Törmäystaajuus. Määritellään seuraavaksi hiukkasten törmäysaika kaasussa keskiarvona yksittäisten törmäysten välisistä ajoista τ j,
|
|
- Lasse Parviainen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Törmäystaajuus Määritellään seuraavaksi hiukkasten törmäysaika kaasussa keskiarvona yksittäisten törmäysten välisistä ajoista τ j, n 1 τ coll = lim n n τ j ja vastaavasti törmäystaajuus (yhden hiukkasen keskimäärin kokemien törmäysten määrä tietyssä aikayksikössä) j=1 f coll = 1 τ coll. Hiukkasten keskimääräinen nopeus saa nyt muodon j l j < v > = lim n τ j j = 1 lim n n j l j, 1 lim n j τ j n josta saadaan yllä johdettuja identiteettejä käyttämällä hyödyllinen tulos λ = < v > τ coll. Diffuusio Diffuusiolla viitataan ilmiöön, jossa normaalin (tasapainotilassakin esiintyvän) lämpöliikkeen seurauksena pienet tietyn hiukkaslajin tiheys- tai konsentraatioerot pyrkivät ajan mittaan häviämään. Ilmiö esiintyy yhtä lailla silloin kun tasaisesti jakaantuneeseen väliaineeseen lisätään toisen lajin hiukasia sekä silloin kun yhdestä hiukkastyypistä koostuvassa kaasussa tai nesteessä on pieniä tiheyseroja. Saman ilmiön nähdään myöhemmin kuvaavan myös muunkaltaisten suureiden arvojen tasoittumista, esimerkkinä mm. lämpötilaerojen tasoittuminen lämmönjohtumisen kautta. Merkitään nyt tarkasteltavana olevaa (hiukkas)tiheyttä symbolilla n(r, t) ja vastaavaa virrantiheyttä j(r, t):llä. Hiukkasten lukumäärän säilymisestä seuraa 1
2 standardiargumentein (vrt. faasiavaruuden virtauksen johto aiemmin kurssilla) jatkuvuusyhtälö n t + j = 0, joka osoittautuu hyödylliseksi kuitenkin vasta, kun osaamme liittää suureet j sekä n toisiinsa mikroskooppisen dynamiikan kautta. Yksinkertainen fenomenologinen argumentti on lähteä liikkeelle tasapainotilasta, jossa selvästi n on vakio ja j häviää, ja tutkia pienten tiheyserojen rajaa. Tällöin on odotettavissa, että n:n gradientit ovat pieniä ja että virtaus pyrkii kompensoimaan niitä, ts. tasoittamaan tiheyseroja. Yksinkertaisin ja fysikaalisesti oikea oletus on kirjoittaa lineaarinen verrannollisuus j = D n, missä D on nk. diffuusiovakio. Tätä tulosta kutsutaan Fickin laiksi ja se pätee niin kauan kun hiukkastörmäyksiin liittyvät pituus- ja aikaskaalat ovat lyhyitä tiheysvaihteluihin liittyviin skaaloihin verrattuna. Yhdistämällä ylläolevat kaavat saadaan ns. diffuusioyhtälö, n t = D 2 n, josta tiheysjakauma saadaan ratkaistua riittävien reunaehtojen kanssa. Saatu tulos on hämmästyttävän universaali ja kuvaa diffuusiodynamiikkaa hyvin erityyppisissä fysikaalisissa systeemeissä, joista saamme pianesimerkkejä. Kuten kineettisen teorian tarkasteluissa yleisemminkin, kvantitatiivisten ennusteiden tekemiseen tarvitaan tiettyä informaatiota myös systeemin mikroskooppisesta dynamiikasta tällä kertaa diffuusiovakion D arvon muodossa. Kyseisen vakion määrittäminen eri systeemeille voi joissakin tapauksissa olla hyvinkin haastavaa; harvan klassisen kaasun autodiffuusiolle saadaan kuitenkin johdettua tulos (jota emme tällä kurssilla valitettavasti ehdi johtaa) D = 1 3 v λ, missä λ on aiemmin määritelty vapaa matka ja v puolestaan kaasun hiukkasten nopeuden odotusarvo. 2
3 Esimerkki: lämmön johtuminen ja diffuusioyhtälön ratkaiseminen Tarkastellaan nyt konkreettisena esimerkkinä diffuusioprosesseista lämmön johtumista väliaineessa. Jos oletetaan, että prosessissa ei synny spontaanisti lämpöä eikä entropia kasva (vaan lämpö vain siirtyy paikasta toiseen), voidaan prosessille johtaa lämpövirran jatkuvuusyhtälö q t + j q = 0, missä q on lämmöntiheys tilavuusyksikköä kohti ja j q puolestaan lämpövirran tiheys. Käytetään nyt edelleen lämmönjohtauuden lakia j q = κ T, missä κ on lämmönjohtavuus, sekä relaatiota dq = Tds = c p dt, jossa lämmöntiheyden differentiaali ilmaistaan lämpötilan avulla ominaislämmön kautta. Näin saadaan lämpötilajakauman dynamiikkaa kuvaava diffuusioyhtälö T t = D T 2 T, missä termiselle diffusiivisuudelle pätee selvästi D T = κ/c p. Etsitään nyt ratkaisua lämmönjohtumisen diffuusioyhtälöön ensin yksiulotteisessa tapauksessa ja oletetaan alkuehdoksi pistemäinen lämpölähde, ts. T(x, t = 0) = δ(x), missä olemme selvästi asettaneet yhden dimensiollisen vakion ykköseksi. Kuten yleensäkin osittaisdifferentiaaliyhtälöiden tapauksessa, osoittautuu hyödylliseksi suorittaa Fourier-muunnos jonkun muuttujan suhteen, jonka valitsemme tässä tapauksessa paikkakoorditaatiksi x. Kirjoitetaan siis T(q, t) = dx e iqx T(x, t), T(x, t) = dx 2π eiqx T(q, t), missä oletamme, että lämpötilafunktion argumentit ilmaisevat onko tarkastelussa alkuperäinen funktio vai sen Fourier-muunnos. 3
4 Lämmönjohtumista kuvaavasta diffuusioyhtälöstä saadaan nyt T(q, t) = D t T q 2 T(q, t), jonka ratkaisu reunaehdolla (vrt. laskun lähtöoletus) T(q, t = 0) = 1 antaa tulokseksi suoraan ja edelleen T(x, t) = T(q, t) = e D Tq 2t, dq 2π eiqx e D Tq 2t 1 = exp ( x2 4πD T t 4D T t ). Saatu analyyttinen ratkaisu toteuttaa diffuusioyhtälön halutulla alkuehdolla, kuten voidaan eksplisiittisesti osoittaa. Se kuvaa hitaasti ajan funktiona levenevää Gaussista lämpötilajakaumaa x-avaruudessa ja on varsin yhtäpitävä tilanteen dynamiikkaa koskevan naiivin fysikaalisen odotuksen kanssa. Kuva: Lämpötilajakauma T(x, t) dimensiottomissa yksiköissä diffuusiovakion arvolla D T = 1 ja ajanhetkillä t = 0.005, 0.02 ja 0.1. Diffuusioyhtälön ratkaisemiseen useampiulotteisessa tapauksessa palataan seuraavissa laskuharjoituksissa. Esimerkki: Johda arvio maaperän termiselle diffusiivisuudelle lähtien liikkeelle siitä tiedosta, että maakellarien tyypilliset syvyydet ovat parin metrin luokkaa. 4
5 Viskositeetit Tyypillisenä esimerkkinä ns. kuljetusteoreettisista tai hydrodynaamisista kertoimista tarkastellaan leikkaus- sekä tilavuusviskositeetteja η (tai μ) sekä ζ, jotka kuvaavat virtauksessa esiintyvää dissipaatiota. Ne esiintyvät hydrodynaamisista virtausta kuvaavassa Navier-Stokes yhtälössä kitkatermeissä ja ovat vakioita, joiden määrittäminen on tyypillinen (ja usein monimutkainen) kineettisen teorian piiriin kuuluva ongelma Leikkausviskositeetin yksinkertaisin määritelmä liittyy koeasetelmaan, jossa nestettä on kahden tasaisen samansuuntaisen levyn välissä. Jos toista levyä pidetään paikallaan ja toista liikutetaan nopeudella v, kohdistuu levyihin samansuuruinen mutta vastakkaissuuntainen voima, joka pienillä nopeuksilla saadaan kaavasta F = η A dv dy, missä A on levyjen pinta-ala ja y koordinaatti levyjen tasoa vastaan kohtisuorassa suunnassa. Tarkemmassa hydrodynaamisessa tarkastelussa osoittautuu, että nopeusprofiili v(y) on lineaarinen, joten voima ei riipu nestekerroksen paksuudesta. Tilavuusviskositeetti on useimmissa käytännön tilanteissa leikkausviskositeettia vähemmän tärkeä suure. Se kuvaa nesteen (isotrooppisessa) kokoonpuristuksessa vaikuttavia kitkavoimia ja on huomattava lähinnä hyvin kokoonpuristuvilla nesteillä. 5
6 Redusoitu yksihiukkastiheys ja Vlasovin yhtälö Siirrytään nyt tarkastelemaan mikroskooppista dynamiikkaa ja määritellään redusoitu yksihiukkastiheys f(r, v, t) todennäköisyystiheytenä siten, että f(r, v, t)d 3 r d 3 v on niiden hiukkasten lukumäärä, joiden paikka- ja nopeuskoordinaatit ovat hetkellä t tilavuuselementissä d 3 r d 3 v. Tätä suuretta käyttäen voidaan selvästi edelleen määritellä hiukkastiheydet paikka- ja nopeusavaruudessa n(r, t) = f(r, v, t)d 3 v sekä hiukkasten kokonaislukumäärä n(v, t) = f(r, v, t)d 3 r N(t) = n(r, t)d 3 r = f(r, v, t)d 3 r d 3 v. Redusoidulla yksihiukkastiheydellä on selvästi läheinen yhteys aiemmin käsiteltyyn N-hiukkassysteemin todennäköisyystiheyteen ρ( ) faasiavaruudessa. Jos jälkimmäinen tunnetaan, voidaan f lausua muodossa f(r, v, t) = N ρ( )δ 3 (r r 1 ) δ 3 (v v 1 )d = m 3 h 3N (N 1)! ρ( )d3 r 2 d 3 p 2 r 1 =r,p 1 =mv 1. Tutkitaan seuraavaksi funktion f(r (t), v (t), t):n ajallista muutosta käyttämällä kokonaisaikaderivaatalle relaatiota df dt = r r f + v v f + f t Jos törmäyksiä hiukkasten välillä ei ole, seuraavat tilavuuselementit virtausta faasiavaruudessa ja hiukkasluvun säilymisestä seuraa relaatio df dt = 0. 6
7 Koska r = v ja F = mv, missä F on kaikkiin hiukkasiin vaikuttava voima (esim. gravitaatiovoima mg tai Lorentzin voima qe + qv B ), voidaan edelleen kirjoittaa f t + v rf + 1 m F v f = 0. Tämä on törmäyksetön kuljetusyhtälö eli Vlasovin yhtälö. Se on järkevä approksimaatio silloin, kun hiukkasten väliset törmäykset voidaan negligoida, eli kun ulkoiset (kaikkiin hiukkasiin yhtäläisesti vaikuttavat) voimat ovat systeemin dynamiikan kannalta tärkeämpiä kuin hiukkasten keskinäiset vuorovaikutukset. Näin voi olla pienen hiukkastiheyden ja lyhyen vuorovaikutuksen kantaman r c rajalla jolloin (N V)r 3 c 1, mutta useimmissa käytännön sovelluksissa törmäykset on otettava kuljetusyhtälössä huomioon. Boltzmannin kuljetusyhtälö Jos hiukkasten väliset törmäykset ovat systeemin kollektiivisen dynamiikan kannalta tärkeitä, voidaan Vlasovin kuljetusyhtälön oikealle puolelle kirjoittaa lisätermi joka kuvaa hiukkastörmäysten vaikutusta todennäköisyystiheyteen, ts. sitä, että osa tilavuuselementin hiukkasista lentää törmäyksien johdosta muualle nopeusavaruuteen tai uusia hiukkasia tulee tilalle. Yhtälö saa tällöin muodon f t + v rf + 1 m F v f = ( f t ), coll missä ( f ) termiä kutsutaan usein törmäysintegraaliksi. Tämän lisätermin muoto t coll riippuu systeemin mikroskooppisten vuorovaikutusten luonteesta, ja pyrimme seuraavassa päättelemään sen yksinkertaisessa elastisten törmäysten tapauksessa. Tutkitaan nyt kahden identtisen hiukkasen 1 ja 2 elastisia törmäyksiä kaasussa, jossa on tasainen tiheysjakauma. Määritellään törmäyksien vaikutusala σ kaavalla σ = N s I t missä N s on sironneiden hiukkasten määrä/aikayksikkö ja I t puolestaan tulevien hiukkasten intensiteetti (määrä per aika per pinta-ala). Vaikutusala riippuu 7
8 hiukkasien ja niiden vuorovaikutusten ominaisuuksista ja on yleisesti sirontakulman θ sekä tulevien hiukkasten nopeuseron v v 1 v 2 funktio. Elastisissa törmäyksissä säilyy hiukkasten impulssin lisäksi myös liike-energia, joten voidaan kirjoittaa mv 1 + mv 2 = mv 1 + mv 2, 1 2 mv mv 2 2 = 1 2 mv mv 2 2. Jos alkutilan nopeudet oletetaan annetuiksi, näistä yhtälöistä voidaan ratkaista yhteensä neljä kuudesta lopputilan hiukkasia kuvaavista nopeuskomponenteista v 1 ja v 2. Massakeskipistekoordinaatistossa (MKP) jäljellejääviksi koordinaateiksi voidaan valita kulmat θ ja φ, joista ensinmainittu vastaa vektorien v 1 ja v 1 välistä kulmaa ja jälkimmäinen törmäystason suunnan määräävää kulmaa. Yllä tarkastellun kahden identtisen klassisen hiukkasen elastisten törmäysten tapauksessa voidaan törmäystermille johtaa tulos ( f 1(r, v 1, t) ) t coll = d 3 v 2 dω v r σ(v r, θ)(f 1 f 2 f 1 f 2 ), missä hiukkanen 1 vastaa Vlasovin yhtälön vasemmalla puolella esiintyvää hiukkasta, jonka dynamiikka tarkastellaan. Tässä integraalissa dω on avaruuskulmaelementti MKP-koordinaatistossa, ts siinä integroidaan kulmien θ ja φ yli v r = v 1 v 2 σ on törmäyksiä vastaava differentiaalinen vaikutusala ja määritelty kuten yllä Funktioiden f argumentit ovat f 1 = f(r, v 1, t), f 2 = f(r, v 2, t), f 1 = f(r, v 1, t), f 2 = f(r, v 2, t), jossa v 1 ja v 2 annetaan muiden suureiden avulla impulssin ja energian säilymistä käyttäen. Integraalin ensimmäinen termi vastaa prosesseja, joissa joku nopeuselementin d 3 v 1 ulkopuolinen hiukkanen siroaa tähän elementtiin ja jälkimmäinen miinusmerkkinen termi puolestaan törmäyksiä, joissa hiukkanen siroaa tästä nopeuselementistä pois. Kun tämä törmäystermi sijoitetaan Vlasovin yhtälön oikealle puolelle, saadaan tulokseksi kuuluisa Boltzmannin kuljetusyhtälö vuodelta
9 Törmäysintegraali voidaan haluttaessa kirjoittaa vaihtoehtoisessa muodossa ( f 1 t ) coll = d 3 v 2 d 3 v 1 d 3 v 2 W(1 2 12)[f 1 f 2 f 1 f 2 ], missä W(1 2 12) W(v 1, v 2, v 1, v 2 ) on ns. transitiotodennäköisyys, joka sisältää liikemäärän ja energian säilymisestä seuraavat δ-funktiotekijät. Jos (ja kun) mikroskooppinen teoria, ts. Hamiltonin funktio ja liikeyhtälöt, noudattaa ajankääntöinvarianssia, pätee lisäksi relaatio W( ) = W(1 2 12) eli ns. mikroskooppinen detaljibalanssi. Ylläolevan tuloksen johdossa on tehty eräitä merkittäviä oletuksia: Kaasu on niin harvaa, että kaikki törmäykset ovat kahden hiukkasen välisiä törmäyksiä Molekulaarinen kaaos: samassa avaruuselementissä olevien kahden hiukkasen törmäystodennäköisyys on suoraan verrannollinen niiden yksihiukkastiheyksien tuloon f 1 f 2. Molekulaarisen kaaoksen oletus merkitsee sitä, että hiukkasten väliset, niiden historiasta riippuvien korrelaatiot voidaan jättää dynamiikan ratkaisemisessa huomiotta. Tämä johtaa mielenkiintoiseen tulokseen, johon palaamme hetken päästä tarkemmin: mikroskooppisesta ajankääntösymmetriasta huolimatta Bolzmannin kuljetusyhtälö ei ole törmäystermin muodosta johtuen invariantti ajan käännön suhteen. Boltzmannin H-teoreema Määritellään seuraavaksi ns. Boltzmannin H-funktio H(t) = d 3 r 1 d 3 v 1 f(r 1, v 1, t) ln f(r 1, v 1, t) d 3 r 1 d 3 v 1 f 1 ln f 1, joka riippuu integraalien ansiosta vain ajasta. Kyseisen funktion aikaderivaatalle saadaan nyt helposti dh dt = d3 r 1 d 3 v 1 ( f 1 t ln f 1 + f 1 t ) = d3 r 1 d 3 v 1 f 1 t (ln f 1 + 1). 9
10 Boltzmannin kuljetusyhtälön mukaan pätee toisaalta jonka avulla saadaan f 1 t + v rf m F v f 1 = ( f 1 t ) coll = d 3 v 2 d 3 v 1 d 3 v 2 W(1 2 12)[f 1 f 2 f 1 f 2 ], dh dt = d3 r 1 d 3 v 1 { v 1 r f 1 1 m F v f 1 + d 3 v 2 d 3 v 1 d 3 v 2 W(v 1, v 2, v 1, v 2 )[f 1 f 2 f 1 f 2 ]} (ln f 1 + 1). Ensimmäiset kaksi termiä tuloksessa sisältävät funktion f 1 ln f 1 derivaattoja ainakin jos F ei riipu nopeudesta (Lorentz-voiman tapaus harjoitustehtävissä), joten ne voidaan Gaussin lauseen nojalla muuttaa pintaintegraaleiksi, jotka häviävät kunhan f 0 faasialueen reunalla. Jäljelle jää siis vain törmäystermi, eli dh dt = d3 r 1 d 3 v 1 d 3 v 2 d 3 v 1 d 3 v 2 W(v 1, v 2, v 1, v 2 )[f 1 f 2 f 1 f 2 ] (ln f 1 + 1). Yllä johdetun integrandin symmetrisyyden johdosta voidaan edelleen kirjoittaa dh dt = 1 2 d3 r 1 d 3 v 2 W(v 1, v 2, v 1, v 2 )[f 1 f 2 f 1 f 2 ] (ln f 1 + ln f 2 + 2) = 1 2 d3 r 1 d 3 v 2 W(v 1, v 2, v 1, v 2 )[f 1 f 2 f 1 f 2 ] (ln f 1 f 2 + 2) = 1 4 d3 r 1 d 3 v 2 W(v 1, v 2, v 1, v 2 )[f 1 f 2 f 1 f 2 ] (ln f 1 f 2 ln f 1 f 2 ), jossa olemme käyttäneet ensin symmetriaa 1 2 ja sen jälkeen antisymmetriaa 1,2 1, 2. Merkittävää tässä tuloksessa on se, että merkitsemällä x = f 1 f 2 ja y = f 1 f 2 ja käyttämällä tunnettua tulosta (x y)(ln x ln y) 0 saadaan näin johdettua epäyhtälö dh dt 0, 10
11 joka on selvästi ei-invariantti ajankäännön suhteen. Boltzmann teki osin tästä tuloksesta johtuen rohkean identifikaation S = H, jolloin yllä oleva tulos muuntuu termodynamiikan toiseksi pääsäännöksi ds dt 0, jonka mukaan eristetyn systeemin entropia ei voi vähetä. Yllättävän tuloksesta tekee se, että ajankäännön suhteen symmetrisestä mikroskooppisesta dynamiikasta on saatu johdettua eksplisiittisesti ajan suunnan osoittava tulos, jonka avulla määritelläänkin ns. termodynaamisen ajan käsite. Tarkempi tarkastelu osoittaa ilmiön johtuvan nimenomaan molekulaarisen kaaoksen alkuehdosta, joka johti yllä saatuun Boltzmannin yhtälön törmäysintegraalin muotoon. 11
Statistinen fysiikka I
Statistinen fysiikka I Kevät 2014 Luennoitsija Aleksi Vuorinen (aleksi.vuorinen@helsinki.fi, A322) Laskuharjoitusassitentti Lasse Franti (lasse.franti@helsinki.fi, A312) Yleistä Luennot salissa CK111 aina
LisätiedotMaxwell-Boltzmannin jakauma
Maxwell-Boltzmannin jakauma Homogeenisessa tasapainotilassa redusoidut yksihiukkastodennäköisyydet f voivat olla vain nopeuden funktioita, f = f(v ), ja H-funktio ei toisaalta voi riippua ajasta, eli dh
LisätiedotKULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta
LisätiedotMonissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta
8 LIIKEMÄÄRÄ, IMPULSSI JA TÖRMÄYKSET Monissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta Tällöin dynamiikan peruslain F = ma käyttäminen ei ole helppoa tai edes mahdollista Newtonin
LisätiedotKuljetusilmiöt. Diffuusio Lämmönjohtuminen Viskoosin nesteen virtaus Produktio ja absorptio
Kuljetusilmiöt Diffuusio Lämmönjohtuminen Viskoosin nesteen virtaus Produktio ja absorptio Johdanto Kuljetusilmiöt on yhteinen nimitys prosesseille, joissa aineen molekyylien liike aiheuttaa energian,
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotKuljetusilmiöt ja relaksaatioaika-approksimaatio
Kuljetusilmiöt ja relaksaatioaika-approksimaatio Tyypillinen kuljetusteoriassa tarkasteltava systeemi on sellainen, että hiukkastiheyden, hiukkasten keskimääräisen nopeuden ja siten lämpötilan arvot riippuvat
LisätiedotLuento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotIdeaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua
Ideaalikaasulaki Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua ja tilanmuuttujat (yhä) paine, tilavuus ja lämpötila Isobaari, kun paine on vakio Kaksi
LisätiedotLASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä
LASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä. Diffuusio yksiulotteisessa epäjärjestäytyneessä hilassa E J ii, J ii, + 0 E b, i E i i i i+ x Kuva.:
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1
763306A JOHDATUS SUHTLLISUUSTORIAAN Ratkaisut 3 Kevät 07. Fuusioreaktio. Lähdetään suoraan annetuista yhtälöistä nergia on suoraan yhtälön ) mukaan + m ) p P ) m + p 3) M + P 4) + m 5) Ratkaistaan seuraavaksi
LisätiedotMikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset
Lisätiedot1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit
1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian
LisätiedotDEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 2 ratkaisuiksi
DEE-4000 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen ratkaisuiksi Yleistä asiaa lämmönjohtumisen yleiseen osittaisdifferentiaaliyhtälöön liittyen Lämmönjohtumisen yleinen osittaisdifferentiaaliyhtälön
Lisätiedot1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria
Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.
LisätiedotLuento 8: Liikemäärä ja impulssi. Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä
Luento 8: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä 1 / 46 Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen
LisätiedotKäyttämällä annettua kokoonpuristuvuuden määritelmää V V. = κv P P = P 0 = P. (b) Lämpölaajenemisesta johtuva säiliön tilavuuden muutos on
766328A ermofysiikka Harjoitus no. 3, ratkaisut (syyslukukausi 201) 1. (a) ilavuus V (, P ) riippuu lämpötilasta ja paineesta P. Sen differentiaali on ( ) ( ) V V dv (, P ) dp + d. P Käyttämällä annettua
LisätiedotGaussin lause eli divergenssilause 1
80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedoty 2 h 2), (a) Näytä, että virtauksessa olevan fluidialkion tilavuus ei muutu.
Tehtävä 1 Tarkastellaan paineen ajamaa Poisseuille-virtausta kahden yhdensuuntaisen levyn välissä Levyjen välinen etäisyys on 2h Nopeusjakauma raossa on tällöin u(y) = 1 dp ( y 2 h 2), missä y = 0 on raon
Lisätiedot5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)
5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa
LisätiedotSMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän
LisätiedotSuurkanoninen joukko
Suurkanoninen joukko Suurkanonisessa joukossa systeemi on kanonisen joukon tavoin yhdistettynä lämpökylpyyn, mutta nyt systeemin ja kylvyn väliset (kuvitellut) seinät läpäisevät energian lisäksi myös hiukkasia
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
LisätiedotElektrodynamiikka, kevät 2008
Elektrodynamiikka, kevät 2008 Painovirheiden ja epätäsmällisyyksien korjauksia sekä pieniä lisäyksiä luentomonisteeseen Sivunumerot viittaavat vuoden 2007 luentomonisteeseen. Sivun 18 loppu: Vaikka esimerkissä
LisätiedotKLASSISET TASAPAINOJOUKOT (AH 4.3, , 7.2) Yleisesti joukoista
KLASSISET TASAPAINOJOUKOT (AH 4.3, 6.1-6.7, 7.2) 1 Yleisesti joukoista Seuraavaksi tarkastelemme konkreettisella tasolla erilaisia termodynaamisia ensemblejä eli joukkoja, millä tarkoitamme tiettyä makrotilaa
Lisätiedot8. Klassinen ideaalikaasu
Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 8. Klassinen ideaalikaasu 1 Fysikaalinen tilanne Muistetaan: kokeellisesti
LisätiedotTermodynamiikka. Termodynamiikka on outo teoria. Siihen kuuluvat keskeisinä: Systeemit Tilanmuuttujat Tilanyhtälöt. ...jotka ovat kaikki abstraktioita
Termodynamiikka Termodynamiikka on outo teoria. Siihen kuuluvat keskeisinä: Systeemit Tilanmuuttujat Tilanyhtälöt...jotka ovat kaikki abstraktioita Miksi kukaan siis haluaisi oppia termodynamiikkaa? Koska
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotPakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi
Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian
LisätiedotDerivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r
Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotZ 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2
766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.
Lisätiedot5 Kentät ja energia (fields and energy)
5 Kentät ja energia (fields and energy) Mansfield and O Sullivan: Understanding Physics, kappaleen 5 alkuosa 5.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton: vetovoima kahden kappaleen välillä on tai tarkemmin F m
LisätiedotLuvun 8 laskuesimerkit
Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20
Lisätiedotu = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
Lisätiedot= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
Lisätiedot9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit
9 Maxwellin yhtälöt 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet 9.5.1 Aaltoyhtälö tyhjössä 9.5.2 Potentiaaliesitys 9.5.3 Viivästyneet potentiaalit 9.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktio 9.6 Mittainvarianssi Typeset
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
Lisätiedot1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 5, ratkaisut syyslukukausi 204). Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta E n n + ) ω, n 0,, 2,... 2 a) Oskillaattorin partitiofunktio
LisätiedotKuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus
Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus värähtelytiheyden. 1 Funktiot ja aallot Aiemmin käsiteltiin funktioita ja miten niiden avulla voidaan kuvata fysiikan
LisätiedotLuento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa Matlab-esittelyä 1 / 20 Luennon sisältö Digress: vakio-
LisätiedotP = kv. (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, PV = nrt
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 2, ratkaisut (syyslukukausi 204). Kun sylinterissä oleva n moolia ideaalikaasua laajenee reversiibelissä prosessissa kolminkertaiseen tilavuuteen 3,lämpötilamuuttuuprosessinaikanasiten,ettäyhtälö
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia
LisätiedotLämmityksen lämpökerroin: Jäähdytin ja lämmitin ovat itse asiassa sama laite, mutta niiden hyötytuote on eri, jäähdytyksessä QL ja lämmityksessä QH
Muita lämpökoneita Nämäkin vaativat työtä toimiakseen sillä termodynamiikan toinen pääsääntö Lämpökoneita ovat lämpövoimakoneiden lisäksi laitteet, jotka tekevät on Clausiuksen mukaan: Mikään laite ei
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin
Lisätiedot1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus
S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotLuento 6: Liikemäärä ja impulssi
Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste
LisätiedotSuurkanoninen joukko
Suurkanoninen joukko Suurkanonisessa joukossa systeemi on kanonisen joukon tavoin yhdistettynä lämpökylpyyn, mutta nyt systeemin ja kylvyn väliset (kuvitellut) seinät läpäisevät energian lisäksi myös hiukkasia
Lisätiedot6 Monen kappaleen vuorovaikutukset (Many-body interactions)
6 Monen kappaleen vuorovaikutukset (Many-body interactions) 6.1 Newtonin III laki Voimme laskea kappaleen liiketilan Newtonin II lain avulla, jos tunnemme kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat. Jos kappaleita
Lisätiedot(b) Tunnista a-kohdassa saadusta riippuvuudesta virtausmekaniikassa yleisesti käytössä olevat dimensiottomat parametrit.
Tehtävä 1 Oletetaan, että ruiskutussuuttimen nestepisaroiden halkaisija d riippuu suuttimen halkaisijasta D, suihkun nopeudesta V sekä nesteen tiheydestä ρ, viskositeetista µ ja pintajännityksestä σ. (a)
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
Lisätiedotkertausta Boltzmannin jakauma infoa Ideaalikaasu kertausta Maxwellin ja Boltzmannin vauhtijakauma
infoa kertausta Boltzmannin jakauma Huomenna itsenäisyyspäivänä laitos on kiinni, ei luentoa, ei laskareita. Torstaina laboratoriossa assistentit neuvovat myös laskareissa. Ensi viikolla tiistaina vielä
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 6: Faasimuutokset Maanantai 5.12. Kurssin aiheet 1. Lämpötila ja lämpö 2. Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö 3. Lämpövoimakoneet
LisätiedotClausiuksen epäyhtälö
1 Kuva 1: Clausiuksen epäyhtälön johtaminen. Clausiuksen epäyhtälö otesimme Carnot n koneelle, että syklissä lämpötiloissa H ja L vastaanotetuille lämmöille Q H ja Q L pätee Q H H oisin ilmaistuna, Carnot
LisätiedotTilat ja observaabelit
Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5
Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5 February 4, 07 Tehtävä Oletetaan energian ominaisfunktiot φ n ortonormitetuiksi, dxφ nφ m = δ nm, jossa δ nm on Kroneckerin delta. Määritetään ensin superpositiotilan
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
LisätiedotTeddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011
Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011 1. Systeemin käyttäytymistä faasirajalla kuvaa Clapeyronin yhtälönä tunnettu keskeinen relaatio dt = S m. (1 V m Koska faasitasapainossa reaktion Gibbsin
LisätiedotLuento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
Lisätiedot1.4. VIRIAALITEOREEMA
1.4. VIRIAALITEOREEMA Vaikka N-kappaleen ongelman yleistä ratkaisua ei tunneta, on olemassa eräitä tärkeitä yleisiä tuloksia Jos systeemi on stabiili, eli paikat ja nopeudet eivät kasva rajatta kineettisen
LisätiedotMuita lämpökoneita. matalammasta lämpötilasta korkeampaan. Jäähdytyksen tehokerroin: Lämmityksen lämpökerroin:
Muita lämpökoneita Nämäkin vaativat ovat työtälämpövoimakoneiden toimiakseen sillä termodynamiikan pääsääntö Lämpökoneita lisäksi laitteet,toinen jotka tekevät on Clausiuksen mukaan: laiteilmalämpöpumppu
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 4: Entropia Maanantai 21.11. ja tiistai 22.11. Ideaalikaasun isoterminen laajeneminen Kaasuun tuodaan määrä Q lämpöä......
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Touko Herranen Luento 2: kineettistä kaasuteoriaa Pe 24.2.2017 1 Aiheet tänään 1. Maxwellin ja Boltzmannin
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot
LisätiedotAstrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut
Astrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut 1 a Kaasuseoksen komponentin i vapaa energia voidaan kirjoittaa F i (N,T,V = ln Z i (T,V missä on ko hiukkasten lukumäärä tilavuudessa
LisätiedotVoima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!
6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata
LisätiedotPHYS-A3121 Termodynamiikka (ENG1) (5 op)
PHYS-A3121 Termodynamiikka (ENG1) (5 op) Sisältö: Nestevirtaukset Elastiset muodonmuutokset Kineettinen kaasuteoria Termodynamiikan käsitteet Termodynamiikan pääsäännöt Termodynaamiset prosessit Termodynaamiset
Lisätiedot4. Termodynaamiset potentiaalit
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) uomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 4. ermodynaamiset potentiaalit 1 asapainotila Mikrokanoninen ensemble Eristetty
LisätiedotJakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti
Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi
LisätiedotValomylly. (tunnetaan myös Crookesin radiometrinä) Pieni välipala nykyisin lähinnä leluksi jääneen laitteen historiasta.
Valomylly (tunnetaan myös Crookesin radiometrinä) Mikko Marsch Pieni välipala nykyisin lähinnä leluksi jääneen laitteen historiasta Valomylly (tunnetaan myös Crookesin radiometrinä) Pieni välipala nykyisin
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
LisätiedotLuento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Keät 207. Rekyyli Luentomonisteessa on käsitelty tilanne, jossa hiukkanen (massa M) hajoaa kahdeksi hiukkaseksi (massat m ja m 2 ). Tässä käytetään
LisätiedotENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto Luento 8 /
ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto Luento 8 / 7.11.2016 v. 02 / T. Paloposki Tämän päivän ohjelma: Sisäenergia (kertaus) termodynamiikan 1. pääsääntö Entropia termodynamiikan 2. pääsääntö 1 Termodynamiikan
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot6. Yhteenvetoa kurssista
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 6. Yhteenvetoa kurssista 1 Keskeisiä käsitteitä I Energia TD1, siirtyminen lämpönä
LisätiedotFysiikan maailmankuva 2015 Luento 8. Aika ja ajan nuoli lisää pohdiskelua Termodynamiikka Miten aika ja termodynamiikka liittyvät toisiinsa?
Fysiikan maailmankuva 2015 Luento 8 Aika ja ajan nuoli lisää pohdiskelua Termodynamiikka Miten aika ja termodynamiikka liittyvät toisiinsa? Ajan nuoli Aika on mukana fysiikassa niinkuin jokapäiväisessä
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa
Lisätiedot