Lineaarialgebra b, kevät 2019
|
|
- Juha Ahonen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Lineaarialgebra b, kevät 2019 Harjoitusta 5 Maplella with(linearalgebra): Määritellään sääntö L L := u - 3*u[2] + 2*(u[1]-4*u[2])*x - (u[1]+2*u[3])*x^2; u := Vector([u1,u2,u3]); v := Vector([v1,v2,v3]); (1) (2) L(u); # toimiiko? (3) Tehtävä 1. Lineaarinen bijektio? Kyllä! Edellä oleva sääntö todella määrittelee funktion R^3 --, jotka ovat R-kertoimisia lineaariavaruuksia. Lineaarisuusehdon (iii) mukaan: Määritellään muuttuja x reaaliseksi, samoin skalaarit a ja b assume(x, real); assume(a, real); assume(b, real); Onko nyt L(au + bv) = al(u) + bl(v)??? vasen := L(a*u + b*v); (1.1) oikea := a*l(u) + b*l(v); # tämä sentään vähän parempi: (1.2) Kootaan muuttujan x potenssien mukaan: simplify(vasen); (1.3) simplify(oikea); (1.4) Lineaarisuusehdon (iii) puoliskot vasen ja oikea ovat siis samat, joten on lineaarinen. Lasketaan ydin ker L, eli vektorit, jotka kuvautuvat nollapolynomille: L(u) = 0; missä kertoimien on oltava nollia (ratkeaa helposti käsinkin): solve({3*u[2] = 0, 2*(u1-4*u2) = 0, -(u1 + 2*u3) = 0}); Lauseen mukaan L on injektio, koska vain nollavektori kuvautuu nollapolynomille. (1.5) (1.6)
2 Koska lähtö- ja maaliavaruudet ovat samaa dimensiota (3), L on myös bijektio (Lause ). Tehtävä 2. L:n matriisi ja vektorin kuva Avaruuden R^3 luonnollisen kannan E kuvat: L(Vector([1,0,0])); L(Vector([0,1,0])); L(Vector([0,0,1]));? Näistä nähdään helposti esitykset maalipuolen järjestetyssä luonnollisessa kannassa F = : = 0*1 + 2*x + (-1)*x^2 = 3*1 + (-8)*x + 0*x^2 = 0*1 + 0*x + (-2)*x^2 Poimitaan "riveiltä" kertoimet matriisin sarakkeiksi: A[L] := Matrix([[0,3,0],[2,-8,0],[-1,0,-2]]); (2.1) (2.2) (2.3) (2.4) Vektorin u = (6 2 3)^T koordinaatit luonnollisessa kannassa E ovat = (6 2 3)^T, joten kuvan L (u) koordinaatit kannassa F saadaan kertomalla vasemmalta matriisilla kuvankoordinaatit := Multiply(A[L],Vector([6,2,3])); (2.5) ja nyt nämä kertoimiksi F:n lineaarikombinaatioon Multiply(Transpose(kuvankoordinaatit), Vector([1,x,x^2])); (2.6) Tehtävä 3. Kantoja? Siirtomatriisi ym. a) Määritellään annetut vektorit Mapleen: u1 := Vector([2,3,2]); u2 := Vector([1,2,2]); u3 := Vector( [2,3,4]);
3 (3.1) v1 := Vector([4,6,5]); v2 := Vector([0,3,1]); v3 := Vector( [4,1,2]); (3.2) Kirjoitetaan vektorijoukot listoiksi, jotta järjestys säilyy ja voidaan muodostaa matriisit: U := [u1,u2,u3]; (3.3) V := [v1,v2,v3]; (3.4) Muodostetaan niistä matriisit ja lasketaan determinantit: AU := Matrix(U); Determinant(AU); 2 AV := Matrix(V); Determinant(AV); (3.5) (3.6) Vektorijoukot ovat kantoja, koska niistä muodostetut matriisit ovat säännöllisiä (det ei nolla). Muodostetaan siirtomatriisi tuntemattomasta matriisista S := Matrix(3, 3, symbol = s);
4 (3.7) Muodostetaan vektoriyhtälöt, joiden mukaisesti lähtökannan U vektorit esitetään maalipuolen V kannassa Muunnetaan nämä (Maplen mieliksi, helpottaen myös manipulointia vektoriyhtälöstä yhtälöryhmäksi) erotuksiksi, joiden pitää olla nollia: erotus[1] := u1 - (s[1,1]*v1 + s[2,1]*v2 + s[3,1]*v3); erotus[2] := u2 - (s[1,2]*v1 + s[2,2]*v2 + s[3,2]*v3); erotus[3] := u3 - (s[1,3]*v1 + s[2,3]*v2 + s[3,3]*v3); (3.8) Temppuillaan näistä yhtälöryhmät (kukin alkio = 0): YR1 := {seq(erotus[1][k] = 0, k=1..3)}; YR2 := {seq(erotus[2][k] = 0, k=1..3)}; YR3 := {seq(erotus[3][k] = 0, k=1..3)}; (3.9)?subs Ratkaistaan näistä kukin: Sarake1 := solve(yr1); Sarake2 := solve(yr2); Sarake3 := solve(yr3);
5 (3.10) alkiot := Sarake1 union Sarake2 union Sarake3; # kootaan ratkaisutiedot joukoksi (3.11) S := subs(alkiot,s); # sijoitetaan matriisiin S: (3.12) Toinen tapa olisi ratkaista kaikki kolme yhtälöryhmää kerralla asettamalla kaikki U:n sarakkeet yhtälöryhmän oikealle puolelle (vrt. luentomonisteen Lause?, etsi!). LaajMatr := Matrix([v1,v2,v3,u1,u2,u3]); (3.13) ReducedRowEchelonForm(LaajMatr); (3.14) Näin saadaan vasemmaksi osaksi I ja oikealle S! b) Vektorin x koordinaatit kannassa U ovat nähtävissä suoraan (!) x_u := Vector([1,2,-3]); (3.15) x_v := Multiply(S,x_U); (3.16)
6 (3.16) Tehtävä 4. Siirtomatriisi polynomiavaruuksissa restart; with(linearalgebra): Kannat ovat siis E := { 1, x, x^2, x^3 } ja F := { 1 + x, x, x^2-1, x^3 + x }, ja siirtoa kannasta E kantaan F kysytään, samoin toisinpäin. Pidetään kantavektorit järjestyksessä pistämällä ne listoiksi: E := [1, x, x^2, x^3]; F := [1 + x, x, x^2-1, x^3 + x]; Merkitään polynomeja Maple-funktioina, samalla voidaan pitää niiden järjestys fiksattuna: p[1] := x - 1; p[2] := x - x; p[3] := x - x^2; p[4] := x - x^3; (4.1) q[1] := x - 1+x; q[2] := x - x; q[3] := x - x^2-1; q[4] := x - x^3+x; (4.2) (4.3) Nyt lähtökannan E polynomit pitää esittää kannassa F, jotta saadaan siirtomatriisi S: S := Matrix(4,4,symbol = s); (4.4) p[i] = s[1,i]*q[1] + s[2,i]*q[2] + s[3,i]*q[3] + s[4,i]*q[4] ; # kaikilla x in R (4.5) polynomiyhtalot := [seq(subs(i = j,
7 s[1,i]*q[1](x) + s[2,i]*q[2](x) + s[3,i]*q[3](x) + s[4,i]*q [4](x) = p[i](x)), j = 1..4)]; # käännetään yhtälöt toisinpäin (4.6) Ryhmitellään: collect(expand(polynomiyhtalot),x); # koska Maple ei näköjään avaa polynomeja p! (4.7) Poimitaan tästä ihan "käsin" ne yhtälöryhmät, joista luvut saadaan: YR1 := {s[4,1] = 0, s[3,1] = 0, s[1,1] + s[2,1] + s[4,1] = 0, s[1,1] - s[3,1] = 1}; Sarake1 := solve(yr1); YR2 := {s[4,2] = 0, s[3,2] = 0, s[1,2] + s[2,2] + s[4,2] = 1, s[1,2] - s[3,2] = 0}; Sarake2 := solve(yr2); YR3 := {s[4,3] = 0, s[3,3] = 1, s[1,3] + s[2,3] + s[4,3] = 0, s[1,3] - s[3,3] = 0}; Sarake3 := solve(yr3); YR4 := {s[4,4] = 1, s[3,4] = 0, s[1,4] + s[2,4] + s[4,4] = 0, s[1,4] - s[3,4] = 0}; Sarake4 := solve(yr4); (4.8) (4.9) (4.10) (4.11) (4.12) (4.13) (4.14) (4.15)
8 Nyt liitetään saadut sarakkeet matriisiin S_EF ja tulostetaan ne näkyviin: alkiot := Sarake1 union Sarake2 union Sarake3 union Sarake4; (4.16) S_EF := subs(alkiot,s); # Tään pitäis olla kysytty S_EF: (4.17) Tarkastetaan, että todella toimii: P := x - a + b*x + c*x^2 + d*x^3; (4.18) P_E := Vector([a,b,c,d]); # polynomin koordinaatit kannassa E: (4.19) P_F := Multiply(S_EF, P_E); # koordinaatit kannassa F: (4.20) Nyt rakennetaan lopulta itse esitys F[1]*P_F[1] + F[2]*P_F[2] + F[3]*P_F[3] + F[4]*P_F[4]; (4.21) expand(%); # pitäs tulla alkuperäinen P(x): (4.22) Ja lopulta siirtomatriisi S_FE kannasta F kantaan E käänteismatriisilla: S_FE := MatrixInverse(S_EF); (4.23) Tehtävä 5. Sisätuloavaruus
9 restart; with(linearalgebra): on reaalikertoiminen lineaariavaruus. Merkitään kyseistä sisätuloehdokasta Maplessa säännöllä ST: ST := (p,q) - p(0)*q(0) + p(1)*q(1) + p(2)*q(2); Kyseessä on selvästi funktio x -- R. Sisätulon muut aksioomat: ST(p,p) = 0; # onko = 0? (5.2) Reaalilukujen neliöiden summana on, ja jos ja vain jos p(0) = p(1) = p (2) = 0. Mutta kyseessä oli toisen asteen polynomit, joilla voi olla 3 nollakohtaa vain, kun kaikki kertoimet ovat nollia, eli kun kyseessä on nollapolynomi, siis avaruuden nollavektori. ST(p,q) = ST(q,p); is(st(p,q) = ST(q,p)); (5.1) true assume(c,real): assume(d,real); ST(c*p + d*q,r); # toimii ihan hullusti! ST(x - c*p(x) + d*q(x),r); vasen := expand(%); c*st(p,r) + d*st(q,r); oikea := expand(%); (5.3) (5.4) (5.5) (5.6) (5.7) (5.8) vasen - oikea; 0 (5.9) Siis on sisätuloavaruus. Tehtävä 6. Toinen kolmioepäyhtälö Merkintä <= tarkoittaa "pienempi tai yhtä suuri kuin". Vihjeen innoittamana: koska u = (u + v) + (- v), saamme tavallisen kolmioepäyhtälön avulla (<= on "pienempi tai yhtäsuuri kuin") u <= u + v + -v = u + v + v, josta u - v <= u + v. (*) Samoin - vaihtamalla roolit - v <= v + u + -u = u + v + u ja siten myös -( u - v ) = v - u <= u + v. (**) Mutta (*) ja (**) yhdessä tarkoittavat, että u - v <= u + v. Tehtävä 7. Epäyhtälöarvioita Merkintä <= tarkoittaa "pienempi tai yhtä suuri kuin". a) 3u - 4v = 4(u - v) - u, joten kolmioepäyhtälön ja normin ominaisuuksien mukaan 3u - 4v = 4(u - v) + (- u) <= 4(u - v) + - u = 4 (u - v) + -1 u = 4 (u - v) + u missä on käytetty tavallis(in)ta normi- -epäyhtälöä. b) Vastaavaan tapaan kuin a), mutta nyt tarvitaan termi 3(u - v)
10 3u - 4v = 3(u - v) - v, joten kolmioepäyhtälön ja normin ominaisuuksien mukaan 3u - 4v = 3(u - v) + (- v) <= 3(u - v) + - v = 3 (u - v) + -1 v = 3 (u - v) + v Tehtävä 8. Epäyhtälöarvioita Muuttujien suhteen lineaarisuudesta saadaan: <3u - 4v, 4u - 3v = <3u + (-4v), 4u+(-3v) = <3u, 4u+(-3v) + <(-4v), 4u+(-3v) = 12<u, u + (-9)<u, v + (-16)<v, u + 12<v, v Vaihdannaisuuksien avulla saadaan normimerkinnöin <3u - 4v, 4u - 3v = 12( u ^2 + v ^2) + (-25)<u, v Tavallisen kolmioepäyhtälön mukaan ja ottaen huomioon ei-negatiivisuudet: <3u - 4v, 4u - 3v = 12( u ^2 + v ^2) + (-25)<u, v <= 12( u ^2 + v ^2) + (-25)<u, v = 12( u ^2 + v ^2) + 25 <u, v Schwarzin epäyhtälön mukaan edelleen: <= 12( u ^2 + v ^2) + 25 u v
Lineaarialgebra b, kevät 2019
Lineaarialgebra b, kevät 2019 Harjoitusta 4 Maplella with(linearalgebra); (1) Tehtävä 1. Lineaarisia funktioita? a) Asetelma on kelvollinen: lähtö- ja maalijoukko on R-kertoiminen lineaariavaruus ja L
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
Lisätiedot2.8. Kannanvaihto R n :ssä
28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit
LisätiedotLineaarialgebra b, kevät 2019
Lineaarialgebra b, kevät 2019 Harjoitus 2 (ratkaisut osittain Maplella laskien) with(linalg): # linalg-paketin lataus Tehtävä 1. Suhteellisten nopeuksien algebraa: Yhteenlasku Määritellään (taas dyadiseksi)
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotLineaarialgebra a, kevät 2019 Harjoitus 6 (ratkaisuja Maple-dokumenttina) > restart; with(linalg): # toteuta ihan aluksi!
Lineaarialgebra a, kevät 2019 Harjoitus 6 (ratkaisuja Maple-dokumenttina) restart; with(linalg): # toteuta ihan aluksi! Tehtävä 1. Säännöllisyys yhdellä yhtälöllä Koska matriisit A ja B ovat neliömatriiseja
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0
MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
Lisätiedot1. Normi ja sisätulo
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
Lisätiedot802118P Lineaarialgebra I (4 op)
802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
Lisätiedot1 Kannat ja kannanvaihto
1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO Syksy 2017 LINEAARIALGEBRA 1 / 59 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
Lisätiedot2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Lisätiedot5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 60 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Contents 1 Lineaarikuvaus 2 1.1 Määritelmä............................ 2 1.2 Matriisiesitys/Matrix
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotAlkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2
LisätiedotYleiset lineaarimuunnokset
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................
LisätiedotLineaarialgebra a, kevät 2018 Harjoitusta 5 Maplella
Lineaarialgebra a, kevät 2018 Harjoitusta 5 Maplella Tehtävä 1. Determinantti = 0, kun 2 samaa saraketta restart; with(linalg): Induktiotodistus matriisin koon ( ) suhteen. Väite. Jos ja n x n -matriisissa
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy 2016
MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 7 Onko kuvaus F : R R, F(x 1,x = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen Jos ei ole, niin
LisätiedotOppimistavoitematriisi
Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä ja yhtälöpareja Osaan muokata
Lisätiedotominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja
LisätiedotLineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg
Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
LisätiedotLineaarialgebra a, kevät 2018
Lineaarialgebra a, kevät 2018 Harjoitusta 4 Maplella restart; with(linalg): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Osassa seuraavista on temppuiltu Maplella, eikä
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
LisätiedotDemorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot
Lisätiedoti=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 003. 8.0.003 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni.. Normi
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
Lisätiedot8 KANNAT JA ORTOGONAALISUUS. 8.1 Lineaarinen riippumattomuus. Vaasan yliopiston julkaisuja 151
Vaasan yliopiston julkaisuja 151 8 KANNAT JA ORTOGONAALISUUS KantaOrthogon Sec:LinIndep 8.1 Lineaarinen riippumattomuus Lineaarinen riippumattomuus on oikeastaan jo määritelty, mutta kirjoitamme määritelmät
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotYhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
Lisätiedot2 / :03
file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / 8 76 3:3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } yhteenlasku ja skalaarikertolasku seuraavasti:
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLINEAARIALGEBRA. Harjoituksia/Exercises 2017 Valittuja ratkaisuja/selected solutions
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 Valittuja ratkaisuja/selected solutions 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n )
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotTehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotTehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.
Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 9
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden
Lisätiedot