Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä.

Transkriptio

1 Koska varsinkin toistensa suhteen liikkuvien kappaleiden liikkeen esittäminen suorastaan houkuttelee käyttämään vektoreita, mutta koska ne eivät kaikille ehkä ole kuitenkaan niin tuttuja kuin ansaitsisivat, niin laitanpa lyhyen katsauksen niihin jo tässä. Pitkää juttua niistä ei oikein saa: ne ovat vain yksinkertainen, merkinnällinen juttu. Laitan sen ison otsakkeen alle, kun se ei oikein hyvin sovi minkään muun asian yhteyteen vaan mieluummin omaksi rupeamakseen. Vektoreita ja skalaareja Vektori käsitteen avulla yhteen olioon saadaan sekä suuruus että suunta. Vektoreita voi myös ajatella kätevänä keinona ujuttaa fysiikan tarkasteluihin mukaan koordinaatit mahdollisimman sujuvasti ja siten myös lukion matematiikan kursseissa niin laajassa käytössä oleva analyyttinen geometria eli asioitten esittäminen xy -koordinaatistossa tai joskus xyz -koordinaatistossa. Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä. Eli siis mitä?! Vektorien käytön oppii harjoittelemalla. Sen verran voin sanoa heti, että ne ovat paljon yksinkertaisempi juttu kuin uskot. Juuri siksi niistä on niin vähän sanottavaa. Piirroksiin vektori merkitään janalla, jonka suunta näytetään nuolen kärjellä. Esimerkiksi on pieni vektori, samoin ja vielä. Normaali käytäntö on, että piirroksissa vektorin pituus on suoraan verrannollinen sen suureen lukuarvoon, jota vektori esittää. Näin varsinkin vapaakappalekuvissa eli voimakuvissa. Vektorilla ei ole mitään määrättyä yhtä paikkaa, mutta yleensä se piirretään asian kannalta mahdollisimman havainnolliseen kohtaan. Silloin kun tarvitaan sekä vektoreita että ihan tavallisia lukuja joko yksiköllä varustettuna tai ilman, niin viimeksi mainittuja siis lukuja yksiköillä tai ilman yksiköitä sanotaan skalaareiksi. Sana skalaari on vain uusi nimi sinulle ennestään tutulle käsitteelle. Ajattele ihan tavallista xy tasoa. Ripusta se pystyyn sillä tavalla, että y -koordinaatti kasvaa ylöspäin ja origo on maassa ja x -koordinaatti osoittaa hmm jonnekin. Tähän oikeastaan kuuluisi mukaan myös z koordinaatti, jos kerran x koordinaattikin, mutta olkoon. Ajattele sitten taivaalta kohtisuoraan alas putoavaa sadepisaraa tässä koordinaatistossa. Jos se on aloittanut matkansa vaikkapa 600 merin korkeudelta pilvestä, niin sen y koordinaatti oli hetkellä nolla 600 metriä. Alkukiihdytyksen jälkeen, kun ilmanvastus ja painovoima ovat saavuttaneet 1(8)

2 tasapainon, vesipisaran putoamisvauhti asettuu johonkin lukemaan, joka säilyy alas asti. Sanotaan vaikka, että tuo nopeus on 8 m/s ja että pisara on saavuttanut sen viimeistään 300 metrin kohdalla. Sen nopeus on siis 8 /m/s ainakin 300 metrin kohdalla ja siitä alaspäin. Pisaran nopeuden eli nimenomaan pisaran nopeusvektorin suuruus on siis tuosta haamurajasta alkaen 8 metriä sekunnissa ja sen nopeuden suunta on suoraan alas: Vektorin symboliin lisätään usein merkintä siitä, että kyseessä on nimenomaan vektori. Tämä seikka ilmaistaan kirjainsymbolin yläpuolelle lisättävällä vaakaviivalla v tai nuolella v tai kirjoittamalla kirjainsymboli vahvennettuna tai eri värillä kuin teksti. Minä käytän tällä kurssilla vahvennusta silloin kun nuoli on ohjelman rajoituksista johtuen liian hankala käyttää. Vektorimerkintä v Vektori merkitään nuolella kuten v tai vahvennuksella v. Maan pinnalla oleva tarkkailija voisi kirjoittaa tämän muodossa v = 8 m/s. Tässä miinusmerkki viittaa siihen, että pisaran korkeus maasta vähenee, pisara tulee kohti tai muuta sellaista muutoksen vähenevää suuntaa kuvaavaa asiaa. Jos havaitsija on puolestaan korkealla maasta ja pisara on jo ohittanut hänet, pisaran etäisyys hänestä kasvaa, jolloin hän saattaisi kirjoittaa nopeuden mieluummin muotoon +8 m/s. Kyseessä on siis näkökulman tai koordinaatiston ja sen kasvusuunnan valinta. Ajatellaan esimerkin vuoksi, että kun pisara ehtii 50 metrin korkeuteen, se joutuu tuleen, jonka suuruus on 12 m/s. Tuuli puhaltaa vaakasuoraan koillisesta. Tuulen nopeuden suuruus on siis 12 m/s, mutta miten sen suunta ilmaistaan niin, että sen voi liittää laskuihin? Sen hetki sitten pystyyn ripustetun koordinaatiston x -akselin suunta on kiinnitettävä eli valittava: valitaan x -akselin kasvun suunta koilliseksi. Koska x kasvaa siis mentäessä kohti koillista ja tuuli etenee vastakkaiseen suuntaan, niin myös tuulen nopeuden merkiksi tässä valitussa koordinaatistossa tulee miinus: 12 m/s. Tässä niin kuin monessa muussakin asiassa kiinnostavaa on tietää kappaleen kannalta asiaan 2(8)

3 kuuluvien liikkeitten yhteisvaikutus. Silloin ensin mieleen tuleva asia on komponenttien laskeminen yhteen. Mutta pisaran nopeus ja tuulen nopeus eivät ole yhteismitalliset, koska ne ovat eri suuntaiset. No tehdään niistä yhteismitalliset! Otetaan mukaan merkintään tieto niitten liikkeen suunnasta. Pisara putoaa siis 8 metriä sekunnissa. Valitaan koko koordinaatiston yksiköksi metri. Silloin pisaran putoamista kuvaava piirturi piirtää pisteen kahdeksan metriä edellisen alapuolelle aina sekunnin väliajoin. Tämä asia kerrotaan vektorin avulla merkinnällä 8 m s j. Tässä j kertoo, että y -akselin suuntaan eli se on y:n suuntainen yksikkövektori. Seuraava kuva esittää pisaran nopeusvektoria: Kirjaimen yläpuolella oleva hattu kertoo siis, että kyseessä on yksikkövektori, kirjaimet i, j ja k on puolestaan varattu kertomaan, mistä suunnasta on kysymys. Yksikkövektorin pituus on tasan yksi. Jos y:n suuntaiseksi yksikkövektoriksi oli jostain syystä valittu vektori, jonka pituus on 2 olkoon r sellainen niin pisaran nopeus olisikin 4 m s r. Yksikkövektorin merkintä Hatullinen vektori on yksikkövektori. Yksikkövektori Yksikkövektorin pituus on 1. 3(8)

4 Vastaavasti x:n suuntainen yksikkövektori on i ja yksikkö siis metri, kuten edellä viitattiin. Täten tuulen nopeus on 12 m s i ja tuulen nopeusvektori on: Loogisena operaationa plus on merkitykseltään tai ja kertominen on ja. Huomaa, että vektorin kuvan pituus kuvaa vektorin oikeaa pituutta. Huomaa, että jos vektori ei ole yksikkövektori tai jos ei haluta ottaa kantaa siihen, onko se yksikkövektori, vektoria merkitään joko kirjoittamalla sen kirjaimen yläpuolelle joko vasemmalta oikealle osoittava nuoli tai pelkkä vaakaviiva tai se merkitään jollain muulla edellä kuvatulla tavalla vektoriksi. Koska tuuli vaikuttaa pisaran liikkeeseen, Maan pinnalla oleva tarkkailija havaitsee pisaran liikkeen ilman liikkeen hänen itsensä suhteen ja pisaran liikkeen ilman suhteen summana. Hänen kannaltaan pisaran nopeusvektori on 12 m s i 8 m s j, kun ajatellaan yksinkertaistetusti, että tuulen liike menee sellaisenaan myös pisaran liikkeeseen. Millä vauhdilla pisara sitten osuu tarkkailijamme naamaan? Sen meille kertoo Pythagoras! Piirretään vektorit peräkkäin niitten suunnat säilyttäen siten, että toinen alkaa siitä, mihin toinen päättyy. Vektorien järjestyksellä ei ole väliä: on sama kuin Täydennetään kuvio suorakulmaiseksi kolmioksi yhdistämällä peräkkäisten vektorien alku- ja 4(8)

5 loppupisteet uudeksi vektoriksi. Tällä tavoin saatua summavektoria kutsutaan resultantiksi. Resultantin kannalta ei ole väliä, kummassa järjestyksessä vektorit ovat. Merkitään resultanttia nyt r :llä. r Resultantin pituus, jota merkitään r, on = 208 eli noin 14,4 metriä sekunnissa. Pisara osuu tarkkailijan kasvoihin 14,4 metrin nopeudella sekunnissa. Resultantti voi olla kuinka monen vektorin summa tahansa, ei välttämättä vain kahden. Kun resultanttia haetaan, vektorit voi piirtää missä järjestyksessä tahansa eli niitä voi siirrellä mielin määrin, mutta niitten suunta ja suuruus on säilytettävä. Resultantin pituus lasketaan trigonometrisesti tai suoraan Pythagoraan lauseen avulla. Tällä kurssilla et tarvitse 9. luokan taitoja laajempia trigonometrian tietoja. Vektorin x -akselin ja y -akselin (ja z -akselin) suuntaisia osia sanotaan vastaavasti vektorin x -akselin ja y -akselin suuntaisiksi komponenteiksi. Äskeisen resultanttivektorin komponentit ovat 12 m/s ja 8 m/s. Komponentin käsitettä tarvitaan enemmän myöhemmin, kun voima jaetaan eri suuntaisiin komponentteihin. Ainoat vektorioperaatiot, jotka tätä kurssia varten kannattaa opetella, ovat vektorien yhteen- ja vähennyslasku sekä vektorin jakaminen ja kertominen reaaliluvulla. Näitten lisäksi tarvitset toki myös taitoa laskea vektorin pituus. Olkoon r vektori, jonka x ja y akselin suuntaiset komponentit ovat x r ja y r. Silloin vektorin r pituus, jota merkitään r, on Vektorin r=x a i ya j pituus on r = x 2 2 r y r Olkoot x ja y kaksi vektoria sekä a ja b kaksi reaalilukua. Silloin 5(8)

6 a b x=a x b x a x y =a x a y 0 x= 0 = nollavektori vektorin x vastavektori x, jos x x= 0 ja x= 1 x. Vastavektori on yhtä pitkä kuin itse vektori, mutta vastakkaissuuntainen. x = vektorin x pituus Vaihekulma: a x = a x ; tässä a on reaaliluvun a itseisarvo ja x on vektorin x pituus. Jos tässä a < 0, niin vektori a x vastakkaissuuntainen kuin x ja jos a > 0, niin vektorit ovat yhdensuuntaiset. x = 1 x x =1, siis: kun vektori jaetaan pituudellaan, saadaan ykkösen pituinen vektori; nyt x 0 x =0 x= 0 nollavektorin pituus = 0 = 0 6(8)

7 suuntakulma Vektori voidaan esittää myös pituutensa ja vaihekulmansa eli suuntakulmansa avulla. Vaihekulman nollasuunta on positiivisen x -akselin suunta suuntakulma ja vaihekulma kasvaa vastapäivään. Se on aina 180 asteen ja 180 asteen välillä. Yllä oleva kuvapari esittää kahta suuntakulmaa. Vasemmanpuoleinen kuva esittää suuntakulmaa, joka on välillä [0 ;90 ] ja oikeanpuoleinen suuntakulmaa, joka on välillä [ 180 ; 90 ]. Lasketaan esimerkkinä äskeisen vesipisaran suunta. Ohessa on edellä ollut kuva lisämerkinnöin uudestaan: α Koska nopeudet eli vektorien pituudet olivat 12 ja 8, on tan = 12 8, josta α = 56. Vaihekulma on siis 146. Kulma α eli 56 astetta on tietenkin se kulma, jossa havaitsijamme väittää veden tulevan. Muita mahdollisia suuntakulmia ovat esimerkiksi: 7(8)

8 Kuvan suuntakulmat ovat järjestyksessä vasemmalta oikealle ja ylhäältä alas: 0, 180 = +180, +90, 90, +45 ja 45. Jos tarvitset vektorin suuntaa, niin voit kaikessa rauhassa itse valita suunnan, jonka valitset perussuunnaksi aina tilanteen mukaan. Muista kuitenkin aina määritellä yksiselitteisesti myös referenssisuunta niin kuin muutkin koordinaatistoon liittyvät seikat. Myöhemmin laskettavat esimerkit tarjoavat lisävalaistusta vektorien käyttöön. 8(8)