Lien ryhmät, Lien algebrat ja esitysteoria
|
|
- Anton Halonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Lien ryhmät, Lien algebrat ja esitysteoria Heikki Orelma 14. marraskuuta 2010 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Lien (matriisi)ryhmät Määritelmiä Esimerkkejä Kompaktius ja homomorsmit Lien algebrat Matriisieksponentti Lien algebrat Lien algebrojen perusominaisuuksia Adjungoidut kuvaukset Esitysteoriaa Perusmääritelmiä Esimerkkejä Esitysten suora summa ja tensoritulo Kompaktien Lien ryhmien esitysteoriaa Unitaariset esitykset Invariantit mitat Lien ryhmillä Kompaktit Lien ryhmät Johdanto Tämän lyhyehkön tekstin tarkoituksena on esitellä lukijalle Lien teorian alkeita matriisiryhmien osalta. Rajoittumalla matriisiryhmiin, määritellään Lien 1
2 ryhmät ja niitä vastaavat Lien algebrat. Tämän jälkeen tarkastellaan esitysteoriaa rajoittuen ääretönulotteisiin esityksiin. Osoitetaan, että kompaktin Lien ryhmän esitykset ovat täydellisesti redusoituvia. Materiaali perustuu lähteeseen [4]. 2 Lien (matriisi)ryhmät 2.1 Määritelmiä Olkoon U jokin äärellisulotteinen reaalinen tai kompleksinen vektoriavaruus. Merkitään kääntyvien lineaarikuvausten U:ltä itselleen joukkoa GL(U). Kuvausten yhdistämisen suhteen GL(U) on selvästi ryhmä. Merkitään kaikkien reaalisten n n-matriisien avaruutta M n (R) ja vastaavasti kompleksisille matriiseille M n (C). Yleinen lineaariryhmä määritellään asettamalla GL(n, R) = GL(M n (R)) ja GL(n, C) = GL(M n (C)). Ryhmät koostuvat kääntyvistä n n-matriiseista. Määritelmä 2.1 (Lien matriisiryhmä) Lien matriisiryhmä on GL(n, C):n aliryhmä G joka toteuttaa ehdon: Jos (A j ) on jono G:n alkioita ja A j A, kun suppeneminen on komponenteittaista, niin A G tai A / GL(n, C). Jos määritelmän raja-arvo kuuluu kaikilla jonoilla ryhmään itseensä, sanotaan Lien ryhmän olevan suljettu. 2.2 Esimerkkejä GL(n, R) ja GL(n, C) ovat esimerkkejä Lien ryhmistä, joissa määritelmän raja-arvo ei välttämättä kuulu ryhmään itseensä. Erityiset lineaariryhmät (Special linear group) määritellään SL(n, R) = {A GL(n, R) : det A = 1}, SL(n, C) = {A GL(n, C) : det A = 1}. Koska determinantti on jakuva funktio ja SL(n, R) = det 1 ({1}), ovat erityiset lineaariryhmät suljettuja Lien ryhmiä. 2
3 Ortogonaaliryhmä määritellään kun O(n) = {A GL(n, R) : Ax, Ay = x, y x, y R n }, x, y = x 1 y x n y n on Euklidinen sisätulo. Rotaatioryhmä puolestaan on Unitaariryhmä määritellään kun SO(n) = O(n) SL(n, R). U(n) = {A GL(n, C) : Ax, Ay = x, y x, y C n }, x, y = x 1 y x n y n on Euklidinen sisätulo C n :ssä. Erityinen unitaariryhmä puolestaan on SU(n) = U(n) SL(n, C). Yleistetyt ortogonaaliryhmät määritellään kun O(n, k) = {A GL(n + k, R) : Ax, Ay n,k = x, y n,k x, y R n }, x, y n,k = n x j y j j=1 n+k j=n+1 x j y j. Ryhmää O(3, 1) kutsutaan Lorenzin ryhmäksi. Symplektinen ryhmä. Määritellään avaruudessa R 2n bilineaarimuoto n B(x, y) = (x k y n+k x n+k y k ). k=1 Symplektinen ryhmä on tällöin Sp(n) = {A GL(2n, R) : B(Ax, Ay) = B(x, y) x, y R n } Heisenbergin ryhmä H koostuu matriiseista 1 a b A = 0 1 c kun a, b, c R. Tällöin 1 a ac b A 1 = 0 1 c
4 2.3 Kompaktius ja homomorsmit Määritelmä 2.2 (Kompaktius) Lien ryhmä G on kompakti jos: 1. G on suljettu Lien ryhmä, 2. on olemassa c > 0 siten, että jokaisella A = (a ij ) G: kaikilla i, j = 1,..., n. a ij c Valistunut lukija huomaa, että yllä oleva kompaktius yhtyy klassiseen suljettu ja rajoitettu -määritelmään. Edellisessa alikappaleessa esitetyistä Lien ryhmistä kompakteja ovat: ja ei-kompakteja: Määritellään lopuksi: O(n), SO(n), U(n), SU(n), Sp(n) GL(n, R), GL(n, C), SL(n, R), SL(n, C), H. Määritelmä 2.3 (Lien ryhmähomomorsmi ja -isomorsmi) Olkoot G ja H Lien ryhmiä ja Φ : G H. Φ on Lien ryhmähomomorsmi, jos: 1. Φ on ryhmähomomorsmi, 2. Φ on jatkuva. Jos Φ on lisäksi bijektio sanotaan sitä Lien ryhmäisomorsmiksi. 3 Lien algebrat 3.1 Matriisieksponentti Jokaisella X M n (C) määritellään matriisieksponentti asettamalla e X = k=0 X k k!. Matriisieksponentilla on seuraavat tunnetut ominaisuudet: olkoot X, Y M n (C) ja α, β C, jolloin 4
5 1. e 0 = I, 2. (e X ) = e X, 3. (e X ) 1 = e X, eli e X GL(n, C), 4. e (α+β)x = e αx e βx, 5. jos XY = Y X, niin e X+Y = e X e Y = e Y e X, 6. jos C GL(n, C), niin e CXC 1 = Ce X C 1, 7. e X e X kun on 2-normi. Lisäksi suoraan määritelmästä seuraa derivointisääntö: Jatkossa tarvitaan: d dt etx = Xe tx = e tx X. Propositio 3.1 (Lien tulokaava, [4]) Jos X, Y M n (C), niin e X+Y = lim (e X Y m e m ) m. m Matriisieksponentti antaa näppärän yhteyden determinantille ja jäljelle: Propositio 3.2 Jos X M n (C), niin det(e X ) = e tr(x). Todistus. Osoitetaan tulos diagonalisoituvassa tilanteessa, yleisempi todistus löytyy lähteestä [4]. Oletetaan, että X = C λ 1... λ n C 1, joten matriisieksponentin ominaisuuden 6. nojalla e X = C e λ 1... C 1. e λn Näin ollen det(e X ) = joka todistaa väitteen. n j=1 e λ j = e n j=1 λ j = e tr(x), 5
6 3.2 Lien algebrat Määritelmä 3.3 (Lien algebra) Lien ryhmää G vastaava Lien algebra määritellään asettamalla g = {X M n (C) : e tx G t R}. Jatkossa tarkastelemme tarkemmin Lien algebran g algebrallista rakennetta. Esitetään seuraavaksi aiemmin määrittelemien Lien ryhmien vastaavat Lien algebrat: gl(n, R) = M n (R), gl(n, C) = M n (C), sl(n, R) = {X gl(n, R) : tr X = 0}, sl(n, C) = {X gl(n, C) : tr X = 0}, o(n) = so(n) = {X gl(n, R) : X + X t = 0}, u(n) = {X gl(n, C) : X + X = 0}, su(n) = u(n) sl(n, C), ja lisäksi h koostuu matriiseista 0 a b 0 0 c, kun a, b, c R. 3.3 Lien algebrojen perusominaisuuksia Propositio 3.4 Olkoon X g ja g G. Tällöin gxg 1 g. Todistus. Matriisieksponentin perusominaisuuksien nojalla e t(gxg 1) = ge tx g 1 G kaikilla t, joten Lien algebran määritelmän nojalla gxg 1 g. Propositio 3.5 Olkoot X, Y g. Tällöin 1. tx g kaikilla t, 6
7 2. X + Y g, 3. XY Y X g. Todistus. Kohta 1. on selvä. Lien tulokaavan e X+Y = lim (e X Y m e m ) m. m nojalla kohta 2. seuraa Lien ryhmän määritelmästä. Koska XY Y X = d dt (etx Y e tx ) t=0 = lim h 0 e hx Y e hx Y h ja koska g on aliavaruutena suljettu topologinen avaruus, niin XY Y X g. Lien sulkeet tai kommutaattoritulo [, ] : g g g määritellään asettamalla [X, Y ] = XY Y X. Näin ollen saadaan seuraus: Seuraus 3.6 (g, +) on vektoriavaruus ja (g, +, [, ]) on algebra. Määritelmä 3.7 (Lien algebrahomomorsmi) Kuvaus φ : g h on Lien algebrahomomorsmi, jos φ on lineaarikuvaus ja kaikilla X, Y g. φ([x, Y ]) = [φ(x), φ(y )] Lien ryhmä- ja algebrahomomorsmeille saadaan seuraava vastaavuus: Lause 3.8 ([4]) Olkoot G ja H Lien ryhmiä ja Φ : G H Lien ryhmähomomorsmi. Tällöin on olemassa Lien algebrahomomorsmi φ : g h, joka toteuttaa ehdot: 1. Φ(e X ) = e φ(x), 2. φ(gxg 1 ) = Φ(g)φ(X)Φ(g) 1, 3. φ(x) = d dt t=0 Φ(e tx ). Edellisen lauseen kohta 3. on käytännön laskujen kannalta tärkeä, sillä se antaa eksplisiittisen kaavan miten löytää kuvaus φ. 7
8 3.4 Adjungoidut kuvaukset Adjungoitu kuvaus määritellään kuvauksena Ad g : g g siten, että Ad g (X) = gxg 1. Proposition 3.4 nojalla nähdään, että kuvaus on hyvin määritelty. Toisaalta voidaan ajatella, että Ad : G GL(g); g Ad g. Tällöin edellisen lauseen nojalla voidaan laskea tätä kuvausta vastaava Lien algebra homomorgismi. Propositio 3.9 Jos Ad : G GL(g), niin ad X (Y ) = [X, Y ]. Todistus. Sovelletaan edellisen lauseen laskukaavaa: ad X (Y ) = d dt Ad e tx(y ) t=0 = d dt (etx Y e tx ) t=0 = (e tx XY e tx e tx Y Xe tx ) t=0 = XY Y X = [X, Y ], joten homma selvä. 4 Esitysteoriaa 4.1 Perusmääritelmiä Olkoon V jokin äärellisulotteinen kompleksinen vektoriavaruus. Lien ryhmän G esitys on kuvaus π : G GL(V ), joka toteuttaa ehdot: 1. π(e) = Id V, 2. π(gh) = π(g)π(h) kaikilla g, h G. 8
9 Vektoriavaruutta V kutsutaan G:n esitysavaruudeksi tai sanomme, että V on G-moduli. Jatkossa merkitään myös kun g G ja v V. g v = π(g)v, Vastaavasti kuin Lien ryhmille, on Lien algebran g esitys kuvaus jossa ψ : g End(V ), ψ([x, Y ]) = ψ(x)ψ(y ) ψ(y )ψ(x). Jatkossa keskitytään ainoastaan Lien ryhmien esityksiin. Esitys π : G GL(V ) on redusoituva jos löytyy ei-triviaali aliavaruus W V siten, että π W : G GL(W ) on esitys. Jos esitys ei ole redisoituva, on se redusoitumaton. Redusoitumattomat esitykset ovat keskeisessä merkityksessä, sillä niiden avulla voidaan antaa muut esitykset. Olkoot π j : G GL(V j ), j = 1, 2, esityksiä. Jos on olemassa sellainen isomorsmi φ : V 1 V 2, että φ π 1 (g) = π 2 (g) φ kaikilla g G, sanotaan esitysten π 1 ja π 2 olevan ekvivalentit. Ekvivalentteja esityksiä merkitään V 1 = V2. Propositio 4.1 ([4]) Olkoon π : G GL(V ) Lien ryhmän G esitys. Tällöin löytyy yksikäsitteinen Lien algebran g esitys ψ : g End(V ) siten, että Esitys voidaan laskea kaavalla π(e X ) = e ψ(x). ψ(x) = d π(e tx ). dt t=0 9
10 4.2 Esimerkkejä 1. Standardiesitykset. Esitysavaruus on tällöin V = C n (reaalisten Lien algebrojen tapauksessa myös V = R n käy). Esitys on tällöin π(g)v = gv jossa g G, v V ja gv tavallinen matriisi-vektoritulo. Todistetaan, että π on esitys: π(e)v = ev = v ja π(gh)v = ghv = π(g)(hv) = π(g)π(h)v. 2. Funktioavaruusesitykset. Olkoon F jokin (äärellisulotteinen) funktioavaruus, jonka alkiot ovat avaruudessa C n määriteltyjä funktioita. Määritellään G:n esitys π(g)f(x) = f(g 1 x), kun g G, f F ja g 1 x on matriisi-vektoritulo. Todistetaan, että π on esitys: ja π(e)f(x) = f(e 1 x) = f(ex) = f(x) π(gh)f(x) = f((gh) 1 x) = f(h 1 g 1 x) = π(h)f(g 1 x) = π(g)π(h)f(x). 3. SU(2):n (eräs) esitys Jos g G = SU(2), niin ( ) ( ) a b a b g = ja g 1 =. b a b a Valitaan esitysavaruudeksi V holomorset kahden muuttujan polynomit C 2 C, merkitään V = V n (C 2 ). Avaruuden V n (C 2 ) kanta {z k 1z n k 2 : 0 k n}. Jos η = ( z1 z 2 ), 10
11 niin Näin ollen ( ) g 1 az1 + bz η = 2. bz 1 + az 2 π(g)(z k 1z n k 2 ) = (az 1 + bz 2 ) k ( bz 1 + az 2 ) n k. 4.3 Esitysten suora summa ja tensoritulo Olkoot π j : G GL(V j ), j = 1,..., m, esityksiä. Merkitään V = m j=1 V j ja määritellään π : G V asettamalla π(g)(v 1,..., v m ) = (π 1 (g)v 1,..., π m (g)v m ), kun g G ja v j V j. Esitystä π : G CL(V ) kutsutaan esitysten V 1,..., V m suoraksi summaksi. Vastaavasi, jos merkitään V = ja määritellään π : G V asettamalla m j=1 π(g)(v 1 v m ) = π 1 (g)v 1 π m (g)v m, V j kun g G ja v j V j. Esitystä π : G CL(V ) kutsutaan esitysten V 1,..., V m tensorituloksi. 5 Kompaktien Lien ryhmien esitysteoriaa Tarkastellaan tässä kappaleessa kompaktien Lien ryhmien esitysteoriaa siltä osin, kun sitä tullaan sovelluksissa tarvitsemaan. Keskeisenä asiana on todistaa, että jokainen kompaktin Lien ryhmän esitys on täydellisesti redusoituva. 11
12 5.1 Unitaariset esitykset Esitys π : G GL(V ) on täydellisesti redusoituva, jos on olemassa redusoitumattomat esitykset π j : G GL(V j ) siten, että V = V 1 V m. Esitys π : G GL(V ) on unitaarinen, jos V :llä voidaan määritellä sisätulo, siten, että π(g)v, π(g)w = v, w kaikilla g G ja v, w V. Propositio 5.1 Olkoon G on kompakti lien ryhmä. Tällöin jokainen unitaarinen esitys π : G GL(V ) on täydellisesti redusoituva. Todistus. Olkoon W V invariantti aliavaruus ja W = {v V : v, w = 0 w W } vastaava ortogonaalikomplementti. Olkoon v W ja w W. Tällöin sisätulon unitaarisuuden nojalla π(g)v, w = π(g) 1 π(g)v, π(g) 1 w = v, π(g) 1 w = 0 sillä π(g) 1 w W. Näin ollen myös W on invariantti aliavaruus ja V = W W. Jos W ja W ovat redusoitumattomia, on homma selvä. Jos ei, voidaan prosessia jatkaa ts. jakaa W = U U ja W = Z Z, jossa kaikki aliavaruudet G-invariantteja. Koska V on äärellisulottinen, reduktio pysähtyy äärellisen monen askeleen jälkeen. Edellisestä todistuksesta saadaan mainitsemisen arvoinen tulos: Seuraus 5.2 W on esitysavaruus jos ja vain jos W on esitysavaruus. Osoittaaksemme, että kompaktin Lien ryhmän esitykset ovat täydellisesti redusoituvia tulee osoittaa, että jokainen kompaktin Lien ryhmän esitys voidaan varustaa unitaarisella sisätulolla. 12
13 5.2 Invariantit mitat Lien ryhmillä Haarin mitta on Lien algebralla G määritelty mitta µ siten, että 1. µ on lokaalisti äärellinen, ts. jokaista g G kohti löytyy g:n ympäristö U siten, että µ(u) <. 2. Jos E G Borelin joukko, niin µ(eg) = µ(e) kaikilla g G. Haarin mitan olemassaolosta ja muista ominaisuuksista löytyy lähteestä [2]. Integraalimuodossa ehto 2. tarkoittaa: f(gh)dµ(g) = 5.3 Kompaktit Lien ryhmät G G f(g)dµ(g). Lause 5.3 Olkoon G kompakti Lien ryhmä. Tällöin jokainen π : G GL(V ) on täydellisesti redusoituva. Todistus. Riittää osoitaa, että V :llä voidaan määritellä unitaarinen sisätulo. Valitaan V :lle jokin sisätulo 1 (, ). Määritellään uusi sisätulo v, w = (π(g)v, π(g)w)dµ(g), jossa µ on Haarin mitta. Tällöin mitan G-invarianssin nojalla π(h)v, π(h)w = (π(g)π(h)v, π(g)π(h)w)dµ(g) G = (π(gh)v, π(gh)w)dµ(g) G = (π(g)v, π(g)w)dµ(g) joka todistaa väitteen. G G = v, w, 1 Että näin voidaan tehdä, jätetään lukijalle helpoksi harjoitustehtäväksi. 13
14 Viitteet [1] Arvinitoyyergos, An introduction to lie groups and geometry of homogeneus spaces [2] Bachman, Elements of Abstract harmonic analysis [3] Belifonde ja Kalman, A survey of Lie groups and Lie Algebras with applications and computational methods [4] Hall, Lie Groups, Lie Algebras and Representations [5] Huang: Lectures on Representation theory [6] Knapp: Lie groups beyond an introduction [7] Sepanski: Compact Lie groups 14
GROUPS AND THEIR REPRESENTATIONS - FIFTH PILE. Olemme jo (harjoituksissa!) löytäneet Lien ryhmälle SL 2 (R) seuraavat redusoitumattomat esitykset:
GROUPS AND THEIR REPRESENTATIONS - FIFTH PILE KAREN E. SMITH 32. Ryhmän SL 2 (R) esitykset Example 32.1. Palautamme mieleen, että { x y SL 2 (R) = A = det A = xw yz = 1} ja z w { a b sl 2 (R) = A = Tr
LisätiedotRyhmä SO(3) ja sen lineaariset redusoitumattomat esitykset
Ryhmä SO(3) ja sen lineaariset redusoitumattomat esitykset Ilari Korhonen Matematiikan Pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2014 Tiivistelmä: Korhonen
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotLien ryhmät D 380 klo Ratkaisut 6+6=12
JYVÄSKYLÄN YLIOPISO MAEMAIIKAN JA ILASOIEEEN LAIOS Lien ryhmät 22.5.2012 D 380 klo. 10-12 Ratkaisut 6+6=12 1. Käytä ehtoa g = {X M n n exp(tx) kaikille t R} ja tarvittaessa tietoa et exp A = exp r A toistaksesi
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot1 Tensoriavaruuksista..
1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut 126-133. 19.02.2007 Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Contents 1 Lineaarikuvaus 2 1.1 Määritelmä............................ 2 1.2 Matriisiesitys/Matrix
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO Syksy 2017 LINEAARIALGEBRA 1 / 59 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 60 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
Lisätiedotsitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n
Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos
LisätiedotLineaariset Lien ryhmät / Ratkaisut 6 D 381 klo
JYVÄSKYLÄN YLIOPISO MAEMAIIKAN JA ILASOIEEEN LAIOS Lineaariset Lien ryhmät 27.2.2012 / t 6 D 381 klo. 16-18. 1. Matriisiryhmällä U(n) on epätriviaali normaali aliryhmä SU(n), joka on homomorfismin det
LisätiedotTensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0
Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
Lisätiedot1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon
LisätiedotAlgebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia
Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Lineaariset Lien ryhmät MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS 30.1.2012 / Harjoitus 2 Ratkaisut 1. Affiinit kuvaukset lineaarikuvauksina Kuvaus f A,b : R n R n : x Ax + b (Tässä A
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
Lisätiedot6. Lineaariset operaattorit
96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
Lisätiedotominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
LisätiedotLineaarialgebra II P
Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.
LisätiedotTehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla
Lisätiedot3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotHarjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi
Lisätiedot1. Normi ja sisätulo
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo
LisätiedotTekijäryhmät ja homomorsmit
Tekijäryhmät ja homomorsmit LuK-tutkielma Henna Isokääntä 1953004 henna.isokaanta@gmail.com Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto Kevät 2019 Sisältö Johdanto 1 1 Tekijäryhmät 1 2 Homomorsmit 3 Lähdeluettelo
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotAlternoivat multilineaarimuodot
LUKU 1 Alternoivat multilineaarimuodot Vektoriavaruudesta R n käytetään seuraavassa merkintää V. Sen k-kertainen karteesinen tulo on tällöin V V = V k. Määritelmä 1.1. Kuvaus T : V k R on multilineaarinen,
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
LisätiedotLINEAARIALGEBRA P. LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT
LINEAARIALGEBRA II 802119P LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT syksy 2008 30 V SISÄTULOAVARUUKSISTA 1. Sisätulon määritelmä Tarkastellaan sisätulon määrittelyä varten kompleksilukujen joukkoa C = {x + iy
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotEsko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
Lisätiedotja jäännösluokkien joukkoa
3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotMetriset avaruudet 2017
Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Merkintöjä N = {0, 1, 2,... } luonnolliset luvut #(A) N { } joukon A alkioiden lukumäärä A B = {a A : a / B} joukkojen A ja B erotus. A B on joukkojen A ja B erillinen
LisätiedotLineaariset kongruenssiyhtälöryhmät
Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................
LisätiedotLuento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät
Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
LisätiedotReaalianalyysin perusteita
Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten
Lisätiedotf(k)e ikx = lim S n (f; x) kaikilla x?
102 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että jos f L 2, niin vastaavan Fourier-sarjan osasummat suppenevat kohti f:ää L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
LisätiedotKokonaislukuoptimointi
Kokonaislukuoptimointi Algebrallisen geometrian sovelluksia Sisältö Taustaa algebrallisesta geometriasta Gröbnerin kanta Buchbergerin algoritmi Kokonaislukuoptimointi Käypyysongelma Algoritmi ratkaisun
Lisätiedotrenkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x
8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................
LisätiedotFourier-analyysia ryhmillä
Fourier-analyysia ryhmillä Pekka Salmi Kevät 2010 1 Topologian pikakurssi Avoimet, suljetut, kompaktit joukot Olkoon X ei-tyhjä joukko ja P(X) = { A; A X } joukon X osajoukkojen muodostama joukko. Kokoelma
LisätiedotMetriset avaruudet 2017
Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Lukijalle Nämä ovat muistiinpanoni metristen avaruuksien kurssille syyslukukaudella 2017. Kurssi on johdatus metristen avaruuksien teoriaan. Peruskäsitteiden (metriikka,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
Lisätiedot