mitä tehtävässä haluttiin. Siinä tarkoitettiin, että kullakin rivillä (mikä sana oli editoinnissa jäänyt pois) olisi merkittävä implikaatioiden (monikko) totuusarvot. (Kokonaisuutena tämä on muutenkin mielekkäin tulkinta, myös ottaen huomioon merkkien erottuvuudesta huolehtimisen...) Mutta kaikkien mielekkäiden tulkintojen mukaiset korrektit vastaukset tietysti hyväksytään! Kuten on tapana merkitä 1 < 2 < 3 tarkoittamaan, että 1 < 2 ja 2 < 3, on tässäkin merkitty p q r tarkoittamaan, että p q ja q r. (Ns. transitiivisuus pätee implikaatiolle samoin kuin järjestykselle. Muuten merkintätapa olisi vaarallinen.) (b) Merkitse seuraavaan, mitkä totuusarvojen yhdistelmät ovat mahdollisia väittämille p(n), kun implikaatioiden totuusarvot on annettu: p(1) t p(2) e p(3). Ratkaisu. Käytämme taas määritelmää 1.5. Sen perusteella täsmälleen seuraavat totuusarvoyhdistelmät (alla olevat rivit) ovat mahdollisia: Selvitä aluksi kokeellisesti, lopuksi arvaamalla, mille luonnollisille luvuille n N seuraava epäyhtälö näyttäisi olevan tosi, mille epätosi: (1) n 2 < 2 n. Onko keinoa, jolla voisit varmistua, onko arvauksesi oikea? Ratkaisu. Päässä laskemalla nähdään, että kun n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, on ja n 2 = 1, 4, 9, 16, 25, 36 2 n = 2, 4, 8, 16, 32, 64. Tältä osin ovat siis pienimmät luonnolliset luvun n, joille epäyhtälö (1) on tosi, luvut 1, 5 ja 6. 5
6 Tuntien (toisen) potenssifunktion sekä (2-kantaisen) eksponenttifunktion konstailematonta käyttäytymistä ja ottaen huomioon, että yllä näkyvä ero arvosta n = 4 alkaen kasvoi voimakkaasti, vaikuttaisi hyvältä arvaukselta, että ehdon (1) toteuttavat luonnolliset luvut olisivat 1 ja 5, 6, 7,... eli että ratkaisujoukko olisi {1} { n N n 5 }. Jos arvaus on oikea, sen voi todistaa oikeaksi induktioperiaatetta käyttäen (ks. alkaen kohdasta 1.15, parhaiten s. 7). Ohjeita vertais- ja itsearviointiin Yleisohje: Ajattelu ja perustelu on normaalisti periaatteessa tärkeämpää kuin tulosten virheettömyys: Väärästä tuloksesta huolimatta voi saada jopa täydet, jos ajatukset ovat oikein mutta on sattunut jokin lipsahdus! Oikea tulos mutta väärin tai puuttuvin perusteluin/ajatuksin ei yleensä tuota (läheskään?) täysiä pisteitä! Perustelut ovat tärkeitä, ellei toisin sanota. Yleensä tärkeitä ovat myös lähdeviittaukset. Näin ensimmäisellä kerralla on silti eri syistä syytä olla armelias! 80 = pistettä ratkaisuista korkeintaan, 20 pistettä tasan, jos tekee itse- ja kaksi vertaisarviointia: yhteensä 100 pistettä saatavissa tästä harjoituksesta. 1. Tässä on 14 kysymystä, joten vastausta kohti on jaossa 1,5 pistettä. Perustelut ovat kuitenkin tärkeitä; tässä niitä on kahdella tasolla: palauttaminen implikaatioihin ja implikaatioiden totuusarvon perusteleminen. Sama toistuu niin monta kertaa, että joka kerta ei tarvitse sanoa kaikkea. Mutta vakavaa on erityisesti, jos riittävyyden tai välttämättömyyden määritelmän käyttö ei mitenkään näy vaan yritetään sormituntumalta. Jos kaikki perustelut puuttuvat, voi saada korkeintaan noin puolet pisteistä, vaikka vastaukset olisivat oikein, sillä perusteluja pyydettiin painokkaasti! Vastausten kokonaisuuden arviointi on joka tapauksessa hyväksi! 2. Tässä perustelujen ei tarvitse olla pitkiä, mutta määritelmän tuntemisen ja käytön pitäisi näkyä! Ratkaisun voi tarvittaessa tässäkin yrittää arvioida kokonaisuutena. Luonnollisten lukujen joukosta pitää tietää, ettei nolla tällä kurssilla siihen kuulu: se on selvästi sanottu materiaalissa. (Tiettyä videota ei ole vielä linkitetty kurssimateriaaliksi; kun se tehdään, nollan asemaa vielä korostetaan ja olihan itse videossakin varoitus asiasta!) 3. Tässä a-kohdasta on jaossa 16, b-kohdasta 6 pistettä. Kohta a on vaikea selvittää (paitsi: jos tietää/arvaa vastauksen, on helppo se perustella), ja vaikka perusteluja ei vaadittu, kaikenlaisesta ymmärryksestä ja perustelusta kannattaa antaa anteliaasti pisteitä, vaikka vastaus olisikin aika väärin! 4. Pisteet voisivat jakautua 7+7 tehtävän kohdille. Implikaation määritelmän käytön pitäisi jotenkin näkyä (paitsi jos se on selvästi käynyt ilmi aiemmissa). 5. Pelkkä vastaus ei tuo täysiä pisteitä, vaan joitakin perusteluja pitää näkyä! Jälkimmäinen, henkilökohtainen, kysymys on vapaaehtoinen. Todistuskeinoista ei (paperin yläosassa sanottuun) tehtäväalueeseen tiettävästi kuulu muuta kuin induktio(periaattee)n käyttö, joten se mainitsemalla voi tässä saada anteeksi, jos ei tiennyt, että meillä 0 / N. 6
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
Lisätiedot-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
LisätiedotJokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
Lisätiedotb) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotPerustele vastauksesi hyvin ja selvästi! Esitä riittävästi lähdeviittauksia: mitä tämän kurssin määritelmää, lausetta, esimerkkiä tms. hyödynnät.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matemaattinen analyysi I Harjoitus 2 / Ratkaisut Tehtävissä yleisohjeistuksena oli: Perustele vastauksesi hyvin ja selvästi! Esitä riittävästi lähdeviittauksia:
LisätiedotTehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
LisätiedotNimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...
2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen
LisätiedotLoogiset konnektiivit
Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:
LisätiedotLOGIIKKA johdantoa
LOGIIKKA johdantoa LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Logiikan tehtävä: Logiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat päättelyt
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Lisätiedot4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf
LisätiedotRatkaisu. Tapa (a), perusmenetelmä: Sovellamme kaavaa (1.26) mutta huomaa, että nyt kyseessä ei ole x:n vaan 2x + 3:n itseisarvo!
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matemaattinen analyysi I Harjoitus 3 / Ratkaisut Tehtävissä yleisohjeistuksena oli: Perustele vastauksesi hyvin ja selvästi! Esitä riittävästi lähdeviittauksia:
LisätiedotInsinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
Lisätiedot3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
LisätiedotYhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014
Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotJuuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotPredikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka
Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia
LisätiedotMatemaatiikan tukikurssi
Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon
LisätiedotLisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi
Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Esimerkki a) Lauseen Kaikki johtajat ovat miehiä negaatio ei
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
Lisätiedot= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotVastaoletuksen muodostaminen
Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletus (Antiteesi) on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja vastaoletus yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
LisätiedotRatkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoon totuusjakauma v sellainen että v(p i ) = 1 kaikilla i N ja A propositiolause, jossa
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotJoukot. Georg Cantor ( )
Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista
LisätiedotT Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )
T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotPikapaketti logiikkaan
Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös
Lisätiedota) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi. 1. Kurssikerta ( )
Matemaattisen analyysin tukikurssi 1. Kurssikerta (16.9.2019) Yleistä Tukikurssista - 1. periodi: maanantaisin klo 14:15-15:45 huoneessa SH2 yht. 5 kertaa. Tenttiviikolla ei tukikurssia. 2. periodin ajat
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38
Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotRatkaisu: (b) A = x 0 (R(x 0 ) x 1 ( Q(x 1 ) (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 )))).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Palataan Partakylään. Olkoon P partatietokanta ja M tästä saatu malli kuten Harjoitusten 1
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
Lisätiedot(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotMatematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)
Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 1
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon
Lisätiedot3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.
3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta
LisätiedotLAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
Lisätiedot1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen.
Joukko-oppia Matematiikan mestariluokka, syksy 2010 Harjoitus 1, vastaukset 20.2.2010 1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi asettele
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotPredikaattilogiikkaa
Predikaattilogiikkaa UKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Kertausta ogiikan tehtävä: ogiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
Lisätiedot1.4 Funktion jatkuvuus
1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 3 Mikko Salo 1.9.2017 Sisältö 1. Logiikasta 2. Suora ja epäsuora todistus 3. Jaollisuus ja alkuluvut Todistus Tähän asti esitetyt todistukset ovat olleet esimerkinomaisia.
LisätiedotRatkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R):
Diskreetti matematiikka, sks 2010 Harjoitus 2, ratkaisuista 1. Seuraavassa on kuvattu kolme virtapiiriä, joissa on paristo, sopiva lamppu L ja katkaisimia P, Q, R, joiden läpi virta kulkee (1) tai ei kulje
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
LisätiedotRatkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).
Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotLuku 5 Kertaus. Tehtävä 1 Kerratkaa oppimanne asiat yhdessä keskustellen.
Luku Kertaus Tehtävä 1 Kerratkaa oppimanne asiat yhdessä keskustellen. - Samanmuotoiset termit - Lausekkeen ja yhtälön ero - Yhtälön totuusarvon tutkiminen - Yhtälön ratkaisun etsiminen - Yhtälön ratkaisun
LisätiedotSalausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotLogiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:
Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi
Lisätiedot10 Matriisit ja yhtälöryhmät
10 Matriisit ja yhtälöryhmät Tässä luvussa esitellään uusi tapa kirjoittaa lineaarinen yhtälöryhmä matriisien avulla käyttäen hyväksi matriisikertolaskua sekä sarakevektoreita Pilkotaan sitä varten yhtälöryhmän
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Lisätiedot3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen
Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotKirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi:
1 Logiikan paja, kevät 2011 Ratkaisut viikolle I Thomas Vikberg Merkitään propopositiosymboleilla p i seuraavia atomilauseita: p 0 : vettä sataa p 1 : tänään on perjantai p 2 : olen myöhässä Valitaan konnektiiveiksi,
Lisätiedot