Kuormat on yhdistettävä rakennesuunnittelussa riippuvasti

Transkriptio

1 /1(6)/tp Kuormat on yhdistettävä rakennesuunnittelussa riippuvasti Pysyvät kuormat ovat riippumattomia, mutta ne yhdistetään nykyisissä rakennesuunnittelunormeissa aina riippuvasti 1. Pysyvä ja muuttuva kuorma ovat yhden vuoden aikana riippumattomia, mutta 50 vuoden aikana riippuvia. Nämä kuormat yhdistetään ja varmuusluvut G, Q, M lasketaan murtotilassa joskus riippumattomasti 2, joskus riippuvasti, mutta käyttötilassa aina riippuvasti. Muuttuva kuormat yhdistetään ja yhdistelykertoimet 0 lasketaan yleensä puoliriippuvasti 3, mutta joskus riippuvasti. Kuormat on kuitenkin yhdistettävä aina riippuvasti, mihin johtopäätökseen voidaan päätyä monesta syystä: Riippumaton ja puoliriippuva yhdistäminen johtaa epärealistiseen tulokseen. Eräitä esimerkkejä tästä selostetaan jäljempänä. Kuormat ovat aina keskenään riippuvia, kun aika on suuri tai kun tarkastellaan useita kuormia. Kun tarkastellaan 50 vuoden aikana esiintyviä kuormia tai jos kuormia on noin 50, kuormat ovat jo luonnossa keskenään suurella tarkkuudelle (noin 1 %) keskenään riippuvia. Yksittäiset kuormat ovat keskenään riippumattomia, mutta nekin on yhdistettävä riippuvasti, mikä voidaan päätellä siitä, että kuormitusyhdistelyn uuden kuormaa vaikutus on aikaisemmista kuormista riippumaton. Jos kuormat yhdistetään riippumattomasti tai puoliriippuvasti, uuden kuorman vaikutus riippuu aikaisemmista kuormista. Tämä on mahdotonta, sillä uuden kuorman ja aikaisempien kuormien välillä ei ole mitään vaikutusyhteyttä. Kuormien riippuvassa yhdistämisessä osakuormien arvot summeerataan sellaisenaan, joten kuormaa ei häviä yhdistämisessä. Riippumattomassa ja puoliriippuvassa yhdistämisessä sen sijaan osa kuormista häviää yhdistämisessä: Kun kuormien satunnaisarvot summeerataan keskenään, 0 10 % kuormista häviää, jolloin varmuusluvut G, Q, M tulevat liian pieniksi. Vastaavasti puoliriippuva yhdistäminen johtaa 0 15 %:n kuormien häviämiseen ja liian pieniin yhdistelykertoimiin 0. Sallittujen jännitysten mukainen pysyvän ja muuttuvan kuorman yhdistely on riippuva ja siten oikea, mutta eurokoodissa nämä kuormat yhdistetään riippumattomasti ja väärin 4. Kaikissa normeissa muuttuvat kuormat yhdistetään puoliriippuvasti eli väärin. Kuormat yhdistetään riippuvasti summeeraamalla osakuormat fraktiileittain. Vaihtoehtoisesti yhdistelyjakauma voidaan määrittää konvoluutiokaavalla niin, että yhdistelyjakauma sovitetaan kulkemaan osajakaumien leikkauspisteiden kautta. Jos yhdistäminen tehdään Monte Carlo simuloimalla, käytetään yhtä siemenlukua. Käytännön rakennesuunnittelussa osakuormien laskenta-arvot summeerataan sellaisenaan ilman (implisiittisiä tai eksplisiittisiä) yhdistelykertoimia, vähennyskertoimia tms. 1 Summajakauman fraktiiliarvo saadaan laskemalla yhteen osajakaumien vastaavien fraktiilien arvot. 2 Summajakauma muodostetaan osajakaumista satunnaisesti, Ferry Borges Castanhetan menetelmä. 3 Toisen jakauman arvo on suurin tavoiteluotettavuuden mukainen deterministinen arvo ja toinen on satunnaisarvo, Turkstran menetelmä. 4 kun käytetään eurokoodin yhdistelysääntöä 6.10a,b tai 6.10a,mod, yhdistelysääntö 6.10 on oikea

2 /2(6)/tp Ääriarvojakauma Rakennesuunnittelun jakaumat ovat ääriarvojakaumia, joko valitun todennäköisyyden suurimpia kuormia tai pienimpiä lujuuksia. Jos jakaumat yhdistetään riippumattomasti, näin saatu jakauma ei ole ääriarvojakauma. Kuormin riippuvasta yhdistämisestä saatu jakauma sen sijaan on ääriarvojakauma. Hook:n laki, lineaaarisuus Hook:n laki ja lineaarisuus ovat rakennesuunnittelun peruspilareita: kuorman ja sen vaikutuksen välinen riippuvuus on lineaarinen. Suomen eurokoodeissa sovelletaan sääntöä 6.10a, mod. Sen mukaan, kun pysyvä kuorma on vähäinen ja muuttuva kuorma kasvaa, vaikutus ei kasva lainkaan. Em. kuormien yhdistelysääntö on riippumattoman kuormayhdistelyn mukainen. Riippumaton kuormien yhdistely on siten ristiriidassa lineaarisuuden ja Hook:n lain kanssa. Mitoituskava Rakennesuunnittelun perusmitoitusyhtälö on G G Q Q M M (1) G on pysyvä kuorma, Q muuttuva kuorma ja M materiaalilujuus, G, Q, M ovat vastaavat varmuusluvut. Tämä epäyhtälö voi aina olla yhtäsuuruusyhtälö, mikä tekee yhdistelyssä käytettävät kuormat täydellisesti riippuviksi ja korreloiviksi riippumatta siitä ovatko nämä kuorma muuten riippuvia vai riippumattomia, sillä lujuus on kuormiin nähden vakio. Korreloivat kuormat on yhdistettävä riippuvasti. Kuormien häviäminen Jos jakaumat yhdistetään riippumattomasti, yhdistelyjakauma on osajakaumien satunnainen summa. Tällaisessa yhdistämisessä osa kuormista häviää. Osajakaumat on kuitenkin summattava ehdottomasti ja riippuvasti, sillä uusi kuorma on lisättävä aikaisempaan täydellä määrällään. Pysyvä ja muuttuva kuorma G + Q ovat riippuvia, kun aika on suuri Pysyvän kuorman jakauma G määrittelee, millä todennäköisyydellä pysyvästä kuormasta aiheutuva mitoituspistekuorma ei toteudu. Vastaavasti muuttuvan kuorman jakauma Q määrittelee, millä todennäköisyydellä muuttuvan kuorman mitoituspistekuorma ei toteudu yhden vuoden aikana. Nämä jakaumat, G ja Q ovat riippumattomia 5. Kuormat on yhdistettävä riippuvasti myös siksi, että kuormat ovat riippuvia, kun aika on suuri: Muuttuvan kuorman yhden vuoden mitoituspistekuorman todennäköisyys P f1 on pieni luku. Esimerkiksi eurokoodissa se on Kun aika kasvaa, tämä todennäköisyys kasvaa. Esimerkiksi t vuodessa todennäköisyys on 1 (1 - P f1 ) t. Kun aika on hyvin suuri, saadaan kaikki jakauman Q arvot niin, että kukin fraktiilin i arvo vastaa jotakin aikaa t. Olkoon pysyvän kuorman fraktiilin i alkio g i. Tämän kanssa esiintyvät samanaikaisesti jonakin aikana 0 t kaikki muuttuvan kuorman fraktiilin j alkiot q j, j = 0 1 ja siten myös q i. Jakaumien G ja Q välillä vallitsee siis täydellinen riippuvuus, sillä jakaumien kaikkien fraktiilien arvot esiintyvät samanaikaisesti. Kun tällaiset jakaumat yhdistetään, tämä riippuvuus on otettava huomioon eli jakaumat G ja Q on yhdistettävä riippuvasti. 5 Tarkemmin ilmaistuna: jakaumat ovat riippuvia, jos fraktiilit ovat pienempiä kuin 0.02.

3 /3(6)/tp Riippumaton ja puoliriippuva yhdistäminen johtaa epärealistiseen tulokseen Esimerkki 1 Oletetaan, että rakenne kestää sekä pysyvää että muuttuvaa kuormaa 1 voimayksikön, kun voimat vaikuttavat erikseen. On selvää, että jos rakenteeseen kohdistuu sekä pysyvä voima 0.5 että muuttuva voima 0.5 samanaikaisesti, rakenne kestää myös yhden voimayksikön. Riippumattoman kuormayhdistelyn ja nykyisten normien mukaan, rakenne kestää kuitenkin noin 1.1, mikä johtuu siitä, että riippumattomassa yhdistämisessä osa kuormasta häviää. On mahdotonta, että kuormien yhdistäminen kasvattaisi rakenteen lujuutta. Esimerkki 2 Kerrostalon ylimmän kerroksen hyötykuormaa pienennetään, jos kuormat yhdistetään riippumattomasti ja alemmissa kerroksissa on kuormaa, mutta ei pienennetä, jos ei ole. On selvää, että ylimmän kerroksen kuorman vaikutus on riippumaton siitä, onko alemmissa kerroksissa kuormaa vai ei. Jos kerrostalon yhdessä kerroksessa on kaksi henkilöä, joiden yhteispaino on 2 kn = kn, mutta jos samat henkilöt ovat kahdessa kerroksessa, riippumattoman yhdistelyn ja nykyisten normien mukaan, kokonaispaino on 1.7 kn? Kerrostaloissa ei voida soveltaa mitään kuormien vähennyskertoimia 0. Tämä johtuu siitä, että kerrostalon kerroksissa olevat hyötykuormat ovat talossa olevan kokonaishyötykuorman osakuormia, jolloin nämä osakuormat ovat keskenään riippuvia. Tältä osin ennen eurokoodia vallinnut mitoituskäytäntökin on ollut väärä. Esimerkki 3 Riippumaton kuormien yhdistäminen merkitsee, että rakenteen jokaisen uuden kuorman tulisi tietää onko rakenteella aikaisempaa kuormaa ja uuden kuorman täytyisi osata pienentää itseään 0 30 %, jos rakenteella on aikaisempaa kuormaa. Tämä on mahdotonta. Esimerkiksi, on mahdotonta, että katolle vaikuttava tuulikuorma voisi tietää onko katolla lumikuormaa ja että tuulikuorma osaisi sovittaa oman vaikutuksensa rakenteisiin tästä riippuvaksi 6. Esimerkki 4 Tarkastellaan pysyvän ja muuttuvan kuorman yhdistämistä eurokoodin perusoletusten mukaisesti. Asian yksinkertaistamiseksi muuttuvan kuorman jakauman oletetaan olevan normaali (eurokoodissa gumbel) ja pysyvän kuorman mitoituspistearvo asetetaan 0.98:ksi (eurokoodissa 0.5). Asetetaan mitoituspiste ykköseksi. Pysyvän kuorman variaatiokerroin on ja muuttuvan 0.4, joten jakaumaparametrit ovat: G = 0.842, G = 0.077, Q = 0.549, Q = Vaaditaan, että mitoituksen täytyy toteutua 98 %:n todennäköisyydellä. Valitaan kuormat ykkösiksi, jolloin ne ovat mitoituspisteessä ja 0.98 fraktiilissa, eli molemmat kuormat ovat kelpoisuusrajalla. Kuormat yhdistetään kuormasuhteessa = 0.5, eli kuormat yhdistetään suhteissa 50 % + 50 %. 6 Tuulikuorman yhdistämisessä sovelletaan tässä tapauksessa yhdistelykerrointa 0 0.8, mikä johtuu siitä, että lumi vaikuttaa vain talvella, mutta tuuli esiintyy koko vuoden ajan ja molemmat jakaumat määritellään vuoden ajalle.

4 /4(6)/tp Pysyvät kuormat yhdistetään nykyisissä normeissa riippuvasti (kaikki kuormat tulee yhdistää riippuvasti: molemmat yhdistettävät kuormat ovat suurimmissa arvoissaan kaikissa fraktiileissa). Yhdistelykuorma lasketaan tässä tapauksessa normaalijakaumasta N: N x G 1 NGQ d x 2 Q G 1 Q 2 2 Q G 1 (1) Pysyvä ja muuttuva kuorma yhdistetään eurokoodissa riippumattomasti ja tästä yhdistelytuloksesta lasketaan varmuusluvut G, Q, M (molemmat kuormat ovat satunnaisarvoissaan, Ferry Borges - Castanheta:n malli): N x G 1 NGQ i x 2 Q G 1 Q 2 (2) Alla olevassa kuvassa on esitetty pysyvän kuorman jakauma ympyräviivalla ja muuttuvan kuorman jakauma neliöviivalla, vaaka-akselilla on kuorma, pystyakselilla fraktiili. Riippuva yhdistelykuorma on esitetty yhtenäisellä paksulla viivalla, riippumaton katkoviivalla. Oleellista nyt on, mikä on yhdistelyjakauman arvo kelpoisuusrajalla eli 0.98-fraktiilissa, joka on piirretty vaakaviivalla? Loogista on, että se on 1 (= ) eli kuormat ja myös niiden puolikkaat summeerataan sellaisenaan. Näin todella on, sillä pysyvä kuorma 1 esiintyy koko käyttöajan ja muuttuvan kuorman käy rakenteen 50 vuoden käyttöaikana ainakin kerron arvossa 1. Kuormat ovat samanaikaisia ja summeerataan sellaisenaan. Jos kuormat yhdistetään riippumattomasti, yhdistelykuorma on 0.934, minkä mukaan kuormitusyhdistely pienentää kokonaiskuormaa, < 1 ja vastaavasti lujittaa materiaalia, mikä on kuormien samanaikaisuuden vuoksi väärin ja lisäksi epäloogista Esimerkki 5 On kolme geometrialtaan samanlaista taloa. Talossa A on betonikatto, jonka omapaino on 20 kn eikä katolla ole kuormaa, talossa B on teräskatto, jonka omapaino on 10 kn ja katolla on 10 kn lunta, talon C katto on ideaalimateriaalia eikä se paina mitään ja katolla on 20 kn lunta. Suomen eurokoodin mukaan selvää on, että katon A murtotilan mitoituskuorma on 1.35*20=27 kn ja katon C vastaavasti 1.5*20=30 kn. Kiistanalaista sen sijaan on, mikä on katon B mitoituskuorma? Lasketaanko yhdistelykuorma riippumattomista jakaumista, kuten tehdään esimerkiksi Suomen eurokoodissa, jolloin mitoituskuorma on 1.15*10+1.5*10=26.5 kn vai lasketaanko yhdistelykuorma riippuvista jakaumista, jolloin yhdistelykuorma on 1.35*10+1.5*10=28.5 kn? Jaetaan katot A ja C kuormineen pieniin yhtä suuriin osiin ja tehdään neljäs katto D ottamalla siihen puolet katon A osista ja puolet katon C osista. On selvää, että katon D mitoituskuorma on puolet katon A ja C mitoituskuormien summasta eli 28.5 kn, mikä on sama kuin riippuvalla menetelmällä laskettu yhdistelykuorma. Katto D voidaan tehdä ainakin ideaalisena fysikaalisestikin niin, että katto tehdään ensin ja lumi sataa vain katosta C otetuille osille tai vaihtoehtoisesti katolla on lumenpoisto katon C osilta. On selvää, että katon B ja D alla olevien kantavien rakenteiden kuorma on sama, joten katon B mitoituskuoma on laskettava riippuvien jakaumien mukaan.

5 /5(6)/tp Tässä tapauksessa kuormasuhde (muuttuvan kuorman suhde kokonaiskuormaan) on 0.5 ja laskentamenetelmien ero on noin 7 %. Ero on hieman suurempi, kun kuormasuhde on pienempi. Riippuvan ja riippumattoman yhdistämisen ero kasvaa, kun kuormien vaihtelu kasvaa, esimerkiksi tuuli- ja lumikuorman yhdistämisessä menetelmien ero on noin 15 %. Pysyvien kuormien yhdistäminen Pysyvät kuormat ovat riippumattomia. Näissä kuormissa ei ole edes edellä selostettua ajan kasvusta johtuvaa kuormien korrelaatiota. Pysyvät kuormat yhdistetään kuitenkin kaikissa normeissa riippuvasti. Esimerkiksi kerrostalojen välipohja-, seinä-, yms. kuormat yhdistetään kaikissa normeissa riippuvasti. Pysyvien kuormien vaikutus on itsenäinen ja muista kuormista riippumaton, minkä johdosta nämä kuormat on yhdistettävä riippuvasti ja nykyiset normit ovat tältä osin oikeita. Näitä kuormia ei voida yhdistää riippumattomasti, sillä varmuus häviäisi kerrostaloissa käytännöllisesti katsoen kokonaan. Yhteenveto Perimmäinen syy kuormien riippuvaan yhdistämiseen on kunkin kuorman muista kuormista riippumaton ja itsenäinen vaikutus. Riippumattomassa ja puoliriippuvassa yhdistämisessä jokaisen kuorman vaikutus rakenteeseen on muista kuormista riippuva. Vaikutus on täysimääräinen vain, jos muita kuormia ei ole, ja jos muita kuormia on, vaikutus on pienempi. Vaikutus on sitä pienempi mitä enemmän muita kuormia on ja ääritapauksessa, kun kuormia on paljon, varmuus häviää kokonaan. Jos kuormia ei yhdistetä riippuvasti, päädytään tavoiteluotettavuuteen nähden noin 0 20 % alivarmaan mitoitukseen. Tampere Tuomo Poutanen, tuomo.poutanen@tut.fi, ,