5 Hypoteesien testaaminen
|
|
- Kalle Mikkonen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 5 Hypoteesien testaaminen Seuraavaksi tutustumme tilastollisiin testeihin ja niihin liittyviin peruskäsitteisiin Esittelemme aluksi hypoteesit sekä testisuureet ja puhumme p-arvosta (eli havaitusta merkitsevyystasosta) Ensi viikolla turvaudumme testaamisessa myös voiman käyttöön
2 5.1 Johdanto Tilastolliset testien avulla otetaan kantaa tutkittavaa ilmiötä koskeviin väitteisiin eli hypoteeseihin Esimerkkinä sopivasta kysymyksestä: onko lantti harhaton?
3 5.1.1 Esimerkki Tehdas on valmistanut suuren määrän hehkulamppuja, ja valmistaja väittää että korkeintaan 1% on rikki. Poimitaan sadan (100) lampun otos ja havaitaan että kolme (3) on rikki. Mitä voimme sanoa valmistajan väitteestä? Kumpi olisi parempi selitys havainnolle H 0 : Valmistaja puhuu totta (sattui vain peikkomaisesti) H 1 : Valmistaja puhuu vaihtoehtoista totuutta.
4 5.2.4 Esimerkki: lantin harhattomuus Halutaan tutkia, onko lantti harhaton. Tehdään tuhat heittoa, ja saadaan 560 kruunua. Voidaanko sanoa, että lantti on harhaton?
5 5.1.2 Testin vaiheet yleisesti Jotta kysymystä voitaisiin tarkastella tilastollisesti, formuloidaan koeasetelmaa kuvaava malli (ja oletamme että jokin parametrinen malli f Y (y; θ), θ Ω R d käy :) Testin vaiheet ovat yleisesti: 1. Asetetaan nollahypoteesi H 0 ja mahdollisesti vastahypoteesi H
6 5.2.1 Hypoteesit ja kysymyksenasettelu Hypoteesilla tarkoitetaan väitettä, joka koskee mallin parametria ja voidaan kirjoittaa muotoon θ Ω, jossa Ω on jokin Ω:n epätyhjä osajoukko Hypoteesi on yksinkertainen, jos Ω on yksiö ja yhdistetty muuten.
7 5.2.1 Nollahypoteesi ja vastahypoteesi Nollahypoteesi H 0 on väite H 0 : θ Ω 0 jonka paikkaansapitävyyden arviointi on testin tavoitteena Joskus halutaan päättää, että pitäisikö H 0 hyväksyä vai hylätä nollahypoteesi kuvaa neutraalia tai oletusarvoista tilannetta, joten erityisesti sen hylkäämistä väärin perustein tulee välttää
8 5.2.1 Nollahypoteesi ja vastahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi eli vastahypoteesi H 1 on väite H 1 : θ Ω 1 jonka paikkaansapitävyyden arviointi on testin tavoitteena Aina Ω 0 Ω 1 = ja usein (muttei aina) Ω = Ω 0 Ω 1. Jos vastahypoteesi asetetaan, arvioidaan pitäisikö H 1 hyväksyä nollahypoteesin H 0 sijaan, eli jos H 0 päätetään hylätä ollaan hyväksymässä H 1
9 5.1.1 Esimerkki: jatkuu Lamppukoetta voimme mukavasti mallintaa mallilla K Bin(100, θ), missä θ Ω = (0, 1) on rikkinäisten lamppujen suhde kaikkiin valmistettuihin. Nyt väitteet H 0 : Valmistaja puhuu totta (sattui vain peikkomaisesti) H 1 : Valmistaja puhuu vaihtoehtoista totuutta. voidaan muotoilla H 0 : θ Ω 0 = (0, 0.01] ja H 1 : θ Ω 1 = (0.01, 1) tai mukavammin H 0 : θ 0.01 ja H 1 : θ > 0.01 Kumpikin väitteistä on yhdistetty väite.
10 5.2.4 Esimerkki: jatkuu Lanttikoetta voimme mukavasti mallintaa mallilla K = kruunujen lkm Bin(1000, θ), missä θ Ω = (0, 1) Nyt nollahypoteesi H 0 : θ = 1 2 Tämä on yksinkertainen väite
11 Esimerkki ja : hypoteesijoukot kuvina
12 5.1.2 Testin vaiheet yleisesti Jotta kysymystä voitaisiin tarkastella tilastollisesti, formuloidaan koeasetelmaa kuvaava malli (ja oletamme että jokin parametrinen malli f Y (y; θ), θ Ω R d käy :) Testin vaiheet ovat yleisesti: 1. Asetetaan nollahypoteesi H 0 ja mahdollisesti vastahypoteesi H Valitaan käyttävä testisuure
13 5.2.2 Testisuure Testisuureella tarkoitetaan aineistosta laskettavaa reaaliarvoista tunnuslukua t = t(y), jolla on monotonisuusominaisuus Tyypillisesti t:n pienet arvot ovat sopusoinnussa H 0 :n kanssa ja suuret arvot ovat sitä vastaan (tukevat H 1 :tä jos se on asetettu) Kaksisuuntaisissa testausasetelmissa testisuuressa mitataan poikkeamaa vertailuarvosta t 0, ja voidaan ymmärtää t t 0 :na Testisuureen valinta on testauksen suurin haaste (siihen vaikuttaa tilastollinen malli, H 0, H 1 ) Myöhemmin käsittelemme yleisiä periaatteita valinnalle, sekä tavallisten mallien tyypillisiä testisuureita.
14 5.1.1 Esimerkki: jatkuu Lamppukoetta voimme mukavasti mallintaa mallilla K = k(y) Bin(100, θ), missä θ Ω = (0, 1) on rikkinäisten lamppujen suhde kaikkiin valmistettuihin. Nyt valmistajan väitettä H 0 tukee havainnot, joissa on vähän rikkinäisiä lamppuja ja väitettä vastaan ovat suuret K:n arvot. Nämä puolestaan tukevat vastaväitettä H 1 Valitsemme tässä testisuureeksi k = k(y):n eli rikkinäisten lamppujen lukumäärän.
15 5.2.4 Esimerkki: jatkuu Lanttikoetta voimme mukavasti mallintaa mallilla K = kruunujen lkm Bin(1000, θ), missä θ Ω = (0, 1) Kun nollahypoteesi H 0 : θ = 1 2, niin odotamme, että saadaan 500 kruunua (t 0 = 500 vertailuarvo) Päädymme valitsemaan kaksisuuntaisen testausasetelman ja testisuureeksi poikkeaman t(y) = k 500 Tällöin pienet arvot (eli havainnot lähellä odotettua 500:aa) ovat sopusoinnussa H 0 :n kanssa ja suuret arvot (joko selvästi yli tai selvästi alle 500:n) ovat sitä vastaan.
16 5.1.2 Testin vaiheet yleisesti Jotta kysymystä voitaisiin tarkastella tilastollisesti, formuloidaan koeasetelmaa kuvaava malli (ja oletamme että jokin parametrinen malli f Y (y; θ), θ Ω R d käy :) Testin vaiheet ovat yleisesti: 1. Asetetaan nollahypoteesi H 0 ja mahdollisesti vastahypoteesi H Valitaan käyttävä testisuure 3. Lasketaan havaittua aineistoa vastaava testisuureen arvo sekä havaittu merkitsevyystaso eli p-arvo 4. Tehdään johtopäätökset
17 5.2.3 Havaittu merkitsevyystaso Oletus: käytämme testisuuretta t, jonka suuret arvot ovat H 0 :lle kriittisiä Olkoon T = t(y) sitä vastaava sm ja y havaittu aineisto. Määritelmä Testin p-arvo eli havaittu merkitsevyystaso p on todennäköisyys p = p(y) = P θ (T t(y)), θ Ω 0 jos H 0 on yksinkertainen tai jos tämä todennäköisyys on sama kaikilla θ Ω 0 ja muutoin p = p(y) = sup θ Ω 0 P θ (T t(y)).
18 5.3 Havaitun merkitsevyystason tulkinnasta p-arvo on siis yläraja H 0 :n pätiessä sille tn:lle, että satunnaismuuttuja T saa arvon, joka on yhtä suuri tai suurempi kuin nyt havaittu arvo t(y). hyvin pieni p-arvo todistaa H 0 :aa vastaan (ja voi jopa johtaa hylkäykseen), ei ihan pieni p-arvo taas on sopusoinnussa H 0 :n kanssa Huom. p-arvon laskeminen edellyttää sitä, että testisuuretta vastaavan satunnaismuuttujan T jakauma hallitaan ainakin kaikilla nollahypoteesiarvoilla θ Ω 0
19 5.3 Havaitun merkitsevyystason tulkinnasta Huom. p-arvon laskeminen edellyttää sitä, että testisuuretta vastaavan satunnaismuuttujan T jakauma hallitaan ainakin kaikilla nollahypoteesiarvoilla θ Ω 0 on siis eduksi, että testisuureen jakauma on hyvin tunnettu Käytännössä p-arvon laskennassa joudutaan usein turvautumaan approksimattivisiin jakaumatuloksiin ja niistä saataviin likiarvoihin
20 5.3 havaittu merkitsevyystaso kuvana
21 5.1.1 Esimerkki: jatkuu Lamppukokessa: mallina K Bin(100, θ), missä θ Ω = (0, 1) on rikkinäisten lamppujen suhde kaikkiin valmistettuihin. Testisuureena: k eli rikkinäisten lamppujen lukumäärän. Havaittu testisuureen arvo on siis k = 3, joten kun θ H 0 eli kun θ < 0.01 on P θ (K 3) P 0.01 (K 3) = 1 P 0.01 (K 2) 0.08
22 5.1.1 Esimerkki: jatkuu Siispä: tässä havaittu merkitsevyystaso eli p-arvo on p 0.08 = 8/100. Tämä on pieni, muttei hurjan pieni, joten H 0 :aa ei kannata hylätä Jos taas rikkinäisiä olisi ollut k = 5, olisi p-arvo tällöin p = 3/1000 ja nyt H 0 voitaisiin jo hylätä ja siten hyväksyä vastahypoteesi H 1
23 5.1.1 p-arvot kuvina
24 5.1.1 p-arvot kuvina
25 5.1.1 p-arvot kuvina
26 5.2.4 Esimerkki: jatkuu Lanttikokeessa: mallina K Bin(1000, θ), missä θ Ω = (0, 1) Testisuureena: t(y) = k 500 eli kuinka paljon kruunujen lkm eroaa (nollahypoteesin vallitessa) odotetusta 500:sta Havaittiin: k = 560, joten p-arvo on P H0 (t(y) t(y)) = P 1 ( K ) 2 = 1 P 1 (440 < K < 560) 2 Tämän numeerinen laskeminen ja siitä tehtävien johtopäätösten tekemin on (HT).
27 5.2.4 p-arvot kuvina
28 5.3.1 P-arvo on tunnusluku p-arvo on aineistosta laskettu tunnusluku p = p(y) se mittaa aineiston ja nollahypoteesin yhteensopivuutta usein sovelluksissa ilmoitetaan p-arvo likimääräisesti ja tulkitaan sitä sanallisesti
29 5.3.2 Päätösteoreettinen lähestymistapa Joissakin sovelluksissa on tarpeen tehdä havaitun aineiston perusteella selkeä päätös: joko H 0 hyväksytään tai se hylätään ja mahdollinen vastahypoteesi H 1 hyväksytään. Voimme toimia seuraavasti: Kiinnitetään jo ennalta jokin luku α (0, 1), jota kutsutaan merkitsevyystasoksi. Lasketaan aineistosta p-arvo p = p(y) ja verrataan sitä valittuun merkitsevyystasoon: jos p > α, niin H 0 hyväksytään, ja jos taas p α, niin H 0 hylätään ja mahdollinen H 1 hyväksytään.
30 5.3.2 Tavallisia merkitsevyystasoja Tämä tapa määrää kullakin merkitsevyystasolla α (0, 1) päätössäännön { H 0 hylätään (H 1 hyväksytään), kun p α y H 0 hyväksytään (H 1 hylätään), kun p > α Tavallisesti käytetään seuraavia merkitsevyystasoja: 0.05 melkein merkitsevä α = 0.01 merkitsevä erittäin merkitsevä Higgsin bosonin kohdalla merkitsevyystasona α käytettiin lukua α = (yksisuuntaiselle testille)
31 5.3.2 Päätökset ja niiden seuraukset Hypoteesin testauksen päätöspeli voidaan esittää taulukkona Hyväksytään H 0 Hylätään H 0 H 0 totta Päätös ok :) Hylkäämisvirhe!! H 0 ei totta Hyväksymisvirhe Päätös ok :) Hylkäämisvirhettä nimitään usein I lajin ja hyväksymisvirhettä II lajin virheeksi, koska hylkäämisvirhettä pidetään vakavampana
32 5.3.2 Päätökset ja niiden seuraukset Analogia päätöspelille ja virhelajeille on: H 0 : henkilö N on syytön H 1 : henkilö N on syyllinen N vapautetaan N tuomitaan H 0 syytön vapautetaan syytön tuomitaan!! H 1 syyllinen vapautetaan syyllinen tuomitaan
33 5.3.2 Merkitsevyystaso ja hylkäämisvirheen tn Hylkäysvirhettä on syytä välttää, joten kuinka todennäköistä sen tekeminen on? Havaitsemme, että merkitsevyystasolla α hylkäämme H 0 :n virheellisesti todennäköisyydellä P H0 (hylätään H 0 ) = P H0 (p(y) α) α Eli: α on hylkäämisvirheen todennäköisyyden yläraja.
34 5.3.2 Merkitsevyystaso ja hylkäämisvirheen tn Testauksessa valitaan α (eli hylkäämisvirheen riski) etukäteen Testisuureen valintaa ohjaa siten hyväksymisvirheen hallinta ja tätä käsittelee testisuureen voima (tähän palaamme piakkoin)
35 5.3.3 P-arvo ei puhu H 0 :n todennäköisyydestä Huom. joskus saattaa törmätä ajatukseen, että p-arvo on nollahypoteesin todennäköisyys, ja lyhyesti: tästä ei ole kyse Frekventistisesti väitteeseen { θ Ω 0 } emme luonnolisestikaan liitä mitään tn-tulkintaa Bayesiläisittäin ajateltunakaan p-arvo ei puhu väitteen { θ Ω 0 } todennäköisyydestä vaan testisuureen häntätodennäköisyydestä, kun H 0 oletetaan.
36 5.3.4 Valintakorjaus Tilastollisissa tutkimuksissa tapaa toisinaan menettelyä, jossa samaa tai samantapaisia nollahypoteeseja testataan usealla eri testillä ja raportoidaan saaduista p-arvoista pienin eli tilastollisesti merkitsevin Tämä on ongelmallista sillä helposti näemme aineistossa (tai sen osassa) merkityksiä ja säännönmukaisuuksia, joita siellä on vain sattuman johdosta Tilastollisesti pätevä menettelytapa on, että ennen aineistoon tutustumista tai jopa ennen sen keruuta päätetään, millaisia hypoteeseja halutaan tutkia ja mitä testejä tähän tarkoitukseen käytetään
37 5.3.4 Valintakorjaus Jos kuitenkin testataan samaa nollahypoteesia useammilla testeillä voidaan tehdä valintakorjaus. sama nollahypoteesi H 0 : θ Ω 0 tehdään k eri testiä, p-arvot p 1 (y),..., p k (y) muodostetaan sm Q = min(p 1 (Y),..., p k (Y)) Ajatus: mitataan milloin tn, että tehtäisiin ainakin yksi hylkäämisvirhe olisi korkeintaan annettu α?
38 5.3.4 Valintakorjaus Tiedämme jo: P θ (p j (Y) p) p kun θ Ω 0 kullakin p (0, 1) ja kullakin j Jos p 1 (Y),..., p k (Y), niin P θ (Q q) 1 (1 q) k kun θ Ω 0 kullakin q (0, 1). Yleisemmin (ilman riippumattomuutta), Bonferronin ey kun θ H 0 kullakin q (0, 1) P θ (Q q) kq
39 5.3.4 Valintakorjaus Esimerkiksi, tehdään kolme testiä k = 3 ja saadaan p-arvot p 1 = 0.05, p 2 = 0.2 ja p 3 = 0.3. Tällöin (jälkimmäisellä ey:llä) P θ (min(p 1, P 2, P 3 ) 0.05) = 0.15 joten olisimme tn:llä 0.15 tekemässä ainakin yhden hylkäämisvirheen.
40 5.4 Normaalimallin perustestit Palautetaan mieliin normaalimallin perustestit (johdantokursseilta) Ensin esitelllään perustestit odotusarvolle (sekä tapauksessa varianssi tunnetaan ja että sitä ei tunneta) Ja sitten palautamme mieleen perustestin varianssille
41 5.4.1 Odotusarvon testi, kun varianssi tunnettu Havainnot: Y 1,..., Y n N(µ, σ 2 ) (5.1) Oletetaan, että σ 2 = σ0 2 > 0 on tunnettu Tarkastellaan kaksisuuntaista testausasetelmaa: H 0 : µ = µ 0, H 1 : µ µ 0. (5.2) Testaussuure: z-testisuure z = z(y) = n(y µ0 ) σ 0
42 5.4.1 Odotusarvon testi, kun varianssi tunnettu Kun H 0 on voimassa: Z = z(y) N(0, 1), joten p = P µ0 ( Z z ) = 2(1 Φ( z )) Taulukosta: p 0.05 kun z 1.96 p 0.01 kun z 2.58 p kun z 3.29
43 5.4.1 Kaksisuuntainen testausasetelma kuvana
44 5.4.1 Kaksisuuntainen testausasetelma kuvana
45 5.4.1 Odotusarvon testi, kun varianssi tunnettu Tarkastellaan nyt yksiisuuntaista testausasetelmaa: H 0 : µ = µ 0, H 1 : µ > µ 0. (5.2) Nyt z-testisuuretta vastaa p-arvo p = P µ0 (Z z) = 1 Φ(z)
46 5.4.1 Yksisuuntainen testausasetelma kuvana
47 5.4.2 Odotusarvon testi, kun varianssi kiusaa Havainnot: Y 1,..., Y n N(µ, σ 2 ) (5.1) Tällä kertaa myös varianssi on tuntematon. Tarkastellaan kaksisuuntaista testausasetelmaa: H 0 : µ = µ 0, H 1 : µ µ 0. (5.2) Nyt H 0 = { µ 0 } (0, ) on yhdistetty
48 5.4.2 Odotusarvon testi, kun varianssi kiusaa Nyt satunnaismuuttuja n(y µ0 ) Z = Z(Y) = σ ei ole tunnusluku eikä siten kelpaa testisuureeksi Käyttämällä otosvarianssia päädytään t-testisuureeseen T = t(y) = Y µ 0 S 2 /n
49 5.4.2 t-testisuureen jakauma (TN2 Lause 10.7) Kun (µ, σ 2 ) H 0, niin t-testisuureen jakauma noudattaa Studentin t-jakaumaa vapausasteella n 1, sillä: a) T = Z/ V /(n 1), missä Z V ja b) n(y µ0 ) Z = N(0, 1) σ c) ja 2 (n 1)S V = χ 2 n 1. σ 2 Huom. Vaikka σ esiintyykin yllä, on testisuureen T jakauma sama kaikilla (µ, σ 2 ) H 0.
50 5.4.2 t-testisuureen p-arvot kuvina
51 TN2 luku5: t-jakauma Määritelmä 5.2 (t-jakauma, TN2) Jos Z N(0, 1) ja V χ 2 ν (jollekin ν > 0) ja Z V, niin satunnaismuuttujalla T = Z V /ν on jakauma, jota kutsutaan (Studentin) t-jakaumaksi ν:llä vapausasteella tai vapausasteluvulla ν (engl. degrees of freedom, df), eli T t ν.
52 5.4.3 Varianssin testi Tarkastellaan nyt hypoteeseja H 0 : σ 2 = σ 2 0, H 1 : σ 2 > σ 2 0. Tässäkin H 0 on yhdistetty: H 0 = R { σ 2 0 } Testisuure voidaan rakentaa otosvarianssin varaan Valitsemme testisuureeksi (n 1)S 2, mikä noudattaa χ 2 n 1 -jakaumaa, kun H 0 on voimassa. p-arvoksi saamme siten häntätodennäköisyyksiä χ 2 n 1 -jakaumasta. σ 2 0
53 5.5 Testin voima ja Neymanin Pearsonin teoria Tähän mennessä olemme tutustuneet hypoteesien testaukseen ja eri tyyppisiin päätösvirheisiin Kun merkitsevyytaso on asetettu, on hylkäysvirheen todennäköisyys taputeltu. Kysymys: millä perusteilla testisuure pitäisi valita? Vai onko ihan sama mitä testisuuretta käyttää? Tähän kysymykseen antaa valoa voiman (engl. power) käsite
54 5.5 Testin voima ja Neymanin Pearsonin teoria Tarkastellaan tilannetta: Y 1,..., Y n Poi(λ) Tarkastellaan hypoteeseja: H 0 : λ = 1, H 1 : λ > 1. Tiedämme: EY 1 = λ ja var Y 1 = λ Voisimme ajatella: t 1 (y) = y 1 tai t 2 (y) = s 2 1 olisivat sopivia testisuureita. Kumpaa kannattaisi käyttää? Vai onko ne yhtä hyviä?
55 5.5.1 Kriittiset alueet ja voimafunktio Seuraavassa oletetaan aina: tilastollinen malli f Y (y; θ), ja parametriavaruus Ω. Tarkastellaan päätöstehtävää: H 0 : θ Ω 0, H 1 : θ Ω 1, (5.3) tarkoituksena on joko hyväksyä H 0 tai hylätä se ja hyväksyä H 1 sen sijaan.
56 5.5.1 Kriittiset alueet ja voimafunktio Valitaan merkitsevyytaso α (0, 1) ja palautetaan mieleen päätössäätömme { H 0 hylätään, kun p α y H 0 hyväksytään, kun p > α missä p-arvo p = p(y) Havaitsemme: jos sovimme että H 0 hylätään vastaa lukuarvoa 1 ja hyväksyminen vastaa lukuarvoa 0, niin päätös on y 1{ y C α } kun joukko C α = { y ; p(y) α }
57 5.5.1 Kriittiset alueet ja voimafunktio Määritelmä Joukko C α = { y ; p(y) α } on testisuureen t = t(y) indusoima α-tasoinen kriittinen alue. Päätössääntö H 0 :n hylkäämisestä on siten mukavasti esitetty kriittisen alueen avulla 1{ y C α }.
58 5.5.1 Kriittiset alueet ja voimafunktio Lasketaan päätössääntöä vastaavan sm:n 1{ Y C α } odotettu arvo, mitä kutsumme voimaksi. Määritelmä Testisuureen t = t(y) α-tasoinen voima tai voimafunktio π α (θ) = P θ (Y C α ) = P θ (H 0 hylätään), θ Ω. Huom. π α (θ) α aina, kun θ Ω 0 ja 1 π α (θ) = P θ (hyväksymisvirhe), kun θ Ω 1.
59 5.5.1 Kriittiset alueet ja voimafunktio Voiman avulla voimme nyt hallita myös hyväksymisvirheen: kun merkitsevyytaso α on valittu, pyritään valitsemaan testisuure t, jonka voima on mahdollisimman lähellä ykköstä, kun H 1 pätee.
60 5.5.2 Esimerkki: toistokoemalli Tarkastellaan toistokoemallia K Bin(7, θ) Hypoteesit: H 0 : θ 0.4, H 1 : θ > 0.4 Merkitsevyystaso: α = 0.1 ja testisuure: k. Tällöin: Kriittinen alue { 5, 6, 7 } sekä: voimafunktio π 0.1 (θ) = θ 7 (21g(θ) 2 + 7g(θ) + 1), kun g(θ) = (1 θ)/θ.
61 5.5.2 Esimerkki: voimafunktion kuva
62 5.5.2 Esimerkki: voimafunktion kuva
63 5.5.3 Esimerkki: normaalimallin odotusarvo Oletetaan, että Y 1,..., Y n N(µ, σ 2 0 ). Nollahypoteesina H 0 : µ = 0 ja vastahypoteesina H 1 : µ 0. Testisuureena: z = z(y) = ny/σ 0 Tällöin: kriittinen alue C α = { y ; y z α/2σ 0 n } missä Φ(z α/2 ) = 1 α/2. ja voimafunktio nµ π α (µ) = 1 Φ(z α/2 ) + Φ( z α/2 σ 0 nµ σ 0 )
64 5.5.3 Esimerkki: voimafunktioiden kuvaajat
65 5.5.3 Esimerkki: voimafunktioiden kuvaajat
66 5.5.4 Testien voiman vertailu Oletetaan että t ja t ovat kaksi testisuuretta ja testataan samoja hypoteeseja H 0 : θ Ω 0, H 1 : θ Ω 1, (5.3) Määritelmä Testisuure t on voimakkaampi kuin t pisteessä θ Ω 1, jos π α (θ; t) π α (θ; t ) (5.4) Testisuure t on tasaisesti voimakkaampi kuin t, jos se on voimakkaampi jokaisella θ Ω 1.
67 5.5.4 Testien voiman vertailu Nyt voimme etsiä voimakkaimpia testisuureita :) Määritelmä Testisuure t on voimakkain pisteessä θ Ω 1, jos testisuure t on voimakkaampi kuin mikä tahansa testisuure t pisteessä θ Ω 1. Testisuure t on tasaisesti voimakkain, jos se on voimakkain testisuure jokaisella θ Ω 1. Huom. Mikä olisi mukavampaa, kuin käyttää aina kussakin testausasetelmassa sitä vastaavaa tasaisesti voimakkainta testisuuretta :) Valitettavasti aina tälläista ei löydy (paitsi tietty yksinkertaisimmissa testausasetelmissa).
68 5.5.Neymanin Pearsonin apulause Lause Tarkastellaan tilastollista mallia f Y (y; θ) ja yksinkertaisia hypoteeseja H 0 : θ = θ 0 ja H 1 : θ = θ 1. Merkitään v(y) = L(θ 1; y) L(θ 0 ; y) = f Y(y; θ 1 ) f Y (y; θ 0 ) Tämä on voimakkain testisuure kaikilla α, joilla jollakin v α. Todistus. Ehkä liitutaululla. P θ0 (v(y) v α ) = P θ0 (Y C α) = α.
69 5.5.4 Neymanin Pearsonin apulause Testisuuretta v(y) kutsutaan uskottavuusosamäärän testisuureeksi. Joukko C α = { y ; v(y) v α } on Neymanin Pearsonin α-tasoinen kriittinen alue, eli testissä v nollahypoteesi hylätään, jos { y C α }. Ekvivalentti testi eli samat p-arvot ja kriittiset alueet saadaan mistä tahansa sen aidosti kasvavasta muunnoksesta. Myöhemmin käytetään siitä varsinkin muunnosta 2 log v(y) = 2 ( l(θ 1 ; y) l(θ 0 ; y) ). Käytännössä Neymanin Pearsonin apulauseen oletukset ovat harvoin voimassa.
70 5.5.5 Esimerkki: uskottavuusosamäärän testi normaalimallin odotusarvolle Seuraavassa esimerkissä sillä löydetään tasaisesti voimakkain testisuure (vaikka oletukset eivät toteudukaan) Tarkastellaan taas normaalimallia Y 1,..., Y n N(µ, σ 2 0 ) sen eräs uskottavuusfunktio (laskimme jo esimerkissä tämän) on L(µ) = exp ( n(y µ)2 ) 2σ0 2 Kun H 0 : µ = µ 0 ja H 1 : µ = µ 1 ja µ 1 > µ 0, niin Neymanin Pearsonin uskottavuusosamäärän saadaan muotoon L(θ 1 ; y) L(θ 0 ; y) = exp ( n 2σ 2 0 ((y µ 1 ) 2 (y µ 0 ) 2) = exp ( n 2σ0 2 (2y(µ 1 µ 0 ) (µ 2 1 µ 2 0) )
71 5.5.5 Esimerkki: uskottavuusosamäärän testi normaalimallin odotusarvolle Kun µ 1 > µ 0 on kuvaus v(y) = exp ( n 2σ0 2 (2y(µ 1 µ 0 ) (µ 2 1 µ 2 0) ) = w(y) ja w on aidosti kasvava. Havaitsemme: P µ0 (v(y) v(y)) = P µ0 (w(y ) w(y)) = P µ0 (z(y) z(y)) kun z(y) = n(y µ 0 )/σ 0 on z-testisuure. Siispä testisuurella v ja z on samat p-arvot
72 5.5.5 Esimerkki: uskottavuusosamäärän testi normaalimallin odotusarvolle Koska lisäksi α = P µ0 (Y C α ) = P µ0 (Z c ) niin luvusta tiedämme, että c on luku, jolla α = 1 Φ(c ). Olemme päätelleet: z-testisuureella ja Neymanin Pearsonin uskottavuusosamääräntestisuureella on sama kriittinen alue ja niillä on samat p-arvot, joten ne ovat ekvivalentit
73 5.5.6 Monotoninen uskottavuusosamäärä Tarkastellaan yleisesti mallia f Y (y; θ), jonka parametri on yksiulotteinen. Määritelmä Sanotaan, että mallilla on monotoninen uskottavuusosamäärä, jos löytyy sellainen tunnusluku t = t(y), että v(y) = L(θ 1; y) L(θ 0 ; y) = f Y(y; θ 1 ) f Y (y; θ 0 ) = w(t(y)) ja lisäksi w on aidosti kasvava aina kun θ 1 > θ 0. Huom. tällöin t(y) on tasaisesti voimakkain testisuure, kun H 0 : θ = θ 0 ja H 1 : θ > θ 0 (vast. H 1 : θ < θ 0 )
74 5.5.7 Esimerkki: eksponenttimalli Oletetaan: Y 1,..., Y n Exp(λ) ja 0 < λ < λ. Tällöin: v(y) = f Y (y; λ ) f Y (y; λ) = (λ ) n exp( λ yi ) λ n exp( λ y i ) = ( λ λ )n exp( (λ λ) y i ) = w( y i )
75 5.5.7 Esimerkki: eksponenttimalli Päättelemme: mallilla on monotoninen uskottavuusosamäärä Testisuure t(y) = y i on tasaisesti voimakkain testisuure testille H 0 : λ = λ 0, H 1 : λ > λ 0. (pienet arvot ovat kriittisiä).
76 5.6 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä I Realistisissa testausasetelmissa ainakin vastahypoteesi on yhdistetty eikä yleensä ole mahdollista löytää tasaisesti voimakkainta testiä Monotonine uskottavuusosamäärä on poikkeus. Kysymykseen onko mitenkään mahdollista läytää sopivia testisuureita? esittelemme kolme uskottavuusfunktioon perustuvaa testiä
77 5.6.2 Uskottavuusosamäärän testisuure Tämä perustuu Neymanin Pearsonin testisuureeseen Korvataan θ 1 (koska H 1 yhdistetty) suurimman uskottavuuden estimaatilla Määritelmä Testisuuretta r(y) = 2 ( l( θ(y); y) l(θ 0 ; y) ) kutsutaan uskottavuusosamäärän testisuureeksi. Tämä on aina positiivinen ja suuret arvot ovat kriittisiä H 0 :lle. Intuitiivisesti ajattelemme, että jos uskottavuus θ 0 :ssa on paljon pienempi kuin uskottavuus su-estimaatissa, niin tämä todistaa H 0 :aa vastaan.
78 5.6.3 Esimerkki: normaalimalli, kun varianssi tunnettu Jälleen kerran normaalimalli toimii mainiosti. Oleteaan: Y 1,..., Y n N(µ, 1) ja tarkastellaan hypoteesia H 0 : µ = µ 0. Tällöin: l(µ; y) = n/2(y µ) 2 sekä µ = y. Siispä: r(y) = n(y µ 0 ) 2, kun H 0 pätee. Siispä: r(y) χ 2 1, kun H 0 pätee, koska tällöin n(y µ0 ) N(0, 1).
79 5.6.4 Uskottavuusosamäärän testisuureen asymptoottinen jakauma Edellisen normaalimallin tulos on voimassa asymptoottisesti kun havainnot ovat samoin jakautuneita ja riippumattomia, sekä malli on riittävän säännöllinen. Apulause Asymptoottisesti uskottavuusosamäärätestin jakauma on r(y) as χ 2 1, kun H 0 : θ = θ 0 pätee (5.6) Todistus. Ehkä liitutaululla.
80 5.6.4 Uskottavuusosamäärän testisuureen asymptoottinen jakauma Todistuksen oleellisin pointti on näyttää, että r(y) ι(θ 0 )( θ(y) θ 0 ) 2 Tällöin su-estimaattorin asymptoottinen normaalisuus (Lause 3.6.5) kertoo, että Ja tästä väite seuraakin. ι(θ0 )( θ(y) θ 0 ) N(0, 1) as
81 5.5.3 khin neliön χ 2 1 tiheysfunktion kuvaaja
82 5.6.5 Waldin testisuure Nämä testisuureet perustuu suoraan erotukseen θ θ 0 :) Määritelmä Asetetaan ja w 1/2 (y) = ι(θ 0 )( θ(y) θ 0 ) w(y) = ι(θ 0 )( θ(y) θ 0 ) 2. Näitä kutsutaan Waldin testisuureiksi. Vaihtoehtoisia testisuureita saadaan vaihtamalla Fisherin informaatio joksikin seuraavista: j(θ 0 ; y), j( θ; y) ja ι( θ)
83 5.6.5 Waldin testisuure Tyypillisin variantti mitä näkee, on se, missä käytetään Fisherin informaatiota su-estimaatin kohdalla ι( θ) Edellä nähtiin, että seuraavien testisuureiden asymptoottinen jakauma selviää su-estimaattorin asymptoottisesta normaalisuudesta Tarkemmin: w 1/2 (Y) as N(0, 1), w(y) as χ 2 1 kun H 0 : θ = θ 0 pätee Näistä w 1/2 :ta voi käyttää sekä yksi- että kaksisuuntaiseen vastahypoteesien kanssa ja w:tä kaksisuuntaisten vastahypoteesien kanssa
84 5.6.6 Raon testisuure Raon pistemäärätestisuure perustuu ajatukseen, että H 0 :n pätiessä pistemäärän l (θ 0 ; y) 0. Tarkemmin: (säännöllisille malleille) pistemäärän odotusarvo E θ l (θ 0 ; Y) = 0 kun H 0 pätee (Apulause 2.5.3) Osoitimme luvussa että kaiken lisäksi l (θ 0 ; Y) as N(0, ι(θ 0 )) kun H 0 : θ = θ 0 pätee
85 5.6.6 Raon testisuure Määritelmä Asetetaan u 1/2 (y) = l (θ 0 ; y) ι(θ0 ) ja u(y) = l (θ 0 ; y) 2 ι(θ 0 ) Näitä kutsutaan Raon testisuureiksi. Testisuureita käytetään samoin kuin Waldin testisuureita. Huom. eräs Raon testisuureiden hyvistä puolista on, ettei su-estimaattia tarvitse selvittää niiden muodostamista varten
86 5.6.7 Esimerkki: eksponenttimalli Verrataan edellisiä testisuureita eksponenttimallille, sillä normaalimallilla eroja on hankala havaita :) Oletetaan: Y 1,..., Y n Exp(1/µ) ja nollahypoteesi H 0 : µ = µ 0 (ja µ 0 > 0) Tiedämme: log-uskottavuusfunktio on l(µ; y) = n log µ ny/µ Tiedämme: µ = y (otoskeskiarvo).
87 5.6.7 uskottavuusosamäärätesti eksponenttimallille Uskottavuusosamäärän testisuure voidaan nyt määrätä r(y) = 2 ( n(log µ log µ) ny(1/ µ 1/µ) ) = 2n ( log(y/µ) 1 + y/µ ) Waldin ja Raon testisuureita varten tarvitsemme vielä Fisherin informaation ι(µ)
88 5.6.7 Fisherin informaatio eksponenttimallille Derivoimalla kahdesti µ:n suhteen saamme, Siispä: l (µ; y) = n µ 2 2ny µ 3 ι(µ) = E µ ( l (µ; Y)) = n µ 3 (E µ(2y µ)) = n µ 2
89 5.6.7 Waldin testisuure eksponenttimallille Edellisten laskujen mukaan w 1/2 (y) = ι(µ 0 )( µ(y) µ 0 ) = n(y µ0 ) µ 0 Tämän variantti, kun Fisherin informaatio korvataan ι( µ):lla, on n(y w 1/2 µ0 ) (y) = y Koska tämä on vallan tyypillinen määritelmä Waldin testisuureelle, käytämme seuraavassa jälkimmäistä
90 5.6.7 Raon testisuure eksponenttimallille Pistemäärä jäi laskematta, mutta l (µ; y) = n/µ + ny/µ 2 = n(y µ) µ 2 Siispä Raon testisuure on u 1/2 (y) = 1 ι(θ0 ) n(y µ 0) µ 2 = 0 n(y µ0 ) µ 0
91 5.6.7 Numeerinen esimerkki kestoikämalli (1.2.2): µ = keskimääräinen kestoikä (tunneissa) H 0 : µ = 1000 (eli valmistaja väittää kestoksi 1000 tuntia (keskimäärin) H 1 : µ < 1000 (arvellaan pienemmäksi, mitä valmistaja väittää) otoskoko n = 50 ja havaitaan y = 800. Koska yksisuuntainen testi, niin uskottavuusosamäärän testisuure ei kovin käyttökelpoinen.
92 5.6.7 Numeerinen esimerkki Waldin testisuure (jälkimmäinen variantti): Raon testisuure: w 1/2 (y) = 50( ) u 1/2 (y) = 50( )
93 5.6.7 Numeerinen esimerkki Waldin testisuure (jälkimmäinen variantti) ja p-arvo: 50( ) w 1/2 (y) = 800 Raon testisuure ja p-arvo: 1.77, p Φ( 1.77) u 1/2 (y) = 50( ) , p Φ( 1.41) Tarkka p-arvo (sillä Y /10 χ 2 100, kun µ = 1000) p = P 1000 (Y /10 80) 0.070
5 Hypoteesien testaaminen
5 Hypoteesien testaaminen Seuraavaksi tutustumme tilastollisiin testeihin ja niihin liittyviin peruskäsitteisiin Esittelemme aluksi hypoteesit sekä testisuureet ja puhumme p-arvosta (eli havaitusta merkitsevyystasosta)
Lisätiedot5.7 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä II
5.7 Uskottavuusfunktioon perustuvia testejä II Tässä pykälässä pohditaan edellä tarkasteltujen kolmen testisuureen yleistystä malleihin, joiden parametri on useampiulotteinen, ja testausasetelmiin, joissa
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
Lisätiedot6.1.2 Luottamusjoukon määritelmä
6.1.1 Johdanto Olemme tarkastelleet piste-estimointia: tavoitteemme oli etsiä tunnuslukuja t, joilla piste t(y) hyvä arvio mallin parametrille θ (tai sen muunnokselle g(θ)). Pelkän piste-estimaatin esittäminen
Lisätiedot3 Yleistä estimointiteoriaa. Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin
3 Yleistä estimointiteoriaa Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin 3.1 Johdanto Tähän mennessä olemme tarkastelleet estimointia
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
Lisätiedot1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
LisätiedotTässä luvussa mietimme, kuinka paljon aineistossa on tarpeellista tietoa Sivuamme kysymyksiä:
4. Tyhjentyvyys Tässä luvussa mietimme, kuinka paljon aineistossa on tarpeellista tietoa Sivuamme kysymyksiä: Voidaanko päätelmät perustaa johonkin tunnuslukuun t = t(y) koko aineiston y sijasta? Mitä
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
Lisätiedot2. Uskottavuus ja informaatio
2. Uskottavuus ja informaatio Viimeksi käsittelimme uskottavuusfunktioita, log-uskottavuusfunktioita ja su-estimaatteja Seuraavaksi tarkastelemme parametrin muunnoksia ja kuinka su-estimaatit käyttäytyvät
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
Lisätiedot2. Uskottavuus ja informaatio
2. Uskottavuus ja informaatio Aluksi käsittelemme uskottavuus- ja log-uskottavuusfunktioita Seuraavaksi esittelemme suurimman uskottavuuden estimointimenetelmän Ensi viikolla perehdymme aiheeseen lisääkö
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät Ratkaisuehdotuksia
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 14..2017 Ratkaisuehdotuksia 1. Olkoon θ positiivinen parametri, ja asetetaan 2θ 1 y exp y 2 /θ), kun y > 0 fy; θ) = 0, muuten
Lisätiedot3 Yleistä estimointiteoriaa. Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin
3 Yleistä estimointiteoriaa Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin 3.1 Johdanto Tähän mennessä olemme tarkastelleet estimointia
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B
Tilastollinen päättömyys, kevät 7 Harjoitus 6B Heikki Korpela 8. helmikuuta 7 Tehtävä. Monisteen teht. 6... Olkoot Y,..., Y 5 Nµ, σ, ja merkitään S 5 i Y i Y /4. Näytä, että S/σ on saranasuure eli sen
LisätiedotTilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
LisätiedotTilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo
Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia
LisätiedotJos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 8B Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 8B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatkoa Harjoitus 8A tehtävään 3. Muodosta odotusarvolle µ approksimatiivinen
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Hypoteesin testauksesta Tilastollisessa testauksessa on kyse havainnoista tapahtuvasta päätöksenteosta. Kokeellisen tutkimuksen
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi
Lisätiedot10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut
10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastollisen merkitsevyyden testaus Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
Lisätiedotl (φ; y) = l(θ(φ); y) Toinen derivaatta saadaan tulon derivaatan laskusäännöllä Uudelleenparametroidun mallin Fisherin informaatio on
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 018 Harjoitus B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1 (Monisteen tehtävä 14) Olkoon f Y (y; θ) tilastollinen malli, jonka
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy
Lisätiedotedellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
LisätiedotPelaisitko seuraavaa peliä?
Lisätehtävä 1 seuraavassa on esitetty eräs peli, joka voidaan mallintaa paramterisena tilastollisena mallina tehtävänä on selvittää, kuinka peli toimii ja näyttää mallin takana oleva apulause (Tehtävä
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 2A
Tilastollinen päättely II, kevät 07 Harjoitus A Heikki Korpela 3. tammikuuta 07 Tehtävä. (Monisteen tehtävä.3 Olkoot Y,..., Y n Exp(λ. Kirjoita vastaava tilastollisen mallin lauseke (ytf. Muodosta sitten
LisätiedotKertausluento. Tilastollinen päättely II - 2. kurssikoe
Kertausluento Tilastollinen päättely II - 2. kurssikoe Yleistä tietoa TP II -2. kurssikokeesta 2. kurssikoe maanantaina 6.5.2019 klo 12.00-14.30 jossakin Exactumin auditoriossa Kurssikokeeseen ilmoittaudutaan
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotYleistä tietoa kokeesta
Yleistä tietoa kokeesta Kurssikoe järjestetään maanantai 7.5. klo 12-15 jossakin Exactumin auditorioista. Korvaava kurssikoe keskiviikkona (yleisenä tenttipäivänä) 11.4. klo 16-19 jossakin Exactumin auditorioista.
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastollisen merkitsevyyden testaus Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
Lisätiedot11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut
11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5
MS-A Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Tilastollinen testaus Tilastollisten testaaminen Tilastollisen tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta on esitetty jokin väite tai
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A
Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotSisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS...
Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO... 9 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET... 11 TEHTÄVIÄ... 13
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotTutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)
1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotTilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely. Geneettinen analyysi
Tilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely Geneettinen analyysi Tilastollisen testaamisen tarkoitus Tilastollisten testien avulla voidaan tutkia otantapopulaatiota (perusjoukkoa) koskevien väittämien
LisätiedotHAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT
HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT F: E: Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies (1) 59 28 4 91 Nainen (2) 5 14 174 193 Yhteensä 64 42 178 284 Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies
Lisätiedotr = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.
A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotSisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4
Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN...6 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO...7 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET...9
Lisätiedot1. Nollahypoteesi on, että teksti on kirjoitettu lyhyemmällä murteella. Mahdollisiavaihtoehtojaonvainyksieliettäteksti
Sosiaalitieteiden laitos Tilastotieteen jatkokurssi, kevät 20 7. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset. Nollahypoteesi on, että teksti on kirjoitettu lyhyemmällä murteella. Mahdollisiavaihtoehtojaonvainyksieliettäteksti
Lisätiedot¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.
10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu
Lisätiedot2. Keskiarvojen vartailua
2. Keskiarvojen vartailua Esimerkki 2.1: Oheiset mittaukset liittyvät Portland Sementin sidoslujuuteen (kgf/cm 2 ). Mittaukset y 1 ovat nykyisestä seoksesta ja mittaukset y 2 uudesta seoksesta, jossa lisäaineena
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Kalle Kytölä, Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
Lisätiedot2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN...
!" # 1. 1. JOHDANTO... 3 2. 2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN... 4 2.1. T-TESTI... 4 2.2. RANDOMISAATIOTESTI... 5 3. SIMULOINTI... 6 3.1. OTOSTEN POIMINTA... 6 3.2. TESTAUS... 7 3.3. TESTIEN TULOSTEN VERTAILU...
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
Lisätiedot9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut
9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t
LisätiedotValitaan testisuure, jonka jakauma tunnetaan H 0 :n ollessa tosi.
9.10.2018/1 MTTTP1, luento 9.10.2018 KERTAUSTA TESTAUKSESTA, p-arvo Asetetaan H 0 H 1 Valitaan testisuure, jonka jakauma tunnetaan H 0 :n ollessa tosi. Lasketaan otoksesta testisuureelle arvo. 9.10.2018/2
Lisätiedot806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.
806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ
LisätiedotAalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 017 Laskuharjoitus 4, Kotitehtävien palautus Mycourses:iin PDF-tiedostona
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotKertausluento. Tilastollinen päättely II - 1. kurssikoe
Kertausluento Tilastollinen päättely II - 1. kurssikoe Yleistä tietoa TP II -1. kurssikokeesta 1. Kurssikoe on to 7.3 klo 12.00-14.30 (jossakin Exactumin auditorioista, salijako selvinnee tuolloin torstiana).
Lisätiedot