JUHA LAITINEN KVATERNIOT DIPLOMITYÖ

Transkriptio

1 TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknis-luonnontieteellinen osasto JUHA LAITINEN KVATERNIOT DIPLOMITYÖ Aihe on hyväksytty osastoneuvoston kokouksessa Tarkastajat: professori Sirkka-Liisa Eriksson, professori Seppo Pohjolainen

2 ALKUSANAT Olen tehnyt diplomityön Tampereen teknillisen yliopiston matematiikan laitoksella. Esitän kiitokseni työn tarkastajille, professori Sirkka-Liisa Erikssonille, jonka ajatusten pohjalta innostuin aiheesta ja koko työ sai alkunsa, sekä professori Seppo Pohjolaiselle. Omaa perhettäni kiitän taustatuesta. Tampereella Juha Laitinen Nurmitie LAPUA puh

3 SISÄLLYSLUETTELO TIIVISTELMÄ JOHDANTO KVATERNIOIDEN HISTORIAA Kokonaisluvuista kompleksilukuihin William Rowan Hamilton Nuoruusvuodet Yliopistouran alkuvaiheet Kompleksilukujen täsmällinen määrittely Yritykset laajentaa luvun käsite kolmanteen ulottuvuuteen Siirtyminen neliulotteiseen avaruuteen Loppuelämä Kvaternioiden löytämisen merkitys KVATERNIOT Hyperkompleksiluvut Kvaternioiden perusominaisuudet Kvaterniot ja vektorit Kvaternioiden algebraa Kvaternioiden alialgebrat Kvaternioiden matriisiesitys ROTAATIOT Matriisiryhmät Rotaatiot kaksiulotteisessa avaruudessa 4. Rotaatiot kolmiulotteisessa avaruudessa R R Peilaus ja isometria Kvaterniot ja rotaatiot avaruudessa R Rotaatiot neliulotteisessa avaruudessa H KVATERNIOT TIETOKONEGRAFIIKASSA Homogeeniset koordinaatit Eulerin kulmat

4 4 5.. Parametrisoinnin ongelmia Gimbal lock -ilmiö Kahden suunnan välinen interpolaatio (SLERP) Virheellinen lähestymistapa Yksikkökvaternioiden interpolointi Kvaternioiden edut tietokonegrafiikassa YHTEENVETO LÄHDELUETTELO

5 5 Tiivistelmä TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknis-luonnontieteellinen osasto Matematiikan laitos Laitinen Juha : Kvaterniot Diplomityö, 80 sivua Tarkastajat: professori Sirkka-Liisa Eriksson, professori Seppo Pohjolainen Käsitellään osastoneuvostossa syyskuussa 005 Tässä diplomityössä on käsitelty kvaternioita. Kvaterniot ovat muotoa t + xi + yj + zk olevia lukuja, missä t, x, y ja z ovat reaalisia kertoimia. Kvaterniot muodostavat assosiatiivisen jakoalgebran H, joka on antikommutatiivinen kertolaskun suhteen. Kvaternioiden keksiminen on tulosta luvun merkityksen sinnikkäästä ja pitkäaikaisesta etsimisestä. Lukujoukkojen laajennusten taustalla luonnollisten lukujen joukosta N kompleksilukujen joukkoon C on aina ollut ratkeamaton yhtälö. Kvaternioiden keksimisen perusteena ei ollut kuitenkaan enää ratkeamaton yhtälö vaan kompleksilukujen laajentaminen reaalilukuparista ( a, b ) reaalilukukolmikoksi (,, ) a b c, jonka avulla voitaisiin esittää kolmiulotteisia kiertoja. Vuonna 84 William Rowan Hamilton ymmärsi, että reaalilukukolmikkojen sijasta olikin tarkasteltava reaalilukunelikköjä eli kvaternioita, jotka ovat muotoa ( t, x, y, z) = t + xi + yj + zk olevia lukuja. Kvaternioille pätee kaava i = j = k = ijk = eli kvaternioiden kertolasku ei ole vaihdannainen. Kvaterniot edesauttoivat niin sanottua algebran vapautumista. Algebran vapautumisella tarkoitetaan sitä, että matematiikka on vapaa rakentamaan uuden algebran, jonka ei tarvitse noudattaa kaikkia reaali- tai kompleksilukujen kunnan aksioomia. Kvaterniot ovat neliulotteinen assosiatiivinen jakoalgebra H, johon avaruus R sisältyy upotettuna. Kvaternioalgebralla on yhteys vektorialgebraan. Kvaternioiden avulla voidaan yksinkertaistaa vektorialgebran todistuksia. Neliulotteisten kvaternioiden avulla voidaan esittää rotaatiot avaruuksissa R ja H. Tämän vuoksi kvaternioilla on lukuisia sovelluskohteita muun muassa signaalin käsittelyssä, säätöteoriassa, fysiikassa ja tietokonegrafiikassa. Tässä diplomityössä tarkastelemme erityisesti kvaternioiden soveltamista tietokonegrafiikkaan.

6 6 Abstract TAMPERE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Department of Science and Engineering Institute of Mathematics Laitinen Juha : Quaternions Master of Science Thesis, 80 pages Examiners: Professor Sirkka-Liisa Eriksson, Professor Seppo Pohjolainen Evaluated by the Department Council in September 005 This master of science thesis deals with quaternions. Quaternions are numbers which are in the form t + xi + yj + zk where t, x, y ja z are real coefficients. Quaternions form an associative division algebran which is noncommutative with quaternion multiplication. Quaternions was found as a result of persistent and long-term search for the thruth of numbers. There has always been unsolved equation behind the field extension from the set of natural numbers N to the set of complex numbers C. However the invention of quaternions is not based on the idea of finding a solution for unsolved equation. Rather it is the desire to extend ordered pair ( a, b ) to the triples (,, ) represent three-dimensional rotations. a b c which would enable to In 84 William Rowan Hamilton understood that instead of triples we should consider quadruplets which are in the form ( t, x, y, z) = t + xi + yj + zk. Quaternion algebra is a conscequence of fundamental equation i = j = k = ijk = which implies quaternions to be anticommutative. Quaternions advanced so called liberation of algebra which means mathematics to be free to construct a new algebra of which need not obey all the axioms of the field of complex numbers or real numbers. Quaternions are four-dimensional associative division algebra H. We can embed the space R in H. Quaternion algebra has connections to vector algebra. Via quaternions we can simplify the proofs of vector algebra. Moreover using four-dimensional quaternions we can perform rotations in spaces R and H. This is the main reason why quaternions have several applications in applied mathematics among others in signal processing, control theory, physics and computer graphics. In this master of science thesis we pay special attention to using quaternions in computer graphics.

7 7 Merkinnät ja lyhenteet alialgebra interpoloitu kvaternio q ( t ) kompleksisten neliömatriisien algebra Mat ( nc, ) A kvaternio q kvaternioiden algebra, kvaternioiden joukko kvaternioiden matriisialgebra kvaternioiden ryhmä Q 8 H H kvaternion q konjugaatti kvaternion q käänteisalkio kvaternion q normi q q q ortogonaalinen ryhmä O( n ) ortogonaalisen ryhmän aliryhmä SO ( n ) puhdas kvaternio, vektorikvaternio puhdas yksikkökvaternio reaalisten neliömatriisien algebra Mat ( nr, ) skalaarikvaternio unitaarinen ryhmä U ( n ) unitaarisen ryhmän aliryhmä SU ( n ) t v h yksikkökvaternio yksikköpallon pinta u n S

8 8 JOHDANTO Tämän diplomityön aiheena on kvaterniot. Kvaterniot ovat kompleksilukujen laajennus neljään komponenttiin. Tarkemmin sanottuna kvaterniot ovat muotoa t + xi + jy + zk olevia lukuja, missä t, x, y ja z ovat reaalisia kertoimia. Kvaterniot keksi William Rowan Hamilton vuonna 84. Kvaternioiden yhteenlasku on reaalikertoimisten vektorien yhteenlaskua ja niiden kertolasku määräytyy säännöstä i = j = k = ijk =. Aloitamme kvaternioiden tarkastelun niiden historiasta. Kvaternioiden historian juuret ovat yllättävän syvällä matematiikan historiassa. Kvaternioiden keksiminen on seurausta luvun merkityksen sinnikkäästä etsimisestä. Kvaterniot eivät syntyneet tyhjästä vaan nivoutuvat osaksi matematiikan historiaa, erityisesti algebran historiaa. Tämän vuoksi kvaternioita aletaan lähestyä historiasta käsin lukujoukkoja laajentamalla. Matematiikassa ratkaisemattomat yhtälöt johtivat lukujoukon laajennuksiin aina luonnollisten lukujen joukosta N kompleksilukujen joukkoon C. Laajennuksen joukosta C kvaternioiden joukkoon H taustalla ei ollut kuitenkaan enää ratkaisematon yhtälö vaan ajatus kompleksiluvun a + bi laajentamisesta kolmiulotteiseen muotoon a + bi + cj. Luvussa kerrotaan Hamiltonin elämästä yleensä ja siitä, miten hän yrityksen ja erehdyksen kautta päätyi esittelemään kvaterniot reaalilukukolmikkojen sijasta reaalilukunelikköinä. Luvun lopussa tarkastellaan kvaternioiden löytämisen merkitystä matematiikkaan ja matematiikan sovelluskohteisiin. Kvaternioita tarvitaan käytännön sovelluksissa.

9 JOHDANTO 9 Seuraavaksi esittelemme luvussa kvaternioiden matematiikkaa. Kvaterniot esitellään hyperkompleksilukujen kautta, jonka jälkeen kerrotaan kvaternioiden perusominaisuuksista ja kvaternioalgebran yhteydestä vektorialgebraan. Lisäksi tutkimme tarkemmin kvaternioiden algebraa, alialgebroja ja matriisiesitystä, mitä tarvitaan diplomityön loppuosassa. Luvun 4 aiheena ovat kvaternioiden avulla esitetyt rotaatiot. Luvussa 4 esitellään aluksi määritelmien muodossa yleisimmät matriisiryhmät, joilla voimme analysoida rotaatioissa esiintyviä matriiseja. Tämän jälkeen aloitetaan rotaatioiden tarkastelu tutkimalla rotaatioita kaksiulotteisessa avaruudessa R. Seuraavaksi esitellään matemaattiset käsitteet peilaus ja isometria, joita tarvitaan tarkastellessa rotaatioita avaruuksissa H. Diplomityön toiseksi viimeisessä luvussa 5 tarkastellaan kvaternioiden soveltamista R ja tietokonegrafiikassa. Luvussa 5 kerrotaan Eulerin kulmiin liittyvistä ongelmista, erityisesti gimbal lock -ilmiöstä, joka voidaan kvaternioita käyttämällä välttää. Lisäksi kerromme, miten kahden suunnan välinen interpolaatio voidaan toteuttaa kvaternioiden avulla. Tämän jälkeen tarkastellaan havainnollistavaa esimerkkiä, jossa on kuvattu interpolointi Eulerin kulmien ja kvaternioiden avulla. Luvun 5 lopussa selvitetään kvaternioiden etuja tietokonegrafiikassa. Lopuksi luvussa 6 esitetään yhteenveto diplomityöstä.

10 0 KVATERNIOIDEN HISTORIAA. Kokonaisluvuista kompleksilukuihin Matematiikan historiassa jokainen lukukäsitteen laajennus on vaatinut vuosisatoja aikaa eikä niistä ole selvitty ilman hämmennystä tai kritiikkiä. Kvaternioiden historiaa tarkasteltaessa onkin lähdettävä liikkeelle kaukaa. Oikeastaan kvaternioiden historian alkujuuria ei voida tarkkaan ottaen määrittää, nimittäin kvaterniot ovat saaneet alkunsa luvun merkityksen sinnikkäästä ja pitkäaikaisesta etsinnästä. Seuraavassa on tarkoitus käydä läpi lyhyesti sitä osaa matematiikan historiasta, jolla oli vaikutusta kvaternioiden löytämiselle. Luvut olivat aluksi tarkoitettu laskemista varten ja niitä käytettiin lähinnä käytännön ongelmia ratkaistaessa. Vuosisatojen mittaan luvun käsite kehittyi kuitenkin vaiheittain yksinkertaisesta määrien (,,, 4, jne.) laskemisesta. Näihin lukuihin lisättiin ensiksi nolla, jolloin kyseessä oli luonnollisten lukujen joukko N. Yksinkertaisia yhtälöitä ja matemaattisia ongelmia ratkottaessa jouduttiin pian tilanteeseen, jossa lukujoukon laajentaminen tuli ajankohtaiseksi ja tarpeelliseksi. Kaikki eivät kuitenkaan olleet lukujoukon laajentamisen kannalla vaan vastustivat sitä erinäisistä syistä. Esimerkiksi Antiikin kreikkalaiset olivat sitä mieltä, että x + = 0 tyyppisellä yhtälöllä ei ollut ratkaisua ([], s.8). Descartes oli puolestaan sitä mieltä, että negatiiviset luvut olivat vääriä lukuja ([5], luku ). Negatiiviset luvut olivat kuitenkin välttämättömiä muodolliselta kannalta ja niinpä luonnollisten lukujen joukko laajennettiin kokonaislukujen joukoksi Z ottamalla käyttöön myös negatiiviset kokonaisluvut. Itse asiassa negatiiviset kokonaisluvut yhdistettiin matematiikkaan täydellisesti vasta 500-

11 . KOKONAISLUVUISTA KOMPLEKSILUKUIHIN luvulla, joskin tästäkin on aikaisempia havaintoja (matemaatikko Brahmagupta Keski- Intiassa 600-luvulla) ([], s.84). Kun kokonaislukujen joukko sisältää sekä negatiiviset että positiiviset kokonaisluvut ja nollan, voidaan aina laskea yhteen ja vähentää, mutta jakaminen ei onnistu kuin yksikertaisimmissa tapauksissa. Esimerkiksi jakolasku 8 / = 4 onnistuu, koska tuloksena on kokonaisluku. Jakolasku / ei sen sijaan onnistu, sillä luku / ei kuulu kokonaislukujen joukkoon Z. Lukujoukkoa on siis laajennettava entisestään ja otettava käyttöön murtoluvun eli rationaaliluvun käsite. Rationaalilukujen joukkoa merkitään m Q = m, n Z ja n 0. n Rationaaliluvut voidaan siis esittää kahden kokonaisluvun osamääränä. Rationaaliluvut sisältävät kokonaisluvut erikoistapauksina. Esimerkiksi 7 / = 7 ja / =. Lukujen käsitteen laajettua rationaalilukuja koskevaksi, yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku onnistuvat yhtä poikkeusta lukuun ottamatta. Nimittäin nollalla ei saa jakaa. Tämän lisäksi tiedetään, että rationaalilukuja on ääretön määrä siinä missä kokonaislukujakin. Ja jos ajattelemme lukusuoraa, niin määrittelemällä rationaaliluvut, olemme täyttäneet lukusuoran lähes kokonaan (rationaaliluvut muodostavat reaalilukujen tiheän osajoukon). Historiasta tiedetään, että Babylonialaiset käyttivät positiivisia murtolukuja jo 4000 vuotta sitten soveltamalla niitä tilan mittaamiseen ([], s.85). Murtoluvut keksittyään matemaatikot törmäsivät kuitenkin laskelmissaan uusiin ongelmiin. Jo vuonna 500 ekr. kreikkalaiset matemaatikot ihmettelivät, miksi geometristen rakennelmien takana piilee lukuja, joita ei voi esittää murtolukuina ([], s.86). Rationaalilukujen rinnalle oli otettava irrationaaliluvut, jotka olivat lukuja, joita ei voi esittää rationaalilukuina. Myös irrationaaliluvuilla oli vastustajansa. Kaikki eivät olleet valmiita ottamaan käyttöön irrationaalilukuja. Muun muassa saksalainen matemaatikko ja teologi Michael Stifel ei pitänyt irrationaalilukuja oikeina lukuina ([5], luku ). Tämän jälkeen, kun matemaatikoilla oli käytettävissään rationaali- ja irrationaaliluvut, joita kutsuttiin yhteisnimellä reaaliluvut R, he pystyivät ilmaisemaan minkä tahansa pisteen sijainnin lukujanalla ainakin periaatteessa. Nykyisin reaalilukujen konstruointi voidaan tehdä muun muassa Dedekindin leikkausten avulla tai Cauchy-jonojen avulla. Konkreettinen lukusuoran käsite ei ole mikään

12 . KOKONAISLUVUISTA KOMPLEKSILUKUIHIN matemaattinen konstruktio, mutta havainnollistustapana selkeä ja helposti ymmärrettävä verrattuna edellä mainittuihin. Historiaa tulkitessa lienee itsestään selvää, että näihin teoreettisiin reaaliluvun R konstruktion määritelmiin on edetty konkreettisen lukusuoran kautta. Kuitenkin matemaatikot törmäsivät algebrallisissa laskutoimituksissaan edelleen yhtälöihin, joille ei ollut ratkaisua reaalilukujen joukossa. Vaikeuksia tuotti esimerkiksi yhtälö x + = 0, jolla ei ollut ratkaisua reaalilukujen joukossa. Tuttuja symboleita käyttämällä ratkaisuksi saadaan x =. Ei ole olemassa kuitenkaan sellaista reaalilukua, joka toiseen korotettuna olisi. Haettu luku oli siis edelleen 500-luvulla käytössä olleen reaalilukujärjestelmän R ulkopuolella. Luvun neliöjuurta ja muita vastaavanlaisia lukuja pidettiin vielä 600-luvulla ja myöhemminkin matemaattiseen mystiikkaan kuuluvina. Ranskalainen filosofi ja matemaatikko René Descartes sanoi edellä kuvattuja lukuja imaginaarisiksi eli kuvitteellisiksi luvuiksi, kun taas saksalainen matemaatikko Gottfried von Leibniz piti niitä vielä puoli vuosisataa myöhemmin Jumalan hengen ihmeellisenä liitona ([], s.88). Näiltä ajoilta sana imaginaarisuus on jäänyt sittemmin käyttöön kompleksilukujen yhteydessä ei ole keksitty parempaakaan nimeä. Jos vaaka-akseli on reaaliakseli, niin milläpä muulla pystyakselia nimittäisi. Yleisemmin kompleksilukuja kutsuttiin alun perin mahdottomiksi luvuiksi ([5], luku ). Kompleksiluvut antoivat tietoa olemassaolostaan ensimmäisen kerran 500-luvun puolivälissä, kun ratkottiin kolmannen asteen yhtälöitä. Menetelmät kolmannen asteen yhtälön ratkaisemiseksi teki tunnetuksi Girolamo Cardano (50-576). Cardano havaitsi kolmannen asteen yhtälön graafisilla tulkinnoillaan, että kolmannen asteen yhtälön ratkaisuissa ei ollut mitään kuvitteellista. Hän käytti negatiivisen luvun neliöjuurelle nimitystä muodollinen luku. Tärkeää oli se, että negatiivisten lukujen neliöjuuria sisältävät oliot syntyivät sellaisia yhtälöitä ratkaistaessa, joilla oli hyväksyttäviä reaalilukuratkaisuja. Kaikesta huolimatta Cardano piti negatiivilukujen neliöjuuria koskeviaan tutkimuksia yhtä hienostuneina kuin hyödyttöminäkin ([], s.88-9). Kompleksilukujen kehittämisen parissa työskennelleitä henkilöitä olivat myös Gottfried Leibniz ja Leonhard Euler. Euler julkaisi vuonna 768 alkeisoppikirjan, jossa kuvattiin yksityiskohtaisesti laskemista näillä uusilla luvuilla. Eulerilla oli kuitenkin suuria vaikeuksia esittää, mitä nämä luvut olivat. On selvää, että negatiivisten lukujen

13 . KOKONAISLUVUISTA KOMPLEKSILUKUIHIN neliöjuuria ei voi pitää mahdollisiin lukuihin kuuluvina ne ovat olemassa vain päähänpistojemme tai mielikuvituksemme maailmassa, kirjoitti Euler ([], s.9). Seuraava kehittäjä oli matematiikkaan itseoppinut norjalainen maanmittaaja Caspar Wessel (745-88) vuonna 797. Hänen esityksensä ilmestyi Tanskan Akatemian julkaisussa vuonna 798. Hän käsitteellisti nämä uudet luvut ja sovitti ne aiemmin määriteltyihin lukuihin. Hänen esityksensä perusajatus oli kaksiulotteinen geometrinen esitystapa. Siinä esimerkiksi luku + 7i kuvattiin tason pisteenä siten, että ensin siirrytään origosta yksikköä oikealle ja tästä kohdasta 7 yksikköä ylös. Edellä kuvattu luku kuvattiin siis tason pisteenä, kun taas reaaliluvuthan kuvataan suoran pisteenä. Reaaliluvut kuuluvat siis kompleksilukuihin osajoukkona, joka sisältää vaaka-akselin pisteitä. Tuohon aikaan matemaatikot eivät pitäneet Tanskan Akatemian julkaisuja tärkeänä tietolähteenä ja tämän vuoksi Wesselin saavutus jäi huomaamatta aina vuoteen 897, jolloin työstä tehtiin ranskankielinen käännös. Sillä välin sveitsiläinen kirjanpitäjä Jean Robert Argand (768-8) oli kehittänyt samankaltaisen esitystavan jo vuonna 806, Wesselistä riippumatta ([], s.9). Vielä tänäkin päivänä kompleksitason vaaka-akselia sanotaan reaaliakseliksi ja pystyakselia imaginaariakseliksi. Kuitenkin luvussa i = ei ole mitään imaginääristä eli kuvitteellista. Kysymyshän on vain siitä, että luvun käsite on laajennettu yksiulotteisesta suureesta kaksiulotteiseksi. Yhteen-, vähennys-, kerto-, ja jakolaskulle voidaan antaa kaksiulotteisessa kuvassa geometrinen tulkinta. Jokainen näistä edellä mainituista operaatioista tuottaa aina toisen kompleksiluvun, joten järjestelmää voidaan sanoa riippumattomaksi ja se täyttää lukukentältä vaaditut aksioomat asianmukaisesti. Tässä uudessa järjestelmässä kompleksilukujen korottaminen kompleksipotensseihin onnistui ilman vaikeuksia 800-luvun alkuun mennessä. Jäljelle jäi ainoastaan harhaanjohtava terminologia kompleksiluvusta a + bi reaaliosan a ja imaginaariosan bi summana ja tähän tarvittiin vielä tarkennusta. Gauss poisti osittain näihin uusiin lukuihin liittyvän mystiikan todistamalla Leonhard Eulerin alun perin esittämän algebran peruslauseen 799 ja esittämällä täydellisen geometrisen teorian selostuksessaan vuonna 8. Siinä hän osoitti näihin uusiin lukuihin liittyvät vastalauseet vääriksi ja otti käyttöön sanan kompleksiluku. Tämä poisti suuren osan epäilyistä kompleksilukuja kohtaan ja asetti ne tukevalla pohjalle. Nyt kompleksiluvuilla oli yhtä hyvä objektiivinen merkitys kuin negatiivisilla luvuilla oli,

14 . KOKONAISLUVUISTA KOMPLEKSILUKUIHIN 4 ainoastaan kompleksilukujen määrittelyssä (järjestettynä reaalilukuparina) oli parantamisen varaa. Tästä alkoi kompleksilukujen leviäminen matematiikan eri osaalueille. Kompleksiluvut tulivat mukaan algebraan ja kompleksimuuttujan z = x + yi käsite johti kompleksitason funktioiden f ( z ) tutkimiseen. Kompleksimuuttujan analyyttisten funktioiden teorian kehittymistä pidetään 800-luvun algebran suurena mestariteoksena ja sen varsinainen vaikutus fysiikkaan ja tekniikkaan tapahtuu parhaillaan ([], s.9). Nyt tiedettiin siis se, että kompleksilukuihin ei liittynyt mitään mystiikkaa. Kompleksiluvuilta puuttui kuitenkin edelleen täsmällinen määritelmä siinä mielessä, että kompleksiluvun reaaliosan ja imaginaariosan summaa a + bi pidettiin hämäävänä. Tässä kohtaa vaadittiin, kuten matematiikan historiassa yleensä, asian yksinkertaistavaa ja ymmärrettäväksi tekevää selitystä. Näiden ongelmien ratkaisija oli kuitenkin jo syntynyt.. William Rowan Hamilton.. Nuoruusvuodet Sir William Rowan Hamilton ( ) oli Irlantilainen matemaatikko. Hamilton syntyi elokuun. päivä 805 neljästä sisaruksesta nuorimpana. Hänen isä oli asianajaja Dublinissa. Hän oli ensiluokkainen ja kaunopuheinen liikemies. Williamin poikkeuksellista älykkyyttä pidetään äidiltä perittynä, joka polveutui lahjakkaaksi tunnetusta suvusta. Itse asiassa Williamin isän suullisen ja kirjallisen kaunopuheisuuden jalo taito kiteytyi Williamin James-sedässä, joka oli pastori. James-setä oli monitaitoinen kielimies. Hän esitti huomattavaa osaa Williamin varhain aloitetussa kasvatuksessa, joka oli hyvin kurinalaista. Kun William huomattiin älykkääksi, hänen isänsä lähetti pojan James-sedän oppiin opiskelemaan kieliä lempeän äidin huolenpidon sijasta. Williamin vanhemmat eivät kasvattaneet Williamia kovin paljon. Äiti kuoli pojan ollessa -vuotias ja isä kaksi vuotta myöhemmin. James opetti Williamille pääasiassa kieliä. William osasi lukea jo kolmivuotiaana erinomaisesti englantia ja perusaritmetiikankin hän oppi nopeasti. Nelivuotiaana William osasi myös maantiedettä. Viisivuotiaana hän luki ja käänsi latinaa, kreikkaa ja hepreaa sekä lausui runoja ja vieläpä eri kielillä. Kahdeksanvuotiaana hän lisäsi kielitaitoa italialla ja ranskalla sekä kirjoitti latinaa sujuvasti. Kymmeneen ikävuoteen mennessä kielten

15 . WILLIAM ROWAN HAMILTON 5 osaaminen oli laajentunut entisestään, käsittäen edellä mainittujen lisäksi arabian ja sanskriitin kielen. Itämaiset kielet olivat siis Williamilla hyvin hallinnassa jo nuorena. Itse asiassa Williamin uusien kielien oppimiseen liittyvä intohimo tuntui ehtymättömältä, hän halusi koko ajan oppia uusia kieliä setänsä holhouksessa. Hamiltonin ollessa -vuotias hän oli oppinut yhden uuden kielen jokaista elinvuottaan kohden. William oli siis melkoinen virtuoosi kielten osaamisen suhteen. William oli kiinnostunut myös runojen kirjoittamisesta. Tarinan mukaan hänen runouttaan ei kuitenkaan pidetty kovin erinomaisena. Hamiltonin alkoi irrottautua kielten opiskelusta 4-vuotiaana ja valitsi kiinnostuksensa kohteeksi matematiikan. Hamilton ollessa 7-vuotias hän oli opiskellut integraalilaskentaa sekä matemaattista tähtitiedettä sellaisella tasolla, että hän pystyi laskemaan kuun ja auringon pimennyksiä. Hamilton oli perehtynyt myös Newtonin ja Lagrangen tuotantoon. Nämä klassiset teokset olivat kuitenkin toisella sijalla hänen sydämessään. Tärkeimpänä hän piti omia omituisia keksintöjään, kuten hän itse kirjoitti sisarelleen Elizalle. Näillä keksinöillä hän tarkoitti tulevan valo-oppia käsittelevän työnsä perusideoita ([], s.7-4)... Yliopistouran alkuvaiheet Hamilton oli jo 7-vuotiaana herättänyt huomiota. Hamilton oli kiinnittänyt Dublinissa toimivan tähtitieteen professorin huomion löytäessään virheen eräästä Laplacen työstä. Hamilton pääsi Dublinin Trinity Collegen yliopistoon. Hänestä tuli hyvin nopeasti kuuluisa opinahjossaan. Hänen matemaattinen ja laaja-alainen sivistys herätti akateemisten piirien mielenkiinnon ja jotkut totesivat jopa uuden Newtonin syntyneen. Hamilton sai käytännössä kaikki yliopistossa saatavilla olevat palkinnot ja kunnianosoitukset sekä klassisissa tieteissä että matematiikassa. Voittoja tärkeämpää oli kuitenkin se, että hän sai valmiiksi ensimmäisen osan tutkimuksestaan valo-oppiin liittyen, mikä herätti kiinnostusta. Hamiltonin ylioppilaselämä Trinity Collegessa sai komean lopun, sillä hänet nimitettiin -vuotiaana ylioppilaana tähtitieteen professorin virkaan. Kaiken lisäksi Hamilton ei ollut edes hakenut tätä paikkaa. Hamiltonin aloitti siis uransa loistavasti. Hamilton keskittyi tutkimuksissaan tähtitieteen sijasta matematiikkaan. A Theory of Systems of Rays oli teos, jossa Hamilton - vuotiaana julkaisi 7-vuotiaana omituisena pitämänsä keksinnöt. Teos merkitsi valo-opille

16 . WILLIAM ROWAN HAMILTON 6 samaa kuin Lagrangen Mécanique Analytique mekaniikalle. Työssään hän ennusti valon kartiomaisen taittumisen tietyntyyppisissä kiteissä. Hamiltonin tässä ensimmäisessä työssään tuomat tekniset menetelmät sovelletussa matematiikassa ovat korvaamattomia matemaattisessa fysiikassa. Joidenkin mielestä Hamiltonin valo-oppiin liittyvät työt olivat tieteen kannalta merkityksellisimmät hänen kohdallaan. Näiden keksintöjen jälkeen Hamiltonin elämässä tapahtui myös yksityiselämässä. Hamilton meni naimisiin Helen Maria Bayleyn kanssa keväällä 8. Hän oli silloin 7- vuotias. Helen synnytti kolme lasta, joiden nimet olivat William Edwin, Archibald Henry ja Helen Eliza Amelia... Kompleksilukujen täsmällinen määrittely Lukujen historiaa tarkasteltaessa jäimme kompleksilukujen osalta siihen, että symbolia a + bi pidettiin yhtenä lukuna. Hamilton määritteli kompleksiluvut a + bi täsmällisesti järjestettyinä reaalilukupareina ja merkitsi niitä symbolilla ( a, b ) ([5], luku ). Hamilton tiesi siis kompleksilukujen olevan muotoa a + bi. Tämän jälkeen hän laski tavanomaisilla laskusäännöillä yhteen- ja kertolaskun kahdelle kompleksiluvulle, mitkä esitetään seuraavalla tavalla. Valitaan kompleksiluvuiksi a + bi ja c + di. Tällöin kompleksilukujen yhteenlaskuksi saadaan ja kertolaskuksi ( a + bi) + ( c + di) = ( a + c) + ( b + d ) i = ( a + c, b + d ) ( a bi)( c di) ( ac bd ) ( ad bc) i ( ac bd, ad bc) + + = + + = +, jonka Hamilton tulkitsi liittyvän rotaatioon. Reaaliluku a voidaan samastaa reaalisen kompleksiluvun ( a,0) kanssa ja puhdas imaginaariluku bi puhtaasti imaginaarisen kompleksiluvun ( 0,b ) kanssa. Tästä päästään kompleksiluvun yleisesti käytettyyn esitysmuotoon missä = (,0 ) ja ( 0,) a, b = a,0 + 0, b = a,0,0 + b,0 0, = a + bi = a + bi, i = ([5], luku ). Tämä toimii oivana esimerkkinä siitä, miten Hamiltonin matematiikka poisti mystiikan.

17 . WILLIAM ROWAN HAMILTON 7 Tässä kohtaa on syytä ottaa esille kunnan käsite. Tarkastelemme joukkoa K, jossa on annettu kaksi laskutoimitusta: yhteenlasku ja kertolasku. Kolmikkoa (, +, ) kunnaksi, jos seuraavat aksioomat ovat voimassa kaikille a, b, c K :. ( a + b) + c = a + ( b + c).. a + b = b + a.. On olemassa sellainen alkio 0 (nolla-alkio), että a + 0 = a. 4. On olemassa sellainen alkio a 5. a ( bc) 6. ab = ba. = ab c. 7. a ( b + c) = ab + ac. (vasta-alkio), että a ( a) 0 + =. 8. On olemassa sellainen alkio (neutraalialkio), että a = a. 9. Jos a 0, on olemassa sellainen alkio a (käänteisalkio), että K sanotaan aa =. Näiden aksioomien pohjalta voidaan kehittää algebran ominaisuuksia. Reaaliluvut R ja kompleksiluvut C muodostavat kunnan. Luonnolliset luvut N ja kokonaisluvut Z eivät sen sijaan muodosta kuntaa (ei ole olemassa käänteisalkioita). Aksiooma ilmaisee, että yhteenlasku on assosiatiivinen ja vastaavasti kertolaskua koskevan samaisen ominaisuuden ilmaisee aksiooma 5. Aksioomat ja 6 kertovat, että yhteenlasku ja kertolasku ovat vaihdannaisia. Aksiooma määrittelee nolla-alkion olemassaolon ja aksiooma 8 vastaavasti neutraalialkion eli ykkösalkion olemassaolon. Aksiooman 7 ilmaisevaa ominaisuutta sanotaan distributiivisuudeksi ja aksioomat 4 ja 9 ilmaisevat, että jokaisella alkiolla a on vasta-alkio a ja käänteisalkio a ([], s. 5). Matematiikassa ei saa jättää arvauksille varaa, vaan käsitteiden on oltava täsmällisiä. Hamiltonin työ sisälsi siis selkeän näkemyksen siitä, että kompleksiluku on reaalilukujen järjestetty pari, johon jo Wesselin, Argandin ja Gaussin esitykset olivat viitanneet. Hamiltonin esitys oli ensimmäinen eksplisiittinen esitys kompleksiluvuille, mikä oli matematiikan formalismin mukaista ([4], s.84). Mielenkiintoinen kysymys on, voitaisiinko järjestettyjen reaalilukuparien määritellä kertolasku jollakin muulla olennaisesti erilaisella tavalla siten, että reaalilukuparit muodostaisivat kunnan ja vektorilasku olisi määritelty vektorien R joukossa

18 . WILLIAM ROWAN HAMILTON 8 yhteenlaskuna. Vastaus on kielteinen. Ensimmäinen tapa, joka saattaisi tulla mieleen tarkasteltaessa reaalilukuparien ( a, b ) ja (, ) c d tuloa, olisi a, b c, d = ( ac, bd). Aluksi huomataan, että ykkösalkio on (, ), sillä tällöin (, )( a, b) ( a, b)(, ) ( a, b) = =. Ongelmaksi muodostuu kuitenkin se, että esimerkiksi alkiolla (,0 ) ei ole käänteisalkiota, sillä jokaiselle c, d R ([5], luku ). (,0 )( c, d ) = ( c,0) (,) Ryhmäteoriassa edellä mainitulla on kuitenkin tulkinta, kun oletetaan, että G ja G ovat ryhmiä ja ( a, a )( b, b ) = ( a b, a b ) sekä a, b G, missä i =,. Tätä kutsutaan ryhmien G ja G suoraksi tuloksi i i i ([6], s.6). Hamilton keksimiä järjestettyjä pareja voitiin siis pitää tasoon suunnattuina suureina. Kompleksiluvut, tason pisteet ja tason vektorit vastaavat täysin toisiaan. Kompleksilukujen yhteenlasku vastaa vektorien yhteenlaskua (geometrisesti suunnikkaan täydentämistä) ja kompleksilukujen kertolasku saadaan kierron ja skaalauksen avulla, mikä on helppo nähdä seuraavasta. Aluksi otamme käyttöön Eulerin yhtälön e iθ = cosθ + i sinθ (..) ja käytämme sekä eksponentti- että trigonometrisia funktioita. Merkitään kahta kompleksilukua z = a + bi ja z = c + di ja niiden moduleita z = r ja z = r (vektorien pituudet). Jos kompleksiluvut esitetään Eulerin kaavan (..) avulla muodossa i z = a + bi = r cosθ + r sinθ i = r cosθ + i sinθ = re θ (θ kiertokulmana) ja z vastaavasti (φ kiertokulmana), saadaan kompleksilukujen tuloksi ( θ + φ ) ( ( θ φ ) ( θ φ )) iθ iφ i zz = re re = r re = r r cos + + i sin +,

19 . WILLIAM ROWAN HAMILTON 9 mistä edellisessä kappaleessa olevat päätelmät on helppo nähdä kuin myös kompleksilukujen kertolaskun kommutatiivisuus. Lisäksi voidaan todistaa, että kaikki reaalilukujen yhteen- ja kertolaskun perusominaisuudet, joita ovat vaihdantalaki, liitäntälaki, osittelulaki, nollan ominaisuus yhteenlaskussa, vastaluvun olemassaolo, ykkösen ominaisuus kertolaskussa ja nollasta eroavan luvun käänteisluvun olemassaolo ovat voimassa myös kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskulle. Kompleksiluvut muodostavat siis kunnan siinä missä rationaaliluvut ja reaaliluvutkin ([5], luku ). Nyt olemme tarkastelleet matematiikan historiaa kokonaisluvuista kompleksilukuihin. Tähän asti läpikäydyt asiat luovat pohjan kvaternioiden omaksumiselle ja kertovat niistä tiedoista, joita matemaatikoilla oli ennen kvaternioiden keksimistä. Tiivistetään, mitä olemme saaneet aikaiseksi kvaternioiden historiaa tutkiessa tähän asti. Luonnollisten luku joukkon on laajennettu kokonaislukujen joukoksi Z, jotta yhtälöllä a + x = b olisi aina ratkaisu. Joukko Z laajennettiin edelleen rationaalilukujen joukoksi Q, jotta yhtälöllä ax b ( a 0) = olisi aina olemassa ratkaisu. Jälleen huomattiin uusia rationaalilukujen joukkoon Q kuulumattomia ratkaisuja, joita saatiin ratkaistaessa yhtälötyyppiä x a ( a 0) = ja niinpä rationaalilukujen Q joukko laajennettiin reaalilukujen R joukoksi. Joukko R taas laajennettiin kompleksilukujen joukoksi C, jotta yhtälöllä x = olisi ratkaisu. Laajennus joukosta R joukkoon C oli merkittävä siinäkin mielessä, että jokaisella n. asteen kompleksikertoimisella polynomiyhtälöllä ( n ) on ratkaisu. Tämä tunnetaan algebran peruslauseena, jonka Euler esitti, ja jonka Gauss todisti väitöskirjassaan vuonna 799. Ratkaisuja on siis täsmälleen n kappaletta, kun kukin ratkaisu huomioidaan niin monta kertaa kuin sen kertaluku osoittaa ([5], luku 4). Ongelmat yhtälön ratkaisuissa ovat saaneet laajennuksia lukujoukoissa aikaan. Tähän asti esitetyt laajennukset voidaan esittää sisältymisrelaation mielessä N Z Q R C?, jossa kysymysmerkki tarkoittaa joukkoa, jonka Hamilton löysi. Kuten tulemme huomaamaan, laajennuksen C? perusteena ei olekaan enää kompleksialueella ratkeamaton yhtälö eli tarve saada tietty yhtälö ratkeavaksi. Itse asiassa tällaista ratkeamatonta yhtälöä ei ole olemassakaan.

20 . WILLIAM ROWAN HAMILTON 0..4 Yritykset laajentaa luvun käsite kolmanteen ulottuvuuteen Kompleksiluvut määriteltiin Hamiltonin toimesta järjestettyinä reaalilukupareina. Tämän jälkeen tuntuukin luonnolliselta tutkia, voitaisiinko järjestettyjen reaalilukukolmikkojen joukossa R määritellä kertolasku siten, että saadaan kunta ja yhteenlasku on määritelty vektorien yhteenlaskuna. Yksinkertaisesti alkioittain kertomalla, kuten edellä havaitsimme reaalilukupareille, sitä ei voida tehdä. Kysymys siitä, voitaisiinko luvun käsite laajentaa kolmeen ulottuvuuteen, tarkastelemalla reaalilukukolmikkoja joukossa R, otettiin tiettävästi ensimmäisen kerran esille brittiläisten matemaatikkojen keskuudessa 800-luvun ensimmäisinä vuosikymmeninä. Tätä ongelmaa yrittivät ratkaista ensimmäisinä Cambridgessä toiminut algebran tutkija George Peacock (79-858) ja Lontoon yliopiston professori Augustus de Morgan (806-87). He tulivat siihen lopputulokseen, että kolmen tai useamman ulottuvuuden algebraa ei voida kehittää johdonmukaisesti. He olivat tavallaan oikeassa. Tällaisten algebrojen kehittäminen ei onnistu, mikäli pidämme kiinni vaatimuksesta säilyttää kaikki kompleksialgebran säännöt ikään kuin ne olisivat universaaleja kaikissa algebroissa ([], s.00). Ajatuksen siitä, että itsenäinen algebra voitaisiin kehittää väljentämällä joitain perusalgebran sääntöjä, esitti ensimmäisenä Hamilton, joka oli määritellyt kompleksiluvut järjestettyinä reaalilukupareina. Hamilton oli luonnollisesti kiinnostunut reaalilukuparien laajennuksesta reaalilukukolmikkoihin. Hamilton pohti kaksiulotteisten kompleksilukujen a + bi, jossa i =, laajentamisesta kolmiulotteisiksi luvuiksi a + bi + cj, jossa i = ja j =. Tämä näytti jopa geometrisesti onnistuneelta määrittelyltä. Nimittäin i esitti 80 asteen kiertoa reaaliakselin, esimerkiksi x -akselin pisteestä + saman akselin pisteeseen y -akselin kautta ja j samankaltaista 80 asteen kiertoa z -akselin kautta. Yhteenlaskun määrittelyssä ei ollut mitään ongelmaa, sillä se voitiin esittää muodossa ( a + bi + cj) + ( x + yi + zj) = ( a + x) + ( b + y) i + ( c + z) j. Tämähän on vain kompleksilukujen suunnikaslain yleistys. Vaikeuksia aiheutti sen sijaan määritellä kertolasku siten, että se kuvaa kolmiulotteisia kiertoja ([], s.0). Hamiltonin päämääränä oli siis löytää sellainen algebrallinen systeemi, jossa kolmiulotteisen avaruuden kierrot, tarkemmin sanottuna rotaatiot, vastaavat

21 . WILLIAM ROWAN HAMILTON kompleksilukujen kaksiulotteisen avaruuden kiertoja. Tarkastellut avaruudet olivat kummassakin tapauksessa alkeisgeometrialle tavanmukaisia euklidisia avaruuksia ([], s.54). Aluksi Hamilton siis ajatteli, että järjestetyillä reaalilukukolmikoilla ( x, y, z ) ja reaalilukupareilla ( a, b ) on analogia kertolaskun ja yhteenlaskun suhteen. Seuraavat askeleet Hamiltonin ajattelun kehityksestä osoittavat hyvin, miten edistyminen matematiikassa usein tapahtuu. Ensin ratkaistavana on ongelma ja sitä aletaan lähestyä askel askeleelta kunnes lopulta ongelmaa modifioidaan siten, että siitä tulee ratkaistava ([], s.79). Tarkastellaan Hamiltonin ajattelun kehitystä. Ensimmäisessä yrityksessään hän = + + =, missä i = ja määritteli reaalilukukolmikon u a bi cj ( a, b, c) j = (taatakseen redusoidut erikoistapaukset kompleksilukuihin ( a, b,0) ja ( a,0, ) reaalilukukolmikon u konjugaatti määritellään u = a bi cj reaalilukukolmikon u ja sen konjugaatin ũ tuloksi. uu = uu = a + b + c + ij + ji bc, saamme Tästä Hamilton päätteli, että ij + ji = 0. Hamilton uskoi tässä vaiheessa c ). Jos reaalilukukolmikkojen kommutatiivisuuteen, joten johtopäätös oli ij = ji = 0. Tulon ij kommutatiivisuus ei pätenyt enää myöhemmissä laskelmissa, kuten tulemme näkemään ([8], s.9). Yleisemmässä tapauksessa Hamilton sai kertolaskusta tulokseksi ( a + bi + cj)( x + yi + zj) = ( ax by cz) + ( ay + bx) i + ( az + cx) j + ( bz + cy) ij. Ihmetystä herätti se, miten ij tulisi määritellä. Pitäisikö tulos olla muotoa α + βi + γ j? Hamilton päätteli, että jos i j ij = =, niin = i j =. Tästähän voisi päätellä, että ij= ±, kun otetaan puolittain neliöjuuri. Tässä yrityksessä Hamilton ei päässyt kuitenkaan pidemmälle. Toisessa yrityksessään Hamilton pohti yksinkertaisinta tapausta a + bi + cj = a b c + iab + jac + ijbc. Hän laski yhtälön oikealla puolella olevien tekijöiden, i ja j kerrointen neliöiden summan ja huomasi, että

22 . WILLIAM ROWAN HAMILTON ja samalla Hamilton oletti, että ij = 0. ( a b c ) + ( ab) + ( ac) = ( a + b + c ) Kolmannessa yrityksessään Hamiltonia ei enää vakuuttanutkaan oletus siitä, että ij = 0. Silloin yksi termi putoaa pois yhtälöstä. Hamilton mietti sitä vaihtoehtoa, että ji Hamilton merkitsi tämän perusteella ij onko k nolla vai ei ([], s.79-8). = ij. = k ja ji = k sillä varauksella, että hän ei tiennyt,..5 Siirtyminen neliulotteiseen avaruuteen Neljännessä ja ratkaisevassa yrityksessään Hamilton kertoi yleisemmässä tapauksessa reaalilukukolmikot ( a + bi + cj) ja ( x bi cj) ( ax b c ), ( a + x) b ja ( a ) + + ja sai tekijöiden, i ja j kertoimiksi + x c. Nyt Hamilton oli jo vakuuttunut siitä, että ij = ji, mutta tekijän k arvoa hän ei osannut vielä sanoa. Tämän jälkeen Hamilton yritti kertoa yleisessä tapauksessa kahta reaalilukukolmikkoa ja laski ( a + bi + cj)( x + yi + zj) = ( ax by cz) + ( ay + bx) i + ( az + cx) j + ( bz cy) k. Hän asetti k = 0 ja pohti, päteekö yhtäsuuruus ( a b c )( x y z ) ( ax by cz) ( ay bx) ( az cx) = Vastaus on kielteinen. Edellä olevan yhtälön vasemman ja oikean puolen erotuksena bz cy saadaan lauseke, joka on tekijän k kertoimen neliö, kun tulo ( a + bi + cj)( x + yi + zj) lasketaan ja huomioidaan ij = k ja ji = k. Yhtälön ij = 0 paikkansapitävyyttä puolsi siis se, että Kuitenkin, jotta yhtälö ( ax y z ) ( a x) ( y z ) ( a y z )( x y z ) = ( a + b + c )( x + y + z ) = ( ax by cz) + ( ay + bx) + ( az + cx) olisi tosi, on yhtälön oikealle puolelle lisättävä lauseke bz cy ([], s.8-8). Tämä tarkoittaa sitä, että yhtälö ij 0 ja ij vastaa uutta imaginaariyksikköä k ( ij = k ). Tämän jälkeen Hamilton ymmärsi, että ik = iij = j, kj = ijj = i, ki = j, jk = i,

23 . WILLIAM ROWAN HAMILTON ja lopuksi sen, että k ijij iijj = = =. Kvaternioiden peruskaava voidaan kirjoittaa muodossa i j k ijk = = = =, jonka Hamilton tarinan mukaan kaiversi Broughamin sillan kiveen ollessaan kävelyllä vaimonsa kanssa Dublinissa vuonna 84 ([], s.95). Nyt Hamilton ymmärsi, että kolmikoilla laskettaessa tarvitaan neljäs ulottuvuus. Näin hän oli tullut esitelleeksi kvaterniot, jotka ovat muotoa a + bi + cj + dk olevia lukuja, missä a, b, c ja d ovat reaalisia kertoimia, tai vaihtoehtoinen merkintätapa järjestetty reaalilukunelikkö ( a, b, c, d ) ([], s.8). Quaternion tarkoittaa matematiikan kielelle käännettynä neljän ryhmää ([5], luku 9). Jos siis halutaan kertoa kolmiulotteisia vektoreita niin, että kertolasku vastaa kiertoa, on siirryttävä neliulotteiseen avaruuteen. Kahdessa ulottuvuudessa kertolaskun määrittelemiseen tarvitaan vain kaksi reaalilukua: kiertokulma ja suhde, jonka verran vektorin pituutta muutetaan. Kolmessa ulottuvuudessa tarvitaan enemmän kuin kolme reaalilukua. Ensinnäkin on määriteltävä sen akselin suunta avaruudessa, jonka suhteen kierto tapahtuu. Siihen tarvitaan kaksi lukua. Sitten on määriteltävä kiertokulma, joka on kolmas luku. Vielä tarvitaan neljäs luku, nimittäin pituuden venytyssuhde ([], s.9). Nykymatematiikalla voidaan osoittaa helposti, että avaruudessa R ei voida määritellä kertolaskua, joka vastaa vektorin kiertoa. Teemme vastaoletuksen, että avaruudessa määritelty kertolasku siten, että se toteuttaa kunnan aksioomat. Avaruudessa R alkio ( x, y,0) vastaa kompleksilukua ( x, y ). Lisäksi merkitsemme = (,0,0 ), ( 0,,0 ) j = ( 0,0,). Olkoon i =. Tällöin että R on i = ja ij = x, y, z = x + yi + zj ja luonnollisesti x, y, z R. Tiedämme, i ij = i j = j, joten j = j = i ij = i x + yi + zj = xi y + zij = xi y + z x + yi + zj = zx y + zy + x i + z j. Verrattaessa imaginaariyksikön j kertoimia huomaamme, että z = eli z C, mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa ( z R ). Näin voimme todeta vastaoletuksen vääräksi ja

24 . WILLIAM ROWAN HAMILTON 4 huomaamme, että edellä mainittua kertolaskua on mahdotonta määritellä joukossa ([7], s.80-8). Hamilton määritteli siis kvaterniot järjestettyinä reaalilukunelikköinä t, x, y, z = t+ xi + yj + zk siten, että yhteenlasku vastaa tavallista vektorien yhteenlaskua ja kaikki muut kunnan aksioomat toteutuvat paitsi kertolaskun vaihdantalaki. Vaihdantalain puuttuminen kertolaskun osalta ei ole kvaternioiden algebran kannalta mikään ongelma. Itse asiassa se kuvaa kolmiulotteisten kiertojen ominaisuuksia, mitkä puuttuvat kaksiulotteisista kierroista. Kuten edellä osoitimme, kompleksilukujen kertolaskun vaihdannaisuus kuvaa sitä tosiseikkaa, että suorittaessa kaksi kiertoa R ja R, niiden järjestyksellä ei ole väliä. Kolmessa ulottuvuudessa taas huomaamme, vaikkapa tekemällä yksinkertaisen kokeen kirjalla, että jos R vastaa 90 kiertoa itseemme päin ja R 90 kiertoa myötäpäivään, kirja ei ole samassa asennossa edessämme tehtyämme kierrot ensin järjestyksessä R R ja sitten järjestyksessä RR. Itse asiassa vaihdantalain rikkoutuminen voidaan osoittaa kaikille ulottuvuuksille kahdesta eteenpäin ([], s.0). R..6 Loppuelämä Hamiltonin elämän viimeiset vuotta oli omistettu lähes kokonaan kvaternioteorialle ja sen sovellutuksille mekaniikassa, tähtitieteessä ja valon aaltoteoriassa. Itse asiassa Hamilton piti aikaisempaa tutkimustyötään, johon hänen maineensa enimmäkseen perustuu, vähäpätöisenä verrattuna kvaternioiden kehittämiseen. Hamilton kuoli reumatismiin. päivänä syyskuuta 865 kuudenkymmenen vuoden ikäisenä. Hamilton jätti jälkeensä suuren määrän papereita ja 60 valtavaa käsinkirjoitettua teosta. Viimeiset vuotensa Hamilton eli nöyrässä hartaudessa eikä välittänyt vähääkään tieteellisestä maineestaan. Olen kauan ihaillut sitä tapaa, jolla Ptolemaios luonnehtii tähtitieteellistä oppi-isäänsä Hipparkosta: hän rakasti työtä ja totuutta. Olkoon se minun hautakirjoitukseni ([], s.56-57). Kaikki viittaa siihen, että Hamilton ei ollut viimeisinä vuosinaan tyytyväinen omiin saavutuksiinsa vaan halusi päästä tutkimuksissaan aina vain pidemmälle ja suurempiin saavutuksiin jopa terveytensä kustannuksella ([], s.06).

25 5. Kvaternioiden löytämisen merkitys Hamiltonin tärkeä edistysaskel ei liittynyt ainoastaan kvaternioihin, vaan myös siihen ajatukseen, että matematiikka on vapaa rakentamaan uuden algebran, jonka ei tarvitse noudattaa reaali- tai kompleksilukujen algebran lakeja (erityisesti kertolaskun vaihdannaisuus) ([], s.0). Monet historioitsijat ovatkin nimittäneet kvaternioiden keksimistä avaimena algebran vapautumiseen ja ovat jopa verranneet sitä epäeuklidisen geometrian aikaansaamaan geometrian vapautumiseen ([5], luku 7). Modernin vektorilaskennan voidaan sanoa alkaneen kvaternioiden keksimisestä ([8], s.). Kvaternioiden keksiminen osoitti siis algebrikoille tien, jota pitkin päästiin tutkimaan uusia algebrallisia systeemejä, joissa on jätetty kunnan aksioomia pois tai korvattu muilla aksioomilla. Esimerkkejä näistä ovat vektorianalyysi (ja niiden yleistys tensorit), matriisit ja Cliffordin-algebrat (erikoistapauksena oktoniot ja bikvaterniot) ([], s.0-05). Nykyään on olemassa paljon erilaisia algebrallisia rakenteita, joista osa on käyttökelpoisia tekniikassa. Näihin moderneihin algebrallisiin teorioihin Hamiltonin keksintö sisältyy vain pienenä yksityiskohtana (yksi kompleksialkioisten -matriisien algebra muiden joukossa) ([5], luku 9). Hamiltonin löytämiä kvaternioita ei tulisi kuitenkaan vähätellä, vaikka osassa kvaternioita koskevasta kirjallisuudesta on merkkejä tästä. Kvaternioista on hyötyä muun muassa kvanttimekaniikassa, säätöteoriassa, signaalinkäsittelyssä ja tietokonegrafiikassa, missä kvaternioita tarvitaan erityisesti kolmiulotteisten rotaatioiden esittämiseen. Kvaternioiden soveltamista tietokonegrafiikkaan tarkastelemme tarkemmin luvussa 5. Vaikka teoria kvaternioiden osalta on sinänsä selvillä, on kvaternioiden sovelluskohteiden tutkiminen yhä käynnissä ja kvaternioilla saattaa olla tärkeämpi osa sovelletussa matematiikassa kuin aikaisemmin on ajateltu. Olemme laajentaneet tässä historiakatsauksessa lukujoukkoa luonnollisista luvuista kvaternioihin: N Z Q R C H. Kvaternioiden joukkoa merkitsemme kirjaimella H Hamiltonin kunniaksi. Kvaternioita on kuitenkin tutkinut tavalla tai toisella myös muita matemaatikkoja. Carl Friedrich Gauss löysi kvaternioiden kertotaulun 80- luvun alkupuolella ([0], s.8). Olinde Rodrigues puolestaan tutki rotaatioiden geometriaa kolme vuotta Hamiltonia ennemmin. Rodriguesin kvaternioihin liittyvä geometria osoittautui vieläpä yhteneväksi Hamiltonin algebran kanssa ([7], s.44). Nämä

26 . KVATERNIOIDEN LÖYTÄMISEN MERKITYS 6 eivät poista kuitenkaan sitä tosiasiaa, että Hamiltonin oli kvaternioiden todellinen kehittäjä ja luoja. Entä lukukäsitteen laajennukset joukosta H eteenpäin? Kyllä vain, niitä on olemassa. Seuraavassa laajennuksessa, jossa operoidaan joukossa 8 R, menetetään kertolaskun vaihdannaisuuden lisäksi kertolaskun liitäntälaki. Tällaisia lukuja kutsutaan Cayleyluvuiksi ([4], s.55). Näistä luvuista käytetään myös nimitystä oktoniot ja niiden joukosta merkintää O ([5], luku 0).

27 7 KVATERNIOT. Hyperkompleksiluvut Hyperkompleksiluvuista on olemassa ainakin kahdenlaisia määritelmiä. Cliffordin algebrikot kutsuvat useampiulotteisia (dimensio yli kaksi) lukuja hyperkompleksisiksi, vaikka niiden ominaisuudet eivät ole täsmälleen samat kuin kompleksiluvuilla ja klassista funktioteoriaa ei voi soveltaa niihin sellaisenaan. Van der Waerdenin mukaan hyperkompleksiluvut määritellään lukuina, joiden ominaisuudet poikkeavat reaali- ja kompleksiluvuista ([], s.77-7). Tavanomaisimmat esimerkit hyperkompleksiluvuista ovat matriisit, oktoniot ja kvaterniot. Hyperkompleksiluvut eivät siis ole algebrallisilta ominaisuuksiltaan välttämättä samanlaisia. Tässä kappaleessa seurataan pääosin lähdettä ([0], s.75-76). Määritelmä... Reaalinen algebra A on reaalinen vektoriavaruus, jossa kertolasku A A A toteuttaa seuraavat ominaisuudet:. x( y + z) = xy + xz,. ( x + y) z = xz + yz jokaiselle,,. ( λx) y x( λ y) λ ( xy) x y z A, = = jokaiselle λ R ja x, y A. Alkiota e A sanotaan ykkösalkioksi, jos 4. ex = xe = x jokaiselle x A. Algebraa A sanotaan assosiatiiviseksi, jos 5. x( yz) = xy z jokaiselle x, y, z A.

28 . HYPERKOMPLEKSILUVUT 8 Algebraa A sanotaan kommutatiiviseksi, jos 6. xy = yx jokaiselle x, y A. Määritelmä... Algebran A dimensio on sen vektoriavaruuden dimensio. Esimerkki... Kompleksilukujen joukko C on kaksiulotteinen reaalinen algebra. Algebra C on kommutatiivinen ja assosiatiivinen. Lisäksi algebrassa C on olemassa ykkösalkio. Esimerkki..4. Avaruus R on ristitulon suhteen kolmiulotteinen reaalinen algebra. Algebra ei ole kommutatiivinen tai assosiatiivinen. Algebrassa ei ole olemassa ykkösalkiota. Määritelmä..5. Algebra A on jakoalgebra, jos jokaista a, b A ja a 0 kohti on olemassa sellaiset x A ja y A, jotka toteuttavat ehdot ax = b ja ya = b. (..) Lause..6. Äärellisulotteinen algebra A on jakoalgebra, jos ja vain jos sillä ei ole nollanjakajia. Tällöin xy = 0, jos x = 0 tai y = 0. Todistus ([0], s.75-76). Jokaiselle nollasta eroavalle alkiolle a A määrittelemme sellaiset kuvaukset L : A A ja R : A A asettamalla a a a = ja L x ax Algebran aksioomista seuraa, että L a ja ensin vasemmalta oikealle ja sen jälkeen toisinpäin. R x = xa. ( ) Oletetaan ensin, että A on jakoalgebra. Olkoon 0 L a on surjektiivinen lineaarikuvaus ja sen ydin on nolla eli ( L ) A ( iml ) a R a ovat lineaarikuvauksia. Todistetaan lause a ja ax = 0. Tällöin kuvaus dim ker a = dim dim a = 0. Näin ollen yhtälöstä ax = 0 seuraa ehto x ker La ja x = 0. Algebralla A ei siis ole nollajakajia. ( ) Kuvausten L a ja R a ydin on nolla, jos a 0 ja algebralla A ei ole nollajakajia. Tämän vuoksi L a ja R a ovat surjektiivisia. Tällöin yhtälöillä ax olemassa ratkaisu jokaista alkiota b kohti. Seuraus..7. Jos A on jakoalgebra, niin yhtälöiden ax = b ja ya = b on = b ja ya = b ratkaisut ovat yksikäsitteisiä.

29 . HYPERKOMPLEKSILUVUT 9 Lause..8. Assosiatiivisessa jakoalgebrassa on olemassa ykkösalkio. Todistus ([0], s.76). Olkoon a mikä tahansa nollasta eroava alkio algebrassa A. Kun sijoitamme kaavaan (..) b sellainen ykkösalkio e, että ae pätee yhtälö joka voidaan kirjoittaa muodossa Tästä voidaan päätellä, että ex saamme xe = a, on jakoalgebran määritelmän mukaan olemassa = a. Täten Lauseen..6 perusteella jokaiselle alkiolle x aex = ax, ( x) 0 a ex =. = x, sillä a 0 ja erityisesti ea = a. Samalla tavoin = x jokaista alkiota x kohti. Täten e on ykkösalkio.. Kvaternioiden perusominaisuudet Kvaternioiden joukkoa merkitään Hamilton kunniaksi kirjaimella H. Vaihtoehtoinen merkintätapa, jota kirjallisuudessa näkee, on merkintä Q. Hamiltonin vuonna 84 esittelemät kvaterniot muodostavat reaalisen neliulotteisen assosiatiivisen jakoalgebran H. Jakoalgebran H kannan muodostavat alkiot, i, j ja k. Alkioita kutsutaan myös imaginaariyksiköiksi. Kvaternioiden algebra H on assosiatiivinen, mutta se ei ole kommutatiivinen. Kvaternioiden kertolasku on määritelty seuraavasti: jossa on ykkösalkio ([0], s.76). i = j = k =, ij = ji = k, jk = kj = i, ki = ik = j, Kvaternioiden kertolasku voidaan esittää kertotauluna seuraavalla tavalla. i j k i j k i i - k -j j j -k - i k k j -i - Taulukko.. Kvaternioiden kertotaulu.