RAKENNEOSIEN MITOITUS

Transkriptio

1 RAKENNEOSIEN MITOITUS TAIVUTETUT PALKIT YLEISTÄ Palkkirakenteet ovat sauvoja, joita käytetään pystysuuntaisten kuormien siirtämiseen pilareille tai muille pystyrakenteille. Palkkien mitoituksessa tarkastellaan sekä murtorajatilassa, pääasiallisesti taivutus- ja leikkauskestävyyttä, että käyttörajatilassa muodonmuutoksia, taipumia. Myös normaalivoimarasitus on mahdollinen palkkirakenteille. Palkkien liittyminen pilareihin voi olla täysin jäykkä, osittain jäykkä tai laskentaotaksumaksi voidaan ottaa nivel. Täysin jäykän liitoksen toteuttaminen on teknisesti hankalaa ja tulee kuitenkin kalliiksi. Lisäksi jäykästä liitoksesta aiheutuu pilareihin koon nostamisen tarvetta mikä edelleen syö jäykän liitoksen kannattavuutta, joten liitokset valmistetaan useimmiten nivelellisinä. Palkkien poikkileikkauksina käytetään paljolti kuumavalssattuja standardiproiileja, joista palkkina edullisin on kapealaippainen IPE. Myös muita, kuten HEA-proiileja käytetään yleisesti. Molempia voidaan käyttää liittorakenteen teräsosana. Suurin osa kuumavalssatuista proiileista kuuluu poikkileikkausluokkiin tai ja poikkileikkaus mitoitetaan siis plastisuusteorian mukaan. Voimasuureiden laskemiseksi voidaan jatkuvissa palkeissa käyttää plastisuusteoriaa, mutta usein käyttörajatilassa taipuma kasvattaa palkin proiilin kokoa. Hitsatut proiilit ovat automaattisten valmistuslinjojen ansiosta tulleet kilpailukykyisiksi palkkivaihtoehdoiksi kuumavalssatuille proiileille, varsinkin isommissa sarjoissa. Etuna hitsatuissa proiileissa on joustavampi mittavalikoima kuin kuumavalssatuissa standardiproiileissa. Hitsattuja proiileja valmistetaan sekä avoimina että suljettuina proiileina. Hyvin yleisesti käytetään kotelopoikkileikkauksia liittorakenteena yhdessä betonielementtien kanssa. Pitkien jännevälien kannattajat pyritään valmistamaan mahdollisimman vähäisellä materiaalimäärällä, joka johtaa siihen, että uuma joutuu poikkileikkausluokkaan 4. Tällöin on käytettävä tehollista poikkileikkausluokkaa tai jätettävä uuma taivutusmitoituksessa huomiotta. Rakenneputket ovat standardimittoihin valssaamalla ja hitsaamalla valmistettuja proiileja. Rakenneputkia käytetään paitsi palkkeina myös ristikkorakenteiden osina, normaalivoiman rasittamina sauvoina sekä normaalivoiman ja taivutuksen rasittamina sauvoina. Putkien umpinainen muoto on hyvin edullinen väännön ja siten myös kiepahduksen suhteen. Kylmämuokatut avoimet proiilit tulevat kysymykseen lähinnä erilaisina orsina ja sekundäärisinä kannattajina, eikä niiden mitoittamiseen tässä yhteydessä paneuduta tarkemmin. Proiilin korkeus vaikuttaa suuresti käytettävään jänneväliin. Suorakaiteella neliömomentti on verrannollinen korkeuden kolmanteen potenssiin ja taipuma taas on verrannollinen kuormituksesta riippuen yleensä jännevälin neljänteen potenssiin.

2 SIVUSUUNNASSA TUETUT PALKIT Poikkileikkausluokan taivutuskestävyyden saavuttamiseksi tarvitaan ylälaipan tukemista sivusuunnassa sivulle tapahtuvan taipumisen tai kiepahtamisen estämiseksi. Palkit, jotka kiinnittyvät vesikattorakenteissa ylälaipastaan orsiin, ovat yleensä riittävästi sivusuunnassa tuettuja. Samoin välipohjalaatastoon ylälaipastaan kiinnittyvät palkit ovat riittävästi sivusuunnassa tuettuja. Riittävän tiheät tukivälit voidaan arvioida standardin SFS-EN 99-- kohdan perusteella, jonka mukaan puristetusta laipasta pistemäisesti sivusuunnassa tuettuja sauvoja ei tarvitse tarkistaa kiepahdukselle, jos sivuttaistukien väli Lc tai sen perusteella laskettu ekvivalentin puristetun laipan muunnettu hoikkuus täyttää ehdon kl M c c c,rd λ = λc0 i, λ My,Ed missä M y,ed on taivutusmomentin suurin mitoitusarvo sivuttaistukien välillä k c on sivuttaistukien välisen momenttipinnan jakaantuman huomioon ottava hoikkuudenkorjaus tekijä (taul. 6.6 EC) i, on ekvivalentin puristetun laipan, joka koostuu puristetusta laipasta ja kolmasosasta uuman puristetusta alueesta, hitaussäde poikkileikkauksen heikomman akselin suhteen λ on edellä määritetyn ekvivalentin puristeun laipan muunnetun hoikkuuden raja-arvo c0 E λ = π = 9,9ε y Jos käytetään standardissa SFS-EN 99-- esitettyä yleistä menetelmää kiepahdustarkasteluun, saadaan muunnetun hoikkuuden raja-arvoksi λ c0 = 0,, jota voidaan käyttää varmalla puolella olevana minimiarvona. h c h t Puristusta Vetoa h c Ekvivalentin puristetun laipan hitaussäteen i, arvo lasketaan kaavalla Ie, i, = Ae, + Ae,,c missä I e, on poikkileikkauksen heikomman akselin suhteen laskettu puristetun laipan tehollinen neliömomentti A e, on puristetun laipan tehollinen pinta-ala Ae,,c on puristetun uuman tehollinen pinta-ala Kuva. Ekvivalentti puristettu laippa

3 ESIMERKKI. g k = 60 kn/m q = 70 kn/m k Kuvan vapaasti tuetun palkin proiili on WI60--0x0 ja teräslaji on S75JRG. Tarkista onko kuvaan merkitty,5m:n sivuttaistukiväli riittävä estämään palkin kiepahduksen. Palkki on päistään haarukkalaakeroitu.

4 4 TUETUN PALKIN MITOITUS Taivutetulle palkille tarkistetaan murtorajatilassa, että missään palkin poikkileikkauksessa taivutuskestävyys ei ylity, kun otetaan huomioon kaikki poikkileikkauksen taivutuskestävyyttä pienentävät muut rasitukset. Leikkauskestävyys ja normaalivoimakestävyys on myöskin tarkistettava. Palkin mitoituksessa voi tulla määrääväksi käyttörajatilan tarkistukset, taipumarajatila tai pysyvät muodonmuutokset käyttörajatilan kuormituksilla. Kuumavalssatun proiilin valinta käy kätevästi taulukoiden avulla. Taivutuspalkille tullee edullisimmaksi IPE-proiilin käyttö, proiili valitaan tarvittavan taivutusvastuksen perusteella tai tarvittavan neliömomentin perusteella ja sen jälkeen suoritetaan vaadittavat tarkistukset kestävyydelle ja tarvittaessa käyttörajatilassa tarkistetaan taipumat. Hitsattujen palkkien mittojen valinnassa voidaan käyttää esimerkiksi kestävyyteen perustuvaa kaavaa (Hitsatut proiilit), jossa lähtökohtana on poikkileikkausluokka h =,5η M ( γ ) Ed y M0 ( ) η = 4ε = h t t =, 5t η = 4ε( = ct) b = η t + t ( ) ( h ) G = η + η + η ρ joissa h, t, t, b ovat poikkileikkauksen optimimitat valitulla lujuusluokalla. G on poikkileikkauksen paino pituusyksikköä kohti. Hoikkuuksien η ja η lausekkeissa ei ole huomioitu hitsien vaikutusta. Ohutuumaiselle I-proiilille kestävyyden perusteella optimikorkeuden antaa h = η M ( γ ) Ed y M0 ( ) η = ke y = h t k = 0,55 kun laippa kuuluu poikkileikkausluokkaan η = 4ε = ct ( ) ( ) t = h ηη = η η t b = η t + t ( h ) G = η η η + η ρ Edellä esitetyt kaavat antavat poikkileikkaukselle optimimitat, kun laipat kuuluvat poikkileikkausluokkaan, mutta uuma poikkileikkausluokkaan 4. Kaavat perustuvat kestävyyteen murtorajatilassa, mutta eivät välttämättä anna riittävän jäykkää proiilia käyttörajatilaa ajatellen. Ohutuumaiselle I-proiilille käytettäessä mitoituskriteerinä taipumaa saadaan uuman korkeudelle h 4 = η Ivaad ja t =, 5t, muut kuten edellä.

5 5 Poikkileikkausluokan 4 palkin poikkileikkausmitat Kun palkin poikkileikkauksen puristettu osa kuuluu poikkileikkausluokkaan 4, niin levyosa lommahtaa. Kyseinen osa ei kuitenkaan menetä kokonaan kantavuuttaan, vaan jännitys jakautuu lommahduksen tapahtuessa uudelleen siten, että lommahtaneessa kohdassa jännitys pienenee muuhun verrattuna (vrt kuva a) alla). Levyosan sanotaan olevan ylikriittisessä tilassa. b b e b e y σ ( ) x σ y Todellinen jännitysjakautuma suurimmalla kuormituksella σ on keskimääräinen jännitys Tehoton alue a ) b) Kuva. Jännityksen a) todellinen ja b) tehollinen jakautuminen ylikriittisellä alueella. Levyn tehollinen leveys saadaan lausekkeesta + b/ tbe y = t σ x( )d b/ Koska ohuen tasomaisen levyn todellisen suurimman jännitysjakautuman määritääminen on vaikeaa, ellei käytännössä mahdotonta analyyttisesti, on todettu tehollisen leveyden menetelmän johtavan tyydyttäviin tuloksiin. Tässä ajattelutavassa todellinen jännitysjakautuma korvataan kuvan b) jakautumalla, jossa lommahtaneen keskiosan jännitys jätetään huomioonottamatta ja muualle ajatellaan tasainen teholliselle leveydelle jakautuva jännitys y. On ehdotettu, että leveydelle otettaisiin be σ cr = b y Todellisille rakenteille, kokeisiin perustuen ja johtuen alkukäyryydestä sekä jäännösjännityksistä tulisi tehollisen leveyden kaava olla tyypiltään be σ cr = α b y missä α on kerroin, joka huomioi levyn alkukäyryyden ja jäännösjännitykset.

6 6 Ylikriittisen tilan jännitysjakautuma Tehollinen poikkileikkaus h e h c Tekn. taivutusteorian jännitysjakautuma y h e y Neutraaliakseli a) b) c) Kuva. Palkin poikkileikkaus ylikriittisessä tilassa. Tarkastellaan taivutettua ohutuumaista I-proiilia. Kuvassa a) on jännitysjakautuma pienellä kuormituksen arvolla, jolloin jännitys jakautuu poikkileikkauksen korkeussuunnassa teknisen taivutusteorian mukaisesti. Kun kuormitusta kasvatetaan, puristusjännitys jossakin kohtaa palkin uumassa neutraaliakselin yläpuolella saavuttaa kriittisen arvon ja uuma lommahtaa sivulle (kuva b). Jännitys lommahtaneessa kohdassa pienenee eikä ole enää teknisen taivutusteorian mukainen, vaan jännitysjakautuma on kuvan a jakautuman mukainen. Poikkileikkauksen taivutuskestävyys tässä niin sanotussa ylikriittisessä tilassa voidaan laskea tehollisen poikkileikkauksen menettelytavalla (kuva c). Eurokoodi :n mukaan poikkileikkausluokan 4 poikkileikkauksen kestävyydet puristusta aiheuttaville kuormituksille lasketaan poikkileikkausluokan 4 puristettujen taso-osien tehollisten leveyksien perusteella. Eurokoodissa tehollisen poikkileikkauksen ohjeet annetaan standardissa SFS-EN Seuraavan sivun taulukossa on annettu tehollisen poikkileikkauksen mitat tapauksessa, jossa osa tuettu kahdelta sivulta (esimerkiksi I-proiilin uuma). Taulukossa tarvittavan pienennystekijän ρ likiarvo saadaan Eurokoodin osan -5 kaavojen perusteelle seuraavasti: - kahdelta reunalta tuetut taso-osat ρ = kun λ p 0,5 + 0,085 0,055ψ ρ ( ψ) λ 0,055 + p =, 0 kun λ p > 0,5 + 0,085 0,055 λ p - yhdeltä reunalta tuetut taso-osat: ρ = kun λ p 0,748 ρ λ 0,88, 0 p = kun λ p > 0,748 λ p ψ

7 7 Edellä olevissa kaavoissa muunnettu hoikkuus λ p lasketaan kaavasta y bt λ p = = σ cr 8, 4ε k σ t on tarkasteltavan levyosan paksuus b on tarkasteltavan levyosan leveys - uuman vapaa korkeus - laipan vapaa leveys laipoille - suorakaiteen muotoiset rakenneputket b t k σ on jännityssuhdetta ψ ja reunaehtoja vastaava lommahduskerroin σ cr kimmoteorian mukainen lommahdusjännitys Taulukko. Tehollisen levyosan mitat, kahdelta reunalta tuetut puristetun levyosat. Jännitysjakautuma(puristus on positiivinen) Tehollinen p leveys b e σ σ be b be ψ = : be = ρ b b = 0,5 b b = 0,5b e e e e 0 ψ < : σ be b be σ be = ρb b = b b = b b 5 ψ e e e e e σ be b c b be bt σ ψ < 0: e c ( ) b = ρb = ρb ψ b = 0, 4 b b = 0,6b e e e e ψ = σ σ > ψ > 0 0 0> ψ > - > ψ Lommahduskerroin k σ 4,0 8, (,05 + ψ ) 7,8 ψ + ψ,9 5,98( ψ ) 7,8 6, 9 9,78

8 8 ESIMERKKI. WI y Lasketaan proiilin WI poikkileikkausluokka ja puristettujen osien teholliset leveydet sekä tehollinen neliömomentti murtorajatilassa, kun poikkileikkauksen rasituksena on taivutus. Teräslaji on S55J ja hitsin a-mitta on 4mm. h = 000mm b = 00 mm t = 6 mm t = 6 mm a = 4 mm RATKAISU: Tehollinen poikkileikkaus b b c b t b e bneg b e e Ny ec y ( ) ( ) c= b t a= = 4, ( ) ( ) b = h t + a = = 956,7 h = h t = = 968,0 Poikkileikkausluokitus: - laippa c 4, = = 8,8,4 PL t 6 - uuma b 956,7 = = 59,5 > 00,9 PL 4 t 6 Proiili kuuluu PL 4:een Lasketaan uuman tehollinen leveys: ψ =, =,9 λ b k σ t 956,7 6 p = = = 8, 4ε k σ 8, ,9,4 ( ) λp =,4 > 0,5 + 0,085 0,055ψ = 0,5 + 0,085 0,055 = 0,874 ρ ( ψ) λ 0,055 +, 4 0,055 p = = = λ p,4 0,650,0

9 9 Uuman puristettu ja vedetty alue ovat yhtäsuuria bruttopoikkileikkauksessa: ρb 0, ,7 be = = =,4 be = 0, 4 be=0,4,4=5,0 be = 0,6be = 0,6,4 = 87,4 Tehottoman alueen korkeus: b 956,7 bneg = be be = 5,0 87,4 = 66,0 Pinta-alat: A = tb = 6 968,0 = 5808 mm A = tb = 6 00 = 4800 mm A= A + A = = 5408 mm Ae = A tb neg = ,0 = 44 mm Puristetun puolen korkeus: Ah tbneg ( t + a+ be+ bneg ) ,0( ,0 + 66,0 ) ec = = = A 44 e Neutraaliakseli laskee matkan: h 000 eny = ec = 58,7 = 8,7 Bruttopoikkileikkauksen neliömomentti: bh ( b t)( h t ) ( 00 6)( 000 6) I y = = =,778 0 Tehollisen poikkileikkauksen neliömomentti: tb neg Ie = Iy + A eny tbneg ( eny + be + bneg ) ,0 9 =, ,7 6 66,0( 8,7 + 87,4 + 66,0 ) =, Lasketaan jännityssuhde tehollisessa poikkileikkauksessa: ( ,7) 6 4 ψ = = 0,948 58,7 6 4 k 7,8 6, 9 ( 0,947) 9, 78 ( 0,947) σ = + =,99 Uusi muunnettu hoikkuus ja pienennystekijä: 956,7 6 λ p = =,47 8, ,99 λ p =,47 > 0,5 + 0,085 0,055 ( 0,948) = 0,8686, 47 0, ( 0.948) ( ) ρ = = 0,667,0,47 Tehollisten leveyksien uudet arvot ovat. be = ρ ec t a = 0, , =,5 ( ) ( ) 58,7

10 0 be = 0,4be = 0,4,5 = 4,6 be = 0, 6be = 0, 6,5 = 86,9 Tehottoman alueen uusi korkeus: bneg = ( ec t a) be = ( 58, 7 6 4),5 = 85,5 Uusi tehollinen pnta-ala: Ae = A tbneg = ,5 = 495 mm Puristuspuolen uusi korkeus: ,5( , ,5 ) ec = = 50, 495 Neutraaliakselin siirtymä alaspäin: 000 e Ny = 50, = 0, Tehollinen neliömomentti: 6 85,5 Ie =, , 6 85,5( 0, + 86,9 + 85,5 ) =, 68 0 Toisella kierroksella neutraaliakseli siirtyi lisää,6mm vain, tehollinen pinta-ala muuttui A % = 00% = 0,8% A 44 Tehollinen neliömomentti muuttui sekin vain I y = 00% = 0,6% Iy 698 Tulokset siis suppenevat nopeasti, ensimmäisenkään kierroksen tulos ei olisi ollut huono! 9 9 Uuman puristetun osan bruttopinta-ala : Ac = t ( ec t ) = 6( 50, 6) = 06 Uuman puristetun osan tehollinen pinta-ala: Ac,e = Ac tbneg = ,5 = 9 Voidaan todeta, että Ac,e = 9 ρlim Ac = 0,5 06 = 5 joten rakenteen kokonaisanalyysissä ei tarvitse ottaa lommahduksen vaikutusta sauvan jäykkyyteen määritettäessä rakenteen sisäisiä voimasuureita.

11 TEHTÄVÄ. WI y Laske kuvan proiilin WI x70 puristettujen osien teholliset leveydet sekä tehollinen neliömomentti, kun poikkileikkauksen rasituksena on taivutus. Teräslaji on S75J ja hitsin a-mitta on 4mm. 9 4 ( I =, mm ) e TEHTÄVÄ.

12 MITOITUS TAIVUTUKSELLE Sivusuunnassa tuettujen palkkien mitoituksessa taivutukselle tarkistetaan poikkileikkausluokan mukaisen taivutuskestävyyden riittävyys kuormien mitoitusarvojen (ja niiden yhdistelmien) aiheuttamille suurimmille taivutusmomenteille. Poikkileikkausluokan 4 taivutusvastukset saadaan kaavoilla (kaksoissymmetrinen poikkileikkaus) Ie Ie We,min = ja We,max = h + e h e Ny Taivutuskestävyyden laskennassa on otettava huomioon kaikki esiintyvät rasitustilat ja niiden yhdistelmät: - kestävyys M V,y,Rd, kun taivutusmomentin kanssa vaikuttaa merkittävä leikkausvoima - kestävyys M N,y,Rd, kun palkissa esiintyy myös normaalivoima - kestävyys Mc,y,Rd = Mc,Rd, kun leikkausvoima tai normaalivoima ei pienennä kestävyyttä Ny 500 g k = 60 kn/m q = 70 kn/m k ESIMERKKI Kuvan vapaasti tuetun palkin proiili on WI60--0x0 ja teräslaji on S75JRG. Tarkista palkin taivutuskestävyys Eurokoodi :n mukaan, kun palkin kuormituksena on pysyvää kuormitusta 60kN/m ja muuttuvaa kuormitusta 70kN/m. Palkki on tuettu sivusuunnassa siten, että se ei pääse kiepahtamaan. TEHTÄVÄ Valitse taivutuskestävyyden perusteella kuvan palkiksi sopiva kuumavalssattu proiili, kun teräksen lujuusluokka on S55. Mitoitus tehdään noudattaen standardia SFS.EN Palkki ei pääse kiepahtamaan ja kuormituksilla on ominaisarvot F k = 80kN ja q k = 0 kn/m. Yhdistelykertoimen arvona voidaan käyttää 0,7. Seuraamusluokka on. F k k L F Fk Fk Fk L L L L L F F k k TEHTÄVÄ Mitoita kuvan vapaasti tuettu vesikaton pääkannattaja. Jänneväli L =, 0 m ja orsiväli L =,0 m. Kehäväli on 6m. Teräslaji on S55JRG. Katteen, eristeen ja orsien omapaino on g k = 0,40kN/m ja lumikuorma g =,80 kn/m. K FI =, 0. lk

13 MITOITUS KIEPAHDUKSELLE YLEISTÄ Kuva. Palkin kiepahdus. Tarkastellaan yllä olevan kuvan palkkia. Palkilla vaikuttavasta kuormituksesta palkki taipuu. Jos rakenteen geometria, tuenta ja kuormituksen sijainti palkin poikkileikkauksessa ovat tietynlaiset, palkin puristettu ylälaippa nurjahtaa sivusuunnassa. Tätä epästabiilisuusilmiötä kutsutaan kiepahdukseksi (lateral buckling). Kiepahduksessa taivutetun palkin poikkileikkaus kiertyy tietyllä kuorman arvolla (kiepahduskuormalla) pituusakselin suuntaisen akselin ympäri (sivusuunnassa) ja palkki menettää kantavuutensa. Kiepahduskestävyys riippuu palkin jännevälistä, poikkileikkausmitoista, neliömomentista EI, (puhtaan väännön) vääntöjäykkyydestä GI v, poikkileikkauksen käyristymisjäykkyydestä EI ω, palkin tuennasta ja kuormituksesta. Mitä leveämpi laippa sitä jäykempi palkki on -akselin suhteen. Kuvan a poikkileikkauksen neliömomentti -akselin suhteen on suurempi kuin kuvan b poikkileikkauksen. Samoin myös poikkileikkauksen vääntöjäykkyys GI v ja käyristymisjäykkyys EI ω ovat poikkileikkauksella a suuremmat kuin poikkileikkauksella b. Kuva. Erilevyiset I-poikkileikkaukset

14 4 Hoikat ja korkeat I-proiilit ovat kiepahdusalttiita. Kotelo- ja putkiproiileilla kiepahdus ei yleensä määrää niiden taivutuskestävyyttä proiilin suuren vääntöjäykkyyden ansiosta. Mitä suurempi suhde I y / I on, sitä helpommin palkki kiepahtaa. I I y > I I y > I I y Kiepahdukseen vaikuttaa myös kuormituksen sijainti palkin poikkileikkauksessa. Kuormitustyypeistä määräävimmän tapauksen antaa vakiomomentti. Kuva. I-proiilin poikkileikkauksen vaikutus. Vakioproiilien poikkileikkausten geometriset suureet saadaan yleensä taulukkotietona. Ellei niitä ole käytettävissä tai kysymyksessä on hitsattu proiili, voidaan poikkileikkauksen avoimen, ohuista levyistä kootun poikkileikkauksen vääntöneliömomentti laskea (likimain) kaavalla It = bt i i i= missä b i on levyosan i leveys t i on levyosan i paksuus. Kaksoissymmetrisen I-proiilin käyristymisjäyhyys saadaan kaavalla I = ω 4 I ht missä h t on laippojen pintakeskiöiden välinen etäisyys. Palkin kiepahduskuorman suuruus riippuu kuormituksesta ja siitä aiheutuvasta momenttipinnan muodosta, sekä palkin tuentatavasta. Palkin kiepahdusvaaraa voidaan pienentää tukemalla palkki sivusuunnassa esimerkiksi orsirakenteilla. Mikäli orsiväli on riittävän tiheä, palkki ei pääse siirtymään sivuun, jolloin palkin taivutuskestävyys voidaan käyttää paremmin hyödyksi. Palkki voi olla päistään tuettu siten, että palkin pituusakselin tapahtuva kiertymä on estetty eli φ = 0, mutta poikkileikkauksen pituussuuntaiset muodonmuutokset pääsevät vapaasti tapahtumaan. Palkin laippojen kiertymistä ei myöskään ole estetty. Tällöin on kysymyksessä ns. haarukkalaakerointi (kuva a) ja vääntömomentti aiheuttaa palkin poikkileikkauksen käyristymisen. Jäykässä kiinnityksessä poikkipinnan käyristymät eivät pääse tapahtumaan ja palkin poikkileikkaustaso tuen kohdalla säilyy tasona (kuva b). Tästä aiheutuu poikkileikkaukseen palkin pituusakselin suuntaisia jännityksiä, joita ei tässä tarkemmin tarkastella.

15 5 Kuva. a) Haarukkalaakeroitu palkin pää b) Jäykkä kiinnitys Sen mukaan, miten palkki on sivusuunnassa tuettu, erotetaan toisistaan vapaa ja sidottu kiepahdus (kuva ) Kuva. Vapaa ja sidottu kiepahdus Ensin mainittu on kyseessä silloin, kun sivuttaistukia on vain pystytukien kohdalla (kuva a). Muulloin on kyseessä sidottu kiepahdus. Puristetun laipan sidonta on tehokkaampaa kuin vedetyn laipan (kuva b). Sidontaa voidaan tehostaa kiinnittämällä siteet (esim. orret) momenttijäykästi laippaan. Jos puristettu laippa on tuettu sivusuunnassa riittävän tiheästi, palkki ei kiepahda.

16 6 KIEPAHDUSMOMENTTI Palkin kiepahdusmitoituksessa on keskeinen asema kimmoteorian mukaan lasketulla kiepahdusmomentilla. Tarkastellaan seuraavaksi sen määrittämistä. Yhden akselin suhteen symmetriselle vakiopoikkileikkauksiselle kimmoteorian mukainen kriittinen kiepahdusmomentti saadaan kaavalla (SFS-ENV 99--, liite F, 99) π EI k Iω ( kl) GIt M cr = C + + ( C g Cs) ( Cg Cs) ( kl) kω I π EI missä C, C ja C ovat tekijöitä, jotka riippuvat kuormituksesta, reunaehdoista ja poikkileikkauksen geometriasta. k ja k ω ovat teholliseen pituuteen liittyviä tekijöitä. g on kuorman vaikutuspisteen ja leikkauskeskiön koordinaattien erotus. g = a s missä a on kuorman vaikutuspisteen koordinaatti leikkauskeskiön (vääntökeskiön) koordinaatti s g on positiivinen alaspäin suuntautuville kuormille, jotka vaikuttavat leikkauskeskiön yläpuolella. Yleisessä tapauksessa g on positiivinen kuormille, jotka vaikuttavat leikkauskeskiötä kohti kuormien vaikutuskohdasta katsottuna. k ja k ω ovat teholliseen pituuteen liittyviä tekijöitä, jotka vaihtelevat arvosta 0,5 täysin jäykkää kiinnitystä käytettäessä arvoon,0 vapaata tuentaa käytettäessä. Tekijä k liittyy pään kiertymiseen tasossa, jolloin k =,0 palkin pään päästessä kiertymään akselin ympäri ja k = 0,5 kiertymän ollessa estetty. Tekijä k ω liittyy pään käyristymiseen. Ellei käyristymistä estetä erityisillä toimenpiteillä k ω :n arvoksi valitaan,0. Em. tekijät saavat arvon 0,7, kun toinen pää on jäykästi kiinnitetty ja toinen pää vapaasti tuettu. Seuraavassa taulukossa on esitetty kertoimet eri tuentatapauksille.

17 7 Taulukko. Tehollisen pituuden kertoimet eri tuentatapauksille. Tuentatapaukset sauvan päissä pystyakselin ympäri tapahtuvan kiertymän suhteen Poikkipinnan käyristyminen estetty sauvan molemmissa päissä Poikkipinta voi käyristyä sauvan molemmissa päissä Kiertymä estetty sauvan molemmissa päissä Kiertymä vapaa sauvan molemmissa päissä Kiertymä estetty vain sauvan toisessa päässä k = 0,5 k ω = 0,5 k =, 0 k ω = 0,5 k = 0,7 k ω = 0,5 k = 0,5 k ω =, 0 k =, 0 k ω =, 0 k = 0,7 k ω =, 0 Poikkipinnan käyristyminen estetty vain toisessa päässä k = 0,5 k ω = 0,7 k =, 0 k ω = 0,7 k = 0,7 k ω = 0,7 Kertoimet C, C ja C voidaan määrittää esinormin taulukoilla F... ja F... (seuraavilla sivuilla) Kannattaa huomata, kaksoissymmetriselle s = 0, josta seuraa π EI k Iω ( kl) GIt M cr = C + + ( C g ) C ( kl) kω I π EI Edelleen, jos sauvaa kuormittaa ainoastaan sauvanpäämomentit ( C = 0 ) tai poikittaiset kuormat vaikuttavat leikkauskeskiössä ( g = 0 ), kiepahdusmomentin kaava yksinkertaistuu muotoon π EI k Iω ( kl) GI t cr = + ( ) ω π M C kl k I EI Päistään haarukkalaakeroidulle palkille ( k = =,0 ) saadaan π EI Iω LGIt cr = + π M C L I EI jos kuormituksena ainoastaan sauvapäämomentit tai poikittainen kuormitus vaikuttaa leikkauskeskiössä. k ω Kertoimelle C on myös olemassa likikaavoja sauvanpäätemomenttien yhteydessä käytettäväksi C =,88, 40ψ + 0,5ψ ψ 0,5 missä ψ on sauvanpäämomenttien suhde. g

18 8

19 9

20 0 KIEPAHDUSKESTÄVYYS Mitoitusehto: M Ed M b,rd, 0 missä M Ed on taivutusmomentin mitoitusarvo M b,rd on kiepahduskestävyyden mitoitusarvo Sivusuunnassa tukemattoman sauvan kiepahduskestävyyden mitoitusarvo lasketaan kaavasta: y Mb,Rd = χlt Wy γ M missä W y on poikkileikkausluokan mukainen taivutusvastus χ LT on kiepahduskestävyyden pienennystekijä. Yleisessä tapauksessa muunnettua hoikkuutta λ LT vastaava pienennystekijä lasketaan kaavasta: χlt = ( χ LT,0) Φ + Φ λ LT LT LT missä Φ LT = 0,5 + αlt ( λlt 0, ) + λ LT α on epätarkkuustekijä (EC:n taul. 6.) LT λ = LT W y M cr y Kimmoteorian mukainen kriittinen momentti M cr kiepahduksessa lasketaan bruttopoikkileikkauksen ominaisuuksien perusteella ottaen huomioon kuormitustilanne, todellinen momenttipinnan muoto ja reunaehdot. M Ed Kun λ LT 0, tai kun 0,04 kiepahdus voidaan jättää ottamatta huomioon ja pelkästään M cr poikkileikkauksen taivutuskestävyyden tarkistaminen on riittävää. Valssattujen ja vastaavien hitsattujen sauvojen kiepahduskäyrät Taivutetuille valssatuille ja vastaaville hitsatuille sauvoille pienennystekijä voidaan laskea seuraavasti: χlt, 0 χlt = mutta Φ LT + Φ LT βλ χlt LT λ LT Φ LT = 0,5 + αlt ( λlt λlt,0 ) + βλ LT missä valssatuille sauvoille λ LT,0 = 0, 4 (EC-NA,FI) β = 0,75

21 Hitsatuille sauvoille λ LT,0 = 0, (EC-NA,FI) β =, 0 Suositeltavat kiepahduskäyrät kaksoissymmetrisille poikkileikkauksille (EC-NA taul. 6.5): Poikkileikkaus Rajat Kiepahduskäyrä Valssatut I-proiilit ja kuumav. rakennep. h/ b < h/ b<, b c Hitsatut proiilit ja kylmämuovatut rakenneputket h/ b < h/ b<, c d Kaikissa muissa tapauksissa käytetään yleistä sääntöä. Pienennyskerrointa voitaisiin korjata momenttipinnan muodosta riippuvalla kertoimella seuraavalla tavalla: χlt χ LT,mod = mutta χlt,mod mutta Suomessa on päädytty arvoon =, joten tällä ei ole vaikutusta. LASKUTEHTÄVIÄ: TEHTÄVÄ. Kuvan palkiksi esitetään proiilia IPE 40. Tarkista palkin taivutuskestävyys (kiepahdus huomioon ottaen) standardin SFS-EN-99-- mukaisesti. Teräslaji on S5. Kuormituksena on tasainen kuorma, jonka mitoitusarvo on q Ed = 6 kn/m. Ylälaippa on sivusuunnassa tukematon ja päät on haarukkalaakeroitu. TEHTÄVÄ. Laske poikkileikkauksen WI x00 kiepahduskestävyys, kun palkin jänneväli on 0m. Palkki on päistään haarukkalaakeroitu ja sen teräslaji on S55. Palkkia kuormittaa tasainen kuormitus. Mikä on suurin kuormitus q, minkä palkin taivutuskestävyys kantaa? Ed

22 TEHTÄVÄ. Kuvan yksinkertaisesti tuettu palkki kannattaa kahta sekundääripalkkia. Palkit on kiinnitetty primääripalkin ylälaippaan ripalevyin siten, että kiinnityspisteissä voidaan otaksua ylälaipalle täysi sivutuenta. Primääripalkin kuormitukset on esitetty alemmassa kuvassa. Valitse palkiksi sopiva taivutuskestävyydeltään riittävä kuumavalssattu proiili, kun teräslaji on S75J. 500 g k = 60 kn/m q = 70 kn/m k TEHTÄVÄ 4. Kuvan vapaasti tuetun palkin proiili on WI60--0x0 ja teräslaji on S75JRG. Tarkista palkin sopivuus taivutuskestävyyden suhteen Eurokoodi :n mukaan, kun palkin kuormituksena on pysyvää kuormitusta 60kN/m ja muuttuvaa kuormitusta 70kN/m. Palkki on tuettu merkityissä kohdissa sivusuunnassa siten, että se ei pääse kiepahtamaan.

23 MITOITUS LEIKKAUKSELLE Lähtökohtana leikkausmitoituksessa on, että uuman suuntaiset osat kantavat leikkausvoiman. Leikkauskestävyyden arvo riippuu siitä, lasketaanko se plastisuusteorian vai kimmoteorian mukaan. Plastisuusteorian mukaisessa tarkastelussa kimmoteorian mukainen leikkausjännityksen maksimiarvo (keskellä uumaa kaksoissymmetrisellä poikkileikkauksella) ei rajoita kestävyyttä, vaan poikkileikkaus voi ottaa vastaan lisää kuormaa, kunnes koko leikkausta kantavan pinta-alan keskimääräinen leikkausjännitys on saavuttanut leikkauslujuuden mitoitusarvon. Leikkauskestävyydessä otetaan lisäksi huomioon myötölujittuminen kertoimen η kautta pinta-alan laskemisessa. Standardin SFS-EN 99-- mukaan leikkauskestävyys voidaan määrittää plastisuusteorian mukaan kaikissa poikkileikkausluokissa, poikkileikkausluokitus koskee poikkileikkauksessa olevia puristusrasituksen alaisia levyosia. Leikkauslommahduskestävyys tarkistetaan erikseen standardin SFS-EN mukaan. Mitoitusehto leikkauskestävyydelle (plastisuusteorian mukaiselle) on VEd, 0 Vpl,Rd Kun vääntöä ei ole, kestävyys V pl,rd lasketaan kaavasta y Vpl,Rd = AV γ M0 missä leikkauspinta-ala A V määritetään osa 99-- kaavoilla, joista tavallisimmin tarvittavat ovat - valssatut I- ja H-proiilit, joissa kuormitus on uuman suuntainen Av = A bt + ( t + r) t - hitsatut I-, H- ja koteloproiilit, joissa kuormitus on uuman suuntainen Av = η ht - valssatut suorakaiteen muotoiset rakenneputket, kun seinämän paksuus on vakio Ah A = v b + h kun kuormitus vaikuttaa korkeuden suunnassa Ab A = v b + h kun kuormitus vaikuttaa leveyden suunnassa Myötölujittumisen huomioon ottava kertoimelle η voidaan käyttää arvoa,0, paitsi kun teräksen lujuusluokka on vähintään S500 tai lämpötila ylittää 400 C. Varmalla puolella olevana arvona voidaan aina käyttää η =, 00. Myötölujittumista ei tietenkään oteta huomioon kimmoteorian mukaisessa mitoituksessa, ei myöskään kohdan 6..6(5) mukaisessa menettelyssä. Kiinnittimien reikiä ei tarvitse ottaa leikkauskestävyyden laskennassa huomioon lukuunottamatta leikkauskestävyyden laskemista liitosalueilla (standardi SFS-EN 99--8). Kyseisessä osassa ei kuitenkaan ole ohjeita reikävähennyksen huomioon ottamiseksi leikkauskestävyyttä laskettaessa. Hitsattujen proiilien käsikirja suosittelee seuraavaa menettelyä:

24 4 Kiinnittimien reikien kohdalla (hitsatuissa I-, H- ja koteloproiileissa) tehdään korjausleikkauspintaaloihin: - kuormitus uuman suuntainen AV = η ( ht) ( d0t) - kuormitus laippojen suuntainen A = A h t d t ( ) ( ) V 0 Jos uuman hoikkuusraja ei edellytä proiilin varustamista poikittaisjäykisteellä tukien kohdalla, täytyy päätytuella tarkistaa jäykistämättömän uuman kestävyys tukireaktiolle. 500 g k = 60 kn/m q = 70 kn/m k ESIMERKKI. Kuvan vapaasti tuetun palkin proiili on WI60--0x0 ja teräslaji on S75JRG. Tarkista palkin leikkauskestävyys Eurokoodi :n mukaan, kun palkin kuormituksena on pysyvää kuormitusta 60kN/m ja muuttuvaa kuormitusta 70kN/m. Palkki on tuettu sivusuunnassa siten, että se ei pääse kiepahtamaan. TEHTÄVÄ Tarkista kuvan palkin leikkauskestävyys standardia SFS.EN 99-- mukaan. Teräksen lujuusluokka on S55. Kuormituksilla on ominaisarvot F k = 80kN ja q k = 0kN/m. Yhdistelykertoimen arvona voidaan käyttää 0,7. Seuraamusluokka on. F k k L F Fk Fk Fk L L L L L F F k k TEHTÄVÄ Mitoita kuvan vapaasti tuettu vesikaton pääkannattaja. Jänneväli L =, 0 m ja orsiväli L =,0 m. Kehäväli on 6m. Teräslaji on S55JRG. Katteen, eristeen ja orsien omapaino on g k = 0, 40 kn/m ja lumikuorma g =,80 kn/m. K FI =, 0. lk

25 5 TEHTÄVÄ. Kuvan palkiksi esitetään proiilia IPE 40. Tarkista palkin taivutuskestävyys (kiepahdus huomioon ottaen) standardin SFS-EN-99-- mukaisesti. Teräslaji on S5. Kuormituksena on tasainen kuorma, jonka mitoitusarvo on q Ed = 6 kn/m. Ylälaippa on sivusuunnassa tukematon ja päät on haarukkalaakeroitu. TEHTÄVÄ. Laske poikkileikkauksen WI x00 kiepahduskestävyys, kun palkin jänneväli on 0m. Palkki on päistään haarukkalaakeroitu ja sen teräslaji on S55. Palkkia kuormittaa tasainen kuormitus. Mikä on suurin kuormitus q, minkä palkin taivutuskestävyys kantaa? Ed

26 6 LEIKKAUSLOMMAHDUS A V b,rd Jos proiilin uuma on tarpeeksi hoikka, se voi lommahtaa leikkausvoiman vaikutuksesta ennen kuin saavutetaan plastisuusteorian mukainen leikkauskestävyys. Lommahdus aiheuttaa leikkausvoiman rasittamassa palkin uumassa jännitysjakautuman muutoksen; uuma ei lommahduksen jälkeen voi kantaa puristusjännityksiä. Hoikissa jäykistämättömissä uumissa, joissa h 7 > ε t η leikkauskestävyys laskee nopeasti plastisuusteorian mukaisesta arvosta hoikkuuden kasvaessa. Näille leikkauskestävyys on y Vc,Rd = Vb,Rd η ht, γ M missä uuman leikkauslommahduksen mitoitusarvo muodostaa kestävyyden V b,rd. Lommahduskestävyys saadaan standardista SFS-EN kaavasta (5.) y Vb,Rd = χ ht γ M missä pienennyskerroin myötölujuudelle ht y saadaan alla olevasta taulukosta Taulukko. Pienennyskerroin χ leikkauslujuudelle Jäykkä päätyjäykiste Ei-jäykkä päätyjäykiste λ < 0,8 η η η 0,8 η λ <,08 0,8 λ 0,8 λ λ, 08, 7 ( 0, 7 + λ ) 0,8 λ

27 7 Vb,Rd V b,rd Vb,Rd a) ei päätyjäykistettä Kuva. Erilaiset päätyjäykisteet b) ei-jäykkä päätyjäykiste c) jäykkä päätyjäykiste Uumalevyn muunnettu hoikkuus on y y λ = 0,76 τ cr τ cr missä τ cr on kimmoteorian mukainen lommahdusleikkausjännitys. Jäykistämättömälle uumalle ( k τ = 5,4, τ cr = ) h λ = 86,4εt josta nähdään, että hoikkuuden kasvaessa pienennyskerroin pienenee ja leikkauskestävyys sen seurauksena pienenee. Hoikan uuman leikkauskestävyyttä voidaan parantaa lisäämällä palkkiin poikittaisjäykisteet, jotka kasvattavat lommahduskestävyyttä ja mahdollistavat vetokentän muodostumisen. Silloin y Vc,Rd = Vb,Rd + Vb,Rd η ht γ M missä V b,rd on uuman kestävyy (lauseke kuten yllä) ja V b,rd on laippojen vapaan kapasiteetin tuoma lisä leikkauskestävyyteen vetokentän muodostumisen yhteydessä, mikä edelleen parantaa leikkauskestävyyttä. Pisteen A tasapainokolmio A Vetokenttä b t V b,rd ybt t b t y h t y N θ t V b,rd Kuva. Vetokenttä palkin uuman päätykentässä.

28 8 Uuman leikkauskestävyyden pienennyskerrointa χ määritettäessä lasketaan uuman muunnettu hoikkuus kaavalla h λ = t 7,4ε k τ missä paikallinen lommahduskerroin k τ lasketaan käyttäen kentän pituutena L jäykisteväliä a. Ylikriittisessä tilassa saadaan lisää kestävyyttä vielä jäykästä päätyjäykisteestä, jolloin pienennystekijä χ alueella λ >, 08 on, 7 χ = 0,7 + λ a) Diagonaali ( vedetty) Vertikaali puristettu ( ) Paarteet Vetokenttä b) h a a a Kuva. Vetokentät jäykistetyssä uumassa ja korvausristikko Vetokentän vaikutus on myös mukana siinä, että laippojen tuoma lisä voidaan ottaa mukaan leikkauskestävyyteen bt y M Ed Vb,Rd =, c γ M M,Rd missä M,Rd on tehollisten laippojen osuus taivutuskestävyydestä ja y laippojen myötölujuus. Tekijä c saadaan kaavasta bt c= a 0, 5 +,6 th y y

29 9 h A A,e,e,, Kuva. Laippojen merkinnät. y y Laippojen taivutusmomenttikestävyys pystyakselin suhteen symmetriselle teholliselle poikkileikkaukselle voidaan määrittää kaavasta y y M,Rd = min h A,e ; h A,e γm0 γm0 Jos palkissa vaikuttaa samanaikaisesti aksiaalinen voima, pienetään laippojen momenttikestävyyden arvoa seuraavalla tavalla N d MN,,Rd = M,Rd ( A,e A,e ) y γ + M0 Kimmoteorian mukaan laskettu levykentän leikkausjännitys lommahduksen tapahtuessa lasketaan kaavasta π E kτ τ cr = ( ν ) ( h t) missä lommahduskerroin k τ voidaan määrittää likimain kaavoilla 5,4 4 h kτ = + kun a h a h kτ = 5,4 + 4 kun a h a Kun välijäykisteitä ei ole ja siis a, antaa ensimmäinen kaavoista lommahduskertoimelle arvon k τ = 5,4. Kun välijäykisteitä käytetään, on varmistettava, että ne ovat riittävän jäykät. Jäykisteiden tehtävänä on taata, että leikkauslommahdus tapahtuu vain yhden kentän alueella sekä siirtää vetokentän voima puristuksena yläpaarteelle. Jäykkyysehto on annettu standardissa SFS-EN Jäykisteen neliömomentin tulee olla täysin jäykkänä pidetylle välijäykisteelle I 0,75h t kun ah > ja st st I, 5h t a kun ah

30 0

31 UUMAN PISTEKUORMAKESTÄVYYS Kestävyys lasketaan kaavalla y Le t F Rd = γ Le M on pistekuorman tehollinen pituus t on uuman paksuus on uuman nimellinen myötölujuus y γ M on kestävyyden osavarmuusluku Tehollinen pituus L e lasketaan kaavoista L = χ l e F y χ = 0,5 / λ,0 F λ = l t F y y cr F / F π E t F k k Et h cr = F = 0,9 F / ( ν ) h joissa h on uuman korkeus E on kimmokerroin χ on paikallisen lommahduksen huomioon ottava tekijä F λ F on muunnettu hoikkuus l y on kyseeseen tulevan jäykän tukipinnan pituuteen s s liittyvä tehollinen kuormituspituus k F on uuman lommahduskerroin pistekuormalle (kts. kuva alla) Pistekuormat voidaan jakaa yllä olevan kuvan mukaisiin tapauksiin: a) kuorma vaikuttaa uhden laipan kautta ja siirtyy uumaan leikkausvoimien välityksellä b) kuorma vaikuttaa yhden laipan kautta ja siirtyy uuman kautta suoaan toiselle laipalle c) kuorma vaikuttaa yhden laipan kautta jäykistämättömän sauvan pään lähellä

32 Lommahduskerroin k F lasketaan yllä olevan kuvan mukaisesti, kun uumassa ei ole pituussuuntaisia jäykisteitä. Jos jäykisteitä on, käytetään kaavoja (6.6) ja (6.7) EC:n osassa -5. Tehollinen kuormituspituus l y lasketaan seuraavasti: m ja m ovat dimensiottomia apusuureita y b m = t m y 0,0 h = t 0 kun λ F > 0,5 m = kun λ F 0,5 joissa on laipan nimellinen myötölujuus y y on uuman nimellinen myötölujuus b t h on laipan leveys on laipan paksuus on uuman korkeus Valinta apusuureelle m on tehtävä iteroimalla. Kotelopoikkileikkauksilla laipanleveys b rajoitetaan arvoon 5ε t uuman kummallekin puolelle. Pistekuormalle määritetään jakaantumispituus ensin. Jakaantumispituudelle s s voidaan yllä olevan kuvan perusteella johtaa seuraavat kaavat: - kuorma valssatulta proiililta s = t + t + a kuorma hitsatulta proiililta - s - s ( ) s = t+ r kuorma rakenneputkelta, nurkassa hitsitäyte i Tapauksille a) ja b) edellisen sivun kuvassa mitta l y lasketaan kaavasta ( ) ly = ss + t + m+ m a missä a esitetään edellisen sivun kuvassa.

33 Kuvan tapauksessa c) on pienempi seuraavien kaavojen arvoista: m le y = e t l l t m ly = le + t m+ m Mitta l e lasketaan ket F le = ss + c yh (c on esitetty tapauksen c kuvassa) LAIPAN TAIPUMISESTA JOHTUVA LOMMAHDUS Jos proiilin uuma on riittävän hoikka, puristettu laippa voi lommahtaa uuman tasossa. Tämä johtuu siitä, että hoikka uuma ei pysty tukemaan laippaa riittävästi. Ohutuumapalkin mitoituksessa ilmiöön on syytä kiinnittää huomiota. Lommahtamisen estämiseksi hoikkuuden on toteutettava seuraava ehto: h E A k t y Ac,e missä k on 0, PL laipoille 0,4 PL laipoille 0,55 PL ja PL4 laipoille A c,e on puristetun laipan tehollinen pinta-ala y on puristetun laipan myötölujuuden ominaisarvo Kaarevalle kannatimelle lasketaan vastaava hoikkuuden raja-arvo standardin SFS-EN kohdan 8() mukaan.