Johdatus L A TEXiin. 10. Matemaattisen tekstin kirjoittamisesta. Matemaattisten tieteiden laitos
|
|
|
- Niina Karvonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Johdatus L A TEXiin 10. Matemaattisen tekstin kirjoittamisesta Matemaattisten tieteiden laitos
2 Matemaattisesta tekstistä I Matemaattisella tekstillä tarkoitetaan tavallista (suomenkielisistä virkkeistä koostuvaa) tekstiä, joka sisältää matemaattisia ilmaisuja ja merkintöjä.
3 Matemaattisesta tekstistä I Matemaattisella tekstillä tarkoitetaan tavallista (suomenkielisistä virkkeistä koostuvaa) tekstiä, joka sisältää matemaattisia ilmaisuja ja merkintöjä. Matematiikka ei siis elä tyhjiössä vaan on aina osa virkettä, joka alkaa isolla alkukirjaimella ja päättyy pisteeseen. Ei siis irrallisia kaavoja tai laskuja!
4 Matemaattisesta tekstistä I Matemaattisella tekstillä tarkoitetaan tavallista (suomenkielisistä virkkeistä koostuvaa) tekstiä, joka sisältää matemaattisia ilmaisuja ja merkintöjä. Matematiikka ei siis elä tyhjiössä vaan on aina osa virkettä, joka alkaa isolla alkukirjaimella ja päättyy pisteeseen. Ei siis irrallisia kaavoja tai laskuja! Lisäksi, pieninkin matemaattinen ilmaisu tulee laittaa matematiikkatiloihin. Esim. Funktio $F$ on funktion $f$ integraalifunktio. Funktio F on funktion f integraalifunktio.
5 Matemaattisesta tekstistä I Matemaattisella tekstillä tarkoitetaan tavallista (suomenkielisistä virkkeistä koostuvaa) tekstiä, joka sisältää matemaattisia ilmaisuja ja merkintöjä. Matematiikka ei siis elä tyhjiössä vaan on aina osa virkettä, joka alkaa isolla alkukirjaimella ja päättyy pisteeseen. Ei siis irrallisia kaavoja tai laskuja! Lisäksi, pieninkin matemaattinen ilmaisu tulee laittaa matematiikkatiloihin. Esim. Funktio $F$ on funktion $f$ integraalifunktio. Funktio F on funktion f integraalifunktio. Symboleiden taivutusta sijapäätteillä tulisi välttää. Kirjoita siis mieluummin "funktion f", kuin "f:n". Taivuta siis symboliin liittyvää substantiivia (tämä pistää samalla miettimään sanoman merkitystä).
6 Matemaattisesta tekstistä II Kaava tai muu matematiikka sijoitetaan yleensä rivimatematiikkatilaan $...$
7 Matemaattisesta tekstistä II Kaava tai muu matematiikka sijoitetaan yleensä rivimatematiikkatilaan $...$ Näyttömatematiikkatilaa (esim. $$...$$, \[...\]) käytetään, jos kaava on
8 Matemaattisesta tekstistä II Kaava tai muu matematiikka sijoitetaan yleensä rivimatematiikkatilaan $...$ Näyttömatematiikkatilaa (esim. $$...$$, \[...\]) käytetään, jos kaava on paljon tilaa vievä erityisen tärkeä viittaamista ja siten numerointia vaativa.
9 Matemaattisesta tekstistä II Kaava tai muu matematiikka sijoitetaan yleensä rivimatematiikkatilaan $...$ Näyttömatematiikkatilaa (esim. $$...$$, \[...\]) käytetään, jos kaava on paljon tilaa vievä erityisen tärkeä viittaamista ja siten numerointia vaativa. Viittaamattomia kaavoja ei (ole tarpeen) numeroida.
10 Matemaattisesta tekstistä II Kaava tai muu matematiikka sijoitetaan yleensä rivimatematiikkatilaan $...$ Näyttömatematiikkatilaa (esim. $$...$$, \[...\]) käytetään, jos kaava on paljon tilaa vievä erityisen tärkeä viittaamista ja siten numerointia vaativa. Viittaamattomia kaavoja ei (ole tarpeen) numeroida. Viitattaessa kirjoitelman osaan kyseinen osa tulee kirjoittaa isolla alkukirjaimella. Esim. Todistimme Luvun 3 Lauseessa 3.1.1, että...
11 Matemaattisesta tekstistä II Kaava tai muu matematiikka sijoitetaan yleensä rivimatematiikkatilaan $...$ Näyttömatematiikkatilaa (esim. $$...$$, \[...\]) käytetään, jos kaava on paljon tilaa vievä erityisen tärkeä viittaamista ja siten numerointia vaativa. Viittaamattomia kaavoja ei (ole tarpeen) numeroida. Viitattaessa kirjoitelman osaan kyseinen osa tulee kirjoittaa isolla alkukirjaimella. Esim. Todistimme Luvun 3 Lauseessa 3.1.1, että... Kaksoispisteen käyttö on harvoin tarpeen. Vrt. Tästä nähdään: Tästä nähdään, että (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2.
12 Matemaattisesta tekstistä III Virkettä (tai mielellään lausettakaan) ei saa aloittaa symbolilla, kaavasta tai yhtälöstä puhumattakaan. Aloita lause matematiikkaa kuvaavalla substantiivilla.
13 Matemaattisesta tekstistä III Virkettä (tai mielellään lausettakaan) ei saa aloittaa symbolilla, kaavasta tai yhtälöstä puhumattakaan. Aloita lause matematiikkaa kuvaavalla substantiivilla. Poikkeuksena vain lyhyet ja ytimekkäät ilmaisut kuten Lause 12. D(f + g) = Df + Dg.
14 Matemaattisesta tekstistä III Virkettä (tai mielellään lausettakaan) ei saa aloittaa symbolilla, kaavasta tai yhtälöstä puhumattakaan. Aloita lause matematiikkaa kuvaavalla substantiivilla. Poikkeuksena vain lyhyet ja ytimekkäät ilmaisut kuten Lause 12. D(f + g) = Df + Dg. Symboleita kuten,, tai ei saa käyttää pikakirjoitusmerkintöinä.
15 Matemaattisesta tekstistä III Virkettä (tai mielellään lausettakaan) ei saa aloittaa symbolilla, kaavasta tai yhtälöstä puhumattakaan. Aloita lause matematiikkaa kuvaavalla substantiivilla. Poikkeuksena vain lyhyet ja ytimekkäät ilmaisut kuten Lause 12. D(f + g) = Df + Dg. Symboleita kuten,, tai ei saa käyttää pikakirjoitusmerkintöinä. Ne kuuluvat liitutaululle ja ei-muodollisiin muistiinpanoihin.
16 Matemaattisesta tekstistä III Virkettä (tai mielellään lausettakaan) ei saa aloittaa symbolilla, kaavasta tai yhtälöstä puhumattakaan. Aloita lause matematiikkaa kuvaavalla substantiivilla. Poikkeuksena vain lyhyet ja ytimekkäät ilmaisut kuten Lause 12. D(f + g) = Df + Dg. Symboleita kuten,, tai ei saa käyttää pikakirjoitusmerkintöinä. Ne kuuluvat liitutaululle ja ei-muodollisiin muistiinpanoihin. Logiikassa näitä kuitenkin tarvitaan.
17 Matemaattisesta tekstistä III Virkettä (tai mielellään lausettakaan) ei saa aloittaa symbolilla, kaavasta tai yhtälöstä puhumattakaan. Aloita lause matematiikkaa kuvaavalla substantiivilla. Poikkeuksena vain lyhyet ja ytimekkäät ilmaisut kuten Lause 12. D(f + g) = Df + Dg. Symboleita kuten,, tai ei saa käyttää pikakirjoitusmerkintöinä. Ne kuuluvat liitutaululle ja ei-muodollisiin muistiinpanoihin. Logiikassa näitä kuitenkin tarvitaan. Tavallisessa asiatekstissä ne korvataan suomen kielen ilmaisuilla kuten: kaikilla, jokaisella on olemassa Jos..., niin..., Tästä seuraa, että... jos ja vain jos, Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että...
18 Matemaattisesta tekstistä IV Esimerkkejä: Lukuteoria I, Lineaarialgebra I
19 Matemaattisesta tekstistä IV Esimerkkejä: Lukuteoria I, Lineaarialgebra I Uudet käsitteet yleensä korostetaan (\emph{}). Lihavoinnin tai alleviivauksen käyttäminen ei ole suositeltavaa.
20 Matemaattisesta tekstistä IV Esimerkkejä: Lukuteoria I, Lineaarialgebra I Uudet käsitteet yleensä korostetaan (\emph{}). Lihavoinnin tai alleviivauksen käyttäminen ei ole suositeltavaa. Vältä pitkiä ja monimutkaisia lauserakenteita, joissa syy ja seuraus jäävät epäselviksi. Katkaise sanomasi mieluummin pisteellä useammaksi lyhyemmäksi (ja ymmärrettävämmäksi) virkkeeksi. Tämä on matematiikassa erityisen tärkeää.
21 Matemaattisesta tekstistä IV Esimerkkejä: Lukuteoria I, Lineaarialgebra I Uudet käsitteet yleensä korostetaan (\emph{}). Lihavoinnin tai alleviivauksen käyttäminen ei ole suositeltavaa. Vältä pitkiä ja monimutkaisia lauserakenteita, joissa syy ja seuraus jäävät epäselviksi. Katkaise sanomasi mieluummin pisteellä useammaksi lyhyemmäksi (ja ymmärrettävämmäksi) virkkeeksi. Tämä on matematiikassa erityisen tärkeää. Tarkista aina (ääneen) lukemalla onko virke kaikkine ilmaisuineen oikein ja ymmärrettävästi muodostettu.
22 Matemaattisesta tekstistä IV Esimerkkejä: Lukuteoria I, Lineaarialgebra I Uudet käsitteet yleensä korostetaan (\emph{}). Lihavoinnin tai alleviivauksen käyttäminen ei ole suositeltavaa. Vältä pitkiä ja monimutkaisia lauserakenteita, joissa syy ja seuraus jäävät epäselviksi. Katkaise sanomasi mieluummin pisteellä useammaksi lyhyemmäksi (ja ymmärrettävämmäksi) virkkeeksi. Tämä on matematiikassa erityisen tärkeää. Tarkista aina (ääneen) lukemalla onko virke kaikkine ilmaisuineen oikein ja ymmärrettävästi muodostettu. Latoessa syntyvät virheet ja varoitukset kannattaa korjata mahdollisimman varhaisessa vaiheessa, jolloin niiden löytäminen on helpompaa. Korjaaminen kannattaa aloittaa ensimmäisestä virheestä; usein se jopa poistaa lukuisia muita virheilmoituksia kerralla.
23 Lopuksi Kirjoittajan kannattaa lähes aina luottaa L A TEXin tuottamaan muotoiluun (kunhan loogiset rakenteet ovat ensin kunnossa).
24 Lopuksi Kirjoittajan kannattaa lähes aina luottaa L A TEXin tuottamaan muotoiluun (kunhan loogiset rakenteet ovat ensin kunnossa). Turhia rivin ja kappaleenvaihtoja tulee välttää! Niitä käytetään kuten muutoinkin suomen kielessä ilman matematiikkaa.
25 Lopuksi Kirjoittajan kannattaa lähes aina luottaa L A TEXin tuottamaan muotoiluun (kunhan loogiset rakenteet ovat ensin kunnossa). Turhia rivin ja kappaleenvaihtoja tulee välttää! Niitä käytetään kuten muutoinkin suomen kielessä ilman matematiikkaa. Esim. rivimatematiikkatilassa olevaa ilmaisua ei tule siirrellä pakotetuilla rivinvaihdoilla tms. toiseen paikkaan tai keskittää
26 Lopuksi Kirjoittajan kannattaa lähes aina luottaa L A TEXin tuottamaan muotoiluun (kunhan loogiset rakenteet ovat ensin kunnossa). Turhia rivin ja kappaleenvaihtoja tulee välttää! Niitä käytetään kuten muutoinkin suomen kielessä ilman matematiikkaa. Esim. rivimatematiikkatilassa olevaa ilmaisua ei tule siirrellä pakotetuilla rivinvaihdoilla tms. toiseen paikkaan tai keskittää Ylipitkiä rivejä (Bad Box(es), Overfull \hbox) voi siistiä mm. (mutta vasta viimeistelyvaiheessa!)
27 Lopuksi Kirjoittajan kannattaa lähes aina luottaa L A TEXin tuottamaan muotoiluun (kunhan loogiset rakenteet ovat ensin kunnossa). Turhia rivin ja kappaleenvaihtoja tulee välttää! Niitä käytetään kuten muutoinkin suomen kielessä ilman matematiikkaa. Esim. rivimatematiikkatilassa olevaa ilmaisua ei tule siirrellä pakotetuilla rivinvaihdoilla tms. toiseen paikkaan tai keskittää Ylipitkiä rivejä (Bad Box(es), Overfull \hbox) voi siistiä mm. (mutta vasta viimeistelyvaiheessa!) muuttamalla ilmaisua toisin sanankääntein
28 Lopuksi Kirjoittajan kannattaa lähes aina luottaa L A TEXin tuottamaan muotoiluun (kunhan loogiset rakenteet ovat ensin kunnossa). Turhia rivin ja kappaleenvaihtoja tulee välttää! Niitä käytetään kuten muutoinkin suomen kielessä ilman matematiikkaa. Esim. rivimatematiikkatilassa olevaa ilmaisua ei tule siirrellä pakotetuilla rivinvaihdoilla tms. toiseen paikkaan tai keskittää Ylipitkiä rivejä (Bad Box(es), Overfull \hbox) voi siistiä mm. (mutta vasta viimeistelyvaiheessa!) muuttamalla ilmaisua toisin sanankääntein auttamalla tavutusta käsin lisäämällä \- sopiviin paikkoihin (esim. ta\-vu\-tus\-ta)
29 Lopuksi Kirjoittajan kannattaa lähes aina luottaa L A TEXin tuottamaan muotoiluun (kunhan loogiset rakenteet ovat ensin kunnossa). Turhia rivin ja kappaleenvaihtoja tulee välttää! Niitä käytetään kuten muutoinkin suomen kielessä ilman matematiikkaa. Esim. rivimatematiikkatilassa olevaa ilmaisua ei tule siirrellä pakotetuilla rivinvaihdoilla tms. toiseen paikkaan tai keskittää Ylipitkiä rivejä (Bad Box(es), Overfull \hbox) voi siistiä mm. (mutta vasta viimeistelyvaiheessa!) muuttamalla ilmaisua toisin sanankääntein auttamalla tavutusta käsin lisäämällä \- sopiviin paikkoihin (esim. ta\-vu\-tus\-ta) laittamalla pitkät kaavat omalle kaavariville
30 Lopuksi Kirjoittajan kannattaa lähes aina luottaa L A TEXin tuottamaan muotoiluun (kunhan loogiset rakenteet ovat ensin kunnossa). Turhia rivin ja kappaleenvaihtoja tulee välttää! Niitä käytetään kuten muutoinkin suomen kielessä ilman matematiikkaa. Esim. rivimatematiikkatilassa olevaa ilmaisua ei tule siirrellä pakotetuilla rivinvaihdoilla tms. toiseen paikkaan tai keskittää Ylipitkiä rivejä (Bad Box(es), Overfull \hbox) voi siistiä mm. (mutta vasta viimeistelyvaiheessa!) muuttamalla ilmaisua toisin sanankääntein auttamalla tavutusta käsin lisäämällä \- sopiviin paikkoihin (esim. ta\-vu\-tus\-ta) laittamalla pitkät kaavat omalle kaavariville Rivityksen voi puolestaan estää
31 Lopuksi Kirjoittajan kannattaa lähes aina luottaa L A TEXin tuottamaan muotoiluun (kunhan loogiset rakenteet ovat ensin kunnossa). Turhia rivin ja kappaleenvaihtoja tulee välttää! Niitä käytetään kuten muutoinkin suomen kielessä ilman matematiikkaa. Esim. rivimatematiikkatilassa olevaa ilmaisua ei tule siirrellä pakotetuilla rivinvaihdoilla tms. toiseen paikkaan tai keskittää Ylipitkiä rivejä (Bad Box(es), Overfull \hbox) voi siistiä mm. (mutta vasta viimeistelyvaiheessa!) muuttamalla ilmaisua toisin sanankääntein auttamalla tavutusta käsin lisäämällä \- sopiviin paikkoihin (esim. ta\-vu\-tus\-ta) laittamalla pitkät kaavat omalle kaavariville Rivityksen voi puolestaan estää laatikoimalla palan tekstiä: \mbox{tämä ei rivity}.
32 Lopuksi Kirjoittajan kannattaa lähes aina luottaa L A TEXin tuottamaan muotoiluun (kunhan loogiset rakenteet ovat ensin kunnossa). Turhia rivin ja kappaleenvaihtoja tulee välttää! Niitä käytetään kuten muutoinkin suomen kielessä ilman matematiikkaa. Esim. rivimatematiikkatilassa olevaa ilmaisua ei tule siirrellä pakotetuilla rivinvaihdoilla tms. toiseen paikkaan tai keskittää Ylipitkiä rivejä (Bad Box(es), Overfull \hbox) voi siistiä mm. (mutta vasta viimeistelyvaiheessa!) muuttamalla ilmaisua toisin sanankääntein auttamalla tavutusta käsin lisäämällä \- sopiviin paikkoihin (esim. ta\-vu\-tus\-ta) laittamalla pitkät kaavat omalle kaavariville Rivityksen voi puolestaan estää laatikoimalla palan tekstiä: \mbox{tämä ei rivity}. matematiikkatilassa ympäröimällä ilmaisun aaltosuluilla: ${a+b+c+d+e}$.
33 Lopuksi Kirjoittajan kannattaa lähes aina luottaa L A TEXin tuottamaan muotoiluun (kunhan loogiset rakenteet ovat ensin kunnossa). Turhia rivin ja kappaleenvaihtoja tulee välttää! Niitä käytetään kuten muutoinkin suomen kielessä ilman matematiikkaa. Esim. rivimatematiikkatilassa olevaa ilmaisua ei tule siirrellä pakotetuilla rivinvaihdoilla tms. toiseen paikkaan tai keskittää Ylipitkiä rivejä (Bad Box(es), Overfull \hbox) voi siistiä mm. (mutta vasta viimeistelyvaiheessa!) muuttamalla ilmaisua toisin sanankääntein auttamalla tavutusta käsin lisäämällä \- sopiviin paikkoihin (esim. ta\-vu\-tus\-ta) laittamalla pitkät kaavat omalle kaavariville Rivityksen voi puolestaan estää laatikoimalla palan tekstiä: \mbox{tämä ei rivity}. matematiikkatilassa ympäröimällä ilmaisun aaltosuluilla: ${a+b+c+d+e}$.
Johdatus L A TEXiin. 8. Sekalaisia asioita. Matemaattinen teksti. Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdatus L A TEXiin 8. Sekalaisia asioita. Matemaattinen teksti. Markus Harju Matemaattiset tieteet Kirjasintyypit a Leipätekstin kirjasimen tyyppiä voi muuttaa seuraavilla komennoilla: \textrm{} antiikva
Johdatus L A TEXiin. 5. Ristiviittauksista, monirivisistä kaavoista ja vähän muustakin Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdatus L A TEXiin 5. Ristiviittauksista, monirivisistä kaavoista ja vähän muustakin Markus Harju Matemaattiset tieteet a Ristiviittauksista I Jos johonkin kirjoitelman osioon, yhtälöön tai kaavaan halutaan
MATEMATIIKAN LATOMINEN LA T EXILLA, OSA 1
MATEMATIIKAN LATOMINEN LA T EXILLA, OSA 1 PEKKA SALMI Tämä dokumentti on johdatus matemaattisten termien kirjoittamiseen L A TEXilla. Tarkoituksena on esitellä yksinkertaisia matemaattisia konstruktioita
b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos
Akateemiset taidot. Tapaaminen 13 Matematiikan kirjoittaminen
Akateemiset taidot Tapaaminen 13 Matematiikan kirjoittaminen Tutustu tekstiin ja pohdi itseksesi Mieti miten teksti on kirjoitettu. Missä kohdissa matemaattinen ilmaisu on hyvää ja missä kohdissa tekstiä
Matematiikan kirjallinen viestintä ja tieteellinen tiedonhankinta
Matematiikan kirjallinen viestintä ja tieteellinen tiedonhankinta p. 1/26 Matematiikan kirjallinen viestintä ja tieteellinen tiedonhankinta Arto Lepistö Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto
Matematiikan kirjallinen viestintä ja tieteellinen tiedonhankinta
Matematiikan kirjallinen viestintä ja tieteellinen tiedonhankinta p. 1/25 Matematiikan kirjallinen viestintä ja tieteellinen tiedonhankinta Arto Lepistö Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto
KAAVAT. Sisällysluettelo
Excel 2013 Kaavat Sisällysluettelo KAAVAT KAAVAT... 1 Kaavan tekeminen... 2 Kaavan tekeminen osoittamalla... 2 Kaavan kopioiminen... 3 Kaavan kirjoittaminen... 3 Summa-funktion lisääminen... 4 Suorat eli
3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
LOGIIKKA johdantoa
LOGIIKKA johdantoa LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Logiikan tehtävä: Logiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat päättelyt
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
Fysikaaliset tieteet, kemia ja matemaattiset tieteet
Fysikaaliset tieteet, kemia ja matemaattiset tieteet LUONNONTIETEET 2013-15 Tarkastellaan kokonaiskuvan saamiseksi ensin luonnontieteitä kokonaisuutena. Luonnontieteissä pitkän matematiikan paino on suuri
Työn osat 5-9 muodostavat varsinaisen sisällön.
5 Projektityö onkin hyvä suunnitella siten, että työ on mielekkäästi jaettavissa osiin kandidaatintöiden kirjoittamista ajatellen. Projektityön yhteydessä tehtävien kandidaatintöiden arvostelua ja muotoseikkoja
TAULUKON TEKEMINEN. Sisällysluettelo
Excel 2013 Taulukon tekeminen Sisällysluettelo TAULUKON TEKEMINEN TAULUKON TEKEMINEN... 1 Tietotyypit... 1 Tiedon syöttäminen taulukkoon... 1 Kirjoitusvirheiden korjaaminen... 2 Alueen sisällön tyhjentäminen...
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu
Oppimistavoitematriisi
Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä ja yhtälöpareja Osaan muokata
Rakenteiset päättelyketjut ja avoin lähdekoodi
Rakenteiset päättelyketjut ja avoin lähdekoodi Mia Peltomäki Kupittaan lukio ja Turun yliopiston IT-laitos http://crest.abo.fi /Imped Virtuaalikoulupäivät 24. marraskuuta 2009 1 Taustaa Todistukset muodostavat
Matematiikan kirjoittamisesta
Matematiikan kirjoittamisesta Asiasisältö Tärkeintä kaikessa on, että kaiken minkä kirjoitat, niin myös itse ymmärrät. Toisin sanoen asiasisällön on vastattava lukijan pohjatietoja. Tekstin täytyy olla
Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014
Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
Integraalifunktio. Pohdittavaa: Minkä funktion derivaattafunktio on a) 3x 2, b) 2x? MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 1 / 5
Pohdittavaa: Minkä funktion derivaattafunktio on a) 3x 2, b) 2x? MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 1 / 5 Pohdittavaa: Minkä funktion derivaattafunktio on a) 3x 2, b) 2x? Derivaatta a) 3x 2 Funktio
Sangen lyhyt L A T E X-johdatus
Sangen lyhyt L A T E X-johdatus Lari Koponen ja Eetu Ahonen 23.1.2013 Koulutuksen tavoitteet Koulutuksen jälkeen pystyy kirjoittamaan työselostuksen L A T E X:illa, eli Dokumentin rakenne tutuksi Tekstin
Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot
Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä
Oppimistavoitematriisi
Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Esitiedot Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 3 4 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Ratkaisu: Yksi tapa nähdä, että kaavat A (B C) ja (A B) (A C) ovat loogisesti ekvivalentit, on tehdä totuustaulu lauseelle
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoot A, B ja C propositiolauseita. Näytä, että A (B C) (A B) (A C). Ratkaisu: Yksi tapa
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Predikaattilogiikkaa
Predikaattilogiikkaa UKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Kertausta ogiikan tehtävä: ogiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää
TT00AA12-2016 - Ohjelmoinnin jatko (TT10S1ECD)
TT00AA12-2016 - Ohjelmoinnin jatko (TT10S1ECD) Ohjelmointikäytännöt 21/3/11 Mikko Vuorinen Metropolia Ammattikorkeakoulu 1 Sisältö 1) Mitä on hyvä koodi? 2) Ohjelmointikäytäntöjen merkitys? 3) Koodin asettelu
Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear
Muodolliset kieliopit
Muodolliset kieliopit Luonnollisen kielen lauseenmuodostuksessa esiintyy luonnollisia säännönmukaisuuksia. Esimerkiksi, on jokseenkin mielekästä väittää, että luonnollisen kielen lauseet koostuvat nk.
13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
Analyysi I (sivuaineopiskelijoille)
Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2017 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 1 of 18 Kahden muuttujan funktioista
5.1 Semanttisten puiden muodostaminen
Luku 5 SEMNTTISET PUUT 51 Semanttisten puiden muodostaminen Esimerkki 80 Tarkastellaan kysymystä, onko kaava = (( p 0 p 1 ) (p 1 p 2 )) toteutuva Tätä voidaan tutkia päättelemällä semanttisesti seuraavaan
811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 ari.vesanen (at) oulu.fi 5. Rekursio ja induktio Rekursio tarkoittaa jonkin asian määrittelyä itseensä viittaamalla Tietojenkäsittelyssä algoritmin määrittely niin,
Apuja ohjelmointiin» Yleisiä virheitä
Apuja ohjelmointiin» Yleisiä virheitä Ohjelmaa kirjoittaessasi saattaa Visual Studio ilmoittaa monenlaisista virheistä "punakynällä". Usein tämä johtuu vain siitä, että virheitä näytetään vaikket olisi
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 1. Etsi lauseen (p 0 (p 1 p 0 )) p 1 kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa
Automaatit. Muodolliset kielet
Automaatit Automaatit ovat teoreettisia koneita, jotka käsittelevät muodollisia sanoja. Automaatti lukee muodollisen sanan kirjain kerrallaan, vasemmalta oikealle, ja joko hyväksyy tai hylkää sanan. Täten
FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan:
LOGIIKKA 1 Mitä logiikka on? päättelyn tiede o oppi muodollisesti pätevästä päättelystä 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: sisältö, merkitys: onko jokin premissi
Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:
Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin
s = 11 7 t = = 2 7 Sijoittamalla keskimmäiseen yhtälöön saadaan: k ( 2) = 0 2k = 8 k = 4
BM0A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 05. (a) i. Jotta vektori c sijaitsisi a:n ja b:n virittämällä tasolla, c on voitava esittää a:n ja b:n lineaarikombinaationa. c ta + sb
Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain
Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain
Radiaanit. Kun kulman α suuruus nyt mitataan tämän kaaren pituutena, saadaan kulmaan arvo radiaaneissa.
Radiaanit Kulmia mitataan matematiikassa paitsi asteissa, myös radiaaneissa. Radiaanien taustaideana on, että kun kulmaa α asetetaan yksikköympyrään, kulmien kylkien välille muodostuu ympyrän kehälle kaari
811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät
Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
Johdatus L A TEXiin. 6. Omat komennot ja lauseympäristöt Markus Harju. Matemaattiset tieteet
Johdatus L A TEXiin 6. Omat komennot ja lauseympäristöt Markus Harju Matemaattiset tieteet Omat komennot I a L A TEXin valmiiden komentojen lisäksi kirjoittaja voi itse määritellä omia komentojaan. Tämä
C-ohjelmoinnin peruskurssi. Pasi Sarolahti
C! C-ohjelmoinnin peruskurssi Pasi Sarolahti Mitä haluan oppia C-kurssilla? ja miksi? Tutustu lähimpään naapuriin Keskustelkaa miksi halusitte / jouduitte tulemaan kurssille 3 minuuttia è kootaan vastauksia
Koe on kaksiosainen: siihen kuuluvat tekstitaidon koe ja esseekoe. Tekstitaidon kokeen arvioinnissa painottuu lukutaito ja esseekokeessa
Koe on kaksiosainen: siihen kuuluvat tekstitaidon koe ja esseekoe. Tekstitaidon kokeen arvioinnissa painottuu lukutaito ja esseekokeessa kirjoitustaito. Kokeet järjestetään eri päivinä: esimerkiksi tänä
Päähaku, matemaattisten tieteiden kandiohjelma Valintakoe klo
Päähaku, matemaattisten tieteiden kandiohjelma Valintakoe 8.5.2019 klo 10.00 13.00 Kirjoita henkilö- ja yhteystietosi tekstaamalla. Kirjoita nimesi latinalaisilla kirjaimilla (abcd...), älä esimerkiksi
Ohjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 28.2.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 28.2.2011 1 / 46 Ohjelmointiprojektin vaiheet 1. Määrittely 2. Ohjelman suunnittelu (ohjelman rakenne ja ohjelman
Työvälineistä komentoihin
Työvälineistä komentoihin Miten GeoGebralla piirretään funktioita? Kohtasitko ongelmia GeoGebran käytössä? Millaisia? Kohtaisitko tilanteita, joissa jonkin funktion piirtäminen GeoGebralla ei onnistunutkaan?
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
802118P Lineaarialgebra I (4 op)
802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu
Päähaku, matemaattisten tieteiden kandiohjelma Valintakoe klo
Teknisiä merkintöjä: MATEM Sivu: 1 (9) Päähaku, matemaattisten tieteiden kandiohjelma Valintakoe 7.5.2018 klo 10.00 13.00 Kirjoita henkilö- ja yhteystietosi tekstaamalla. Kirjoita nimesi latinalaisilla
Ratkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoon totuusjakauma v sellainen että v(p i ) = 1 kaikilla i N ja A propositiolause, jossa
Sangen lyhyt L A T E X-johdatus
Sangen lyhyt L A T E X-johdatus Lari Koponen, Eetu Ahonen ja Timo Voipio 11. maaliskuuta 2013 Koulutuksen tavoitteet Koulutuksen jälkeen pystyy kirjoittamaan työselostuksen L A T E X:illa, eli Dokumentin
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
UUSI LOPS. Kauppilantie Jalasjärvi EI OLE PAKOLLINEN KURSSI, HUOMIOI Puh TEKEMÄSI VALINNAT JA NIIDEN TOTEUTUMINEN
JALASJÄRVEN LUKIO 1.-3. VUOSIKURSSI UUSI LOPS Kauppilantie 1 61600 Jalasjärvi EI OLE PAKOLLINEN KURSSI, HUOMIOI Puh. 040 560 2480 TEKEMÄSI VALINNAT JA NIIDEN TOTEUTUMINEN Oikea kirja valitaan TARKISTAMALLA
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen
Ohje tutkielman tekemiseen
Sauvon koulukeskus 2011 Ohje tutkielman tekemiseen Aiheen valinta Etsi materiaalia Valitse itseäsi kiinnostava aihe. Sovi opettajan kanssa aiheen rajaus. Pyydä opettajalta tutkielmapassiin merkintä aiheen
a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 17.5.2017 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Martina Aaltonen, martina.aaltonen@helsinki.fi, 1/18 Siirry istumaan jonkun viereen. Kaikilla on
Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit
Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 26. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 1 / 14 Hieman kertausta
Java-kielen perusteet
Java-kielen perusteet Tunnus, varattu sana, kommentti Muuttuja, alkeistietotyyppi, merkkijono, literaalivakio, nimetty vakio Tiedon merkkipohjainen tulostaminen 1 Tunnus Java tunnus Java-kirjain Java-numero
9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
TEHTÄVÄN NIMI YHDELLE TAI USEAMMALLE RIVILLE FONTTIKOKO 24 Tarvittaessa alaotsikko fonttikoko 20
Etunimi Sukunimi fonttikoko 16 Ryhmätunnus TEHTÄVÄN NIMI YHDELLE TAI USEAMMALLE RIVILLE FONTTIKOKO 24 Tarvittaessa alaotsikko fonttikoko 20 Tehtävätyyppi Koulutusohjelma fonttikoko 16 Elokuu 2010 SISÄLTÖ
Mat-1.C Matemaattiset ohjelmistot
Mat-.C Matemaattiset ohjelmistot Luento ma 9.3.0 $z; Error, (in rtable/product) invalid arguments.z; z C z C z3 3 C z4 4 C z5 5.Tr z ; z C z C z3 3 C z4 4 C z5 5 ; Error, (in rtable/power) eponentiation
LAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,
PERUSLASKUJA. Kirjoita muuten sama, mutta ota välilyönti 4:n jälkeen 3/4 +5^2
PERUSLASKUJA Matemaattisten lausekkeiden syöttäminen: Kirjoita ilman välilyöntejä /+^2 Kirjoita muuten sama, mutta ota välilyönti :n jälkeen / +^2 Kopioi molemmat matematiikka-alueet ja liiku alueen sisällä
Matematiikan opintosuunta
Matematiikan opintosuunta Matematiikka: Mitä se on? Vastaus: (Oma vastaukseni:) Tyhjentävää vastausta on mahdotonta antaa. Matematiikka: Mitä se on? Vastaus: (Oma vastaukseni:) Tyhjentävää vastausta on
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Verkkokirjoittaminen. Verkkolukeminen
0 Nopeaa silmäilyä: Pääotsikot, kuvat, kuvatekstit, väliotsikot, linkit, luettelot, korostukset. 0 Hitaampaa kuin paperilla olevan tekstin lukeminen 0 F-tyyppinen lukeminen Verkkolukeminen Verkkokirjoittaminen
7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon
4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
Todistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia, niin A on rekursiivinen.
Lause: Tyhjyysongelma ei ole osittain ratkeava; ts. kieli ei ole rekursiivisesti lueteltava. L e = { w { 0, 1 } L(M w ) = } Todistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia,
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on
Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja 1 3 ja 9. Tarvitset myös luvusta 4 määritelmän 4.1.
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 25.5.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut
MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
Vääksyn Yhteiskoulun lukion kirjalista lukuvuodelle Kirja ja ISBN-numero BIOLOGIA ENGLANTI FILOSOFIA FYSIIKKA HISTORIA KEMIA
Vääksyn Yhteiskoulun lukion kirjalista lukuvuodelle 2019-2020 Kirja ja ISBN-numero BIOLOGIA (Sanomapro) Digikirja käy myös kaikista BIOS 1: Elämä ja evoluutio (LOPS 2016) 978-952-63-3437-0 BIOS 2: Ekologia
integraali Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Aiheet Linkkejä Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Määrätty integraali
integraali 1 Matta-projekti(Aalto yliopisto): Integraali (http://matta.hut.fi/matta2/isom/html/isomli8.html ) Johdatus korkeakoulumatematiikkaan (Tampereen teknillinen korkeakoulu): Integraali (http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/integraa/integ01.htm
UUSI KIRJA / "UUDEHKO" KIRJA, KATSO TARKASTI ISBN-NUMERO, 61600 Jalasjärvi PAINOS YMS. LISÄTIEDOT Puh. 4580 460, 4580 461
JALASJÄRVEN LUKIO 1.-3. VUOSIKURSSI Kauppilantie 1 UUSI KIRJA / "UUDEHKO" KIRJA, KATSO TARKASTI ISBN-NUMERO, 61600 Jalasjärvi PAINOS YMS. LISÄTIEDOT Puh. 4580 460, 4580 461 Kirjoja on mahdollisuus kierrättää,
Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet
Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
ÄIDINKIELI ISBN KUSTANTAJA LUOKKA KURSSI Särmä, suomen kieli ja 9789511234364 OTAVA 1-3 1-6
VIMPELIN LUKIO OPPIKIRJAT LV. 2015-2016 ÄIDINKIELI ISBN KUSTANTAJA LUOKKA KURSSI Särmä, suomen kieli ja 9789511234364 OTAVA 1-3 1-6 kirjallisuus Särmä, tehtäviä 1 9789511237211 OTAVA 1 1 Särmä, tehtäviä
Johdatus L A TEXiin. 9. Sivun mitat, ulkoasu ja kalvot. Matemaattisten tieteiden laitos
Johdatus L A TEXiin 9. Sivun mitat, ulkoasu ja kalvot Matemaattisten tieteiden laitos Sivun mitoista I L A TEXissa kaikki sivuasetukset (marginaalit, tekstin leveys, jne.) ovat mittoja Keskeisimmät mitat