Matematiikan kielentäminen. Matematiikan kielentäminen. I Matematiikan kielentämisen perusteet. Tuttua tunneilta

Transkriptio

1 Matemaattisen ajattelun kehittämisen keinot koulutussarja 2011 Jorma Joutsenlahti Tampereen yliopisto Hyvin monet opiskelijat tuntevat, etteivät kykene milloinkaan ymmärtämään matematiikkaa, mutta että he voivat oppia tarpeeksi pettääkseen tenttijät luulemaan heidän ymmärtävän. He ovat kuin sanansaattaja, jonka on toistettava lause hänelle tuntematonta kieltä - täynnä huolta saada sanoma ilmoitetuksi, ennen kuin muisti pettää. Hän saattaa tehdä mitä kummallisempia virheitä. luokanopettajakoulutus Hämeenlinna 1 Sellainen opiskelu on selvästi ajantuhlaamista. Matemaattinen ajattelu on työkalu. (Sawyer 1958, 7-8) 2 I Matematiikan kielentämisen perusteet 3 4 Tuttua tunneilta Johdanto Esimerkkejä Tuo on ihan hepreaa Todistus: x+sy=s(x+y) (A4) 1+sy=s(1+y) (L2) 1+s0=s(1+0) (L2) x+0=x (A3) 1+0=1 (L2) 1+s0=s1 (L1) s0=1 (A1) 1+1=s1 (L1) s1=2 (A2) 1+1=2 (L1) Mitä toi on suomeksi sanottuna 5 6 1

2 Kirjallinen työskentely matematiikassa 7 8 PITKÄN MATEMATIIKAN YO- KIRJOITUKSET KEVÄT 2009 Lähteenä Aatos Lahtinen: Matematiikan ylioppilaskirjoitus keväällä 2009 (DIMENSIO 6/2009) kokeeseen osallistui kokelasta pakollisena kirjoitti 71% kokelaista tavanomainen 9 10 TEHTÄVÄ 6 (n=11 659) TEHTÄVÄT 8 ja 9 (n=11 659) Keskiarvo Hajonta Vastaus% 6 pistettä 4,0 2,2 87 n. 50% n. 14% 0 pistettä Huom! Tehtävä Keskiarv o Hajont a Vastaus % 6 pistettä 8 1,4 2, kpl 9 2,2 2, kpl Huom! Tyyppitehtävä vastaavassa kurssissa Tyyppisuoritus oli liian niukka. Paperilla oli vain kaava ilman selityksiä Lukiolaisille vaikeita osa-alueita: analyyttinen geometria 3- ulotteisessa avaruudessa ja trigonometria Turhan niukkaa esitystapaa. YTL ei vieläkään ole ajatustenlukija

3 Tiedon prosessoinnin näkökulma Kielentämisen perusteet Psykometrinen näkökulma Antropologinen näkökulma Matemaattinen ajattelu Matematiikan näkökulma Pedagoginen näkökulma JoJo Tärkeitä jatko-opinnoissa PISA mittasi Mathematical proficiency (Kilpatrick, etc. 2002, 16) Mathematical proficiency (Kilpatrick, etc. 2002, 16) Kieli Matematiikan kielentämisellä tarkoitetaan matemaattisen ajattelun ilmaisemista kielen avulla pääsääntöisesti suullisesti tai kirjallisesti (Joutsenlahti 2009, vrt. Høines 2000). Matemaattisella ajattelulla tarkoitetaan matemaattisen tiedon (konseptuaalisen, proseduraalisen tai strategisen) prosessointia, jota ohjaavat ajattelijan metakognitiot (Joutsenlahti 2005, Sternberg 1996). Kieli sisältää puhutun ja kirjoitetun kielen lisäksi kuvat, ilmeet, eleet sekä mm. matematiikan symbolikielen. Kieli on mukana kognitiivisissa kehitysprosesseissa. Kieltä ja ajattelua ei voi erottaa toisistaan kouluikäisillä. (Vygotski)

4 Saat opiskelijan puhumaan saat opiskelijan ajattelemaan. Saat opiskelijan puhumaan matematiikasta saat opiskelijan ajattelemaan matematiikkaa., luonnollinen kieli ja kuviokieli Lyhentein merkityt alueet ovat matematiikan luonnollinen kieli (MLK), matematiikan symbolikieli (MSK) ja matematiikan kuviokieli (MKK) (Joutsenlahti & Kulju 2010) Opetussuunnitelmat ja ohjeistukset Koulutusjärjestelmän mukainen tarkastelu Esiopetus Alkuopetus Peruskoulu luokat 3-9 Lukio Korkeakoulu Esiopetuksen OPS Esiopetuksessa on tärkeää kehittää lapsen keskittymistä, kuuntelemista, kommunikointia ja ajattelun taitoja. Matemaattisen ajattelun kehittymisessä on tärkeää, että lapsi oppii tarkkailemaan myös omaa ajattelemistaan. Lasta on kannustettava kertomaan, mitä hän ajattelee tai miten hän ajatteli. Perusopetuksen matematiikan ops:n perusteet 2004 (lk 1-2) Opetuksen ydintehtäviä mm.: matemaattisen ajattelun kehittäminen Tavoitteita: Käsitteiden muodostusprosessissa keskeisiä ovat puhuttu ja kirjoitettu kieli Oppilas oppii perustelemaan ratkaisujaan ja päätelmiään konkreettisin mallein ja välinein, kuvin, kirjallisesti tai suullisesti

5 Perusopetuksen matematiikan ops:n perusteet 2004 (lk 3-5) Opetuksen ydintehtäviä mm. matemaattisen ajattelun kehittämisen... Tavoitteita: Oppilas oppii perustelemaan toimintaansa ja päätelmiään sekä esittämään ratkaisujaan muille Perusopetuksen matematiikan ops:n perusteet 2004 (lk 6-9) ilmaisemaan ajatuksensa yksiselitteisesti ja perustelemaan toimintaansa ja päätelmiään esittämään kysymyksiä ja päätelmiä havaintojen perusteella Lukion ops:n perusteet (2003) Matematiikan opetuksen tehtävänä on tutustuttaa opiskelija matemaattisen ajattelun malleihin sekä matematiikan perusideoihin ja rakenteisiin, opettaa käyttämään puhuttua ja kirjoitettua matematiikan kieltä sekä kehittää laskemisen ja ongelmien ratkaisemisen taitoja. laatimaan perusteluja sekä arvioimaan perustelujen pätevyyttä ja tulosten yleistettävyyttä. YTL:n matematiikan kokeen ohjeet (2006) suositeltavia ovat standardoidut ja oppikirjoissa esiintyvät loogiset merkit, samoin ainakin muutaman sanan mittaiset selitykset tai perustelut sekä piirrokset ja näihin perustuvat huomautukset Käsite (Kouki 2010, 37) Käsite, käsitteen oppiminen ja ilmaiseminen

6 Käsite (Kouki 2010, 38) Käsitteen sisältö - assosiaatiot, uskomukset -mielipiteet -aikaisemmat tiedot -havainnot viittaa esittää Ulkoinen tarkoite -toimintamateriaali -esine, asia, ilmiö - ominaisuus tms. 31 JoJo Summa summarum Kielentämisen tarkoituksena on luoda oppijalle itselleen merkityksiä matematiikan käsitteistä ja toiminnoista oman mielen maisemaan (ymmärtäminen). oppia ilmaisemaan matemaattista ajattelua muille ymmärrettävästi (esittäminen) II Suullinen kielentämisen

7 Kommunikaatio Latinan communicare tehdä yleiseksi, jakaa Käsitteiden merkitysten rakentaminen ei ole luokassa kunkin oppilaan yksityinen oma prosessi, vaan luokan yhteinen prosessi. Kommunikoinnin avulla tietoa ei siirretä vaan rakennetaan yhdessä. (Sfard 2000, 2001) RYHMÄ OPISKELIJA OPETTAJA Matematiikan kielentämisessä opiskelija Matematiikan kielentäminen jäsentää omaa matemaattista ajatteluaan puhuessaan (kirjoittaessaan) uskaltaa ilmaista itseään omin sanoin virheitä pelkäämättä ( Joutsenlahti 2003, Joutsenlahti & Kulju 2010) Matematiikan kielentämisessä opiskelija näkee kielentämisen hyötynä sen, että muiden opiskelijoiden on helpompi seurata oman ratkaisun kulkua, kun esittämisessä hyödynnetään monipuolisesti ja tarkoituksenmukaisesti kieliä ts. matematiikan symbolikieltä, luonnollista kieltä, ja kuviokieltä. (presentaatio näkökulma) oppii lopulta ilmaisemaan itseään täsmällisesti matematiikan käsitteitä käyttäen ( Joutsenlahti 2003, Joutsenlahti & Kulju 2010) Opiskelijan matematiikan kielentämisestä opettaja voi arvioida opiskelijan oppimisprosessia (mm. käsitteiden ymmärtämistä sekä algoritmien hallintaa) ohjata keskustelua opetuksen tavoitteiden suunnassa (Joutsenlahti 2003, 2009)

8 Opiskelijan matematiikan kielentämisestä opettaja suunnitella uusia yksilöllisiä opetusjärjestelyjä (tukiopetus, eriyttäminen, erityisopetus) lyhyellä aikavälillä suunnitella ryhmän opetusjärjestelyjä pitkällä aikavälillä oppii olemaan kuuntelija (Joutsenlahti 2003, 2009) Suulliseen kielentämiseen ohjaaminen luokassa 1. Koko luokan keskustelu (Whole- Class Discussion) 2. Pienryhmä keskustelu (Small-Group Discussion) 3. Parikeskustelu (Partner Talk) (Chapin, O Connor & Anderson 2009) Suulliseen kielentämiseen ohjaaminen luokassa Keskustelun ohjaamisen keinoja: 1. Uudelleen kertominen: opiskelija sanoo itse uudelleen eri sanoin (Revoicing) 2. Toistaminen: toinen opiskelija kertoo omin sanoin miten ymmärsi toisen opiskelijan päättelyn tms. (Repeating) 3. Päättely: opiskelija vertaa omaa päättelyään toisen opiskelijan päättelyyn. (Reasoning) 4. Lisääminen: opiskelijoita kehotetaan jatkamaan toisen opiskelijan esitystä. (Adding on) 5. Odottaminen: opettaja määrää yhteisen tuumaustauon (Waiting) (Chapin, O Connor & Anderson 2009) 45 Matematiikan kielentämisessä muu ryhmä reflektoi omaa matemaattista ajatteluaan suhteessa ilmaistuun ajatteluun ja rakentaa siten omaa matemaattista ymmärrystään voi ymmärtää opiskeltavia käsitteitä yms. uudella tavalla vertaisryhmän kielen kautta arvioi esitetyn ratkaisun oikeellisuutta ja oppii keskustelemaan eri ratkaisuvaihtoehdoista

9 III Kirjallinen kielentäminen 49 Taustaa Oppilaan monipuolinen kirjoittaminen matemaattisten tehtävien ratkaisuissa edistää matematiikan oppimista, kehittää matemaattista ymmärtämistä, parantaa oppilaiden asenteita matematiikkaa kohtaan ja helpottaa opettajan arviointityötä. (Candia Morgan 2001, ) 50 Taustaa Oppilaan luonnollisen kielen käyttö ongelmien pohdinnassa ja ratkaisujen hahmottamisessa niin puhuttuna kuin kirjoitettunakin auttaa häntä jäsentämään ajatteluaan itselleen ja toisaalta muille oppilaille. (Joutsenlahti 2003; Fuson, Kalchman & Bransford 2005)., luonnollinen kieli ja kuviokieli, kun rekisterinä on matematiikan sanallisten tehtävien ratkaisun esittäminen. Lyhentein merkityt alueet ovat matematiikan luonnollinen kieli (MLK), matematiikan symbolikieli (MSK) ja matematiikan kuviokieli (MKK) (Joutsenlahti & Kulju 2010)

10 Jaakkola et. al. (2001) KOLMIO matematiikan tietokirja Tammi, s Luonnollisen kielen käytön mahdollisuus ratkaisussa? Pitkä matematiikka Funktiot ja Yhtälöt 2 (Kangasaho, Mäkinen, Oikkonen, Paasonen, Salmela 2000, WSOY. S.66) Kirjallisen kielentämisen malleja (Joutsenlahti 2009, 2010) (Tuhattaituri 6, s.16) Standardi -malli "Kertomus"-malli Matematiikan kieli Kielennys ratkaisuun Mieti, mitä kirjoittasit kullekin riville? 5. lk:n ratkaisuja (Mäclin & Nikula 2010)

11 "Tiekartta"-malli "Päiväkirja"-malli Kommentti malli (1. vsk Helsingin Luonnontiedelukio) Missio: Matematiikan symbolikieli Luonnollinen kieli / Kuviokieli Sanallisiin tehtäviin erillinen vastaus kokonaisena virkkeenä, koska 1. vastaukseen saadaan luontevasti (mitta)yksiköt ( Ostokset maksoivat 45 euroa. ) 2. oppilas vastaa siihen mitä kysytään (Oppilas joutuu lukemaan tehtävän kysymyksen vielä kerran.) 3. oppilas joutuu pohtimaan antamansa vastauksen mielekkyyttä suhteessa tehtävän antoon (Arviointi, kehittää oppilaan metakognitiivisia taitoja.)

12 Kielentäminen ja oppimateriaali IV Tutkimuksia kielentämisestä Ohjaaminen sosiaaliseen interaktioon 6. luokan opettajan oppaissa(pispa & Rantanen 2007, 118 ) Avoimien tehtävien osuus osioittain kussakin 6. lk:n opettajan oppaassa (Pispa & Ranta) Opettajan opas Prosentti Laskutaito Matikkamatka Tuhattaituri (N=641 N=1014 N=425) yksin yhdessä Sosiaalinen interaktio Esim. Esiopetuksen tuloksia (Korvenoja & Laaksonen) Lukiolaisten ja korkeakouluopiskelijoiden näkemyksiä kielentämisestä n=336 n=163 n=

13 N=38 Kyllä En En osaa sanoa TYTTÖ 8 (35 %) 4 (17%) 11 (48 %) POIKA 4 (27 %) 3 (20%) 8 (53 %) YHTEENSÄ 12 (32 %) 7 (17 %) 19 (50 %) N=39 KYLLÄ EI MUU TYTTÖ 19 (82,6 %) 2 (8,7 %) 2 (8,7 %) POIKA 12 (75,0 %) 2 (12,5 %) 2 (12,5 %) YHTEENSÄ 31 (79,5 %) 4 (10,3 %) 4 (10,3 %) TTY:n opiskelijoiden käsityksiä kielentämisestä (Kirsi Silius, Seppo Pohjolainen, Jussi Kangas, Thumas Miilumäki, Jorma Joutsenlahti 2011) Sanan lasku -tutkimusprojekti n=160 Negative Positive Solutions that have been divided into subsections by natural language are easier to follow. 7.5 % 77.5 % Short explanations to deductions and calculations should be written in solution while solving mathematical problem % 65,0 % Sanan Lasku Explaining the mathematical problem to myself using natural language helps me to understand and to solve the problem % 60.6 % I like to write explanations in my own words to my solutions (of mathematical problems) % 28.2 % I am going to use natural language while solving mathematical problems in the future % 43.8 % The use of natural language helps others to understand how I have solved the problem. 8.2 % 68.8 % Tutkimusaiheina matematiikan kielentäminen Esiopetuksessa Alkuopetuksessa Erityisopetuksessa Parityöskentelyssä 5. luokalla Kirjallisesti 3., 5. ja 7. luokalla Kirjallisesti lukiossa Kirjallisesti ja suullisesti korkeakoulussa varhaiskasvatuksessa Saana Niittymäki (2010). Kaikkien lasten kohdalla kielentämisestä oli apua esimerkiksi siinä, että he huomasivat helpommin, jos olivat tehneet laskussa virheen. Matematiikan kielentämistä voidaan alkaa harjoittelemaan jo päiväkodissa. Kielentämisen perusteiden oppiminen esikoulussa helpottaa siirtymistä koulumaailmaan ja siellä puolestaan käyttää aktiivisesti kielentämistä osana matematiikan opiskelua

14 2. alkuopetuksessa VILLE KESKINEN (2010): Pelaten ja leikkien yhdessä kohti haluttua päämäärää Toimintatutkimus matematiikan toiminnallisesta opetuksesta alkuopetuksessa Kuului osana Matematiikkaa luonnossa hankkeeseen (Hämeenlinnan Kulttuurikeskus ARX) Oppiaineiden integrointia (ympäristökasvatusta, matematiikkaa) Toiminnallinen opetus haastaa oppilaat kielentämään ja selventämään ajatuksiaan Kielentämisen kolme dimensiota toteutuvat ja ilmenevät luontoopetuksessa 3. Viidennen luokan oppilaiden matematiikan suullinen kielentäminen parityöskentelyssä Jaana Mansikka-aho & Saara Sirén (2010): Mieti uudelleen ja sano! Suullisen kielentämisen avulla oppilaat voivat päästä yhdessä pohtien ja reflektoiden oikeaan ratkaisuun. Tytöt ja pojat kielentävät ajatuksiaan suullisesti suunnilleen yhtä paljon, mutta tyttöjen yhteistyö tehtävien ratkaisemiseksi on tiiviimpää. Suullinen kielentäminen onnistuu yleensä parhaiten sellaisilta pareilta, joiden matematiikan taitotaso on lähellä toisiaan. Opettaja hyötyy paljon oppilaiden suullisesta kielentämisestä ja voi sen avulla suunnitella ja eriyttää opetustaan Kirjallinen kielentäminen 3., 5. ja 7. luokalla Mäclin & Nikula (2010): Matemaattisen ajattelun kirjallinen kielentäminen matemaattisen ongelman ratkaisuvälineenä (Pro gradu) Tulokset antavat viitteitä siitä, että erityisesti keskitasoiset matematiikan osaajat kokisivat hyötyvänsä matemaattisen ajattelun kirjallisesta kielentämisestä. Kirjoittamisen mieluisuus on merkitsevästi yhteydessä kirjallisen kielentämisen hyödylliseksi kokemiseen matematiikassa Suurimmaksi hyödyksi kirjallisessa kielentämisessä matematiikassa nähtiin ajattelun jäsentäminen ja parempi matematiikan tehtävän ymmärtäminen Opettajien kannalta kirjallinen kielentäminen matematiikassa koettiin hyödylliseksi työvälineeksi oppilaita arvioidessa. Lisäksi tulosten mukaan se mahdollistaa opettajille muun muassa kaikkien oppilaiden matemaattisen ajattelun tarkastelun. 5. erityisopetuksessa Anne-Mari Ruuska (2010): Matematiikan kielentäminen erityisopetuksessa matemaattinen ajattelu jäsentyi ainakin matemaattisten käsitteiden käytössä toimintamateriaalin käytön kautta käyty keskustelu toi parhaiten esille matemaattista ajattelua Soveltavat käytännön tehtävät soveltuivat oppilaille Tietokoneen käyttö tunneilla ei soveltunut hyvin matematiikan kielentämiseen Katsaus matematiikan kielentämisen tutkimustuloksiin peruskoulussa OPISKELIJAN MATEMAATTISEN AJATTELUN JÄSENTYMINEN MUIDEN OPISKELIJOIDEN YMMÄRTÄVÄ SEURAAMINEN OPETTAJA ARVIJOIJANA JA OPETUKSEN SUUNNITTELIJANA SUULLINEN KIELENTÄMINEN KIRJALLINEN KIELENTÄMINEN - esiopetus - 3., 5. ja 7. lk - erityisopetus - luonto-opetus (alkuopetus) - 5. lk parityöskentelyssä - 5. lk parityöskentelyssä - 3., 5. ja 7. lk - esiopetus - erityisopetus - 3., 5. ja 7. lk Joitakin lähteitä: ChapinS., O ConnorC. & Anderson N. (2009). Classroomdiscussions. Usingmathtalk to help students learn. Sausalito (California): Math Solutions. Jaakkola M. (2010), Monistrateginen tutkimus 6.-luokkalaisten matemaattisesta minäkäsityksestä ja suhtautumisesta matematiikan opiskeluun. Tampereenyliopisto, Opettajankoulutuslaitos (Hämeenlinna). Kasvatustieteen kandidaatintutkielma Joutsenlahti J. (2003). Kielentäminen matematiikan opiskelussa. Teoksessa Virta Arja & Marttila Outi (toim.) (toim.) Opettaja, asiantuntijuus ja yhteiskunta (Ainedidaktinen symposium ). Turku: Turun opettajankoulutuslaitos, (Turun yliopiston kasvatustieteiden tiedekunnan julkaisuja B:72). Joutsenlahti J. (2005). Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä. Tampere. (Acta Universitatis Tamperensis 1061). Joutsenlahti J. (2009). kirjallisessa työssä. Teoksessa Raimo Kaasila (toim.) Matematiikan ja luonnontieteiden opetuksen tutkimuspäivät Rovaniemellä Rovaniemi: Lapin yliopisto, (Lapin yliopiston kasvatustieteellisiä raportteja 9). Joutsenlahti J & Kulju P. (2010). Kieliteoreettinen lähestymistapa koulumatematiikan sanallisiin tehtäviin ja niiden kielennettyihin ratkaisuihin. Teoksessa Eero Ropo, Harry Silfverberg & Tiina Soini (toim.) Toisensa kohtaavat ainedidaktiikat. Ainedidaktiikan symposiumi Tampereella Tampere: Tampereen yliopisto, (Tampereen yliopiston opettajankoulutuslaitoksen julkaisuja. A 31). Mäclin J. & Nikula M. (2010). Matemaattisen ajattelun kirjallinen kielentäminen matemaattisen ongelman ratkaisuvälineenä

15 Huh! Kiitokset mielenkiinnosta!