POHDIN - projekti. Funktio. Vektoriarvoinen funktio

Transkriptio

1 POHDIN - projekti Funktio Funktio f joukosta A joukkoon B tarkoittaa sääntöä, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon jonkin alkion joukosta B. Yleensä merkitään f : A B. Usein käytetään sanaa kuvaus synonyymina sanalle funktio, sillä jos x on joukon A alkio ja y tähän liittyvä joukon B alkio, niin tällöin on tapana merkitä funktio muotoon y f( x) ja sanoa, että funktio f kuvaa alkion x alkiolle y tai että y on alkion x kuva funktiossa f. Edelleen sanotaan, että joukko A on määrittelyjoukko ja joukko B funktion arvojoukko. Maalijoukoksi sanotaan sitä arvojoukon alkioiden osajoukkoa, joka on määrittelyjoukon alkioiden kuvien joukko. Vektoriarvoinen funktio Kun funktion määrittelyjoukko ja arvojoukko ovat reaalilukukunnan osajoukkoja, ts. funktio on muotoa f : R R, niin funktio kuvaa määrittelyjoukon jokaisen reaaliluvun x joksikin reaaliluvuksi f( x ). Tällaisen funktion kuvaaja esitetään tavanomaisesti tason pisteinä ( x, f( x )) ja tavanomaisesti xy -koordinaatistossa ja tuloksena on pääsääntöisesti tasokäyrä. Seuraavassa kuvassa on esitetty esimerkkinä funktion f : f( x) sin x kuvaaja välillä [, ] 1. 1 Muuttujan x määrittelyjoukko ei ole nyt asteina vaan radiaaneina, joita käsitellään tarkemmin trigonometrian opinnoissa

2 Ryhdytään laajentamaan sekä toisaalta funktion määrittelyjoukkoa että toisaalta funktion arvojoukkoa. Tarkastellaan kahden muuttujan reaaliarvoisia funktioita f : R R. Nyt määrittelyjoukko eli reaalitaso R koostuu järjestetyistä lukupareista ( xy,, ) joita kutsutaan tason pisteiksi. Tarkasteltavan funktion kuvaaja voidaan esittää kolmiulotteisen avaruuden R pisteinä ( xyf,, ( xy, )). Oheisessa kuvassa on esitetty esimerkiksi funktion f cos( x y ) : f( xy, ) x y 1 kuvaaja, kun määrittelyjoukkona on tasoalue D [ 4, 4] [ 4,4]. Huom. Kuva voisi havainnollistaa kolmiulotteisesti esimerkiksi ympärisäteilevän dipoliantennin säteilykuviota. Erityisesti huomataan, että kahden muuttujan funktion kuvaaja on pinta avaruudessa R. Edellä funktio-opillinen yleistys suoritettiin niin, että määrittelyjoukossa reaaliakselin tai sen osajoukon tilalle asetettiin taso tai tason osajoukko. Yleistys olisi voitu suorittaa myös toisin. Esimerkiksi vastaava kuva eli vastaavat avaruuden R pisteet saadaan myös niin, että Ns. kahden muuttujan funktioita käsitellään varsinaisesti matematiikan myöhemmissä opinnoissa. - -

3 määrittelyjoukkona on R :n osajoukko ja arvojoukkona on reaalilukuparit eli tason R pisteet. Tällöin funktio olisi muotoa f : R R. Tällaisessa kuvauksessa funktio f kuvaa jokaisen luvun x joksikin reaalilukupariksi ( f ( x), f ( x)) R 1. Funktioille f 1 : R R ja f : R R käytetään yleisesti nimitystä koordinaattifunktio tai komponenttifunktio ja itse funktio f on vektorifunktio tai vektoriarvoinen funktio. Samoin kuin edellä funktion f ( f1, f) kuvaaja voidaan esittää avaruuden R pisteinä ( x, f1( x), f( x )). Tällainen funktiomuoto on usein erityisen käyttökelpoinen avaruuskäyrien kuvaajien piirtämisessä, kun muuttuja x tulkitaan parametriksi. Funktio esitetään tällöin ns. parametrisoidussa muodossa. Tällöin siirrytään usein myös merkintämuotoon rt () f(), t gt (). Havainnollistaminen on hieman yksinkertaisempaa aloittaa tasossa R. Esimerkki 1. Piirretään funktioiden r( t) t, ja r( t) t, t 8t 5 kuvaajat. - -

4 Tavanomaisen funktion y f( x) käyttö ei ole aina riittävää, sillä funktion eräs keskeisimmistä ominaisuuksista on, että se ei voi saada yhdellä muuttujan arvolla kahta eri arvoa ts. mikään y -akselin suuntainen suora ei voi leikata funktion kuvaajaa kahdessa eri kohdassa. Näin esimerkiksi pelkästään ympyrän piirtäminen onnistuu käyttämällä kahta eri funktiota. Ongelma kuitenkin ratkeaa vektorifunktioiden avulla, sillä funktio rt () f(), t gt () kuvaa reaalilukuja tason pisteiksi eli vektoreiksi. Esimerkki. Ellipsiä x y ei tarvitse piirtää kahtena osana x f( x) 9, jos 4 käyttää apuna vektorifunktiota r( t) 6cos t,sin t eli ellipsin parametrimuotoa, missä t [0, ]. (Taas kulmat ovat radiaaneina.) Esimerkki 4. Parametrimuotoisten vektorifunktioiden piirto onnistuu CAS-laskimella seuraavasti B Piirrä kuvaaja Menu : Kuvaajan syöttö/muokkaus : Parametrinen x1() t sin() t t y1( t) t t tstep 0.1 Enter - 4 -

5 Esimerkki 5. Seuraavassa kuvassa on esitetty alkeellinen esimerkiksi DNA-molekyylin matemaattisesta mallista eli ns. kaksoiskierteestä. Koordinaattifunktiot ovat f 1 ( t) cost, f ( t) sin t, g 1 ( t) cost, g ( t) sin t ja itse funktiot ovat f ( f1, f) ja g ( g1, g) ts. kuvaan on piirretty avaruuden R pisteet (, t f1(), t f()) t ja (, 1(), ()) t g t g t, kun t [0, ]. EXTRA Jos sekä määrittelyjoukko että arvojoukko laajennetaan avaruuteen muotoa f : R R. R, niin tällöin funktio on Tällaisessa kuvauksessa reaalilukupari ( xy, ) kuvautuu reaalilukupariksi ( f1( xy, ), f( xy, )). Avaruuden 4 R pisteiden ( xyf,, 1( xy, ), f( xy, )) havainnollistaminen ei ole enää aivan yksikertaista, joten itse funktion f kuvaajan piirtäminen ei ole mitenkään erityisen helppoa. Kuitenkin kuvauksen koordinaattifunktioiden f 1 ja f kuvaajat on mahdollista esittää avaruuden R pistejoukkoina ( xyf,, 1( xy, )) ja ( xyf,, ( xy, )), jotka muodostavat avaruuteen R pintoja. On huomattava, että funktion f määrittelyjoukon alkio on tason piste ( xy, ) ja myös arvojoukon alkio ( f1( xy, ), f( xy, )) on tason piste ja että tason piste voidaan tulkita vektoriksi. Näin ollen itse funktio on vektorimuuttujan ja vektoriarvoinen f : R R funktio eli ns. vektorikenttä. Tällä on myöhemmin käyttöä esim. fysiikassa

6 Aluksi tasossa R Tehtävä 1. Piirrä CAS-laskinta käyttäen funktion r( t) cos t,sint kuvaaja. Tehtävä. Ilman CAS-laskinta käyttäen, minkälaisen kuvaajan piirtää funktio r( t) cos t,5sin t. Tehtävä. Piirrä CAS-laskimella Arkhimedeksen spiraali ja aloita asian kokeilut komennoilla x1() t tcos() t y1() t tsin() t 0 t 1 tstep 0.1 ja sitten avaruuteen R. Tehtävä 4. Minkä geometrisen kuvion piirtää funktio r() t 4, t, t 1 t? Tehtävä 5. Tehtävän yksi funktioon lisätään yksi dimensio eli yksi ulottuvuus lisää. Kerro minkälainen on funktion r( t) cos t,sin t,5 kuvaaja. Tehtävä 6. Tehtävän viisi funktioon tehdään pieni muutos ja saadaan funktio rt () cos,sin, t tt. Kuvaile millainen käyrä piirtyy! Tehtävä 7. Piirrä CAS-laskimella D-spiraali ja aloita kokeilut komennoilla Päävalikko Geometria Menu : Näytä : D-kuvaus Menu : D kuvaajan syöttö/muokkaus : Parametrinen xp1(, t u) cos() t yp1(, t u) sin() t zp1 ( t, u) t Asetukset (esimerkiksi) tmin=-4pii tmax=4pi Tehtävä 8. Vielä pieni muutos! Millaisen käyrän piirtää funktio r( t) t,cos t,sint. Päättele ilman laskinta ja tarkista laskimella