LIITTEET...2. Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta Liite B Lagrangen kertoimet... 3

Transkriptio

1 LIITTEET... Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta... Liite B Lagrangen kertoimet... 3 Liite C Kokonaisdifferentiaaleista... 7 C.1 Ristiderivaattojen riippumattomuus derivointijärjestyksestä... 7 C. Osittaisderivaattoja koskevia aputuloksia... 9 Liite D Carnotin prosessi ja termodynaaminen lämpötila... 1 D.1 Carnotin kone ja termodynaaminen (absoluuttinen) lämpötila... 1 Liite E Fermijakauma puolijohteissa E.1 Itseispuolijohteet E.. Seostetut puolijohteet... 4 E.3. Varaustasapainoyhtälö... 5 E.4. Varauksenkuljettajainjektio ja kvasifermitasot... 8 E.5. Elektronien ja aukkojen tilatiheys ei parabolisella alueella... 9 Liite F Lämmön siirtyminen F.1. Lämpötilajakauma ja lämpövirran tiheys F.. Gaussin lause lämpövirralle F.3 Esimerkkejä stationäärisistä lämpötilajakaumista F.3. Lämpösäteily... 38

2 Liitteet Liitteet Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta Luonnollista logaritmia suureesta n! approksimoidaan usein Stirlingin kaavalla ln n! nln n n, kun n on suuri. Seuraavassa arvioidaan tämän approksimaation tarkkuutta. Kertoman logaritmi voidaan kirjoittaa: ln n! = ln1+ ln + ln ln( n 1) + ln n. (A.1) Palauttamalla mieliin Riemannin summan ja määrätyn integraalin välisen yhteyden huomataan, että A.1 on itse asiassa Riemannin yläsumma logaritmifunktion integraalille välillä [ 1, n ]. Voidaan siis kirjoittaa (huom. ln x on monotonisesti kasvava funktio): n n n 1 ln n ln xdx ln n. (A.) i= 1 1 i= 1 Kuva A-1 Yhtälön A. ylä- ja alasummien erotus on viivoitetun alueen pinta-ala. missä n 1 ln n on vastaava alasumma. i= 1 Oletetaan seuraavassa, että n > 1, jolloin yhtälön A. perusteella voidaan kirjoittaa n n n n 1 ln n ln xdx ln n ln n = ln n. (A.3) i= 1 1 i= 1 i= 1 Määrätyn integraalin arvoksi saadaan osittaisintegroinnilla n ln xdx = n ln n n Koska n > 1, epäyhtälön A.3 molemmat puolet ovat positiivisia ja voidaan kirjoittaa

3 Liite B Lagrangen kertoimet 3 ln n! nln n+ n 1 ln n, (A.4) josta edelleen saadaan ln n! nln n+ n ln n+ 1. Stirlingin kaavan ln n! nln n n suhteelliselle virheelle saadaan siis likiarvoksi ln n! nln n+ n ln n+ 1 1 <. (A.5) nln n n nln n n n Suhteellinen virhe on siis suuruusluokkaa 1/n. Liite B Lagrangen kertoimet Termodynaamista tasapainotilaa vastaavien miehityslukujen määrääminen pelkistyy oleellisesti tietyn miehityslukujen funktion maksimiarvon määräämiseen. Miehityslukujen sijasta merkitään muuttujia kirjaimilla x, y ja z. Tämä valinta vastaa esimerkiksi systeemiä, jossa on kolme energiatasoa, mutta kaikki tulokset voi helposti yleistää useammalle kuin kolmelle muuttujalle. Tavoitteena on määrätä funktion F( x, y, z) = lnp maksimiarvo. Muuttujia x, y ja z sitoo kuitenkin hiukkasmäärän ja sisäenergian määrän säilyminen. Merkitään näitä side-ehtoja N( x, y, z) = N0 ja U( x, y, z) = U0, missä N 0 ja U 0 ovat hiukkasten kokonaismäärä ja sisäenergia systeemissä. (Tässä liitteessä käytetään näille vakioille alaindeksiä). Usean muuttujan funktion lokaalille ääriarvolle pätee: F F F df = dx + dy + dz = 0 x y z. (B.1) Toisaalta derivoimalla side-ehdot ( dn 0 = 0, du 0 = 0 ) saadaan N N N dn = dx + dy + dz = 0 x y z (B.) ja U U U du = dx + dy + dz = 0. (B.3) x y z

4 4 Liitteet Jos muuttujat x, y ja z ovat riippumattomia, ehto B.1 toteutuu vain, jos F F F = = = 0. (B.4) x y z Yhtälöt B. ja B.3 eivät kuitenkaan välttämättä toteudu yhtälön B.4 antamilla muuttujien x, y ja z arvoilla. Kerromme yhtälön B. ja B.3 vakioilla α ja β ja laskemme yhtälöt B.1-B.3 puolittain yhteen, jolloin saamme F N U + α + β dx + x x x F N U + α + β dy + y y y F N U + α + β dz = 0. z z z. (B.5) Muuttujia x, y ja x voidaan nyt pitää riippumattomina ja vaatia, että kunkin differentiaalin kerroin yhtälössä B.5 on nolla: F N U + α + β = 0 x x x F N U + α + β = 0 y y y F N U + α + β = 0. z z z (B.6) Yhtälöryhmässä B.6 on kolme riippumatonta yhtälöä ja kolme riippumatonta muuttujaa, xy, ja z. Yhtälön B.1 toteuttavat muuttujien xy, ja z arvot voidaan nyt ratkaista parametrien α ja β funktiona. Sijoittamalla näin saadut muuttujien xyz,, arvot yhtälöihin N( x, y, z) = N0 ja U( x, y, z) = U0 saadaan parametreille α ja β yhtälöpari, josta näiden parametrien arvot voidaan ratkaista reunaehdoissa annettujen vakioiden N 0 ja U 0 avulla. Vaihtoehtoinen ratkaisutapa on ratkaista yhtälöistä N( x, y, z) = N0 ja U( x, y, z) = U0 muuttujat y ja z lausuttuna muuttujan x sekä vakioiden N 0 ja U avulla ja sijoittaa ne yhtälöön B.1. Yhtälöön B.1 jää tällöin vain yksi 0 riippumaton muuttuja, jonka differentiaalin dx kerroin voidaan asettaa nollaksi. Näin saatu ratkaisu on tarkalleen sama kuin Lagrangen kertoimien avulla saatu tulos. Tämä menettely edellyttää, että muuttujat x ja y

5 Liite B Lagrangen kertoimet 5 voidaan ratkaista analyyttisesti side-ehdoista. Lagrangen menetelmän idea on siinä, että se on käyttökelpoinen myös silloin, kun muuttujia ja sideehtoja on paljon. Esimerkki: Tarkastellaan kolmen energiatason systeemiä. Energiatasot olkoot E 1 = 0, E = ε ja E3 = ε. Oletetaan, että hiukkaset noudattavat Maxwell-Boltzmann-statistiikkaa ja että kaikkien tasojen degeneraatiotekijä g = 1. Olkoon systeemissä 4000 hiukkasta, joiden kokonaisenergia on 300 ε. Partition todennäköisyys MB-statistiikassa on 3 gi P = N! n! (B.7) i= 1 n i i Mikrotilojen maksimimäärä eli todennäköisyyden maksimi saadaan laskemalla Fn ( 1, n, n3) = lnp:n maksimiarvo. Käyttämällä Stirlingin kaavaa saadaan, ks. Liite A, 3 n ln P = N ni ln i g. (B.8) i= 1 i Sijoittamalla g i = 1 voidaan kokonaisdifferentiaali kirjoittaa 3 df( n1, n, n3) = (ln ni) dni = 0, (B.9) i= 1 missä käytettiin jo kerran side-ehtoa dn1+ dn + dn3 = 0. Koska N = n1+ n + n3, side-ehdossa B. saadaan osittaisderivaatoille arvot N N N = = = 1. (B.10) n n n 1 3 Side-ehdosta B.3 saadaan vastaavasti U U U U = n1e1+ ne + n3e3 = nε + n3ε = 0; = ε; = ε. (B.11) n n n 1 3 Sijoittamalla nyt B.10 ja B.11 side-ehtojen differentiaaleihin B. ja B.3, kertomalla side-ehdot kertoimilla α ja β ja laskemalla puolittain yhteen saadaan yhtälöitä B.6 vastaavat yhtälöt:

6 6 Liitteet ln n + α + β 0 = 0 1 ln n + α + βε = 0 ln n + α + βε = 0. 3 (B.1) Ratkaistaan nyt näistä n1, n ja n 3 parametrien α ja β avulla: α β 0 α 1 = = α βε = e α βε 3 = e. n e e n n (B.13) Sijoitetaan nämä side-ehtoihin N( x, y, z) = N0 ja U( x, y, z) = U0. Tällöin saadaan α β 0 α βε α βε e + e + e = 4000 α β 0 α βε α βε e 0 + e ε + e ε = 300 ε. (B.14) Jaetaan aluksi yhtälöt keskenään, jolloin saadaan x+ x = x+ x 300, missä x= e βε. Ratkaisemalla yhtälöstä x = β = / ε. Vain positiivinen juuri kelpaa, sillä muuten ( n/ n 3) < 0, mikä ei ole mahdollista. Sijoittamalla x side-ehtoon N( x, y, z) = N0 saadaan α α α α e + xe + x e = 4000 e = n = 77, 1 missä lukuarvo on pyöristetty lähimpään kokonaislukuun. Parametrin α arvoksi saadaan α = 7.731, vaikka tällä lukuarvolla ei sellaisenaan ole paljon käyttöä. Vastaavasti sijoittamalla yhtälöön B.13 saadaan muut miehitysluvut: n = 1146, n 3 = 577. Tässä esimerkissä on tietenkin yksinkertaisilla energian lausekkeilla tehty laskusuoritukset mahdollisimman helpoiksi. Yleisessä tapauksessa yhtälöt B.14 eivät ratkea analyyttisesti, vaan joudutaan turvautumaan numeerisiin menetelmiin.

7 Liite C Kokonaisdifferentiaaleista 7 Liite C Kokonaisdifferentiaaleista C.1 Ristiderivaattojen riippumattomuus derivointijärjestyksestä Tarkastelaan kaasun tilavuuden muutosta paineen ja lämpötilan differentiaalisen pienen muutoksen seurauksena. Siirrytään kuvassa 6.4 (luku 6) pisteestä (1) pisteeseen (3) ensin reittiä (1--3) ja sitten reittiä (1-4-3). Koska sivu (1-) on differentiaalisen pieni, tilavuuden muutos tällä välillä saadaan laskemalla tilavuuden suuntaderivaatta (osittaisderivaatta) pitämällä painetta vakiona. Tilavuuden muutokseksi saadaan siis (ks. kuva 6.4) V V V = ( T T ) = T. (C.1) 1 1 T p T 1 p1 Vastaavasti välillä (-3) saadaan tilavuuden muutos laskemalla osittaisderivaatta pitämällä lämpötilaa vakiona V V V = ( p p ) = p. (C.) 3 1 p p T T Tilavuuden kokonaismuutos on siis V V V1 3= T + p. (C.3) T p p1 T Jos kuljetaan pisteestä (1) pisteeseen (3) reittiä (1-4-3), on tilavuuden muutos V V V1 4 3 = p+ T. (C.4) p T T1 Tilavuuden muutosten on oltava yhtä suureet, joten p3 V V V V p+ T = T + p. (C.5) p T T p T p 1 3 p1 T Siirtämällä derivaatat lämpötilan suhteen vasemmalle ja paineen suhteen oikealle puolelle saadaan

8 8 Liitteet V V V V T p T 3 p p p 1 T T 1 = (C.6) p T Yhtälössä C.1 oletetaan, että osittaisderivaatta V T p 3, on laskettu pisteessä C.4 eli samassa lämpötilassa T 1 kuin derivaatta V T p 1, jonka laskimme pisteessä (1). Näin ollen yhtälön C.6 vasen puoli on tilavuuden osittaisderivaatan muutos siirryttäessä pisteestä (1) pisteeseen C.4 jaettuna tämän välin pituudella. Kun otamme raja-arvon dp 0, tämä osamäärä lähestyy tilavuuden lämpötilan suhteen lasketun osittaisderivaatan derivaattaa paineen suhteen : lim V V V T T = p 0 p3 p1 p T p T p. (C.7) Vastaavasti yhtälön C.6 oikealta puolelta saadaan V V V lim p p = T T 1 T p T T T 0 p. (C.8) Kirjallisuudessa on tapana jättää vakiona pidettävä muuttuja merkitsemättä ristiderivaattoja laskettaessa. Yhtälö C.6 voidaan siis kirjoittaa myös muodossa V V =. (C.9) p T T p Toisen kertaluvun ristiderivaatat ovat siis riippumattomia derivointijärjestyksestä. Tätä voidaan pitää myös riittävänä ehtona sille, että yhtälö

9 Liite C Kokonaisdifferentiaaleista 9 V V dv = dp + dt p T T p (C.10) on tilavuuden kokonaisdifferentiaali. C. Osittaisderivaattoja koskevia aputuloksia paine esitetään tilavuuden ja lämpötilan funktiona ( ) Tilanyhtälö voidaan ratkaista tilavuuden sijasta paineen suhteen, jolloin p = p V, T. Paineen kokonaisdifferentiaaliksi saadaan p p dp = dv + dt V T T V. (C.11) Ratkaisemalla paineen differentiaali yhtälöstä C.10 ja sijoittamalla se yhtälöön C.11 saadaan 1 V p V p V dv = + dt. (C.1) p V T T p T T V T p Koska differentiaalit dt ja dv ovat riippumattomia, voidaan valita dt = 0 ja dv 0, jolloin saadaan V p V p 1 = 0 = p V p V T T T 1 Jos vastaavasti valitaan dv = 0 ja dt 0, saadaan T. (C.13) V p V + = 0. (C.14) p T T T V Yhdistämällä yhtälöt C.13 ja C.14 saadaan p V p T p T V T V p = 1. (C.15) Yhtälö C.15 voidaan todistaa oikeaksi mille tahansa kolmelle tilanmuuttujalle tai tilanfunktiolle x,y ja z

10 10 Liitteet x y z y z x z x y = 1. (C.16) Esimerkki Lähtien paramagneettisen aineen tilanyhtälöstä H M = osoita Cc T (kertaa luku 5.8.5), että sykliset osittaisderivaatat toteuttavat yhtälön M H T = 1. H T M T M H Curien lain mukaan H MT H = C M = C C C T H = C T C M. (C.17) Yhtälöstä (C.17) saadaan osittaisderivaatoiksi M H H T T M T M H C = T C M = C C = C C H M. Kertomalla yllä saadut osittaisderivaatat toisillaan saadaan M H T CC M H H MT H = CC C 1 = C = =, H T M T C M MT H MT T M H missä lopuksi käytettiin Curien lakia ratkaistuna kertoimen C C C suhteen. Tarkastellaan seuraavaksi pvt systeemin sisäenergiaa toisaalta paineen ja tilavuuden, toisaalta lämpötilan ja tilavuuden funktiona. Sisäenergian kokonaisdifferentiaali voidaan esittää tällöin vaihtoehtoisissa muodoissa U U du = dp + dv p V V p (C.18) ja

11 Liite C Kokonaisdifferentiaaleista 11 U U du = dt + dv. (C.19) T V V T Koska muuttujia p, V ja T sitoo tilanyhtälö f( p, V, T ) = vakio, ne eivät ole riippumattomia. Tilanyhtälö voidaan ratkaista lämpötilan suhteen ja kirjoittaa lämpötilan kokonaisdifferentiaalin muodossa T T dt = dp + dv. (C.0) p V V Differentiaali dt yhtälössä C. voidaan nyt eliminoida p U T U U T du = dp + ++ dv. (C.1) T V p V V T T V V p Koska differentiaalit dp ja dv ovat mielivaltaisia, huomataan, että yhtälöt C.18 ja C.1 ovat yhtäpitäviä vain, jos U U T = p T p V V V (C.) ja U U U T = + V V T V p T V p. (C.3) Tulokset C.-C.3 voidaan todistaa oikeiksi mielivaltaiselle tilanfunktiolle W ja tilanmuuttujille z,x ja y W W z = x z x y y y (C.4) ja W W W z = + x x z x. (C.5) y z x y

12 1 Liitteet Liite D Carnotin prosessi ja termodynaaminen lämpötila D.1 Carnotin kone ja termodynaaminen (absoluuttinen) lämpötila Tarkastellaan systeemiä, jonka makroskooppisia tilamuuttujia ovat paine tilavuus ja empiirinen lämpötila, jonka arvon ilmaisee mittaussuure X. Suure X voi olla esimerkiksi lämpömittarin nestepatsaan korkeus tai vastuslämpömittarin resistanssin arvo. Suureen lukuarvoa merkitään kirjaimella θ. Systeemin luonteesta ei tehdä yksityiskohtaisempia oletuksia. Tarkastellaan systeemin Carnotin prosessia, joka koostuu kahdesta isotermisestä prosessista ja niitä yhdistävistä kahdesta adiabaattisesta prosessista. Kaikki osaprosessit oletetaan kvasistaattisiksi ja häviöttömiksi. Kuva D-1 esittää kiertoprosessia θ -V tasossa. Kuva D-1 Carnotin prosessi empiirisen lämpötilan θ ja tilavuuden V määräämässä tasossa. Tilanmuutoksissa, joissa empiirinen lämpötila on vakio, on myös termodynaaminen lämpötila vakio, joten kiertoprosessit ovat Carnotin prosesseja myös T-V tasossa. Tarkastellaan aluksi prosessia a-b-cd-a. Tilanmuutoksessa a-b systeemi saa lämpömäärän Q 1 ylemmästä lämpövarastosta, jonka empiirinen lämpötila on θ 1. Välillä c-d systeemi luovuttaa lämpömäärän Q ( Q < 0 ) alempaan lämpövarastoon, jonka empiirinen lämpötila on θ. Muutokset b-c ja d-a ovat adiabaattisia. Koska systeemi palaa alkutilaan, sen sisäenergia ei muutu kierroksen aikana. Systeemin tekemä työ on yhtä suuri kuin sen saama nettolämpömäärä: W = Q1+ Q.

13 Liite D Carnotin prosessi ja termodynaaminen lämpötila 13 Kokeellisesti on havaittu, että kiinteillä empiirisen lämpötilojen θ 1 ja θ arvoilla systeemin saamien lämpömäärien itseisarvojen suhde on sama kaikille systeemeille. Lämpömäärien suhde Q Q 1 ( θ, θ ) = f, (D.1) 1 riippuu siis ainoastaan empiirisistä lämpötiloista θ 1 ja θ. Yhteys toiseen pääsääntöön Yhtälön D.1 esittämä tulos ei ole riippumaton uusi empiirinen havainto vaan suora seuraus toisesta pääsäännöstä, mikä nähdään seuraavasti. Tarkastellaan kahta Carnotin konetta A ja B, jotka toimivat lämpövarastojen θ 1 ja θ välissä. Olkoon koneelle A Q / Q1 = RA ja koneelle B Q / Q1 = RB. Ensimmäisen pääsäännön avulla voidaan koneiden hyötysuhde esittää muodossa Q + Q Q η = = 1 = 1 R. 1 Q1 Q1 Oletetaan, että RA < RB, jolloin η A > ηb. Käytetään konetta A lämpövoimakoneena ja tuotetaan mekaanista työtä määrä W. Koska Carnotin kone perustuu täysin reversiibeleihin tilanmuutoksiin, konetta B voidaan käyttää lämpöpumppuna, jonka tehokerroin on 1/ η B, ja siirtää W lämpövarastosta θ lämpövarastoon θ 1 lämpömäärä AQ Q 1 1 = η Q1 η = B η >. B Lämpövarastoon θ 1 on siis siirtynyt alemmasta lämpövarastosta lämpöä ilman ulkoista apua. Tämä on ristiriidassa II pääsäännön kanssa, joten yhtälön D.1 täytyy päteä kaikille Carnotin koneille. Tarkastellaan nyt lähemmin funktion (, ) f θ θ ominaisuuksia. Oletetaan aluksi, että systeemi suorittaa kuvan D-1 kiertoprosessin a-b-e-f-a. Tähän kiertoprosessiin sisältyvä isoterminen muutos e-f vastaa empiiristä lämpötilaa θ i, joka sijaitsee lämpötilojen θ 1 ja θ välissä. Olkoon Q 1 lämpömäärä, joka saadaan lämpötilassa θ 1 ja Q i lämpömäärä, joka saadaan lämpötilassa θ i. Tällöin saamme yhtälön D.1 perusteella 1 Qi = f ( θ1, θi ). (D.) Q 1

14 14 Liitteet Seuraavaksi suoritetaan kiertoprosessi f-e-c-d-f lämpötilojen θi ja θ välissä, jolloin saadaan vastaavasti Q Q i ( θ, θ ) = f (D.3) i Kertomalla yhtälöt D. ja D.3 puolittain saadaan Qi Q Q = = f ( θ1, θi) f ( θi, θ), (D.4) Q Q Q 1 i 1 josta edelleen yhtälön D.1 perusteella ( θ, θ ) ( θ, θ ) ( θ, θ ) f = f f. (D.5) 1 1 i i Koska yhtälön D.5 vasen puoli riippuu ainoastaan muuttujista θ 1 ja θ saman täytyy päteä myös oikealle puolelle. Funktion f täytyy riippua empiirisistä lämpötiloista siten, että empiirinen lämpötila θ i supistuu pois yhtälön D.5 oikealla puolella. Tämä toteutuu vain, jos funktio f on muotoa f ( θ θ ) ( θi ) ( θ ) 1 i i g 1 ( θ ) ( θ ), = g g ; f ( θ, θ ) = g. (D.6) Funktion g riippuvuus empiirisestä lämpötilasta θ on empiirisen lämpötilan mittaukseen käytetyn systeemin ominaisuus. Yhtälöistä D.4 ja D.6 seuraa, että missä tahansa empiirisissä lämpötiloissa systeemin saamien lämpömäärien suhteille pätee Q Q ( θ ) ( θ ) 1 1 i g =. (D.7) g Kelvin ehdotti, että koska suhde g( )/ g( ) 1 θ θ ei riipu systeemistä, empiiristä lämpötilaa θ vastaava termodynaaminen (absoluuttinen) lämpötila voidaan määritellä yhtälöllä ( ) T = Ag θ, (D.8) missä A on mielivaltainen vakio. Tällöin yhtälö D.7 tulee muotoon

15 Liite D Carnotin prosessi ja termodynaaminen lämpötila 15 Q Q T =. (D.9) 1 T1 Yhtälö D.9 yhdistää Carnotin prosessin ja termodynaamisen (absoluuttisen) lämpötilan. Jos mikä tahansa systeemi suorittaa Carnotin prosessia kahden lämpövaraston T 1 ja T välillä, lämpömäärien itseisarvojen suhde on samalla lämpövarastojen termodynaamisten lämpötilojen suhde. Luvussa 8 on tarkasteltu ideaalikaasun Carnotin prosessia. Kaasun saamien lämpömäärien suhde toteuttaa yhtälön D.9. Jos toinen Carnotin prosessin lämpövarastoista on veden kolmoispisteen lämpötilassa T 3, voidaan kirjoittaa yhtälön D.9 perusteella Q T Q = T = T. (D.10) Q T Q Mikäli nyt kiinnitetään termodynaaminen lämpötila-asteikko merkitsemällä T 3 = 73,16 K, saadaan Carnotin prosessin lämpömäärien avulla Kelvinin termodynaaminen lämpötila-asteikko T 73,16( Q Q ) D. Entropian määritelmä = K. 3 Osoitamme seuraavaksi, että entropian määrittelevän differentiaalin δ Q ds = (D.11) T integraali on riippumaton integroimispolusta. Tästä seuraa, että ds on kokonaisdifferentiaali ja S tilanfunktio. Tarkastellaan lähemmin kuvaa D-. Mielivaltainen kiertoprosessi on korvattu sarjalla Carnotin kiertoprosesseja, jotka kierretään kaikki samaan suuntaan kuin alkuperäinen kiertoprosessi. Osa adiabaattisista tilanmuutoksista tapahtuu samaa reittiä myöten Kuva D- Suljetun prosessin korvaaminen Carnotin prosesseilla. Katkoviivojen kuvaamat osuudet kuljetaan molempiin suuntiin, jolloin adiabaattiset työt niiden osalta kumoavat toisensa.

16 16 Liitteet kahteen suuntaan (katkoviiva) ja näiden osuuksien aikana tehdyt työt kumoavat toisensa. Systeemin lämmönvaihto tapahtuu isotermisten prosessien aikana. Tarkastellaan lähemmin kahta isotermiä T 1 ja T T > T ). Kyseisen silmukan kiertämisessä saadut lämpömäärät toteuttavat ( 1 yhtälön D.9 eli Q1 Q + = 0. (D.1) T T 1 Laskemalla kaikkien silmukoiden aikana saadut lämpötilalla jaetut lämpömäärät yhteen saamme Qi = 0. (D.13) T i i Kun silmukoiden lukumäärää kasvaa, Carnotin prosessien nettovaikutusta kuvaava sahalaitaviiva lähestyy rajatta todellista kiertoprosessia. Yhtälön D.13 summa voidaan tällöin korvata integraalilla Q v = 0. (D.14) T Koska suureen δ Q/ T integraali mielivaltaista suljettua reittiä pitkin on nolla, on suureen δ Q/ T integraalin arvon oltava riippumaton reitistä kuljettaessa termodynaamisesta tilasta a termodynaamiseen tilaan b. Tarkastellaan kuvaa D.3 Vähennetään entropian differentiaalin integraali pitkin reittiä () pisteestä (a) pisteeseen (b) entropian differentiaalin integraalista pitkin reittiä (1) Kuva D-3 Suureen δ Q/ T integraalin laskeminen ja osoitetaan, että näiden mielivaltaisesti tasapainotilojen reversiibeleissä valittujen reittien yli laskettujen prosesseissa (1) ja (). integraalien erotus on nolla. Erotus voidaan esittää muodossa

17 Liite E Fermijakauma puolijohteissa 17 b b b a δ Q Q Q Q Q δ = δ + δ = δ T T T T T v. (D.15) a(1) a() a(1) b() a b a Toisaalta suljettua reittiä a-b-a pitkin laskettu integraali on nolla yhtälön D.14 perusteella, joten reittejä (1) ja () pitkin lasketut integraalit ovat yhtä suuret. Integraalien (1) ja () arvo on tilanfunktion S muutos tilojen (a) ja (b) välillä b ds = Sb Sa. (D.16) a Yhtälö D.9 määrittelee entropian vakiotekijää lukuunottamatta yksikäsitteisesti. Tietyin edellytyksin entropialle voidaan määritellä myös absoluuttinen arvo.

18 18 Liitteet Liite E Fermijakauma puolijohteissa Puolijohteiden ylimpien elektronitilojen tilatiheys ja tilojen miehittyminen poikkeavat oleellisesti aiemmin käsitellystä metallin johtovyön Fermi-Dirac-jakaumasta (seuraavassa käytämme nimitystä fermijakauma). Kiinteässä aineessa sallitut elektronitilat muodostavat energiavöitä, joiden välissä on energia-aukkoja. Vöiden sisällä sallitut energiatilat muodostavat jatkumon, jossa tiloilla on tietty tilatiheys f( E ). Energiavöiden väliin sijoittuvat energian arvot ovat kiellettyjä. Ensimmäisenä approksimaationa voimme kuvata puolijohteen uloimpia elektronivöitä kaksivyömallin avulla (kuva E.1). Seuraavissa tarkasteluissa rajoitumme homogeenisiin yksikiteisiin puolijohderakenteisiin. Tulokset voidaan kuitenkin yleistää puolijohdekalvoista muodostuneisiin ns. kvanttirakenteisiin, joissa elektronivyörakenteen epäjatkuvuuden vaikutus fermijakaumaan tulee esiin lähinnä erilaisen tilatiheyden kautta. E.1 Itseispuolijohteet Tarkastelemme aluksi itseispuolijohteita, joissa nollalämpötilassa elektronit täyttävät valenssivyön tarkasti valenssivyön ylärajaan E saakka. Vastaavasti itseispuolijohteiden johtovyössä E > E kaikki tilat ovat tyhjiä. Tilojen tiheys vöiden reunan läheisyydessä on usein kohtuullisella tarkkuudella parabolinen. Elektronien tilatiheys voidaan tällöin esittää muodossa C V * 3/ * 3/ m e V m V ge( E) = E = E E π π = = 1/ e ( ) ( ) C 1/. (E.1) Tilatiheyden riippuvuus elektronin energiasta on sama kuin metallien elektronikaasulla, mutta yhtälössä E.1 on sijoitettu energiaksi E E, jolloin energia-asteikon nollakohtaa ei tarvitse valita johtovyön alareunaan. Elektronin lepomassa on yhtälössä E.1 korvattu elektronin suhteellisella massalla, joka ottaa huomioon elektronin vuorovaikutuksen kiteen periodisen potentiaalin kanssa ja poikkeaa usein oleellisesti elektronin lepomassasta; esimerkiksi galliumarsenidille m * e 0.07m. Metalleissahan oletettiin (luku 5.), että elektronit ovat vapaita kiteen sisällä ja muodostavat va- 0 C

19 Liite E Fermijakauma puolijohteissa 19 Kuva E-1 Tilatiheydet, Fermi-Dirac-jakauma ja fermienergia itseispuolijohteissa. paaelektronikaasun. Tällöin hilan periodiseen potentiaaliin vaikutusta elektronin liikkeeseen ei tarvinnut ottaa huomioon ja siksi käytimme elektronin lepomassaa tilatiheydessä. Valenssivyön tilatiheys on myös likimain parabolinen (riippuu neliöllisesti nopeudesta) useille puolijohteille. Erikoisuutena on kuitenkin, että kiteen ja elektronin vuorovaikutus johtaa nyt negatiiviseen efektiiviseen massaan. Tällöin elektronin energia ( ) * E K = 1/ m v pienenee nopeuden kasvaessa ts. liike-energia saa itseisarvoltaan yhä suuremman negatiivisen arvon. Tämä käyttäytyminen johtuu elektronin vuorovaikutuksesta kidehilan kanssa ja se voidaan ymmärtää vain kvanttimekaanisin tarkasteluin. Koska valenssivyön lähes kaikki elektronitilat ovat täynnä onkin helpompi tarkastella valenssivyöhön muodostuvia aukkoja, joita muodostuu lämpöliikkeen virittäessä elektroneja johtovyöhön. Jos poistamme valenssivyöstä yhden elektronin niin vyön massa ja varaus ilmeisesti kasvavat, koska vyöstä poistuu negatiivisen massan ja varauksen omaava hiukkanen. Tästä syystä valenssivyön aukot (poistettujen elektronien jälkeensä jättämät tyhjät elektronitilat) käyttäytyvät kuten hiukkaset, joilla on efektiivinen positiivinen massan ja yhden alkeisvarauksen suuruinen varaus. Jos aukon * efektiivistä massaa merkitään m h, valenssivyön elektronitilojen tiheys (ja siis myös aukkotilojen tiheyden jokaista elektronitilaa vastaa yksi aukkotila) voidaan esittää muodossa

20 0 Liitteet 3/ * V m h gh( E) = E V E π = ( ) 1/. (E.) Yhtälössä (E.) energia on esitetty valenssivyön yläreunasta laskien. Elektronin energian pienentyessä kasvaa tilatiheys verrannollisena valenssivyön reunan energian ja elektronin energian erotuksen neliöjuureen. Energia-aukon takia on johtovyön elektronien tilatiheys nolla energia-aukossa ts. g = 0, kun E < E ja valenssivyön tilatiheydelle saadaan samoin g = 0, kun E > E. h e V C Lasketaan aluksi johtovyön elektronitiheys. Elektronien kokonaistiheys voidaan laskea fermijakaumasta samoin kuin metallien johtovyön elektronitiheys: 3/ 1/ ( E E ) * 1 m e C n = N / V = de ( E E )/ F kt π. (E.3) = e + 1 EC Integroinnin yläraja on asetettu äärettömäksi, vaikka ns. parabolisen vyön approksimaatio pätee ainoastaan johto-(tai valenssi-)vyön reunan läheisyydessä. Tämä on mahdollista siksi, että huonelämpötilassa kt 5 mev, jolloin integroitava funktio pienenee eksponentiaalisesti etäännyttäessä vyön reunasta. Jos fermienergia (kemiallinen potentiaali) on kaukana johtovyön reunasta, ts. ( E E )/ kt >> 1, voidaan approksimoida ( E EF) / kt ( E EF) / kt e + 1 e. F Tätä kutsutaan Boltzmann-approksimaatioksi ja se on hyvä ensimmäinen approksimaatio itseispuolijohteille, joiden fermienergia on likimain energia-aukon puolivälissä. Koska puolijohdekirjallisuuteen on vakiintunut käytäntö kutsua kemiallista potentiaalia fermienergiaksi, noudatetaan tässä kappaleessa pääosin tätä tapaa ja merkitään kemiallista potentiaalia myös hieman virheellisesti symbolilla E F. Luvusta 5. muistetaan, että fermienergia on oikeastaan kemiallisen potentiaalin arvo absoluuttisessa nollapisteessä. Boltzmann-approksimaatiossa elektronitiheys voidaan integroida analyyttisesti (muuttujanvaihdon avulla päädytään samaan integraaliin kuin molekyylien MB-jakauman tapauksessa):

21 Liite E Fermijakauma puolijohteissa 1 * 3/ 1/ 1 m e / π F = E e C ( E EC ) ( ) ( E E ) kt c F C n = de = N exp E E / kt (E.4) missä suuretta N C * 3/ * 3/ e e = m0 mkt.5 m T = = π 300K 10 cm 19 3 (E.5) kutsutaan johtovyön efektiiviseksi tilatiheydeksi Aukkojen kokonaistiheyden laskemiseksi on ensin löydettävä elektronien fermijakauman ja aukkojen fermijakauman välinen yhteys. Jos merkitsemme tietyn elektronitilan miehitystodennäköisyyttä suureella f e, todennäköisyys sille, että tämä tila on tyhjä on 1. Aukkojen fermijakauma on siis f e f 1 1 = 1 f = 1 = ( F) / ( F )/ e + 1 e + 1 h e E E kt E E kt ja aukkojen tiheys saadaan integroimalla 3/ E 1/ ( E E) * 1 V m h V p = de ( E )/ F E kt π = e + 1, (E.6) missä samasta syystä kuin elektronien kohdalla ulotamme integroinnin negatiiviseen äärettömyyteen. Boltzmann-approksimaatiossa pätee h ( E EF )/ kt f e, (E.7) jolloin aukkojen kokonaistiheys voidaan integroida analyyttisesti ( ) p = NV exp EV EF / kt, (E.8) missä valenssivyön efektiivinen tilatiheys on N V * 3/ * 3/ h h = m0 mkt.5 m T cm 3 = =. (E.9) π 300K

22 Liitteet Jos varauksenkuljettajatiheydet kerrotaan keskenään saadaan * 3/ 3/ h mkt np = 4 m m exp E / kt π = * * ( h e) ( G ), (E.10) missä energia-aukko on kuvan E1 mukaisesti EG = EC EV. Yhtälöä E.10 kutsutaan myös massavaikutuksen laiksi. Yhtälöä johdettaessa käytettiin Boltzmann-approksimaatiota, mutta elektroni- ja aukkotiheydet E.3 ja E.6 ovat voimassa myös silloin, kun niissä on mukana paitsi lämmön valenssivyöstä johtovyöhön virittämät elektronit ja näin muodostuneet aukot ja mutta myös näiden lisäksi donoriatomien luovuttamat elektronit ja akseptoriatomien luovuttamat aukot (ks. Luku E.). Näiden vaikutus jakaumiin E.3 ja E.6 toteutuu fermienergian muuttumisen kautta. Yhtälö E.10 on siis voimassa myös seostetulle puolijohteelle, jos kemiallinen potentiaali on kaukana vöiden reunoista, mikä on Boltzmannapproksimaation pätemisehto ( kt << E EC ja kt << E EV ). Massavaikutuksen laki on ainakin approksimatiivisesti voimassa myös Boltzmannapproksimaation pätemisalueen ulkopuolella. Massavaikutuksen laki kertoo, että jos elektronien lukumäärää lisätään johtovyön reunalla, on valenssi- ja johtovyön reunojen miehityssuhteiden pitämiseksi Fermi- Dirac-jakauman mukaisina, lisättävä elektroneja myös valenssivyöhön. Tällöin aukkojen määrä pienenee siten, että np = vakio. Koska itseispuolijohteessa kutakin johtovyön elektronia kohden jää aukko valenssivyöhön, ovat elektronien ja aukkojen kokonaistiheydet yhtä suuret voimme kirjoittaa n i = p i, missä i viittaa itseispuolijohteeseen. Ottamalla neliöjuuren yhtälöstä E.9 saamme varauksenkuljettajien tiheydeksi * 3/4 mkt 3/4 h i = i = h e G * * ( ) ( ) n p m m exp E /kt π =. (E.11) Koska ni = pi voidaan fermienergia määrätä asettamalla yhtälöiden E.4 ja E.7 oikeat puolet yhtä suuriksi ja ottamalla niiden logaritmit: * * ( ) EV + EC 3 EF = + ktln m / i h me. (E.1) 4

23 Liite E Fermijakauma puolijohteissa 3 Nollalämpötilassa on itseispuolijohteen fermienergia tarkkaan energiaukon keskellä ja vielä huonelämpötilassakin saadaan esimerkiksi GaAs:lle * (energia-aukko E g = 140 mev, elektronin efektiivinen massa m = 0.067m, ns. raskaan aukon efektiivinen massa m * h 0 F i = 0.45m ) E = 710 mev+36.9 mev=746.9 mev eli fermienergia on yhä varsin lähellä aukon puoltaväliä (710 mev). Samalla huomataan, että ( EC EF)/ kt 30, joten Boltzmann-approksimaatiokin on hyvin perusteltu itseispuolijohteiden tapauksessa. Sijoittamalla yllä saadut numeroarvot edelleen varauksenkuljettajien tiheyden lausekkeeseen saadaan GaAs:n elektroni- ja aukkotiheydeksi huonelämpötilassa suuruusluokaltaan cm oleva numeroarvo, kun taas metallien vapaiden elektronien tiheys 1 3 on suuruusluokkaa 10 cm. Itseispuolijohteet ovat siis huonoja johteita. e 0 Joyce-Dixon-approksimaatio Palataan vielä fermienergian määrittämiseen. Itseispuolijohteissa aukkojen ja elektronien kokonaistiheyksien yhtäsuuruus määrää yksikäsitteisesti fermienergian arvon, sillä johto- ja valenssivyön reunat ja lämpötila tunnetaan kokeellisesti. Kun Boltzmann-approksimaatio ei ole riittävän tarkka, on fermienergian laskettava numeerisesti asettamalla tiheydet E.4 ja E.7 yhtä suuriksi ja määräämällä sopivalla iteraatioalgoritmilla sellainen fermienergian arvo, jolla tiheyksien yhtäsuuruus toteutuu. Seuraavassa käsittelemme fermienergian määräämisessä käytettävää approksimaatiota, joka on oleellisesti tarkempi kuin Boltzmann-approksimaatio. Muuttujanvaihdon E E C F C ja E η = η E FC = (E.13) kt kt avulla voimme kirjoittaa elektronitiheyden E.3 muodossa n= NCF1/( ηfc), (E.14) π missä Fermin puoli-integraali määritellään F 1/ x 1/ ( α ) = dx. (E.15) ( x α ) 0 e + 1 Aukkotiheys voidaan esittää vastaavasti muodossa

24 4 Liitteet p = NVF1/( ηvf), (E.16) π missä η = ( E E )/ kt. Fermienergia voidaan nyt ratkaista elektroni- tai VF V F aukkotiheyden avulla. Kehittämällä Fermin puoli-integraalit E.14 ja E.15 sarjakehitelmäksi suureen η FC (tai η VF ) suhteen ja ratkaisemalla fermienergian saadaan n 1 n p 1 p EF = EC + kt ln + = EV kt ln +. (E.17) NC 8 NC NV 8 NV Fermienergian määrääminen edellyttää tietenkin, että joko elektroni- tai aukkotiheys tiedetään. Itseispuolijohteille suoraviivaisin menettelytapa fermienergian määräämiseksi on kuitenkin elektronitiheyden E.3 ja aukkotiheyden E.6 asettaminen yhtäsuureksi ja näin saadun yhtälön ratkaiseminen numeerisesti. E.. Seostetut puolijohteet Varauksenkuljettajien määrään vaikuttaa lämpötilan ohella puolijohdekiteessä olevien epäpuhtausatomien määrä. Jotta puolijohdekiteelle saataisiin toivottu sähkönjohtavuus, seostetaan kidettä valmistusvaiheessa alkuaineilla, joiden uloimmalla elektronikuorella on joko yksi elektroni enemmän (donori) tai yksi elektroni vähemmän (akseptori) kuin peruskiteen alkuaineiden atomeilla. Esimerkiksi galliumarsenidissa donoreina voidaan käyttää piiatomeita ja akseptoreina magnesiumatomeita. Yksinkertaistaen voidaan ajatella, että donoriatomi luovuttaa ylimääräisen elektroninsa kiteen johtovyöhön, jolloin jäljelle jää yksiarvoinen positiivinen ioni. Jos ajatellaan ionisoituneen epäpuhtausatomin sijaitsevan peruskiteen hilapaikassa, on sen aiheuttama vääristymä elektronien näkemään efektiiviseen hilapotentiaaliin alimmassa approksimaatiossa positiivisen alkeisvarauksen Coulombin potentiaali, jonka arvo on puolijohteiden suuren suhteellisen permittiivisyyden, εr 1, takia vain kymmenesosa tyhjössä saatavasta potentiaalin arvosta. Tämä Coulombin potentiaali pystyy sitomaan yhden johtovyön elektronin. Donorin energiatilat saadaan, samoin kuin vetyatomin elektronille, yhtälöstä E D 4 * e n 0 r = em 1 = ; n = 1,,3,4. (E.18) 4 ( πε ε )

25 Liite E Fermijakauma puolijohteissa 5 Alimman energiatason sidosenergia on tyypillisesti muutama millielektronivoltti. Akseptoriatomit nappaavat vastaavasti puuttuvan elektronin valenssivyöstä muodostaen ympärilleen negatiivisen varauksen Coulombin potentiaalin. Ilmiötä voidaan kuvata myös akseptoriatomissa alun perin olleen aukon ionisaationa valenssivyöhön. Näin muodostunut negatiivinen ioni pystyy sitomaan yhden valenssivyön aukon. Aukon sidosenergia E saadaan yhtälöstä E.18 korvaamalla elektronin efektiivinen massa vastaavalla aukon * efektiivisellä massalla m h. A Nollalämpötilassa donoriatomien elektronit ovat Coulombin potentiaalin perustilassa ja donoriatomi on siis neutraali. Vastaavasti akseptoriatomit sitovat aukon perustilaan, kun T = 0 K. Siksi ne luovuttavat mahdollisesti nappaamansa ylimääräisen elektronin takaisin valenssivyöhön. Täten myös akseptoriatomit ovat neutraaleja nollalämpötilassa, jolloin seostusatomit eivät vaikuta varauksenkuljettajatiheyteen ja siis sähkön johtavuuteen. Näin myös seostettu puolijohde voi olla eriste alhaisissa lämpötiloissa. Kun lämpötilaa nostetaan, tapahtuu varauksenkuljettajien vapautuminen epäpuhtausatomeista paljon helpommin kuin elektronien virittyminen johtovyöhön. Galliumarsenidissa pii-donorien ionisoimiseen tarvitaan noin 6 mev ja elektronin virittämiseen valenssivyöstä magnesium-akseptoriin noin 8 mev (aukon ionisoituminen valenssivyöhön). Viritykseen valenssivyöltä johtovyöhön tarvitaan (energia-aukko) galliumarsenidissa 140 mev 300 K lämpötilassa. Käytännössä yllämainitut donorit ja akseptorit ovat huonelämpötilassa lähes täysin ionisoituneet [J. Singh: Semiconductor Optoelectronics, McGraw-Hill, Inc 1995]. E.3. Varaustasapainoyhtälö Tarkastellaan fermienergian ja varauksenkuljettajatiheyksien määrittämistä periaatteelliselta kannalta. Coulombin voiman pitkän kantaman vuoksi voidaan olettaa, että homogeenisen erilliskiteen kokonaisvaraustiheys (varauksenkuljettajien ja seostusionien yhteinen varaustiheys) on nolla eli + A D n+ N = p+ N, (E.19)

26 6 Liitteet ionisoitunei- missä N A on ionisoituneiden akseptoriatomien tiheys ja N D + den donoriatomien tiheys. Ionitiheyksien N A ja N D + laskeminen: Donoritason miehitystodennäköisyyden laskemiseksi on Fermi-Dirac-jakauma yleistettävä systeemille, missä systeemin kokonaisenergia ja hiukkasluku voivat muuttua. Tällaisia systeemejä kutsutaan myös suurkanoonisiksi. Ajattelemme, että jokainen donori on tilastollinen systeemi, joka on tasapainossa hyvin suuren johtavuusvyön elektronien muodostaman lämpövaraston kanssa. Donorisysteemin j tilan määrää energia E ja elektronien lukumäärä donoriatomissa j N j. Mahdollisia tiloja ovat (1) donoritilalla ei ole lainkaan elektronia, jolloin N j = 0 ja Ej = 0, () donoritilalla on yksi spin-ylös-elektroni, jolloin N j = 1 ja E j = ED ja (3) donoritilalla 1 spin-alas-elektroni, jolloin N j = 1 ja E j = ED. Valitaan energia-asteikon nollakohdaksi tila, jossa donori on kertaalleen ionisoitunut ionisaatioenergian ollessa E D > 0. Huomaa, että donori ei voi käytännössä luovuttaa kahta elektronia johtovyöhön (ionisaatiopotentiaali on liian suuri) ja se ei myöskään pysty sitomaan yhtään ylimääräistä elektronia. Tästä johtuen ovat ainoastaan ym. kolme tilaa mahdollisia. Suurkanoonisessa joukossa tietyn tilan esiintymistodennäköisyys saadaan yhtälöstä p j = j e ( j µ j) E N / kt e ( j µ j) E N / kt, (E.0) missä summa on laskettava yli kaikkien mahdollisten hiukkasmäärien ja yli kaikkien tiettyyn hiukkasmäärään N j liittyvien ominaistilojen Keskimääräinen hiukkasluku saadaan painotettuna keskiarvona N j E j. N = N p. (E.1) j j j Sijoittamalla ym. kolme tilaa yhtälöihin E.0 ja E.1 saadaan keskimääräiseksi elektronimääräksi (normituksen mukaan kertaalleen ionisoituneen donorin elektronimäärä on 0) N 1 =. (E.) E E kt 1/ + 1 ( ) ( D F e )/ Ionisoituneiden donoriatomien määräksi saamme siis

27 Liite E Fermijakauma puolijohteissa 7 N N ( 1 D D = ND N ) = ( EF ED)/ kt e + 1. (E.3) Vastaavasti ionisoituneiden akseptoriatomien lukumääräksi saadaan N N. (E.4) (1/ ) e A A = ( EF EA)/ kt Palataan nyt seostettujen puolijohteiden elektroni- ja aukkotiheyksien sekä fermienergian määräämiseen. Sijoittamalla varausneutraalisuusehtoon E.19 varauksenkuljettajatiheyksien n ja p lausekkeet yhtälöistä E.3 ja E.6 sekä ionitiheydet E.3 ja E.4 saadaan fermienergian laskemiseksi integraaliyhtälö 3/ 1/ ( E E ) * 1 m e C NA de + = ( E E )/ ( )/ F kt EF EA kt π = E e + 1 (1/) e + 1 C 3/ E 1/ ( E E ) * 1 V m h V ND de +. ( E E )/ ( )/ F kt EF ED kt π = e + 1 (1/) e + 1 (E.5) Yhtälö E.5 voidaan yleisessä tapauksessa ratkaista vain numeerisesti. Jos varauksenkuljettajatiheys n tai p tiedetään, voidaan fermienergia määrätä myös Joyce-Dixon-approksimaatiosta E.13. Huonelämpötilassa donorit ja akseptorit ovat usein täysin ionisoituneet, jolloin ND + = ND ja N A + = N A. Seuraavassa oletetaan, että massavaikutuksen laki on tarkalleen voimassa myös seostetulle puolijohteelle. Yhtälöiden E.10 ja E.11 perusteella np = n i. (E.6) Neutraalisuusehdosta E.19 ja massavaikutuksen laista E.6 saadaan ( 4 i ) ( i ) 1 1 1/ n = N + N + n 1 1 1/ p = N + N + 4 n, (E.7) missä N = ND NA. Yhtälöstä E.7 huomataan, että korkeissa lämpötiloissa, jolloin ni >> N, seostettu puolijohde palautuu itseispuolijohteeksi.

28 8 Liitteet E.4. Varauksenkuljettajainjektio ja kvasifermitasot Puolijohdekomponenteissa, esimerkiksi puolijohdelasereissa, johdetaan optisesti aktiivisen alueen läpi sähkövirta. Puolijohderakenne on seostettu sopivan johtavuuden aikaansaamiseksi. Jatkuvatoimisissa (CW) komponenteissa johtovyö on ylimiehittynyt valenssivyöhön nähden. Tämä ns. populaatioinversio on välttämätön ehto sille, että stimuloitu emissio muodostaisi aktiivisessa väliaineessa etenevän vahvistuvan koherentin (samanvaiheisen) valoaallon. Valon vahvistumisen lisäksi laserissa tarvitaan Fabrey-Perot (resonanssi) kaviteetti, joka resonanssi-ilmiön avulla muodostaa komponentista emittoituvan yleisesti monesta seisovasta aallosta muodostuvan lasersäteen. Vaikka johto- ja valenssivyö eivät ole keskenään termisessä tasapainossa, ne voivat silti olla sisäisessä tasapainossa. Kun stimuloidun emission aikavakio on suuruusluokaltaan 1 ns, on johtoja valenssivyön sisäisten relaksaatiomekanismien aikavakio suuruusluokaltaan 1 ps. Tämä tarkoittaa, että johto- ja valenssivyön sisäinen terminen tasapaino muodostuu noin tuhat kertaa nopeammin kuin vöiden välinen tasapaino. Näin vyöt voivat olla sisäisessä tasapainossa myös populaatioinversio-olosuhteissa. Koska elektronit ja aukot ovat erillisiä sisäisessä tasapainossa (ns. kvasitasapaino) olevia systeemejä niillä on eri fermienergiat, joita kutsutaankin kvasifermienergioiksi. Injektoitujen varauksenkuljettajien tiheys, joka on useita kertalukuja suurempi kuin sisäisen lämpövirittymisen aiheuttama tiheys n i, voidaan jatkuvatoimisessa laserissa laskea rakenteen läpi kulkevasta virrasta ja aktiivisen aineen poikkipinta-alasta. Johtovyön kvasifermienergia E määrätään nyt yhtälöstä Fc 3/ 1/ ( E E ) * 1 m e C n = de ( E E )/ Fc kt π, (E.8) = e + 1 EC ja valenssivyön kvasifermienergia E Fv yhtälöstä 3/ E 1/ ( E E ) * 1 V m h V p = π 1 ( Fv + e ) = E E / kt de. (E.9)

29 Liite E Fermijakauma puolijohteissa 9 Injektoitujen varausten määrän kasvaessa elektronien ja aukkojen kvasifermienergiat eroavat toisistaan (kuva E-)ja alkavat lähestyä johto- ja valenssivyön reunoja vastaavasti. Tyypillisissä laserointiolosuhteissa ( T = 300 K) johtovyön fermienergia on kuitenkin vielä usein johtovyön reunan alapuolella ja valenssivyön fermienergia valenssivyön reunan yläpuolella. Ero metalleihin johtuu (johtovyön osalta) siitä, että varauksenkuljettajatiheys on injektiosta huolimatta paljon alhaisempi, 10 cm, kuin metalleissa, joissa tiheys on 10 cm. Jos varauksenkuljettajatiheydet eivät ole liian suuria, pätee jälleen ( E E ) >> kt ja ( E E) >> kt ts. kvasifermitasot ovat kaukana vyön reunasta. Tällöin voidaan käyttää Boltzmann-approksimaatiota erikseen sekä elektroneille, että aukoille. Yhtälöistä E.8 ja E.9 saadaan tällöin analyyttisellä integroinnilla Fc Fv n n = Nc exp ( E E ) C kt Fc (E.30) ja p p ( E E ) V Fv = Nv exp kt (E.31) missä N c ja N V ovat efektiiviset tilatiheydet yhtälöistä E.5 ja E.9. Metalleissa fermienergian riippuvuus lämpötilasta on paljon vähäisempää kuin puolijohteissa siksi, että yleisesti vain likimain etäisyydellä kt fermienergiasta sijaitsevat elektronit virittyvät lämpöliikkeen ansiosta. Tämä on metalleissa hyvin pieni suhteellinen osuus kaikista elektroneista, sillä fermienergia on tyypillisesti muutama elektronivoltti. Koska kvasifermienergiat riippuvat lämpötilasta, elektronien fermienergia nousee johtovyön reunan yläpuolelle ja valenssivyön fermienergia laskee valenssivyön reunan alapuolelle hyvin matalissa lämpötiloissa. E.5. Elektronien ja aukkojen tilatiheys ei parabolisella alueella

30 30 Liitteet Kuva E- Puolijohdelaserin kvasifermienergioiden muodostuminen kun puolijohteeseen tulee jatkuva varauksenkuljettajavirta. Edellä on kokoajan oletettu, että varauksenkuljettajien tilatiheys on verrannollinen vyön reunasta lasketun energian neliöjuureen. Tämä on vain alimman kertaluvun approksimaatio. Erityisesti yhdistepuolijohteiden valenssivyö on ns. raskaiden ja kevyiden aukkojen (valenssivyö jakautuu kahteen osavyöhön, joista aukoille eri nimi) kytkennän takia parabolinen vain aivan vyön reunan läheisyydessä (eikä aina sielläkään). Kehittyneemmillä elektronivyömalleilla voidaan kuitenkin tässäkin tapauksessa laskea tilatiheys ja käyttää sitä parabolisen tilatiheyden sijaan kvasifermienergian laskemiseen. Optoelektronisessa komponentissa, kuten laserissa, on aktiivisella alueella hyvin paljon varauksenkuljettajia. Tällöin varauksenkuljettajien keskinäiset vuorovaikutukset voivat tulla tärkeiksi. Myös nämä ns. korrelaatioilmiöt ja niistä aiheutuva optinen epälineaarisuus voidaan ottaa huomioon kehittyneissä elektronivyömalleissa. Optisesti aktiivisissa puolijohderakenteissa on usein vapaiden elektronien ja aukkojen sijaan Coulombin voiman sitomia elektroni-aukkopareja eli eksitoneja. Näiden lähempi tarkastelu on kuitenkin tilastollisen fysiikan kurssimme ulkopuolella.

31 Liite F Lämmön siirtyminen F.1. Lämpötilajakauma ja lämpövirran tiheys Liite F Lämmön siirtyminen 31 Lämpöenergian siirtyminen edellyttää lämpötilaeron olemassaoloa kahden systeemin välillä. Kyseisiä systeemejä voivat olla esimerkiksi rajatut alueet kaasua, nestettä tai kiinteää ainetta tai vaikkapa sähkömagneettisen kentän kvanttien eli fotonien muodostama kaasu. Lämpöenergian siirtymismekanismeja ovat kuljettuminen (konvektio), johtuminen ja lämpösäteily (mustan kappaleen säteily). Mikroskooppisella tasolla lämmön siirtymisen ymmärtäminen edellyttää aineen mikrorakenteen energiamuotojen yksityiskohtaista tuntemista. Termodynamiikan mukaan lämpötilaerojen tasoittuminen liittyy termodynaamisen tasapainotilan muodostumiseen. Kun termodynaaminen tasapainotila on muodostunut, systeemin makroskooppisten osasysteemien välillä ei tapahdu lämpöenergian siirtymistä. Yksinkertaisin mahdollinen olettamus on, että lämpöenergian siirtyminen on systeemien mikrorakenteesta riippumatta suoraan verrannollinen systeemien väliseen lämpötilaeroon. Verrannollisuuskerroin on kullekin systeemille ominainen (aineen mikrorakenteesta, geometriasta jne. määräytyvä) vakio. Oletamme nyt, että systeemissä vallitsevien lämpötilaerojen paikka- ja aikaskaala on sellainen, että voimme olettaa aineen olevan paikallisesti ja hetkellisesti sisäisessä termodynaamisessa tasapainossa. Tämä tarkoittaa, että mikäli jaamme Kuva F-1 Tasalämpötilapinnat systeemimme pienempiin, mutta yhä ja lämpötilan gradienttivektori makroskooppisiin osasysteemeihin, voidaan lämpötilaa pitää vakiona kunkin osasysteemin alueella kaikkina ajanhetkinä. Lämpötila ei muutu systeemin mikroskooppisen osan korrelaatiopituuden (matka, jolla osanen menettää keskimäärin muistinsa alkutilastaan) mittaisella matkalla tai relaksaatioajan (aika, jossa makroskooppinen osasysteemi hakeutuu sisäiseen termodynaamiseen tasapainoon) suuruisena aikavälinä.

32 3 Liitteet Korrelaatiopituuden ja relaksaatioajan täsmällisempi määritteleminen ei ole tässä välttämätöntä. Koska seuraavassa tarkastellaan jatkuvia lämpötilajakaumia, kyse on lähinnä lämmön johtumista fononien ja elektronien välityksellä. Esimerkin puitteissa havainnollistetaan myöhemmin konvektion ja johtavuuden yhteisvaikutusta. Näillä rajoituksilla voidaan olettaa, että lämpötila on paikan ja ajan skalaariarvoinen funktio T = T( x, y, z, t). Edellä puhuttiin kahden systeemin välisestä lämmön siirtymisestä niiden lämpötilaeron funktiona. Haluamme yleistää tämän systeemille, jossa lämpötila muuttuu jatkuvasti. Lämpötilaeron sijaan tulee tällöin ratkaisevaksi lämmön siirtymistekijäksi lämpötilaero pituusyksikköä kohden eli lämpötilajakauman gradientti, joka on lämpötilan derivaatta siihen suuntaa, mihin lämpötila kasvaa nopeimmin ts. T T T T = i + j + k. (F.1) x x z Lämpötilan gradientti suhtautuu lämpötilaan samoin kuin staattisen sähkökentän potentiaali gradienttiinsa. Näin voidaan määritellä tasalämpötilapinnat tasapotentiaalipintojen tapaan, jolloin lämpötilan gradientti on aina kohtisuorassa näitä pintoja vastaan. Isotrooppiselle aineelle lämmön siirtymisen tiheys, eli lämpöenergian virran tiheys (tai lyhyesti lämpövirran tiheys) on lämpötilan negatiivinen gradientti kerrottuna aineen lämmönjohtavuudella λ j = λ T. (F.) h Tästä seuraa, että lämpö siirtyy aina korkeammalta tasalämpötilapinnalta suoraan kohden alempaa tasalämpötilapintaa ks. kuvaa F-1.

33 Liite F Lämmön siirtyminen 33 F.. Gaussin lause lämpövirralle Äärellisen pinnan läpi kulkeva lämpövirta saadaan virran tiheydestä pintaintegraalina samaan tapaan kuin esimerkiksi nesteen virtaukselle: J h = λ T ds (F.3) S Lämpövirta F.3 voi yleisesti olla ajan funktio. Pinnan differentiaali ds on vektori, jonka pituus on pinnan ala. Virta lasketaan positiivisena kyseisen vektorin suuntaan. Oletetaan seuraavaksi, että S on mielivaltainen suljettu pinta ja differentiaalin ds suunta pinnasta ulospäin. Tällöin integraali F.3 edustaa pinnan läpi tilavuudesta poispäin aikayksikössä virtaavan nettolämpöenergian määrää. Oletetaan nyt, että mielivaltaisen tilavuuden sisällä on lämmön lähde (sähkövastus, säteilyn absorptio jne.), jonka tehotiheys on gxyz. (,, ) Tehotiheys voi riippua myös ajasta, mutta edellytetään, että väliaine ehtii jatkuvasti relaksoitua sisäiseen tasapainotilaan. Energian säilymislaki edellyttää, että aikayksikössä tuotu lämpöenergia joko virtaa ulos tarkastellusta alueesta, tai nostaa tämän alueen lämpötilaa. Lämpötilan nostamiseen kuluva energia tilavuusyksikössä riippuu termodynaamisesta prosessista. Jos oletamme, että tilanmuutos on isobaarinen, lämpötilan nostamiseen liittyvä teho tilavuusyksikköä kohden on T( x, y, z) ρ( xyzc,, ) p t, (F.4) missä ρ on aineen tiheys. Energian säilymislaki tulee siis muotoon T ds + ρc dv = gdv v j v v. (F.5) t p t S V V Yhtälö F.5 voidaan muuttaa differentiaalimuotoon Gaussin lauseen avulla. Gaussin lauseen mukaan vektorikentän vuo suljetun pinnan läpi on vektorikentän divergenssin tilavuusintegraali pinnan rajaaman tilavuuden yli v jt ds = v ( jt) dv. (F.6) S V

34 34 Liitteet Sijoittamalla tämä yhtälöön F.5 ja palauttamalla mieleen, että suljettu pinta on valittu mielivaltaisesti, tulee mielivaltaisessa pisteessä olla päteä T j t = ρcp + g. (F.7) t Jos yhtälöön F.7 sijoitetaan lämpövirran tiheyden määritelmän F., saadaan lämpövirran diffuusioyhtälö T λ T T + λ + λ + g = ρc T p. (F.8) x x y y z z t Mikäli systeemin sisäinen lämpötehon tiheys on nolla, saadaan isotrooppiselle ja homogeeniselle aineelle yhtälö F.8 muotoon T T T T + + =, (F.9) x z z t missä on tehty ajalle muuttujanvaihto lämpötilajakaumalle yhtälö F.9 tulee muotoon λ t = t. Ajasta riippumattomalle c ρ p T T T + + = 0 x z z (F.10) Yhtälöiden F.8-F.10 analyyttinen ratkaiseminen on mahdollista vain muutamille yksinkertaisille systeemeille. Näiden yhtälöiden numeerista ratkaisemista varten on tarjolla lukuisa joukko valmisohjelmia. Niillä saadaan numeerinen lämpötilajakauma, kunhan ensin on annettu rakenteen geometria, mitat, materiaalivakiot ja sopivat alku- ja reunaehdot. Valmisohjelmia, kuten ANSYS, käytettäessä on kiinnitettävä suurta huomiota reunaehtoihin ja ohjelman numeerisen tarkkuuden varmistamiseen (elementtityypit ja jakaumat).

35 Liite F Lämmön siirtyminen 35 F.3 Esimerkkejä stationäärisistä lämpötilajakaumista. Tasorakenne: Tarkastellaan kuvassa F- esitettyä tasa-aineista ja tasapaksua suurta seinää, jonka sisä- ja ulkolämpötilat ovat T 1 ja T. Voidaan olettaa, että lämpötila riippuu vain x-koordinaatista, jolloin yhtälö F.10 tulee muotoon T = 0 (F.11) x Yhtälön (F.11) yleinen ratkaisu on T = ax+ b. Sovelletaan reunaehtoja T(0) = T1 ja T( d) = T. Integrointivakiot ovat täten ( ) ja lämpötilajakaumaksi saadaan a = T T / d b= T 1 1 T T T x T d 1 = + 1. Kuva F- Lämpövirta tasorakenteessa. Lasketaan vielä lämpövirran tiheys. Lämpötilan T gradientti on i, missä i on x-akselin suuntainen yksikkövektori, joten x ( λ / )( 1 ) ( λ / )( ) jt = d T T Jt = A d T1 T i. i. Jos levyjen poikkipinta-ala on A, on lämpövirta Sylinterisymmetrinen rakenne Tarkastellaan lämmön johtumista putkessa, jonka sisä- ja ulkopinnan välillä on lämpötilaero. Rakenteessa ei ole lämmönlähteitä sisä- ja ulkopinnan välissä ja oletamme, että kyseessä on stationäärinen tilanne. Putken pi- ulkoseinälle. Kuva F-3 Lämmön johtuminen putken sisäseinältä tuussuunnassa lämpötila on vakio. Olkoon sisä- ja ulkopinnan säteet r 1 ja r ja vastaavat lämpötilat T 1 ja T. Oletaan, että T1 > T, jolloin lämpö virtaa sisäpinnalta ulkopinnalle. Putken pituussuunnassa ei ole lämpövirtaa. Johtavuusyhtälö voidaan nyt kirjoittaa sylinterikoordinaateissa T T T d T 1 dt = + =. (F.1) x z z dr rdr

36 36 Liitteet Yhtälön (F.1) yleinen ratkaisu on T = alnr + b. Integrointivakiot kiinnitetään reunaehdoista T( r = r1) = T1 ja T( r = r) = T, jolloin saadaan T1 T T a = ja b= ln r / r ln r / r T T ( ) 1 1 ( ). 1 Lämpövirran tiheydeksi saadaan gradientin avulla (gradientille käytetään sylinterikoordinaatiston esitystä) dt jt = λ r 0, dr missä r 0 on yksikkövektori, joka osoittaa kaikkialla kohtisuoraan putken λ T1 T akselista poispäin. Suorittamalla derivointi saadaan jt = r 0. r ln ( r1/ r) Vastaavasti putken, jonka pituus on L, kokonaislämpövirran itseisarvoksi λ T saadaan ( 1 T ) ( ) T ( 1 T J t πr L πlλ = =. r ln r1/ r ln r1/ r) Tasorakenne, jossa on lämpötehoa Tarkastellaan kuvan F-4 esittämää tasorakennetta, joka koostuu metallilevystä kahden eristelevyn välissä. Metallilevyssä on lämpötehon tiheys g vakio. Tehtävänä on laskea lämpötilajakauma. Metallilevyn paksuus on s ja lämmönjohtavuus λ m. Eristelevyjen paksuudet ovat d ja lämmönjohtavuus λ e. Lämmön johtuvuusyhtälö on nyt metallissa ( alue II ) Kuva F-4 Lämpötilajakauman laskeminen tasorakenteelle. Keskellä olevassa metallilevyssä on vakio lämpötehon tiheys. d T g = (F.13) dx λ m ja eristeessä (alueet I ja III) d T = 0. (F.14) dx Yhtälöiden yleiset ratkaisut alueittain ovat

37 Liite F Lämmön siirtyminen 37 T = a x+ b I III 1 1 g TII = x + ax+ b. (F.15) λm T = a x+ b 3 3 Koska rakenne on symmetrinen pisteen x = 0 suhteen, voidaan olettaa, että lämpötilajakauma (F.15) on parillinen funktio eli a b = a 1 3 = b 1 3 a = 0. (F.16) Reuna- ja jatkuvuusehdot ovat T ( s+ d) = T III 0 T () s = T () s II III dtii dt λm dx = λ III e x= s dx x= s (F.17). Sijoittamalla yhtälöt (F.15) ja (F.16) yhtälöön (F.16) saadaan integrointivakioiden arvoiksi g a = s = a 1 3 λm ( ) g b = s + sd + T = b λm g gsd b s T = λ. m λm (F.18) Kuva F-5 Lämpötilajakauma kuvan F-4 rakenteessa. Kuva F-5 esittää saatua lämpötilajakaumaa. Kuljettuminen ja johtuminen Tarkastellaan lämpövirtaa kaasun ympäröimän eristelevyn läpi. Kyseessä voisi olla esimerkiksi ikkunalasi, jota ympäröi ilma, ks. kuva F-6. Lämmön siirtyminen sisätilasta lasiin on kuljettumisilmiö. Ilma virtaa pitkin lasipintaa ja luovuttaa sille lämpöä. Lämpövirran tiheys riippuu virtauksen luonteesta (laminaarinen, turbulentti), lasin pintakarheudesta jne. Kaikki nämä tekijät otetaan huomioon siirtymiskertoimella α. Lisäksi oletetaan, että siirtyminen on suoraan verrannollinen sisälämpötilan ja lasin sisäpinnan väliseen lämpötilaeroon. Siirtymiskertoimet ovat ulko- ja sisäpinnalle α S ja αu vastaavasti. Sisä- ja ulkoilman lämpötilat olkoon T S ja T U. Lasin sisä- ja ulkopinnan lämpötilat olkoot vastaavasti T 1 ja T ja lasin lämmönjohtavuus λ. On järkevää olettaa, että ikkunan läpi kulkeva lämpövuo on suoraan verrannollinen

38 38 Liitteet ikkunan pinta-alaan ja ulko- ja sisälämpötilan lämpötilaeroon. Määritellään lasin lämmön läpäisykerroin K yhtälöllä φ = KA( T T ). (F.19a) s u Koska systeemissä ei ole lämmön lähteitä, sama lämpövuo kaikkien lasin suuntaisten tasojen läpi ja saadaan φ = Ajt kulkee φ φ = α s( Ts T1) Ts T1 = A α A φ λ φ = ( T1 T) T1 T = A d ( λ / d) A φ φ = αu( T Tu) T Tu = A α A s u (F.19b) Laskemalla saadut lämpötilaerot yhteen saadaan φ u = + + A αs ( λ/ d) αu ( T T ) s (F.19c) Vertaamalla tulosta yhtälöön F.19a saadaan ikkunan K- arvoksi = + +. (F.19d) K αs ( λ/ d) αu Kuva F-6 Ikkunan K arvon määrääminen. Ikkunan K-arvon määrääminen edellyttää siirtymiskertoimien α tuntemista. On kuitenkin huomattava, että kun α on määrätty, voidaan sen avulla laskea K-arvot useille eri ikkunarakenteille, koska siirtymiskerroin on lähes riippumaton ikkunan sisäisestä rakenteesta. Käytännössä sovellutuksissa yhtälö F.19d on vielä yleistettävä siten, että säteilylämmön osuus lämpövirrasta voidaan ottaa huomioon. F.3. Lämpösäteily Kirchoffin laki Sähkömagneettisen säteilyn kohdatessa väliaineen osa siitä absorboituu, osa heijastuu ja osa läpäisee väliaineen. Merkitään vastaavia suhteellisia

39 Liite F Lämmön siirtyminen 39 osuuksia kertoimilla α, ρ ja τ. Energian säilymislain perusteella pätee α + ρ + τ = 1. Vastaavat suureet voidaan määritellä myös jollekin kapealle aallonpituuskaistalle [ λλ, + dλ] ja myös tällöin αλ + ρλ + τλ = 1. Kappaletta, jolle α = 1, kutsutaan täysin mustaksi, kappaletta, jolle ρ = 1, täysin valkeaksi ja kappaletta, jolle τ = 1 täysin läpinäkyväksi. Määritellään lisäksi aineen emissiokyky E λ siten, että kappaleen aallonpituuskaistalla [ λλ, dλ] + pinta-alalta A emittoima lämpöteho on AEλ d λ. Tarkastellaan kahta kappaletta, jotka ovat tyhjössä ja tasapainossa toistensa sekä fotonikaasun kanssa. Voidaan yksinkertaistaen olettaa, että kappaleet ovat levyjä ja fotonikaasu täyttää levyjen välisen tilan. Oletetaan, että systeemin lämpötilajakauma on ajasta riippumaton (stationäärinen). Tällöin (1) kummankin kappaleen pinnalle osuu kaistalla [ λλ, + dλ] sama energiavuo AIλd λ, missä I λ on energiavuo pintaalayksikköä kohden. Lisäksi () vastaanotetun ja emittoidun säteilytehon tulee olla yhtä suuret kummallekin kappaleelle, muuten nettoenergiavuo aiheuttaisi muutoksia lämpötilajakaumaan. Merkitään levyjen pinta-aloja A 1,. Olkoon kappaleiden emissiviteetit E λ 1, ja absorptiosuhteet α 1,. Oletetaan lisäksi, että kappaleen kaistalla [ λλ, dλ] emittoituu tällä samalla kaistalla. Ehdosta () saadaan: + absorboima energia αλ1ai 1 λdλ = AE 1 λ1dλ. (F.0) α AI dλ = AE dλ λ λ λ Yhtälöstä F.0 saamme ratkaisemalla E α E =. (F.1) λ1 λ λ1 αλ Koska kappaleet on valittu mielivaltaisesti, voi toinen niistä olla musta kappale, jolle α m = 1. Merkitään mustan kappaleen emissiviteettiä Em λ. Tällöin saamme mielivaltaiselle kappaleelle E λ Emλ α =, (F.) λ toisin sanoen emissiviteetin ja suhteellisen absorptiokertoimen suhde ei riipu materiaalista, vaan ainoastaan lämpötilasta ja aallonpituudesta. Yh-

40 40 Liitteet tälöä F. kutsutaan Kirchoffin laiksi. Käytännössä yllä tehtyjen oletusten takia Kirchoffin laki on voimassa kaasuille vain approksimatiivisesti. Tärkein aineen säteilyominaisuuksia koskeva johtopäätös Kirhchoffin laista on, että kappale, joka on hyvä absorboija on myös hyvä emittoija ja päinvastoin. Tästä johtuu esimerkiksi, että alumiinikalvolla on hyvä lämmöneristyskyky. Usein käytetään emissiokertoimen E λ sijasta suhteellista emissiviteettiä ε = Eλ / Emλ. Määritelmän perusteella 0 ε 1 ja αλ = ελ. Harmaat ja selektiiviset kappaleet Kaikki käytännön sovellutuksissa esiintyvät kappaleet emittoivat lämpösäteilyä vähemmän kuin musta kappale. Reaalisilla kappaleilla tehtäviä laskuja varten on edullista määritellä niin kutsuttu harmaa kappale, jonka suhteellinen emissiviteetti Eλ ( T) ε λ ( T ) = Em ( T ) (F.3) on likimain riippumaton aallonpituudesta ja lämpötilasta. Tällöin Stefan Boltzmannin laki voidaan kirjoittaa muodossa Eh 4 = εσt, (F.4) missä σ on Stefan-Boltzmannin vakio, ks. luku 5.4. Kappaleet, joiden suhteellinen emissiviteetti riippuu voimakkaasti lämpötilasta ja aallonpituudesta, ovat selektiivisiä. Tähän ryhmään kuuluvat useimmat kaasut. Selektiivisissä aineissa emissio keskittyy alueille, joilta löytyy elektronisia transitioita ja niihin liittyviä rotaatio-vibraatiovyöspektrejä. Ympäristön osuus säteilytehosta Harmaan kappaleen emittoima nettoteho pinta-alayksikköä kohden on laskettava yhtälöstä 4 4 ( ymp ) W = εσ T T, (F.5)

41 Liite F Lämmön siirtyminen 41 missä T on kappaleen ja T ymp on ympäristön lämpötila. Jälkimmäinen termi yhtälössä F.5 kuvaa sitä, että jos kappale ja ympäristö olisivat samassa 4 lämpötilassa, kappale absorboisi tehon W = εσt ymp pinta-alayksikköä kohden. Tarkastellaan esimerkkinä lämmön siirtymistä kuvan F-7 esittämässä kahden levyn systeemissä. Jotta reunaefektit olisivat pieniä oletetaan A >> d, missä A on levyjen pinta-ala ja d etäisyys. Oletetaan edelleen, että levyt ovat läpinäkymättömiä, τ1 = τ = 0 ja lasketaan lämmön nettovirta pinta-alayksikköä kohden rakenteen läpi. Koska tilanne on stationäärinen tämän virran tiheys on energian säilymislain perusteella levyn 1 emittoima säteilyteho vähennettynä sen absorboimalla säteilyteholla. Oletamme että levyn 1 vasemmalla puolella on musta kappale lämpötilassa T 1 ja kappaleen oikealla puolella musta kappale lämpötilassa T. Näin ollen näihin suuntiin ei tapahdu emissiohäviötä eikä nettoemissiota. Kappaleiden emittoimat tehotiheydet ovat Kuva F-7 Kahden levyn välisen säteilylämpövirran laskeminen ε1σ 1 ja εσ E = T E = T (F.6) Kappaleen 1 emittoima kokonaistehotiheys kohden kappaletta on lämpöemissio + heijastuminen: W1 = E1+ ρ1w. Vastaavasti kappaleesta kohden kappaletta 1 emittoituva kokonaisteho on W = E + ρ W 1. Kirchoffin lain mukaan α = ε. Lisäksi oletettiin τ 1, = 0. Ratkaisemalla yllä olevista yhtälöistä W saadaan W ( 1 ε ) E + E = ε + ε ε ε (F.7) Siirtyvä nettotehon tiheys on kappaleen 1 emittoima tehotiheys kohti kappaletta vähennettynä kappaleelta saatu kappaleeseen 1 absorboitunut tehotiheys eli

42 4 Liitteet missä 4 4 ( ) E E W E W E W ε ε = = = = T T α1 1 ε1 ε1σ 1 ε1+ ε ε1ε, (F.8) ε = + 1 ε1 ε 1. (F.9) Johdetaan lopuksi yhtälö F.5 kuvan F-8 esittämälle rakenteelle. Ontelon seinä (pinta-ala A 1 ) kuvaa ympäristöä, jonka lämpötila on T 1. Kappale on kaviteetin keskellä (pinta-ala A ) lämpötilassa T. Lämpösäteilyemissiot ovat ε1σ 1 ja εσ E = T E = T. Tilanne on stationäärinen. Tasapainon vallitessa kaviteetin ja kappaleen välillä pätee AW = A E + ρ AW = 1 1+ ρ1 + ρ1( 1 ) 1. AW AE A W A A W (F.30) Ensimmäinen yhtälöistä F.30 kertoo, että kappaleen lähettämä teho on emissioteho + kaviteetin lähettämän tehon heijastunut osa. Toinen yhtälö kertoo, että kaviteenin lähettämä teho = emittoitu teho + kappaleen lähettämän tehon heijastunut osa + kaviteetin itsensä lähettämän tehon heijastunut osa. Jälkimmäisestä termistä on vähennettävä kappaleen absorboima osuus. Siirtyvä säteilyteho on kappaleen emittoima teho kappaleen absorboima Kuva F-8 Säteilytehon nettoarvon teho laskeminen. W = E α W = E ε W. (F.31) 1 1 Yhtälöstä F.30 saadaan ratkaisemalla ( 1 ε ) ( 1 ) E1+ x 1E W1 =, (F.3) ε + xε ε 1 1 missä x = A / A1. Sijoittamalla tämä yhtälöön F.31 saadaan 4 4 ( ) W = ε σ T T, (F.33) 1 1