Radiositeettimenetelmä ja sen laajennukset akustiikan reaaliaikaisessa mallinnuksessa
|
|
- Eeva-Liisa Lehtonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Radiositeettimenetelmä ja sen laajennukset akustiikan reaaliaikaisessa mallinnuksessa Ville Heikkinen Tiivistelmä Radiositeettimenetelmä on yksi mahdollinen menetelmä akustiikan mallintamisessa. Se ei kuitenkaan sovellu sellaisenaan reaaliaikaiseen mallinnukseen, koska sen vaatimaa laskentaa ei voida suorittaa reaaliaikaisesti. Lisäksi akustiikan mallintaminen pelkästään tällä menetelmällä ei tuota hyvää tulosta, koska menetelmä olettaa kaikkien pintojen säteilevän tasaisesti kaikkiin suuntiin. Tämä seminaarityö käsittelee radiositeettimenetelmää ja sen laajennuksia, joiden avulla sen käyttö reaaliaikaisessa akustiikan mallinnuksessa on mahdollista. 1 AKUSTISEN MALLINNUKSEN OMINAISPIIRTEET Radiositeettimenetelmää kuten monia muitakin akustiikan mallinnuksen menetelmiä on etupäässä käytetty kolmiulotteisen grafiikan mallinnukseen. Kun menetelmiä yritetään käyttää auralisaatioon, on kuitenkin otettava huomioon ääniaaltojen valosta poikkeavat ominaisuudet. Äänen heijastuminen poikkeaa valon heijastumisesta. Kummallekin on kuitenkin ominaista se, että osa aalloista peiliheijastuu ja osa hajaheijastuu, eli heijastuu yhtä voimakkaasti joka suuntaan riippumatta äänen tai valon tulokulmasta. Äänen hidas kulku väliaineessa tekee myös mallintamisesta erilaista. Mallinnuksessa täytyy kiinnittää huomiota myös siihen miten ihminen kuulee ääntä: Korva on esimerkiksi näytteenottotaajuden suhteen paljon tarkempi kuin silmä. 2 AKUSTISEN MALLINNUKSEN MENETELMÄT Kuvalähdemenetelmässä luodaan virtuaalisia äänilähteitä siten, että jokaisen tason suhteen peilataan uusi virtuaalinen äänilähde tason taakse. Menetelmällä voidaan taata, että kaikki heijastukset tiettyyn asteeseen asti löydetään. 1
2 Menetelmän ongelmana on se, että pinnat oletetaan pelkästään peiliheijastaviksi. Lisäksi tarvittavien äänilähteiden määrä kasvaa eksponentialisesti. Säteenseurantamenetelmissä ammutaan säteitä tai sädekimppuja ja pyritään löytämään reitit, jotka päätyvät peiliheijastusten kautta havaintopisteeseen. Verrattuna kuvalähde- ja radiositeettimenetelmiin on säteenseurantamenetelmissä erona juuri se, että siinä ratkaistaan äänen kulku äänilähteistä tiettyyn pisteeseen, kun sekä kuvalähdeettä radiositeettimenetelmissä ei tarvitse aloittaa laskemista alusta, jos kuuntelija liikkuu tilassa. Sinänsä oletus pinnan peilimäisestä heijastuksesta voi olla parempi kuin radiositeettimenetelmässä käytetty. [Funkhouser, 2002] Kuitenkin hyvän mallin aikaansaamiseksi molemmat heijastustavat pitäisi ottaa huomioon. 3 RADIOSITEETTIMENETELMÄ 3.1 Perusteet Radiositeettimenetelmä perustuu energian säilymislakiin, jonka mukaan pinta säteilee yhtä paljon energiaa, kuin se vastaanottaa. L λ (x;t ;θ o ;φ o )=L λ e(x;t ;θ o ;φ o )+ ρλ d (x) π Z Ω L λ i (x;t ;θ;φ)cosθdω (1) Kaavan (1) [Tsingos, 1998b] mukaisesti pinnan piste x säteilee tiettynä ajan hetkenä t suuntaan (θ o ;φ o ) allonpituudella λ energiamäärän, joka on pinnan itsensä emittoivan energia L λ e sekä pinnasta heijastuvan energian R Ω Lλ i summa. Menetelmässä oletetaan siten, että heijastuminen tapahtuu pinnalta jokaiseen suuntaan yhtä voimakkaana, ts. ρλ(x) d π on vakio kulman suhteen. Kuvassa 1 esitetään kahden pinnan välinen vuorovaikutus, jossa toisen pinnan lähettämä säteily E i osuu osittain toiseen pintaan ja on osakomponentti sen saamasta (ja lähettämästä) energiasta E j. Menetelmässä on siten laskettavana samanaikaisesti ratkaistavia yhtälöitä yksi jokaisesta pintojen välisestä parista. Lisäksi joudutaan tutkimaan, ovatko pinnat todella näköyhteydessä vai onko niiden välillä este. Lisäksi yhtälöt riippuvat ajasta. Kaava (1) voidaan esittää myös intensiteettinä, koska I λ (x;t)= dp =Z L λ (x;t ;θ;φ)cosθdω: (2) dx Ω Kun kyseessä on hajaheijastuminen, intensiteetin määrä riippuu energiasta, mutta on riippumaton kulman suhteen. Tällöin voidaan kirjoittaa Sijoittamalla yhtälö (3) kaavaan (2) saadaan L λ (x;t)=πi λ (x;t): (3) 2
3 Kuva 1: Kahden pinnan välinen vuorovaikutus. [Tsingos, 1998a] Z I λ (x;t)=ie λ (x;t)+ρ λ d(x) κ λ (x;y)i λ (y;t r )dy: (4) y2s c Kaavassa (4) I λ (x;t) on pisteestä x lähtevä säteilyn intensiteetti ajan hetkellä t ja aallonpituudella λ. Ie λ (x;t) on pinnan lähettämän säteilyn intensiteetti, ja ρ λ d(x) on heijastuskerroin. Integraalissa lasketaan jokaisen pinnan suhteen sen lähettämän säteilyn intensiteetti pisteeseen x. κ λ (x;y) on funktio joka on 1 silloin kun pinnat ovat näköyhteydessä ja muussa tapauksessa 0. Lisäksi c on äänen nopeus ja r pisteiden välinen etäisyys. 3.2 Diskreetti ratkaiseminen Laskettaessa radiositeettia muutetaan kaava (4) diskreettiin muotoon, jossa pinnoista muodostetaan elementtejä, eli pintojen osia, jotka ovat yksinkertaisia kolmiulotteisessa avaruudessa olevia kaksiulotteisia kappaleita, esimerkiksi kolmioita. Diskeetissä muodossa kaava (4) voidaan kirjoittaa [Tsingos, 1998b]: I λ i (t)=i λ e i (t)+ρ λ i N FijI λ j (t T ij ); (5) j=1 missä termi F λ ij määrittelee energian määrän, jonka elementti j vastaanottaa elementiltä i ja voi olla vaikea ratkaista analyyttisesti. T ij on aika, joka kestää äänen kulkiessa pinnan i keskuksesta sen kulkiessa pinnan j keskukseen. Jos oletetaan että kaavan (5) mukainen järjestelmä on riippumaton ajan suhteen, kuten tilanne on valoa mallinnettaessa, voidaan sama kirjoittaa matriisimuodossa I = E+FI; (6) 3
4 jossa I on vektori pintojen lähettämän säteilyn intensiteetistä, E vektori säteilyn intensiteetin määrästä, jota elementit tuottavat,, ja F matriisi, joka määrittelee elementtien välisen säteilyn intensiteetin määrän. Ratkaisemalla kaava (6) I:n suhteen saadaan I =(Id F) 1 = + F i E; (7) jossa i on indeksi, joka kuvaa laskettujen heijastusten kertalukua. Heijastuksia ei lasketa todellisuudessa äärettömään asti, vaan laskenta lopetetaan, kun riittävä määrä energiasta on saatu laskettua. Äänen mallinuksessa usein käytetty raja on 60dB. Kun ääntä mallinnettaessa otetaan huomioon myös aika, tarkoittaa se sitä, että kaavan (6) ja (7) vektorit ja matriisit eivät sisällä skalaareja, vaan vektoreja kuvaten arvoja eri t:n arvoilla. [Tsingos, 1998b] Käytännössä siis esimerkiksi Hz näytteenottotaajuudella on tallennettava eri arvoa jokaista elementtiä kohti, jos tutkittavan näytteen pituus on sekunti. Kun halutaan laskea saatu intensiteetti tiettyyn pisteeseen, kerätään lasketusta vektorista eri elementeistä tulevat intensiteettitasot kyseiseen kuulijan pisteeseen. Jos järjestelmän äänilähteet lähettävät hetkellä t = 0 impulssin, muodostavat tällöin pisteeseen saapuvat äänen intensiteettitasot pisteen impulssivasteen. Jos myöhemmin järjestelmässä siirrytään toiseen paikkaan, tarvitsee vain kerätä uudestaan tähän pisteeseen saapuvat intensiteettitasot. Tämä tehdään tekemällä elementeille näkyvyystarkastelu ja laskemalla yhteen näkyvien elementtien pisteeseen tuoma äänen intensiteetti. Koska ääni käyttäytyy eri tavalla eri allonpituuksilla, lasketaan hyvän tarkkuuden saavuttamiseksi heijastukset erilaisilla taajuuksilla. [Tsingos, 1998b] 3.3 Menetelmän käyttö grafiikassa Radiositeettimenetelmää käytetään grafiikassa tuottamaan erittäin realistisia mallinnuksia. Menetelmä vaatii kuitenkin paljon laskentatehoa ja muistia, joten reaaliaikaiseen mallintamiseen se ei sovi. Usein säteenseuranta menetelmiä yhdistetään radiositeettimenetelmän kanssa, jolloin mukaan saadaan myös peiliheijastus. [Hearn, 1997] Grafiikassa yhtälöt ovat kuitenkin yksinkertaisempia, koska valon suuren nopeuden takia aikaa ei tarvitse ottaa laskuissa huomioon. i=0 3.4 Menetelmän hyvät ja huonot puolet Menetelmä ei ota huomioon, että pinnoissa tapahtuu myös peiliheijastumista. Ääniaalloilla huomioon tulee ottaa myös äänen hitaus, jolloin ratkaistavat yhtälöt ovat myös aikariippuvaisia. 4
5 Se ei myöskään skaalaudu hyvin suuriin virtuaalimaailmoihin. Koska äänen aallonpituus on varsin pieni, joudutaan hyvään tulokseen pääsemiseksi jakamaan pinnat elementteihin, joiden koko on äänen aallonpituuden luokkaa [Funkhouser, 2002]. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että jo pienikin mallinnettava avaruus joudutaan mallintamaan erittäin monella elementillä. 4 RADIOSITEETTIMENETELMÄN LAAJENNUKSET Koska radiositeetti on menetelmänä liian raskas käytettäväksi reaaliaikaisessa mallinnuksessa, on siihen esitetty laajennuksia. Monitasoinen mallinnusta ja monimutkasempien heijastusten huomioonottamista käytetään myös kolmiulotteisen grafiikan mallinnuksessa. Tavat peiliheijastusten huomioonottamiseksi, aikariippuvuuden optimoinnin ja menetelmien yhdistäminen on esitelty Nicolas Tsingosin väitöskirjassa [Tsingos, 1998b]. Laajennuksilla pyritään vähentämään turhaa laskentaa samalla keskittyen ollennaisesti auralisaation laatuun vaikuttaviin asioihin. Turhaa laskentaa voidaan vähentää tallentamalla usein laskettavaa tietoa esimerkiksi elementteihin. Toinen tapa on jättää pois sellaisten termien laskeminen, joiden vaikutus havaittuun ääneen on pieni. Peiliheijastuminen tulee ottaa myös huomioon, jotta koettu äänimaailma olisi luonnollinen. Äänen suunnan havaitsemiseksi ainakin ensimmäisten kertaluokkien heijastukset pitäisi ottaa huomioon. Esitetyssä menetelmässä pyrkimyksenä on luoda äänimaailma, jossa kuuntelija voi liikkua. Maailman oletetaan muuten olevan staattinen. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että laajennuksen tulee pystyä laskemaan valmiiksi aikaavieviä operaatioita maailmasta etukäteen, ja näiden laskelmien perusteella pystytään myöhemmin rekonstruoimaan reaaliaikaisesti äänimaailma myös liikkeessä. 4.1 Monitasoinen mallinnus Monitasoisen mallinnuksen tarkoituksena on vähentää laskentaa vähentämällä laskettavia elementtien määrää. Tämä on tärkeää koska pinnat joudutaan jakamaan korkeatasoiseen lopputuloksen pääsemiseksi pieniin osiin. Pintojen määrää vähennetään siten, että joissain tapauksissa vierekkäiset pintoja voidaan käsitellä yhtenäisenä pintana. Laskenta aloitetaan yhdistetyistä pinnoista eli korkeimmalta tasolta. Jos pintojen välinen energiataso on pienempi kuin ennalta määritelty taso, kelpaa tarkkuus vastaukseksi näiden pintojen osalta. Muuten siirrytään alemalle tasolle, kunnes riittävä tarkkuus tai alin taso on saavutettu. [Tsingos, 1998b] Kuvassa 2 on esitelty kolmitasoinen pintojen joukko. Ylemmän tason pinta on ominaisuuksiltaan keskiarvo alemman tason pinnoista. Esimerkkikuvassa osasta pinnasta riittää tarkkuudeksi keskimmäinen elementti, koska sen saama säteilytaso ei ole niin 5
6 Kuva 2: Monitasoinen mallinnus: Pinta on mallinnettu kolmella eri tarkkuudella. Paremman tarkkuuden saavuttamiseksi voidaan siirtyä alemalle tasolle tai tyytyä kyseisen tason tarjoamaan tarkkuuteen. merkittävä, että suurempaa tarkkuutta tarvitaan. Muusta osasta käytetään täyttä tarkkuutta. Reaaliaikaisessa mallinnuksessa laskettavia elementtipareja pyritään vähentämään etukäteen tutkimalla, mitkä pinnat ovat näköyhteydessä keskenään. Koska korkeammalla tasolla käytetään näkyvyystarkasteluun elementin keskikohtaa, voi monitasoistessa mallinnuksessa käydä niin, että alemman tason elementit eivät kaikki enää olekaan näköyhteydessä vastapuolen elementteihin. Tällöin näkyvyystarkastelua joudutaan suorittamaan uudelleen. Tietysti näkyvyystarkastelut voidaan laskea etukäteen kaikille elementtitasoille, jos niiden tarvitsema tila ja etukäteislaksentaan tarvittava aika ei ole ongelma. Monitasoinen mallinus monimutkaistaa tätä laskentaa, koska pintaa jaettaessa osa siitä ei välttämättä olekaan enää näköyhteydessä vastakkaiseen pintaan, jolloin Koska eri taajuudet käyttäytyvät pinnoilla eri tavalla, joudutaan myös monitasoinen mallinnus suorittamaan erikseen kaikilla laskettavilla aallonpituuksilla. 4.2 Monimutkaisempien heijastusten huomioonottaminen Yksi radiositeetimenelmän ongelma on sen perusolettamus, jonka mukaan pinnat säteilevät yhtä voimakkaasti kaikkiin suuntiin, eli pelkästään hajaheijastavat. Kuitenkin todellisuudesta osa pintojen heijastuksesta on peiliheijastusta. Äänen suuntaavuden välittämiseksi kuulijalle tärkeitä ovat etenkin ensimmäisten kertaluokkien peiliheijastukset. Tsingosin väitöskirjassa [Tsingos, 1998b] on tutkittu erilaisia tapoja ottaa huomioon myös peiliheijastus. On mahdollista jakaa pinnan säteily kahteen eri kompo- 6
7 nenttiin, joista toinen lasketaan radiositeettimenetelmää käyttäen ja toinen jotain muuta menetelmää käyttäen. Eräs mahdollisuus on sisällyttää tieto pinnan peiliheijastuksesta elementteihin, niin että jokaisen elementin yhteyteen lisätään verkko uusia elementtejä, jotka muodostavat pinnalle kuution. Käytännössä siis mallinnettavaa tilaa muutetaan lisäämällä siihen virtuaalisia elementtejä, jotka simuloivat peiliheijastumista. Verkon laskeminen on kuitenkin monimutkainen toimenpide. Toinen esitetty tapa on käyttää suunnattua jakaumaa eli kaavassa (1) esitetty termi ρ λ(x) d π muutetaan niin, että se on riippuvainen myös suunnasta. Reaaliaikaisenen mallinnus asettaa rajoituksia myös tämän menetelmän käytölle. Esimerkiksi edellä mainittuja menetelmiä ei niiden monimutkaisuuden takia voida käyttää. Kuitenkin voi olla että näitä menetelmiä kehittämällä on mahdollista päästä riittävään tehokkuuteen. 4.3 Kuvalähdemenetelmän hyväksikäyttö Yksi mahdollisuus peiliheijastusten huomioonottamiseksi on käyttää apuna kuvalähdemenetelmää. Tätä on myös käytetty Tsingosin väitöskirjassa esitetyssä reaaliaikaisessa menetelmässä. Yhdistettäessä menetelmät jaetaan heijastukset kahteen komponenttiin: Radiositeettimenetelmällä lasketaan hajaheijastuskomponentti ja kuvalähdemenetelmällä peiliheijastuskomponentti. Sinänsä menetelmää käytetetään sellaisenaan, mutta tehokkuuden ja monitasoisen mallinnuksen takia joudutaan se osittain yhdistämään käytettyihin tietorakenteisiin. 4.4 Aikariippuvuuden yksinkertaistaminen Toisin kuin mallinnettaessa valon kulkua, ääniaaltojen hitauden takia joudutaan ottamaan huomioon aikariippuvuus: Energia siirtyy pinnalta toiselle viiveellä. Tsingosin väitöskirjassa [Tsingos, 1998b] on esitetty yksinkertaistus impulssien mallinnukseen, jonka avulla pystytään vähentämään tietorakenteisiin tallennettavan datan määrää. Samalla esitetään myös tapa, jolla intensiteettitasot tallennetaan elementteihin. Aikariippuvuutta voidaan vähentää yhtälöissä olettamalla, että äänen intensiteettitaso on vakio koko kahden elementin välisen energian vaihdon ajan. Tällä tavalla pystytään yksinkertaistamaan käytettyjä tietorakenteita, joihin tallennetaan elementtien väliset energianvaihdot. Tämä näkyy myös kuvassa 3, jossa impulssin reunat eivät pyöristy vaan impulssin oletetaan säilyttävän muotonsa. Näitä energianvaihtoja kutsutaan väitöskirjassa kaiuiksi. Kuvassa 3 nähdään myös esimerkki siitä miten aika vaikuttaa impulssin kuluun: Impulssi, jonka pituus δ ja intensiteetti I saapuu pinnalle i ajanhetkellä T. Se viivästyy T ij :n verran, eli ajan joka signaalilta kestää kulkea pinnalta i pinnalle j ja levenee, 7
8 Kuva 3: Impulssin käyttäytyminen järjestelmässä. Impulssi kulkee pinnalta i pinnalle j. Jotta uudelleenlaskennalta vältyttäisiin, tallennetaan lähtevän impulssin tiedot pinnan tietorakenteisiin. [Tsingos, 1998a] koska pinnat eivät ole kohtisuorassa, vaan osasta pinnasta matka on lyhyempi kuin toisesta osasta pintaa. 4.5 Laajennetun menetelmän käyttö reaaliaikaisessa mallinnuksessa Koska menetelmää on tarkoitus käyttää reaaliaikaisessa mallinnuksessa, on tärkeää pyrkiä vähentämään toistuvaa laskentaa. Järjestelmästä tulee siis pystyä laskemaan impulssivaste nopeasti myös kun kuuntelija liikkuu tilassa. Perusajatuksena on tallentaa eri ajanhetkinä elementien lähettämät vasteet toisiin elementteihin. Näiden vasteiden avulla on mahdollista kerätä helposti tiettyyn paikkaan saapuva äänen intensiteetti ja laskea sen avulla impulssivaste. Koska mallinnus on monitasoista, on käytetty tapa kuitenkin tässä esitettyä monimutkaisempi. Vaikka todellisuudessa elementit jotka eivät ole näköyhteydessä keskenään vaihtavat energiaa äänen diffraktion takia, arvioidaan laskemista säästämiseksi että pinnat voivat vaihtaa energiaa kun ne ovat visuaalisesti toistensa näkyvissä. Jos tätä yksinkertaistusta ei tehtäisi olisi funktio, joka määrittelee elementtien näkyvyyden riippuvainen aallonpituudesta. Tämä monimutkaistaisi laskentaa. [Tsingos, 1998b] 8
9 Reaaliaikaisen mallinnukset mahdollistamiseksi menetelmään joudutaan lisäksi tekemään optimointia. Muuten menetelmä ei pystyisi suoriutumaan järjestelmään syötetystä impulssista riittävän tehokkaasti. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että kaavassa (7) esitettyä tapaa impulssivasteen laskemiseksi ei käytetä, vaan tämän asemesta käytetään listarakennetta. Kun kaava muutettiin myös riipuvaiseksi ajasta, tarkoitti tämä sitä, että vektori I sisältää skalaarien sijasta vektoreita, jotka kuvaavat äänen intensiteettiä tiettyyn aikaan. Todellisuudessa nämä vektorit ovat varsin harvoja sisältäen vain harvoin nollasta poikkeavia lukuja. Koska kaikkiin impulseihin on lisäksi tehty kuvassa (3) näkyvä yksinkertaistus pitämällä intensiteettiä vakiona, voidaan vektori korvata yksinkertaisilla elementteihin sijoitettuina listoina kaiuista, joilla on siis alkamisaika, pituus ja intensiteetti. Kaiut voidaan myös yhdistää toisiinsa niissä tilanteissa jolloin kaksi kaikua ovat samanaikaisia. Edellä kuvattu menetelmä on progressivinen, eli siinä ei pyritä ratkaisemaan kokonaan kaavan (7) matriisia F i vaan ratkaisu tapahtuu niin, että kun impulssi syötetään järjestelmään aluksi kaikki äänilähteet lähettävät impulssin, sitten tutkitaan mitkä elementit saavat osansa tästä impulssista ja jotka heijastavat säteilyä, eli toimivat lähteinä seuraavassa iteraatiossa. Tätä jatketaan kunnes riittävä tarkkuus mallinnuksessa on saavutettu. 4.6 Laajennetun menetelmän hyvät ja huonot puolet Esitetty menetelmä on varsin monimutkainen käyttäessään kahta eri toisista riippumatonta menelmää mallintamisessa. Toteutuksessa on jouduttu lisäksi parantamaan suorityskykyä tallentamalla tietoa valmiiksi tietorakenteisiin ja tekemällä optimointia. Menetelmän hyvä puoli on se, että se mahdollistaa kuuntelijan liikkumisen tilassa ilman, että suurta uudelleen laskentaa tarvittaisiin. Siten sen käyttö reaaliaikaisissa sovelluksissa olisi perusteltavaa. 5 MENETELMÄN KÄYTTÖKELPOISUUS Väitöskirjassa [Tsingos, 1998b] on tutkittu menetelmän käyttökelpoisuutta ts. sen laatua verrattuna muihin menetelmiin. Vertailtaessa sitä kartionseurantaan perustuvaan menetelmään todettiin, että radiositeettimenetelmän suurimpana ongelma on jättää jälkikaiunta huomiotta, jos laajennuksena käytetyn kuvalähdemenetelmän asteluku on pieni. Toisaalta jos astelukua kasvatetaan tulee laskentajasta liian pitkä kestäen useita tunteja. Tämä tosin liittyy laskentaan, joka tehdään ennen reaaliaikaista mallinnusta. Muuten menetelmien tuottama äänen intensiteettitasot ovat samanlaisia, vaikkakin hajaheijastumien ajallinen jakauma poikkeaakin toisistaan. On tosin huomattava, että kyseisessä vertailussa käytetty tila oli hyvin yksinkertainen sisältäen kaksi seinää ja lattian, jonka lisäksi pinnat olivat mallinnettu yksinkertai- 9
10 sesti. Tällaisessa tilassa ei myöskään voitu suorittaa mitään koetta siitä, minkälaisena tuotettu äänenlaatu todella koetaan. Koska tällä hetkellä tutkimusta menetelmän ympärillä ei ole ja väitöskirjan kirjoittamisesta on aikaa kulunut jo jo viisi vuotta, on vaikea sanoa miten hyvin menetelmä toimisi nykyisten tietokoneiden laskentakapasiteeteilla. 5.1 Menetelmän parantaminen Menetelmän tulisi ottaa jälkikaiunta paremmin huomioon. Käytännössä nyt joudutaan käyttämään liian monen kertaluokan heijastuksia jo yksinkertaisessa tilassa. Tämä onnistuisi käyttämällä laskemalla ne tilastollisten jakaumien avulla, kuten tehdään myös muissa menetelmissä. [Tsingos, 1998b] Ääniaallon vaihe, joka vaikuttaa äänen väriin, pystytään ottamaan menetelmässä huomioon pienentämällä elementtien kokoa niin, että ne ovat samaa suuruusluokkaa kuin aallonpituus. 6 YHTEENVETO Toisin kuin muut mallinnusmenetelmät, radiositeettimenetelmä mallintaa äänen heijastumista eri tavoin. Jotta saavutettasiin riittävän korkeatasoinen äänenlaatu mallinetussa äänessä, tarvitsee myös peiliheijastukset ottaa huomioon. Muiden menetelmien approksimaatio siitä, että ääni peiliheijastuu pinnasta saattaa kuitenkin alkuoletuksena olla parempi. Molemmat heijastustavat otetaan esitetyssä menetelmässä huomioon käyttämällä radiositeettimenetelmän lisäksi kuvalähdemenetelmää, jolla tuotetaan ainakin ensimmäisten kertaluokkien heijastukset, jotka ovat tärkeitä äänen suuntaavuuden kannalta. Koska radiositeettimenetelmän ongelmana on se, että jotta saavutettu tarkkuus olisi riittävä, joudutaan pinnat jakamaan pieniin elementteihin, pyritään näitä elementtejä yhdistämään silloin kuin se on järkevää, eli silloin kun elementtien saama energiataso on alle jonkin määritellyn tason. Toisaalta tämä tekee samalla menetelmästä monimutkaisemman toteuttaa. Myös ääniaallon vaiheen säilyttämiseksi tulee elementtien kokojen olla pieniä. Jotta kuulija voisi liikkua luodussa kolmiulotteisessa maailmassa reaaliaikaisesti, tallennetaan impulssivasteen eri aikoina eri pinnoilta heijastunut äänen intensiteettitaso pintojen tietorakenteisiin. Näin pystytään ilman uudelleen laskemista keräämään kuuntelijan paikan vaihtuessa uuteen paikkaan saapuva vaste. Menetelmän etuna on siis se, että yhden paikan sijasta on mahdollista reaaliaikaisesti laskea minkä tahansa tilan pisteen impulssivaste. Tsingosin väitöskirjassa on osoitettu, että menetelmää hyväksikäyttäen pystytään luomaan reaaliaikaista mallinnusta, vaikkakin esimerkeissä tämä ei tapahdu monimutkaisessa ympäristössä. Siinä esitetään myös mahdollisia tutkimuskohteita, miten menetelmää voitaisiin pyrkiä parantamaan. 10
11 Lisätutkimusta menetelmän käytön hyödyllisyydestä ei ole kuitenkaan näyttänyt tapahtuneen. Menetelmän käyttöä reaaliaikaisessa akustiikan mallinnuksessa ei tällä hetkellä ole olemassa. Viitteet [Funkhouser, 2002] Funkhouser, T.; Carlbom, I.; Elko, G.; Pingali G.; Sondhi M.; West. J A Beam Tracing Approach to Acoustic Modeling for Interactive Virtual Environments. pp 2-3. [Hearn, 1997] Hearn, D.; Pauline M Computer Graphics C version. pp [Tsingos, 1998a] Tsingos, N.; Gascucl J.D Acoustic simulation using hierarchical time-varying radiant exchanges.9p. [Tsingos, 1998b] Tsingos, N Simulation de champs sonores de haute qualité pour des applications graphiques interactives. 206 p. 11
HUONEAKUSTIIKAN MALLINNUS VIRTUAALISELLA AALTOKENT- TÄSYNTEESILLÄ 1 JOHDANTO 2 VIRTUAALISEN AALTOKENTTÄSYNTEESIN TEORIA
HUONEAKUSTIIKAN MALLINNUS VIRTUAALISELLA AALTOKENT- TÄSYNTEESILLÄ Samuel Siltanen ja Tapio Lokki Teknillinen korkeakoulu, Mediatekniikan laitos PL 50, 02015 TKK Samuel.Siltanen@tml.hut.fi 1 JOHDANTO Huoneakustiikan
LisätiedotLuento 15: Ääniaallot, osa 2
Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Aaltojen interferenssi Samassa pisteessä vaikuttaa
Lisätiedot10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi. Säteenjäljitys
10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi Säteenjäljitys Säteenjäljityksessä (T. Whitted 1980) valonsäteiden kulkema reitti etsitään käänteisessä järjestyksessä katsojan silmästä takaisin kuvaan valolähteeseen
LisätiedotBraggin ehdon mukaan hilatasojen etäisyys (111)-tasoille on
763343A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 2 Kevät 2018 1. Tehtävä: Kuparin kiderakenne on pkk. Käyttäen säteilyä, jonka aallonpituus on 0.1537 nm, havaittiin kuparin (111-heijastus sirontakulman θ arvolla
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
LisätiedotKuvalähdemenetelmä. Niko Lindgren HUT, Telecommunications Software and Multimedia Laboratory. nlindgre@cc.hut.fi. Tiivistelmä
Kuvalähdemenetelmä Niko Lindgren HUT, Telecommunications Software and Multimedia Laboratory nlindgre@cc.hut.fi Tiivistelmä Tässä seminaarityössä olen tutkinut kuvalähdemenetelmää, jota käytetään huoneakustiikan
Lisätiedot10. Globaali valaistus
10. Globaali valaistus Globaalilla eli kokonaisvalaistuksella tarkoitetaan tietokonegrafiikassa malleja, jotka renderöivät kuvaa laskien pisteestä x heijastuneen valon ottamalla huomioon kaiken tähän pisteeseen
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalampi LUENTO 12 Aallot kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa Toistaiseksi on tarkasteltu aaltoja, jotka etenevät yhteen suuntaan. Yleisempiä tapauksia ovat
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1
763306A JOHDATUS SUHTLLISUUSTORIAAN Ratkaisut 3 Kevät 07. Fuusioreaktio. Lähdetään suoraan annetuista yhtälöistä nergia on suoraan yhtälön ) mukaan + m ) p P ) m + p 3) M + P 4) + m 5) Ratkaistaan seuraavaksi
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotZ 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2
766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotKuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla.
FYS 103 / K3 SNELLIN LAKI Työssä tutkitaan monokromaattisen valon taittumista ja todennetaan Snellin laki. Lisäksi määritetään kokonaisheijastuksen rajakulmia ja aineiden taitekertoimia. 1. Teoriaa Huygensin
LisätiedotLuku 6. reunaehtoprobleemat. 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Reunaehdot. Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan
Luku 6 Sähköstatiikan reunaehtoproleemat 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan ( φ) = ρ ε 0, (6.1) josta 2 φ = ρ ε 0. (6.2) Tämä tulos on nimeltään
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotKuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus
Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus värähtelytiheyden. 1 Funktiot ja aallot Aiemmin käsiteltiin funktioita ja miten niiden avulla voidaan kuvata fysiikan
LisätiedotRatkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:
LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen
LisätiedotEsimerkki - Näkymätön kuu
Inversio-ongelmat Inversio = käänteinen, päinvastainen Inversio-ongelmilla tarkoitetaan (suoran) ongelman ratkaisua takaperin. Arkipäiväisiä inversio-ongelmia ovat mm. lääketieteellinen röntgentomografia
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Lisätiedota) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1.10.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotDiskreettiaikainen dynaaminen optimointi
Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi Usean kauden tapaus 2 kauden yleistys Ääretön loppuaika Optimaalinen pysäytys Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / Ongelma t 0 x 0 t- t T x t- + x t + x T u
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotKRISTALLOGRAFIASSA TARVITTAVAA MATEMA- TIIKKAA
KRISTALLOGRAFIASSA TARVITTAVAA MATEMA- TIIKKAA Aloita kertaamalla hilan indeksointi niin, että osaat kuutiollisen kiteen tasojen ja suuntien Miller-indeksit. Vektorit määritellään yleisessä muodossa r
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
Lisätiedot1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus
S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä
LisätiedotYhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward
LisätiedotGeometrisen huoneakustiikan renderöintiyhtälö
Rakenteiden Mekaniikka Vol. 41, Nro 1, 2008, s. 25 30 Geometrisen huoneakustiikan renderöintiyhtälö Lauri Savioja, Samuel Siltanen ja Tapio Lokki Tiivistelmä. Geometrinen huoneakustiikka perustuu oletukseen
Lisätiedot2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet
Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40 Alkuviikolla harjoitustehtäviä lasketaan harjoitustilaisuudessa. Loppuviikolla näiden harjoitustehtävien tulee olla ratkaistuina harjoituksiin
LisätiedotSolmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
LisätiedotRYHMÄKERROIN ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN
ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN ARVIOINNISSA Seppo Uosukainen, Jukka Tanttari, Heikki Isomoisio, Esa Nousiainen, Ville Veijanen, Virpi Hankaniemi VTT PL, 44 VTT etunimi.sukunimi@vtt.fi Wärtsilä Finland Oy
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotSuhteellisuusteorian perusteet, harjoitus 6
Suhteellisuusteorian perusteet, harjoitus 6 May 5, 7 Tehtävä a) Valo kulkee nollageodeettia pitkin eli valolle pätee ds. Lisäksi oletetaan valon kulkevan radiaalisesti, jolloin dω. Näin ollen, kun K, saadaan
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Lisätiedotx (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1
BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotReaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ
76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotOsoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2
8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta
Differentiaali- ja integraalilaskenta Opiskelijan nimi: DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 5 Tasointegraalin laskeminen iemmin tutkimme ylä- ja alasummien antamia arvioita tasointegraalille f (x, ydxdy. Tässä siis funktio f (x, y integroidaan muuttujien x
LisätiedotLuku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko
Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotMat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008
Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa
LisätiedotLauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:
Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs
LisätiedotDemo 1: Simplex-menetelmä
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotJatkuvan ajan dynaaminen optimointi
Jatkuvan ajan dynaaminen optimointi Diskreetistä ajasta jatkuvaan Ito prosessit Optimaalinen pysäytys Poisson prosessit Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Jatkuvan ajan dynaaminen π(x,u,t) tuottovirta
Lisätiedotdx = L2 (x + 1) 2 dx x ln x + 1 = L 2 1 L + 1 L ( = 1 ((L + 1)ln(L + 1) L) L k + 1 xk+1 = 1 k + 2 xk+2 = 1 10k+1 k + 2 = 7.
BM2A582 - Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Kevät 26. a Lumikuiorman massa-alkio kohdassa on λd L2 + 2 d, joten kokonaismassa on Momentti suoran suhteen on L L 2 L m d L2 + 2 d + 2 / L L 2
Lisätiedot2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
LisätiedotGEOMETRISEN HUONEAKUSTIIKAN RENDERÖINTIYHTÄLÖ 1 JOHDANTO 2 GEOMETRISEN HUONEAKUSTIIKAN RENDERÖINTIYHTÄLÖ
Lauri Savioja, Samuel Siltanen ja Tapio Lokki Teknillinen korkeakoulu, Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio PL 5400, 02015 TKK Lauri.Savioja@tkk.fi, Samuel.Siltanen@tml.tkk.fi, Tapio.Lokki@tkk.fi
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
Lisätiedot521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3
51384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3 1. Tutkitaan mikroliuskajohtoa, jonka substraattina on kvartsi (ε r 3,8) ja jonka paksuus (h) on,15 mm. a) Mikä on liuskan leveyden w oltava, jotta ominaisimpedanssi
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotEi-inertiaaliset koordinaatistot
orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 /
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko Tehtävä (L): Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske
Lisätiedot1 Vastaa seuraaviin. b) Taajuusvasteen
Vastaa seuraaviin a) Miten määritetään digitaalisen suodattimen taajuusvaste sekä amplitudi- ja vaihespektri? Tässä riittää sanallinen kuvaus. b) Miten viivästys vaikuttaa signaalin amplitudi- ja vaihespektriin?
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z
LisätiedotLuento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka
Lisätiedotläheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
Lisätiedot7.6. Fysikaalinen peiliheijastus. Pinnan mikrogeometrian mallintaminen. Varjostus ja peittämisvaikutukset
7.6. Fysikaalinen peiliheijastus Tässä mallissa otetaan huomioon fysikaalispohjainen peilikomponentti (Blinn 1977. Sittemmin mallia laajennettiin käsittämään kirkkaan valaistuksen spektrin ja tämän riippuvuuden
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
LisätiedotMustan kappaleen säteily
Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
Lisätiedot