TILASTOT JA TODENNÄKÖISYYS

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "TILASTOT JA TODENNÄKÖISYYS"

Transkriptio

1 TILASTOT JA TODENNÄKÖISYYS Perusopetuksen opetussuunnitelmien perusteissa 2004 on vuosiluokille 6 9 määritelty tietyt tavoitteet koskien tilastoja ja todennäköisyyttä. Seuraavat keskeiset sisällöt tulevat esille: Todennäköisyys ja tilastot todennäköisyyden käsite frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi keskiarvon, tyyppiarvon ja mediaanin määrittäminen hajonnan käsite diagrammien tulkinta tietojen kerääminen, muuntaminen ja esittäminen käyttökelpoisessa muodossa. Alaluokkien opettajilla saattaa olla vaikeaa lähestyä näitä käsitteitä ilman sopivaa tukimateriaalia. Myös yläluokilla aihe saattaa jäädä vähäiselle huomiolle. Tämän materiaalin tarkoituksena on tuoda asiat esille hauskalla ja valmiiksi ohjeistetulla tavalla. Tehtävät ovat tarkoitettu perusopetuksen vuosiluokille 5-9. Materiaalissa on mukana myös projektityö ja erilaisia tapoja arvioida oppilaan suorituksia. Osa materiaalista on valmiiksi tulostettavassa muodossa. Oppilaan oletetaan hallitsevan koordinaatiston käytön ja osaavat prosenttilaskennan perusteet. Käsitteiden avaamista Arvosanat - pylväs- ja viivadiagrammi mediaani (järjestyksessä olevan aineiston keskimmäinen arvo tai keskimmäisten keskiarvo) - moodi eli tyyppiarvo (se aineiston arvo/arvot, joka esiintyy useimmin) - keskiarvo (arvojen summa jaettuna niiden lukumäärällä) - todennäköisyys (klassinen todennäköisyys P(A)= Arvosanat suotuisat tapaukset kaikki tapaukset Todennäköisyyden arvo on aina lukujen 0 ja 1 väliltä. 0 P A 1 ) Arvosanat Arvosanat.

2 1. HEITETÄÄN NOPPAA 1. Jokainen oppilas/ryhmä heittää noppaa 10 kertaa ja merkitsee tulokset sarakkeeseen (A) (käytä tukkimiehen kirjanpitoa). Sarakkeeseen (B) merkitään heittojen suhteellinen osuus (esim. 2/10 = 0,2). 2. Jokainen oppilas/ryhmä jatkaa heittämistä yhteensä sata kertaa (jatka kirjanpitoa sarakkeeseen (A)). Tämän jälkeen lasketaan suhteelliset osuudet sarakkeeseen (C). 3. Lopuksi opettaja kerää ryhmien tulokset sarakkeesta (A) taululle. Lasketaan kaikkien heittojen suhteelliset osuudet sarakkeeseen (D). (A) (B) (C) (D) Nopan silmäluku kappaletta osuus ensimmäisessä 10 heitossa osuus sadassa heitossa osuus koko luokan heitoissa yhteensä /10 100/ % Miten suhteelliset osuudet muuttuvat, kun heittojen lukumäärä kasvaa? _ Onko noppa rehellinen? _

3 2. KAHDEN NOPAN HEITTO 2. heiton silmäluku heiton silmäluku Heitä noppaa kahdesti (tai kahta noppaa kerran). Toista heitto kymmenen kertaa. Merkitse tuloksia vastaava ruutu rastilla. Jos sama tulos toistuu, merkitse ruutuun useampia rasteja. Rengasta taulukosta kaikki ne mahdolliset tapaukset, joissa noppien silmälukujen summa on parillinen. Kuinka monessa kaikista mahdollisista tapauksista silmälukujen summa on parillinen? Laske todennäköisyys sille, että silmälukujen summa on parillinen. Vastasiko oma heittotuloksesi todennäköisyyttä? Peli: Noppien taistelu Pelaajat kopioivat yllä olevan taulukon vihkoonsa. Pelaajat arpovat nopalla itselleen yhden seuraavista linnoituksista ja merkitsevät ne rasteilla omaan taulukkoonsa. linna (1) Silmälukujen summa = 6 linna (4) Silmälukujen summa < 5 linna (2) Silmälukujen summa = 7 linna (5) Silmälukujen summa > 9 linna (3) Silmälukujen summa = 8 linna (6) Sama silmäluku Pelaaja heittää kahta noppaa ja pyrkii tuhoamaan vastustajan linnan.

4 3. OVELAT HYRRÄT Pelin ohjeet Peliin tarvitaan neljä alla olevaa hyrrää, jotka voit valmistaa kartongista. Työnnä jokaisen kuusikulmion keskelle teräväpäinen tikku, jolloin hyrrä on valmis. Haasta sitten ystäväsi hyrrämatsiin, jossa molemmat valitsevat itselleen haluamansa hyrrän. Jokaisen hyrrän lukujen summa on 24, joten pelin uskoisi olevan reilua. Suuremman luvun saanut voittaa. Vihje opettajalle: Oma hyrrä kannattaa valita vastustajan hyrrän mukaan. Jos hänen hyrränsä suurin luku on 8, niin valitse itsellesi hyrrä jossa on 5. Jos hän ottaa hyrrän jossa on 7, niin valitse hyrrä jossa on 8. Vastaavasti hyrrällä jossa on 7 voitat todennäköisemmin hyrrän jossa on 6, sekä hyrrällä 6 voitat hyrrän jossa on 5. Miksi? Kannattaako pelata vain yhden voiton peliä?

5 4. TILASTOLLINEN TUTKIMUS JA DIAGRAMMIEN PIIRTÄMINEN Tilastollinen tutkimus: Tilastollinen materiaali voidaan kerätä usealla eri tavalla. Esimerkiksi - Yksilöllisyystesti: a) kädet ristiin (pane kädet ristiin, kumpi peukalo päällimmäinen?) b) kädet puuskaan (kädet rinnan yli ristiin, kumpi päällimmäinen?) c) silmän näkökyky (kummalla silmällä näet paremmin?) d) aplodit. (kumpi kämmenselkä jää päälle?) Opettaja kerää luokan tulokset taululle. Oppilaat päättelevät millainen on tyypillisin oppilas ominaisuuksiltaan. Onko luokalla yhtään tyypillisintä oppilasta? Diagrammin piirtäminen: Ensin tehdään tilastollinen tutkimus. Esimerkiksi luokan oppilaiden syntymäkuukausista. Esitä tulokset kolmen eri diagrammin avulla: pylväs-, viiva- ja sektoridiagrammi. Kukin diagrammi piirretään A4-kokoiselle valkoiselle paperille. Piirrä diagrammit siististi, voit käyttää myös värejä. Muista seuraavat asiat: - kirjoita diagrammille otsikko - nimeä akselit - merkitse akseleille asteikot (yleensä tasaväliset) - piirrä pylväät, sektorit ym. huolella

6 ARVIOINTIPOHJA NIMI: DIAGRAMMIEN PIIRTÄMINEN DIAGRAMMITYYPPI ARVIOITAVA KOHDE OMA TOVERI ARVIO ARVIO Pylväsdiagrammi Diagrammilla on otsikko /2 /2 Vaaka-akseli on nimetty ja /2 /2 sille on merkitty yksikkö Pystyakseli on nimetty ja /2 /2 sille on merkitty yksikkö Akselien asteikkovalinta /2 /2 on sopiva ja tasavälinen Pylväät on piirretty oikein /2 /2 Diagrammi on siisti ja /2 /2 selkeälukuinen Viivadiagrammi Diagrammilla on otsikko /2 /2 Vaaka-akseli on nimetty ja /2 /2 sille on merkitty yksikkö Pystyakseli on nimetty ja /2 /2 sille on merkitty yksikkö Akselien asteikkovalinta /2 /2 on sopiva ja tasavälinen Pylväät on piirretty oikein /2 /2 Diagrammi on siisti ja /2 /2 selkeälukuinen Sektoridiagrammi Diagrammilla on otsikko /3 /3 Sektorit on nimetty ja /3 /3 niihin on merkitty prosentit tms. Sektorit on piirretty oikein /3 /3 Diagrammi on siisti ja /3 /3 selkeälukuinen YHTEENSÄ / /

7 5. TODENNÄKÖISYYSTUTKIMUS Tehtävänäsi on tutkia tapahtuman todennäköisyyttä. Työ tehdään pareittain. Tee ensin kokeellinen tutkimus. Laske sen jälkeen tapahtuman todennäköisyys, vertaa tuloksia ja tee työstä raportti. 1. Tee tutkimussuunnitelma työstä vihkoon. Näytä suunnitelma opettajalle. 2. Laske tapahtuman todennäköisyys. Näytä laskusi opettajalle. 3. Kirjoita työstä raportti ohjeiden mukaan. AIHEET: 1. Heitä arpakuutiota kahdesti. Silmäluvusta muodostuu kaksinumeroinen luku. Millä todennäköisyydellä saatu luku on suurempi kuin 45? 2. Heitä arpakuutiota kahdesti. Laske silmälukujen summa. Millä todennäköisyydellä summa on parillinen? 3. Heitä arpakuutiota kahdesti. Millä todennäköisyydellä saat ainakin kerran silmäluvun viisi? 4. Rasiassa on kahdeksan marmorikuulaa. Kaksi niistä on punaisia, kaksi sinisiä, kaksi keltaisia ja kaksi vihreitä. Nostat rasiasta silmät ummessa kaksi kuulaa. Millä todennäköisyydellä kuulat ovat samanvärisiä? 5. Rasiassa on kahdeksan marmorikuulaa. Kaksi niistä on punaisia, kaksi sinisiä, kaksi keltaisia ja kaksi vihreitä.. Nostat rasiasta silmät ummessa kaksi kuulaa. Millä todennäköisyydellä kuulat ovat erivärisiä? 6. Arpajaisissa on myymättä vielä viisi arpakuponkia. Tiedetään, että kaksi niistä on voittoarpoja. Ostat kaksi arpaa. Millä todennäköisyydellä kumpikaan niistä ei ole voittoarpa? 7. Arpajaisissa on myymättä vielä viisi arpakuponkia. Tiedetään, että kaksi niistä on voittoarpoja. Ostat kaksi arpaa. Millä todennäköisyydellä toinen niistä on voittoarpa? 8. Arpajaisissa on myymättä vielä viisi arpakuponkia. Tiedetään, että kaksi niistä on voittoarpoja. ostat kaksi arpaa. Millä todennäköisyydellä molemmat niistä ovat voittoarpoja?

8 RAPORTTI Raportissa tulee olla seuraavat asiat: 1. Tutkimuksen aihe. Kirjoita annettu tehtävä. Esim. Tehtävänä oli 2. Menetelmä, jota käytit kokeellisessa tutkimuksessa. Kerro kuinka suoritit tutkimuksen. Esitä tutkimustulokset esimerkiksi taulukon avulla. 3. Tapahtuman todennäköisyyden laskeminen. Esitä kaikki laskut selkeästi. Laita laskuihin selitykset. 4. Kokeellisen ja lasketun tuloksen vertailu, mikäli mahdollista. Arvioi kuinka lähelle laskettua tulosta, pääsit omilla tutkimuksillasi. 5. Työn arviointi. Arvioi kuinka hyvin tutkimuksesi onnistui. Mitä olisi voinut tehdä paremmin? Aihe tekijät koulu päiväys 1. Tutkimuksen aihe 2. Kokeellinen osuus 3. Laskettu todennäköisyys Vertailu Arviointi

9 tekijät: koulu: päivämäärä:

10 1. Tutkimuksen aihe. 2. Kokeellinen osuus.

11 3. Laskettu todennäköisyys. 4. Vertailu. 5. Arviointi.

12 TODENNÄKÖISYYSTUTKIMUKSEN ARVIOINTI Työn nimi: Työn tekijät: Arvioinnin kohde Esitys Kirjallisen esityksen selkeys Korkea (3p) Keskimääräine n (2p) Matala (1p) Ei havaintoa (0p) Matemaattisen esityksen, symbolien ja tunnettujen lauseiden ja yhtälöiden tarkoituksenmukainen käyttö Tulkinta Aineiston jäsentely- ja kirjaamistaito Taulukoiden, diagrammien ym. käyttö Ongelman, tilanteen tai aiheen matemaattinen formulointi Arviointi Tulosten selittäminen ja merkityksellisyyden arviointi työn kannalta Tutkimuksen syvyys ja laajuus Pisteet yhteensä K Kiitettävä T Tyydyttävä V Välttävä Kokonaisarvio

13 6. PROJEKTITYÖ: SÄÄKARTOITUS Työ suoritetaan pienryhmissä. Ryhmät muodostetaan asuinalueen mukaan. Työn kesto on noin kaksi viikkoa. Tarvittava materiaali: Lämpömittari, astia sateen keräämiseen, mittalasi, kaupungin kartta, nuppineuloja, lankaa, havaintokortti (kuva A). Säähavaintokortin täyttäminen: Korttiin merkitään - päivämäärä - lämpötila - sademäärä - säätyyppi (aurinkoa, puolipilvistä, pilvistä, sadetta) - tuulen voimakkuus (kova, keskiverto, tyyni) - päivän mieliala (hyväntuulinen, neutraali, huonotuulinen) Työohje: Työ koostetaan kaupunkikartalle, jonne oppilaat merkitsevät asuinpaikkansa ja rengastavat alueen eri värein. Samalla värikoodilla työstetään lämpötiloista viivadiagrammi (kuva B) luokan seinälle käyttämällä nuppineuloja ja lankaa. Tehdään myös pylväsdiagrammi sademääristä esim. multilinkpalikoilla. Tulokset kerätään henkilökohtaisesti ja ryhmät laskevat keskiarvot. Ryhmän keskiarvo merkitään diagrammiin. Aineistot kerätään iltaisin, jotta sademäärä ja päivän mieliala voidaan kertoa. Lisää pohdittavaa: Vaikuttaako sää mielialaan (korrelaatio)? Mistä johtuu lämpötilojen ja sademäärien poikkeavuudet? Kuinka monta erilaista vaihtoehtoa on olemassa, kun huomioidaan säätyyppi, tuulen voimakkuus ja päivän mieliala (tuloperiaate)?

14 Säähavaintokortti (Kuva A) päivämäärä lämpötila sademäärä säätyyppi tuuli mieliala Viivadiagrammimalli (kuva B) lämpötila Itä pvm

Pelaajien lukumäärä: suositus 3 4 pelaajaa; peliä voi soveltaa myös muille pelaajamäärille

Pelaajien lukumäärä: suositus 3 4 pelaajaa; peliä voi soveltaa myös muille pelaajamäärille Heli Vaara ja Tiina Komulainen OuLUMA, sivu 1 MERIROSVOJEN AARTEENJAKOPELI Avainsanat: matematiikka, pelit, todennäköisyys Pelaajien lukumäärä: suositus 3 4 pelaajaa; peliä voi soveltaa myös muille pelaajamäärille

Lisätiedot

1. Tässä tehtävässä päätellään kaksilapsisen perheen lapsiin liittyviä todennäköisyyksiä.

1. Tässä tehtävässä päätellään kaksilapsisen perheen lapsiin liittyviä todennäköisyyksiä. TODENNÄKÖISYYS Aihepiirejä: Yhden ja kahden tapahtuman tuloksien käsittely ja taulukointi, ovikoodit, joukkueen valinta, bussin odotus, pelejä, urheilijoiden testaus kielletyn piristeen käytöstä, linnun

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta - tehtävät

Todennäköisyyslaskenta - tehtävät Todennäköisyyslaskenta - tehtävät Todennäköisyyslaskentaa käsitellään Pitkän matematiikan kertauskirjan sivuilla 253 276. Klassinen todennäköisyys Kombinatoriikka Binomitodennäköisyys Satunnaismuuttuja,

Lisätiedot

Juuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Kertaus K. a) Alapaineiden pienin arvo on ja suurin arvo 74, joten vaihteluväli on [, 74]. b) Alapaineiden keskiarvo on 6676870774

Lisätiedot

Todennäköisyys (englanniksi probability)

Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla uhkapeleistä Ranskassa (Pascal, Fermat). Nykyisin todennäköisyyslaskentaa käytetään hyväksi mm. vakuutustoiminnassa,

Lisätiedot

Kirjoita ohjelma jossa luetaan kokonaislukuja taulukkoon (saat itse päättää taulun koon, kunhan koko on vähintään 10)

Kirjoita ohjelma jossa luetaan kokonaislukuja taulukkoon (saat itse päättää taulun koon, kunhan koko on vähintään 10) Tehtävä 40. Kirjoita ohjelma, jossa luetaan 20 lukua, joiden arvot ovat välillä 10 100. Kun taulukko on täytetty, ohjelma tulostaa vain ne taulukon arvot, jotka esiintyvät taulukossa vain kerran. Tehtävä

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

TODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS

TODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS TODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS Klassinen todennäköisyys P suotuisten alkeistapausten lkm kaikkien alkeistapausten lkm P( mahdoton tapahtuma ) = 0 P( varma tapahtuma ) = 1 0 P(A) 1 Todennäköisyys

Lisätiedot

Järvi 1 Valkjärvi. Järvi 2 Sysijärvi

Järvi 1 Valkjärvi. Järvi 2 Sysijärvi Tilastotiedettä Tilastotieteessä kerätään tietoja yksittäisistä asioista, ominaisuuksista tai tapahtumista. Näin saatua tietoa käsitellään tilastotieteen menetelmin ja saatuja tuloksia voidaan käyttää

Lisätiedot

1. Fysiikan ylioppilaskokeessa jaettiin keväällä 2017 oheisen taulukon mukaisesti arvosanoja. Eri arvosanoille annetaan taulukon mukaiset lukuarvot.

1. Fysiikan ylioppilaskokeessa jaettiin keväällä 2017 oheisen taulukon mukaisesti arvosanoja. Eri arvosanoille annetaan taulukon mukaiset lukuarvot. MAB5-Harjoituskoe RATKAISUT 1. Fysiikan ylioppilaskokeessa jaettiin keväällä 2017 oheisen taulukon mukaisesti arvosanoja. Eri arvosanoille annetaan taulukon mukaiset lukuarvot. Fysiikka, kevät 2017, arvosanajakauma

Lisätiedot

ikä (vuosia) on jo muuttanut 7 % 46 % 87 % 96 % 98 % 100 %

ikä (vuosia) on jo muuttanut 7 % 46 % 87 % 96 % 98 % 100 % Testaa taitosi 1 1. Noppaa heitetään kahdesti. Merkitse kaikki alkeistapaukset koordinaatistoon. a) Millä todennäköisyydellä ainakin toinen silmäluvuista on 3? b) Mikä on a-kohdan tapahtuman vastatapahtuma?

Lisätiedot

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävä 1 on klassikko. 1. Tässä tehtävässä tapahtumat A ja B eivät välttämättä

Lisätiedot

1. Kymmenjärjestelmä ja desimaalilukujen yhteen- ja vähennyslaskua

1. Kymmenjärjestelmä ja desimaalilukujen yhteen- ja vähennyslaskua . Kymmenjärjestelmä ja desimaalilukujen yhteen- ja vähennyslaskua. Jatka. + 00 000 0 0 0 0 0 0 0 000 + 0 000 0 0 0 0 0 0 0 + 0,0,,,,,,0 0,,,,,,, + 0,,,0,,0,,00. Merkitse laskutapa ja laske. a), +, + 0,,

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset Todennäköisyyslaskenta I, kesä 207 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus, ratkaisuehdotukset. Kokeet ja Ω:n hahmottaminen. Mitä tarkoittaa todennäköisyys on? Olkoon satunnaiskokeena yhden nopan

Lisätiedot

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma 9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma Kahta joukkoa sanotaan erillisiksi, jos niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota. Jos pysytellään edelleen korttipakassa, niin voidaan ilman muuta sanoa, että

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin!

Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! MAA6 Kurssikoe 1.11.14 Jussi Tyni ja Juha Käkilehto Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A-OSIO: Laske kaikki

Lisätiedot

Ma8 Todennäköisyys ja tilastot

Ma8 Todennäköisyys ja tilastot Ma8 Todennäköisyys ja tilastot H1 Tilastollisen aineiston kuvaaminen 1.1 Vastaa kuvaajan perusteella kysymyksiin. a) Kuinka paljon tarvitset kuvaajan mukaan unta? b) Paljonko 20-vuotias tarvitsee unta?

Lisätiedot

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo.

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Kertaus Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Luokiteltu aineisto. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Hajontaluvut luokittelemattomalle

Lisätiedot

7 TODENNÄKÖISYYSLASKENTAA

7 TODENNÄKÖISYYSLASKENTAA 7 TODENNÄKÖISYYSLASKENTAA ALOITA PERUSTEISTA 277A. a) 8! = 40 320 Vastaus: 40 320 5 b) 5005 6 Vastaus: 5005 7 c) 7 Vastaus: 278A. Tuloperiaatteen mukaan asukokonaisuuksia on 4 2 2 = 6. Vastaus: 6 asukokonaisuutta

Lisätiedot

A-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.

A-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. MAA6 koe 26.9.2016 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja

Lisätiedot

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,

Lisätiedot

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla:

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla: MAA6.3 Loppukoe 9.11.01 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan

Lisätiedot

Tilastoja yleisurheillen

Tilastoja yleisurheillen Koostanut Elina Viro Opettajalle Tilastoja yleisurheillen Kohderyhmä: Luokat 7-9 Esitiedot: Prosenttilaskenta Taustalla oleva matematiikka: Frekvenssi, suhteellinen frekvenssi, moodi, mediaani, keskiarvo,

Lisätiedot

LUKUKORTIT Lukukorteista on moneksi Toiminnallista matematiikkaa 1.-6. luokille. Riikka Lyytikäinen Liikkuva koulu Helsinki 2016

LUKUKORTIT Lukukorteista on moneksi Toiminnallista matematiikkaa 1.-6. luokille. Riikka Lyytikäinen Liikkuva koulu Helsinki 2016 LUKUKORTIT Lukukorteista on moneksi Toiminnallista matematiikkaa 1.-6. luokille Riikka Lyytikäinen Liikkuva koulu Helsinki 2016 Lukujonot Tarvikkeet: siniset ja vihreät lukukortit Toteutus: yksin, pareittain,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,

Lisätiedot

Yhtälönratkaisu oppilaan materiaali

Yhtälönratkaisu oppilaan materiaali Yhtälönratkaisu oppilaan materiaali Nimi: Luokka: 1 1. Tosia ja epätosia väitteitä Alkupalat Kirjoita taulukkoon T, jos väite on tosi ja E, jos väite on epätosi. Väite 5 > 3 16 < 8 19 = 26 9 < 28 64 =

Lisätiedot

OTATKO RISKIN? peli. Heitä noppaa 3 kertaa. Tavoitteena on saada

OTATKO RISKIN? peli. Heitä noppaa 3 kertaa. Tavoitteena on saada OTATKO RISKIN? peli 1. Heitä noppaa 20 kertaa. Tavoitteena on saada vähintään 10 kertaa silmäluku 4, 5 tai 6. Jos onnistut, saat 300 pistettä. Jos et onnistu, menetät 2. Heitä noppaa 10 kertaa. Tavoitteena

Lisätiedot

(x, y) 2. heiton tulos y

(x, y) 2. heiton tulos y Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen

Lisätiedot

Tilastolliset toiminnot

Tilastolliset toiminnot -59- Tilastolliset toiminnot 6.1 Aineiston esittäminen graafisesti Tilastollisen aineiston tallentamisvälineiksi TI-84 Plus tarjoaa erityiset listamuuttujat L1,, L6, jotka löytyvät 2nd -toimintoina vastaavilta

Lisätiedot

Klassisen ja geometrisen todennäköisyyden harjoituksia

Klassisen ja geometrisen todennäköisyyden harjoituksia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat Harjoitustehtävät Klassisen ja geometrisen todennäköisyyden harjoituksia 3.1 Heität tavallista noppaa. Millä todennäköisyydellä a) saat kuutosen? b) saat ykkösen? c)

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

Suotuisien tapahtumien lukumäärä Kaikki alkeistapahtumien lukumäärä

Suotuisien tapahtumien lukumäärä Kaikki alkeistapahtumien lukumäärä Todennäköisyys 1 Klassinen todennäköisyys: p = Suotuisien tapahtumien lukumäärä Kaikki alkeistapahtumien lukumäärä Esimerkkejä: Nopan heitto, kolikon heitto Satunnaismuuttuja Tilastollisesti vaihtelevaa

Lisätiedot

Tuen tarpeen tunnistaminen

Tuen tarpeen tunnistaminen Tuen tarpeen tunnistaminen Matematiikan arviointi esiopetus kevät Esitysohjeet opettajalle Arvioinnin yleisiä periaatteita Tutustu ennen tehtävien esittämistä ohjeisiin ja materiaaliin sekä tarkista, että

Lisätiedot

Tuen tarpeen tunnistaminen

Tuen tarpeen tunnistaminen Tuen tarpeen tunnistaminen Matematiikan arviointi toinen luokka syksy Esitysohjeet opettajalle Arvioinnin yleisiä periaatteita Tutustu ennen tehtävien esittämistä ohjeisiin ja materiaaliin sekä tarkista,

Lisätiedot

Avainsanat: matematiikka, pelit, hyönteiset, lajintuntemus, todennäköisyys

Avainsanat: matematiikka, pelit, hyönteiset, lajintuntemus, todennäköisyys Merja Vaaramaa OuLUMA, sivu 1 Ötökkäarmeija Avainsanat: matematiikka, pelit, hyönteiset, lajintuntemus, todennäköisyys Luokkataso: 0-6. lk Pelaajien lukumäärä: 2 4 pelaajaa; peliä voi soveltaa myös muille

Lisätiedot

Yhdessä tehden, oppien ja yrittäen -peli

Yhdessä tehden, oppien ja yrittäen -peli Yhdessä tehden, oppien ja yrittäen -peli PELIOHJEET JOHDANTO Yhdessä tehden, oppien ja yrittäen -pelin tarkoituksena on oppia uutta mielekkäällä ja hauskalla tavalla. Pelissä ei varsinaisesti ole voittajaa,

Lisätiedot

Totta vai tarua matematiikan paradokseja

Totta vai tarua matematiikan paradokseja Totta vai tarua matematiikan paradokseja Onko intuitio aina oikeassa todennäköisyyksiä pohdittaessa? Tilastot eivät valehtele, eiväthän? Työohjeet: 1) Muodostetaan noin 3 henkilön ryhmät. 2) Valitkaa yhden

Lisätiedot

Päivi Kiviluoma Kimmo Nyrhinen Pirita Perälä Pekka Rokka Maria Salminen Timo Tapiainen. Mirjami Manninen. Nimi: Luokka:

Päivi Kiviluoma Kimmo Nyrhinen Pirita Perälä Pekka Rokka Maria Salminen Timo Tapiainen. Mirjami Manninen. Nimi: Luokka: 3a Päivi Kiviluoma Kimmo Nyrhinen Pirita Perälä Pekka Rokka Maria Salminen Timo Tapiainen KUVITUS Mirjami Manninen Nimi: Luokka: Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Sisällys 1. jakso Yhteen- ja vähennyslasku

Lisätiedot

1 Kuvien ja kaavioiden tulkintaa

1 Kuvien ja kaavioiden tulkintaa 1 Kuvien ja kaavioiden tulkintaa 2 Kokonaisuuden jakaminen osiin 3 Tietojen kerääminen ja taulukointi 4 Kaavioiden piirtäminen 5 Luokittelua ja piirtämistä 6 Tilastollisia tunnuslukuja 7 Erilaisia tilastoja

Lisätiedot

Klassisen ja geometrisen todennäköisyyden harjoituksia

Klassisen ja geometrisen todennäköisyyden harjoituksia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat Klassisen ja geometrisen todennäköisyyden harjoituksia 3.1 Heität tavallista noppaa. Millä todennäköisyydellä a) saat kuutosen? b) saat ykkösen? c) saat parittoman pisteluvun?

Lisätiedot

Todennäköisyys. Antoine Gombaud, eli chevalier de Méré?.? Kirjailija ja matemaatikko

Todennäköisyys. Antoine Gombaud, eli chevalier de Méré?.? Kirjailija ja matemaatikko Todennäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Todennäköisyyslaskennan juuret ovat ~1650-luvun uhkapeleissä. Kreivi de Mérén noppapelit: Jos noppaa heitetään 4 kertaa, niin kannattaako lyödä vetoa sen puolesta,

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

Tuen tarpeen tunnistaminen

Tuen tarpeen tunnistaminen Tuen tarpeen tunnistaminen Matematiikan arviointi esiopetus talvi Esitysohjeet opettajalle Arvioinnin yleisiä periaatteita Tutustu ennen tehtävien esittämistä ohjeisiin ja materiaaliin sekä tarkista, että

Lisätiedot

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

Tuen tarpeen tunnistaminen

Tuen tarpeen tunnistaminen Tuen tarpeen tunnistaminen Matematiikan arviointi ensimmäinen luokka syksy Esitysohjeet opettajalle Arvioinnin yleisiä periaatteita Tutustu ennen tehtävien esittämistä ohjeisiin ja materiaaliin sekä tarkista,

Lisätiedot

Valmistelut: Aseta kartiot numerojärjestykseen pienimmästä suurimpaan (alkeisopiskelu) tai sekalaiseen järjestykseen (pidemmälle edenneet oppilaat).

Valmistelut: Aseta kartiot numerojärjestykseen pienimmästä suurimpaan (alkeisopiskelu) tai sekalaiseen järjestykseen (pidemmälle edenneet oppilaat). Laske kymmeneen Tavoite: Oppilaat osaavat laskea yhdestä kymmeneen ja kymmenestä yhteen. Osallistujamäärä: Vähintään 10 oppilasta kartioita, joissa on numerot yhdestä kymmeneen. (Käytä 0-numeroidun kartion

Lisätiedot

Tilastoja yleisurheillen

Tilastoja yleisurheillen Tilastoja yleisurheillen Millainen mehupurkki on halvin valmistaa? Voisiko kaupan mehupurkki olla muodoltaan pallo? Entä lieriö? Opettaja jakaa luokan oppilaat noin kolmen henkilön ryhmiin. Työohjeet:

Lisätiedot

LUKUJONOT. 1) Jatka lukujonoja. 0, 1, 2,,,, 6, 8, 10,,,, 8, 12, 16,,,, 18, 15, 12,,,, 30, 25, 20,,,, 2) Täydennä lukujonoihin puuttuvat luvut.

LUKUJONOT. 1) Jatka lukujonoja. 0, 1, 2,,,, 6, 8, 10,,,, 8, 12, 16,,,, 18, 15, 12,,,, 30, 25, 20,,,, 2) Täydennä lukujonoihin puuttuvat luvut. LUKUJONOT 2 1) Jatka lukujonoja. 0, 1, 2,,,, 6, 8, 10,,,, 8, 12, 16,,,, 18, 15, 12,,,, 30, 25, 20,,,, 2) Täydennä lukujonoihin puuttuvat luvut. 2, 4,, 8,, 12,,, 7,, 3, 1 3) Keksi oma lukujono ja kerro

Lisätiedot

Kertaustesti Perheessä on neljä lasta, joista valitaan arpomalla kaksi tiskaajaa. Millä todennäköisyydellä nuorin joutuu tiskaamaan?

Kertaustesti Perheessä on neljä lasta, joista valitaan arpomalla kaksi tiskaajaa. Millä todennäköisyydellä nuorin joutuu tiskaamaan? Kertaustesti 1 Nimi: 1. a) Noppaa heitetään kerran. Millä todennäköisyydellä saadaan silmäluku 2? b) Noppaa heitetään kaksi kertaa peräkkäin. Millä todennäköisyydellä molemmilla heitoilla saadaan silmäluku

Lisätiedot

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut 11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Pinta-ala- ja tilavuuskäsitteiden oppimispeli

Pinta-ala- ja tilavuuskäsitteiden oppimispeli Pinta-ala- ja tilavuuskäsitteiden oppimispeli Kari Mikkola, FM, OSAO, Kaukovainion yksikkö, tekniikka Geometriaa on perinteisesti osattu heikoiten matematiikan osa-alueista peruskoulun päättyessä [1],

Lisätiedot

vkp 4*(1+0)/(32-3)-1= vkp 2*(1+0)/(32-3)=

vkp 4*(1+0)/(32-3)-1= vkp 2*(1+0)/(32-3)= JÄRJESTYSKORRELAATIO 1. Hannu ja Kerttu pitävät karamelleista, mutta heidän mieltymyksensä poikkeavat hieman. Hannun mielestä punaiset karkit ovat parhaita ja keltaiset miellyttävät häntä vähiten. Kerttu

Lisätiedot

1. Kuinka monella tavalla joukon kaikki alkiot voidaan järjestää jonoksi? Tähän antaa vastauksen: tuloperiaate ja permutaatio

1. Kuinka monella tavalla joukon kaikki alkiot voidaan järjestää jonoksi? Tähän antaa vastauksen: tuloperiaate ja permutaatio TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Kombinatoriikka Todennäköisyyksiä (-laskuja) varten tarvitaan tieto tapahtumille suotuisien alkeistapausten lukumäärästä eli tapahtumaa vastaavan osajoukon alkioiden lukumäärästä.

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

10, 9, 5, 6, 7, 4, 7, 9, 8, 7, 6, 7, 8, 6

10, 9, 5, 6, 7, 4, 7, 9, 8, 7, 6, 7, 8, 6 MAA6.1 Loppukoe 23.11.2012 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

Kertomustaulut. Johdanto. Pakkauksen sisältö

Kertomustaulut. Johdanto. Pakkauksen sisältö Kertomustaulut Johdanto Tämä peli luotiin puheen ja kielen häiriöistä kärsiville lapsille, jotka tarvitsivat apua tarinankerronnassa, kun he esimerkiksi halusivat kuvailla luokkaretken tapahtumia. Kertomustaulut-peli

Lisätiedot

1 Jalkapallo 100 0,806 81 % Vastaus: 81 % Esimerkki 1. Desimaaliluvun muuntaminen prosenttiluvuksi: 0,81 = 81 % 2 Prosentti- ja potenssilaskenta

1 Jalkapallo 100 0,806 81 % Vastaus: 81 % Esimerkki 1. Desimaaliluvun muuntaminen prosenttiluvuksi: 0,81 = 81 % 2 Prosentti- ja potenssilaskenta 1 Jalkapallo Esimerkki 1 Desimaaliluvun muuntaminen prosenttiluvuksi: 0,81 = 81 % Tampere Utd:n maalivahti Mikko Kavén torjui 100 maalia kaudella 2004. Kohti maalia laukauksia oli 124. Kuinka monta prosenttia

Lisätiedot

2016 Pauli Nousiainen, Yvonne Silvander ja Lasten Keskus ja Kirjapaja Oy

2016 Pauli Nousiainen, Yvonne Silvander ja Lasten Keskus ja Kirjapaja Oy Kokeet KOPIOINTIEHDOT Tämän verkkoaineiston muokkaaminen on sallittua. Aineiston tulostaminen, kopiointi, välittäminen tai muu jatkokäyttö sellaisenaan tai muokattuna edellyttää kuitenkin oikeudenomistajan

Lisätiedot

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten Todennäköisyys Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten tietoliikennejärjestelmien ymmärtämisessä

Lisätiedot

Pelin tavoitteena on kerätä eniten eläin-pelimerkkejä ennen takaisin leiriin palaamista.

Pelin tavoitteena on kerätä eniten eläin-pelimerkkejä ennen takaisin leiriin palaamista. OHJE / PELIOHJE 1 (5) Eläinsafari yli 5-vuotiaille pelilauta 4 värikästä jeeppi-pelikorttia 4 värikästä kortinpidikettä 2 noppaa 40 eläinkorttia, joissa 1-3 eläintä laskutaitoa taktikointia Kasatkaa pelilauta.

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

&idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

&idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 20.10.2015/1 MTTTP5, luento 20.10.2015 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

Geogebra -koulutus. Ohjelmistojen pedagoginen hyödyntäminen

Geogebra -koulutus. Ohjelmistojen pedagoginen hyödyntäminen Geogebra -koulutus Ohjelmistojen pedagoginen hyödyntäminen Geogebra Ilmainen dynaaminen matematiikkaohjelmisto osoitteessa http://www.geogebra.org Geogebra-sovellusversion voi asentaa tietokoneilla ja

Lisätiedot

Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja.

Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja. Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Kurssi käsittelee todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä. Laaditaan satunnaisilmiöille todennäköisyysmalleja. Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta?

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Pehmopapereiden matematiikkaa

Pehmopapereiden matematiikkaa Pehmopapereiden matematiikkaa Kuinka paljon vessapaperia kuluu keskimäärin vuodessa? Kuinka paljon talouspaperia on yhdessä rullassa? Onko vessapaperien valmistaminen hyvä bisnes? Otetaan selvää! Työohjeet:

Lisätiedot

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla,

Lisätiedot

Tuen tarpeen tunnistaminen

Tuen tarpeen tunnistaminen Tuen tarpeen tunnistaminen Matematiikan arviointi ensimmäinen luokka kevät Esitysohjeet opettajalle Arvioinnin yleisiä periaatteita Tutustu ennen tehtävien esittämistä ohjeisiin ja materiaaliin sekä tarkista,

Lisätiedot

1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut

1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut 1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut D1. Heitetään kahta virheetöntä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Tällöin heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on S = {(x, y)

Lisätiedot

Pelaajat siirtävät nappuloitaan vastakkaisiin suuntiin pelilaudalla. Peli alkaa näin. Tuplauskuutio asetetaan yhtä kauas kummastakin pelaajasta.

Pelaajat siirtävät nappuloitaan vastakkaisiin suuntiin pelilaudalla. Peli alkaa näin. Tuplauskuutio asetetaan yhtä kauas kummastakin pelaajasta. DVD Backgammon Pelin tavoite Pelin tavoitteena on siirtää kaikki omat pelinappulat omalle sisäkentälle ja sieltä pois laudalta. Se pelaaja, joka ensimmäisenä on poistanut kaikki pelinappulansa pelilaudalta,

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 12.1.2016/1 MTTTP5, luento 12.1.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

Tuen tarpeen tunnistaminen

Tuen tarpeen tunnistaminen Tuen tarpeen tunnistaminen Matematiikan arviointi toinen luokka talvi Esitysohjeet opettajalle Arvioinnin yleisiä periaatteita Tutustu ennen tehtävien esittämistä ohjeisiin ja materiaaliin sekä tarkista,

Lisätiedot

75059 Suuri lajittelusarja

75059 Suuri lajittelusarja 75059 Suuri lajittelusarja Peliohjeet Tämä sarjan sisältö: 632 kpl lajitteluesineitä 3 kpl onnenpyörää 6 kpl lajittelukulhoa 1 kpl muovinen lajittelualusta 1 kpl numeromerkitty arpakuutio Lajittelusarja

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Ecolier, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos

Lisätiedot

TURNAUSOHJEET. Turnauksen tavoite. Ennen aloitusta. Taistelukierroksen Pelaaminen. www.ninjago.com

TURNAUSOHJEET. Turnauksen tavoite. Ennen aloitusta. Taistelukierroksen Pelaaminen. www.ninjago.com Turnauksen tavoite Ennen aloitusta Haluatko Spinjitzumestariksi? Valitse vastustaja ja mittele taitojasi monella kierroksella. Voitat ottamalla vastustajaltasi kaikki aseet! Jokainen pelaaja tarvitsee

Lisätiedot

52999 Aktiivinen matematiikka

52999 Aktiivinen matematiikka 52999 Aktiivinen matematiikka Laske kymmeneen Oppilaiden määrä: vähintään 10 oppilasta. Numeroidut kartiot 1-10 (käytä 0-kartion päällä kartionpäällistä ja kirjoita lapulle numero 10). Numeroidut hernepussit

Lisätiedot

Metso Minerals. Lyhyt kuvaus projektista: Oppilaat työskentelevät neljän henkilön ryhmissä, joissa jokaisessa on

Metso Minerals. Lyhyt kuvaus projektista: Oppilaat työskentelevät neljän henkilön ryhmissä, joissa jokaisessa on Koostanut: Elina Viro, Kaisa Poikela, Metso Minerals Opettajalle Metso Minerals Kohderyhmä: 9. luokka Esitiedot: Prosenttilaskenta, taulukon tulkinta, koordinaatisto, trigonometria, ensimmäisen asteen

Lisätiedot

Tuen tarpeen tunnistaminen

Tuen tarpeen tunnistaminen Tuen tarpeen tunnistaminen Matematiikan arviointi toinen luokka kevät Esitysohjeet opettajalle Arvioinnin yleisiä periaatteita Tutustu ennen tehtävien esittämistä ohjeisiin ja materiaaliin sekä tarkista,

Lisätiedot

4 Kertaus: Tilastot ja todenna ko isyys

4 Kertaus: Tilastot ja todenna ko isyys 4 Kertaus: Tilastot ja todenna ko isyys 4.1 Kurssin keskeiset asiat 1. Viimeisen muuttujan arvon 4 summafrekvenssi on 25, joten havaintoyksiköiden lukumäärä on 25. Lasketaan puuttuvat frekvenssit taulukkoon:

Lisätiedot

Impedanssitomografia-peli

Impedanssitomografia-peli Impedanssitomografia-peli Avainsanat: inversio-ongelmat, päättely, satunnaisuus Luokkataso: 3.-5. luokka, 6.-9. luokka, lukio, yliopisto Välineet: kynä, paperia, 2 pelinappulaa, 4 kolikkoa tai kolikonheittokortit

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Yksilöllisen oppimisen menetelmä. Ville Aitlahti, @matikkamatskut, www.matikkamatskut.com

Yksilöllisen oppimisen menetelmä. Ville Aitlahti, @matikkamatskut, www.matikkamatskut.com Yksilöllisen oppimisen menetelmä Yksilöllisen oppimisen menetelmä Tarve menetelmän takana: http://youtu.be/dep6mcnbh_c Oman oppimisen omistaminen Opettajan tietyt raamit toiminnalle Oman oppimisen omistaminen

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa

Lisätiedot

Avainsanat: peli, matematiikka, polynomi, yhteen- ja vähennyslasku, kertolasku

Avainsanat: peli, matematiikka, polynomi, yhteen- ja vähennyslasku, kertolasku Pasi Leppäniemi OuLUMA, sivu 1 POLYNOMIPELI Avainsanat: peli, matematiikka, polynomi, yhteen- ja vähennyslasku, kertolasku Luokkataso: 8-9 lk Välineet: pelilauta, polynomikortit, monomikortit, tuloskortit,

Lisätiedot

GeoGebra tutkivan oppimisen välineenä: havainto-hypoteesi-testaus

GeoGebra tutkivan oppimisen välineenä: havainto-hypoteesi-testaus GeoGebra tutkivan oppimisen välineenä: havainto-hypoteesi-testaus Mitä jäi mieleen viime viikosta? Mitä mieltä olet tehtävistä, joissa GeoGebralla työskentely yhdistetään paperilla jaettaviin ohjeisiin

Lisätiedot

Kenguru 2019 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2019 Cadet (8. ja 9. luokka) Sivu 0 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Tunnistekoodi (ope täyttää): Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse vastaus tehtävän numeron alle. Oikeasta vastauksesta saa 3, 4 tai

Lisätiedot

Ongelmanratkaisutehtävien analysointia

Ongelmanratkaisutehtävien analysointia Ongelmanratkaisutehtävien analysointia Tero Vedenjuoksu 29.3.2014 Matemaattisten tieteiden laitos OPH:n ongelmanratkaisutaitojen tutkimus I Ajatuksia ja keskustelua artikkelista (Leppäaho, Silfverberg

Lisätiedot

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA 4..005 OSA 1 Laskuaika 30 min Pistemäärä 0 pistettä 1. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Minkä säännön mukaan lukujono muodostuu? 1 4 5 1 1 1

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin. Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 1.2.2013 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Lisätiedot

Metsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO...

Metsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO... Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA...9 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...9 1.3

Lisätiedot

Yykaakoo 2A: opettajan oppaan liitteet

Yykaakoo 2A: opettajan oppaan liitteet A: opettajan oppaan liitteet KOPIOINTIPOHJAT 1. Oppikirjan liitteet 2 a) Geometriset kappaleet 2 b) Satataulu 3 c) Kertolaskuruudukko 4 d) Taulukkokortit 5 e) Kertolaskukortit 7 2. Lukukortteja 11 a) Lukukortit

Lisätiedot

Kertausosa. 1. a) Muodostetaan taulukon perusteella frekvenssijakaumat. b) Moodi on se muuttujan arvo, jonka frekvenssi on suurin. Mo = 5.

Kertausosa. 1. a) Muodostetaan taulukon perusteella frekvenssijakaumat. b) Moodi on se muuttujan arvo, jonka frekvenssi on suurin. Mo = 5. Kertausosa 1. a) Muodostetaan taulukon perusteella frekvenssijakaumat. Äänimäärä f f % 0 1 1 0,0169... 59 4 4 0,0677... 59 3 7 7 0,1186... 59 4 15 15 0,54... 59 5 18 18 0,3050... 59 6 1 1 0,033... 59 7

Lisätiedot

Pehmopapereiden matematiikkaa

Pehmopapereiden matematiikkaa Koostanut Iida Hirn ja Elina Viro Opettajalle Pehmopapereiden matematiikkaa Kohderyhmä: 9.luokka Esitiedot: Pinta-ala, tilavuus, tilastomatematiikka, Excel, verranto, koordinaatisto Taustalla oleva matematiikka:

Lisätiedot