MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
|
|
- Niko Laakso
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 6 Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen regressio Kalle Kytölä, Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015
2 Sisältö Kahden muuttujan aineiston kuvaileminen Pienimmän neliösumman menetelmä Lineaarinen regressiomalli Normaalijakautuneisuuden testaaminen
3 Sisältö Kahden muuttujan aineiston kuvaileminen Pienimmän neliösumman menetelmä Lineaarinen regressiomalli Normaalijakautuneisuuden testaaminen
4 Kahden muuttujan aineiston kuvaileminen Kerätty aineisto: n havaintoyksikköä, p muuttujaa. Valitaan kaksi muuttujaa tarkasteluun, jolloin analysoitava aineisto (x, y) koostuu pareista (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ).
5 Esim. Kurssin arvostelu Onko harjoituspisteillä vaikutusta tenttipisteisiin? id tentti (y) raportti harjoitukset (x) arvosana Syöte (selittäjä): x = (0, 20, 0, 16, 20, 17, 3, 9, 12, 0, 19, 0, 17) Vaste (selitettävä): y = (0, 17, 15, 12, 19, 21, 0, 13, 19, 0, 15, 12, 13)
6 Hajontakuvio Aineisto: (x 1, y 1 ),..., (x n, y n )
7 Otoskovarianssi Aineistovektoreiden x ja y otoskovarianssi määritellään kaavalla s(x, y) = 1 n 1 n (x i m(x))(y i m(y)), i=1 missä m(x) ja m(y) ovat aineistovektoreiden keskiarvot Huom: s(x, x) = s 2 (x) on x:n otosvarianssi s(y, y) = s 2 (y) on y:n otosvarianssi s(x, x) = s(x) on x:n otoskeskihajonta s(y, y) = s(y) on y:n otoskeskihajonta
8 Esim. Kurssin arvostelu id tentti (y) raportti harjoitukset (x) arvosana Otoskovarianssi s(x, y) = cov(x,y) = Tämä luku pitää normalisoida, jotta sen voi hahmottaa.
9 Otoskorrelaatio Aineistovektoreiden x ja y Pearsonin otoskorrelaatio määritellään kaavalla r(x, y) = s(x, y) [ 1, +1] s(x)s(y) Otoskorrelaatio mittaa (tilastollista) lineaarista riippuvuutta: Karl Pearson FRS Jos r(x, y) > 0, niin x ja y ovat positiivisesti korreloituneita Jos r(x, y) = 0, niin x ja y ovat korreloimattomia Jos r(x, y) < 0, niin x ja y ovat negatiivisesti korreloituneita
10 Esim. Kurssin arvostelu id tentti (y) raportti harjoitukset (x) arvosana Pearsonin otoskorrelaatio r(x, y) = cor(x,y) = Harjoituspisteet ja tenttipisteet vaikuttavat positiivisesti korreloituneilta Vai onko kyseessä satunnaisvaihtelun tuotos?
11 Korreloituneisuuden testaaminen Pohjahypoteesi (stokastinen malli): Havaitut lukuparit (x i, y i ) ovat realisaatioita riippumattomista satunnaisvektoreista (X i, Y i ) N 2 (µ X, µ Y, σ 2 X, σ2 Y, ρ XY ). H 0 : ρ XY = 0 vs. H 1 : ρ XY 0 Yleisen hypoteesin ja nollahypoteesin pätiessä testisuure t(x, Y ) = r(x, Y ) n 2 1 r(x, Y ) 2 William S Gosset (a.k.a. Student ) noudattaa t-jakaumaa vapausastein n 2. Itseisarvoltaan suuret testisuureen arvot puoltavat nollahypoteesin hylkäämistä
12 Esim. Kurssin arvostelu id tentti (y) raportti harjoitukset (x) arvosana Noudattavatko laskuharjoituspisteet ja tenttipisteet 2-ulotteista normaalijakaumaa? Ei. Molemmat ovat diskreettejä, eikä jakauma yleensä ole edes symmetrinen. Tässä tapauksessa korreloituneisuuden testaaminen edellä mainitulla testillä ei ole perusteltua.
13 Esim. Isien ja poikien pituudet Height Son Father Noudattavatko isien ja poikien pituudet 2-ulotteista normaalijakaumaa?
14 Father Esim. Isien ja poikien pituudet f Son
15 Esim. Isien ja poikien pituudet Density Histogram of Fathers Height Density Histogram of Sons Height
16 Esim. Isien ja poikien pituudet Noudattavatko isien ja poikien pituudet normaalijakaumaa? Pituuksien jakaumaa voidaan pitää likipitäen kaksiulotteisena normaalijakaumana. Korreloituneisuutta voisi olla perusteltua testata edellä mainitulla testillä. Otoskorrelaatio on cor(x,y) = Aineistosta laskettu testisuure t(x, y) = p-arvo Pr( t(x, Y ) 18.85) = 2*(1-pt(18.85,1076)) = 0 Koska p-arvo on alle 0.01, nollahypoteesi (ρ XY = 0) hylätään 1 % merkitsevyystasolla Johtopäätös: isien ja poikien pituuksien välillä on (tilastollista) lineaarista riippuvuutta.
17 Sisältö Kahden muuttujan aineiston kuvaileminen Pienimmän neliösumman menetelmä Lineaarinen regressiomalli Normaalijakautuneisuuden testaaminen
18 Esim. Kurssin arvostelu id tentti (y) raportti harjoitukset (x) arvosana Pearsonin otoskorrelaatio r(x, y) = Muuttujien välillä kohtuullisen vahva lineaarinen riippuvuus Mikä suora parhaiten kuvastaa lineaarista riippuvuutta?
19 Hajontakuvio Aineisto: (x 1, y 1 ),..., (x n, y n )
20 Suoran sovittaminen Sovitteet: ŷ i = β 0 + β 1 x i
21 Sovitusvirhe Jäännöstermit: e i = y i ŷ i
22 Sovitusvirheen minimointi Miten valitaan suoran kulmakerroin β 1 ja vakiotermi β 0 optimaalisesti?
23 Sovitusvirheen minimointi Suoran ŷ = β 0 + β 1 x virhetermien neliösumma SSE(β 0, β 1 ) = n (y i ŷ i ) 2 = i=1 n (y i β 0 β 1 x i ) 2 i=1 Pienimmän neliösumman menetelmä Etsitään (β 0, β 1 ) s.e. virhetermien neliösumma minimoituu. Ratkaisu: Derivoi SSE(β 0, β 1 ) β 0 :n ja β 1 :n suhteen, aseta molemmat derivaatat nolliksi, ja ratkaise kyseiset yhtälöt. Vastaus: (β 0, β 1 ) = (b 0, b 1 ), missä b 1 = r(x, y) s(y) s(x), b 0 = m(y) b 1 m(x).
24 Esim. Kurssin arvostelu id tentti (y) raportti harjoitukset (x) arvosana Keskiarvot: m(x) = 10.2, m(y) = 12.0 Otoskeskihajonnat: s(x) = 8.51, s(y) = 7.39 Pearsonin otoskorrelaatio r(x, y) = b 1 = r(x, y) s(y) s(x) = 0.60 b 0 = m(y) b 1 m(x) = 5.82
25 Esim. Isien ja poikien pituudet Height Son Father Keskiarvot: m(x) = , m(y) = Otoskeskihajonnat: s(x) = 6.98, s(y) = 7.14 Pearsonin otoskorrelaatio r(x, y) = b 1 = r(x, y) s(y) s(x) = 0.51 b 0 = m(y) b 1 m(x) = 86.83
26 Esim. Isien ja poikien pituudet Height Son Father
27 Sisältö Kahden muuttujan aineiston kuvaileminen Pienimmän neliösumman menetelmä Lineaarinen regressiomalli Normaalijakautuneisuuden testaaminen
28 Sovitetun suoran luottamusväli Jos kahden muuttujan aineistoon sovittaa suoran pienimmän neliösumman menetelmällä, millä tarkkuudella kyseinen suora ennustaa vasteen arvoja? Millä tn suoralta ennustettu vastemuuttujan arvo on lähellä mittauksessa havaittavaa arvoa? Tarvitaan tilastokokeen stokastinen malli
29 Lineaarinen regressiomalli Oletetaan, että vastemuuttuja Y riippuu syötemuuttujasta x seuraavasti: Y = β 0 + β 1 x + ɛ, missä ɛ N(0, σ 2 ). Kun tehdään n riippumatonta mittausta syötemuuttujan arvoilla x 1,..., x n, saadaan vastemuuttujan arvot Y k = β 0 + β 1 x k + ɛ k, k = 1,..., n, ja stokastisen mallin satunnaiset virhetermit ɛ 1,..., ɛ n ovat riippumattomat N(0, σ 2 )-jakautuneet. Mallissa on 3 tuntematonta parametria: (β 0, β 1, σ 2 ).
30 Lineaarisen regressiomallin parametrien estimointi Parametrien β 0, β 1 suurimman uskottavuuden estimaattorit ovat pienimmän neliösumman menetelmällä saadut kertoimet b 1 = r(x, y) s(y) s(x), b 0 = m(y) b 1 m(x). Tuntemattoman varianssiparametrin σ 2 estimaattorina käytetään S 2 = 1 n 2 n j=1 (y j ŷ j ) 2 = 1 n 2 n (y j b 0 b 1 x j ) 2. j=1
31 Vastemuuttujan ennusteväli Halutaan ennustaa syötemuuttujaa x vastaava vastemuuttujan arvo Y ( x) havaitun aineiston (x 1,..., x n ; y 1,..., y n ) pohjalta. Ennuste on Ŷ ( x) = b 0 + b 1 x, missä b 0, b 1 estimoidaan aineistosta PNS-menetelmällä. Vasteen (1 α) ennustevälin päätepisteet ovat b 0 + b 1 x ± t α/2 S n + ( x m(x))2 (n 1)s 2 (x), missä t α/2 on luku, jolle t(n 2)-jakatunut satunnaisluku T toteuttaa Pr( t α/2 T t α/2 ) = α. Huom: Ennusteväli on sitä leveämpi, mitä kauempana x on havaitun aineiston keskiarvosta m(x).
32 Esim. Kurssin arvostelu Voidaanko harjoituspisteistä ennustaa tenttipisteet? id tentti (y) raportti harjoitukset (x) arvosana Ei ainakaan edellä mainitulla regressiomallilla, koska jäännösten ei voida olettaa noudattavan normaalijakaumaa.
33 Esim. Isien ja poikien pituudet Voidaanko poikien pituudet ennustaa isien pituuksista?
34 Esim. Isien ja poikien pituudet Height Son Father
35 Regressiomallin jäännökset, kun isä on noin 165cm Histogram of residuals vs. normal distribution Density Residual
36 Esim. Isien ja poikien pituudet Height Son Father
37 Regressiomallin jäännökset, kun isä on noin 170cm Histogram of residuals vs. normal distribution Density Residual
38 Esim. Isien ja poikien pituudet Voidaanko poikien pituudet ennustaa isien pituuksista? Vaikuttaisi siltä, että jäännösten normaalijakautuneisuus ja varianssiehto toteutuvat, joten regressiomallia voidaan soveltaa.
39 Pojan pituus, kun isän pituus on noin 165cm Heights of sons Density Height Poikien pituuksien jakauma ja 90% ennusteväli, kun isän pituus on 165cm.
40 Pojan pituus, kun isän pituus on noin 170cm Heights of sons Density Height Poikien pituuksien jakauma ja 90% ennusteväli, kun isän pituus on 170cm.
41 Esim. Isien ja poikien pituudet (90 % ennusteväli) Height Sons Fathers
42 Sisältö Kahden muuttujan aineiston kuvaileminen Pienimmän neliösumman menetelmä Lineaarinen regressiomalli Normaalijakautuneisuuden testaaminen
43 Onko aineisto peräisin normaalijakaumasta? x = ( ) Ovatko havaitut luvut riippumattomien normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien (X 1,..., X n ) realisaatioita? Aineiston tunnuslukuja Keskiarvo m(x) = Otoskeskihajonta s(x) = Minimi min(x) = 15.1 Maksimi max(x) = 67.5 Histogrammi Histogrammi ei näytä normaalijakautuneelta. Voiko tämä johtua pienen otoksen satunnaisvaihtelusta?
44 Empiirinen kertymäfunktio x = ( ) Aineiston x empiirinen kertymäfunktio t F x (t) kertoo, millä tn aineistosta umpimähkään valittu luku on enintään t. F x (t) = lkm{k : x k t} n Glivenko Cantelli: Jos aineisto peräisin F :stä, niin F (X1,...,X n)(t) F (t) suurilla n.
45 Kolmogorovin Smirnovin testisuure x = ( ) Nollahypoteesi H 0 : Aineisto on peräisin jakaumasta F. H 0 :n pätiessä stokastisen mallin X = (X 1,..., X n ) testisuure D (X1,...,X n) = n max t R F (X 1,...,X n)(t) F (t) noudattaa likimain Kolmogorovin jakaumaa, kertymäfunktio H(t) = 1 2 ( 1) k 1 e 2k2 t 2, t 0. k=1 Suuret testisuureen arvot puoltavat H 0 :n hylkäämistä.
46 Empiirinen kertymäfinktio vs. normaalijakauma Kolmogorv Smirnovin testi R:llä, ks.test(x,"pnorm",mx,sx): testisuure: D = , p-arvo= nollahypoteesia aineisto on jakaumasta N(m(x), s 2 (x)) ei hylätä.
47 Kolmogorovin Smirnovin testi Testin avulla voi testata mitä tahansa muutakin jakaumaoletusta, kuin normaalisuutta. Testin nollahypoteesi väittää, että aineisto on jostakin tietystä jakaumasta, joten nollahypoteesi voi olla syytä hylätä paljon suuremmilla p-arvoilla kuin aiemmin käsitellyissä testeissä. Jos otos on pieni, niin nollahypoteesin hylkäämisen todennäköisyys on pieni, vaikka aineisto ei olisi likimainkaan nollahypoteesin mukaisesta jakaumasta. Erittäin suurilla otoksilla puolestaan todella pienetkin poikkeamat johtavat nollahypoteesin hylkäämiseen, joka ei myöskään ole aina toivottavaa.
48 Kertauskysymyksiä Mitä eroa on keskiarvolla ja odotusarvolla? Voiko aineiston yläkvartiili olla vähemmän kuin keskiarvo? Milloin keskeinen raja-arvolause toimii? Mikä on luottamusväli? Mikä on p-arvo? Voiko nollahypoteesi olla totta, vaikka p-arvo olisi pieni?
49 Miten tästä eteenpäin?
50 Stochastics and Statistics Courses MS-C2111 S TOKASTISET PROSESSIT MS-E1600 P ROBABILITY THEORY Periodi I, 5 op, tekn. kand. Luennoitsija: Lasse Leskelä Esitiedot: MS-A050X Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A000X Matriisilaskenta MS-A020X Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Stokastisilla prosesseilla mallinnetaan tekniikan, talouden ja luonnontieteiden sovelluksissa esiintyviä ajasta riippuvia satunnaisilmiöitä. Tällä kurssilla opimme analysoimaan stokastisia populaatiomalleja Markov-prosessien avulla sekä ennakoimattomien tapahtumien esiintymistä Poisson-prosessien avulla. Lisäksi opimme analysoimaan yksinkertaisten uhkapelien sijoitusstrategioita martingaalien avulla. Tämän kurssin tiedot ovat tärkeitä useimmilla stokastiikan ja tilastotieteen jatkokursseilla. Period III, 5 cr, MSc Lecturer: Prerequisites: MS-C2103 KOESUUNNITTELU JA TILASTOLLISET MALLIT MS-C2128 E NNUSTAMINEN JA AIKASARJA - ANALYYSI la. Kurssin tavoitteena on oppia, kuinka aikasarjoja analysoidaan ja miten niiden avulla laaditaan ennusteita. Kurssi kattaa yleisimmät mallit, kuten ARIMA-mallit ja dynaamiset regressiomallit, mutta myös muita tulosten kannalta oleellisia asioita, kuten diagnostiikan ja mallin valinnan. Kurssilla käytetään R-ohjelmistoa. -Niels Bohr Jos tietyt matemaattiset oletukset täyttyvät, voidaan tehdä käyttökelpoisia ennusteita historiallisten aikasarja-aineistojen perusteel "Ennustaminen on vaikeaa, varsinkin tulevaisuuden" Date MS-E1601 B ROWNIAN MOTION AND STOCHASTIC ANALYSIS Period II, 5 cr, MSc Lecturer: Prerequisites: Lauri Viitasaari MS-E1600 Probability theory (MS-C2111 Stokastiset prosessit) This course introduces the foundations of stochastic analysis and stochastic integration with respect to a Brownian motion. The course starts with a construction of Brownian motion and analysis of its basic properties, and continues with the construction of Ito stochastic integral. We derive the Ito formula which is the equivalent of the fundamental theorem of calculus for stochastic integrals, and discuss its applications to mathematical finance. MS-E1996 M ULTIVARIATE LOCATION AND SCATTER Where is the data? How is it scattered? When dealing with multivariate observations, the very first questions that come to mind are: 20 Pauliina Ilmonen At least one matrix algebra and one MSc level statistics/probability course 5 Period II, 5 cr, MSc Lecturer: Prerequisites: Periodit III IV, 5 op, tekn. kand./di Luennoitsija: Heikki Seppälä Esitiedot: MS-A050X Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Kurssilla esitellään tavallisimpia koejärjestelyitä sekä menetelmiä tilastollisen analyysin tekemiseen. Tavoitteena on oppia valitsemaan sopiva koejärjestely tilastollisen testin toteuttami- seksi, suorittamaan testi ja analysoimaan tulokset. Kurssi kattaa regressioanalyysin perusteet, varianssianalyysin sekä valikoituja koejärjestelyitä, kuten lohkoasetelmat, faktorikokeet sekä vastepintamenetelmän. Kurssilla käytetään R-ohjelmistoa. 20 Tenor basis spread (bp) 40 Periodi II, 5 op, tekn. kand. Luennoitsija: Heikki Seppälä Esitiedot: MS-A050X Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A020X Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (MS-C2111 Stokastiset prosessit) Kalle Kytölä MS-C1540 Euklidiset avaruudet This course is about the mathematical foundations of randomness. Most advanced topics in stochastics and statistics rely on probability theory. The basic constructions are identical to measure theory, but there are a number of distinctly probabilistic features such as independence, notions of convergence of random variables, information contained in a sigma-algebra, conditional expectation, characteristic functions and generating functions, laws of large numbers and central limit theorems, etc. These questions are discussed together with selected applications. This is an advanced course in statistics for MSc and doctoral students. Only 10 students are admitted to this course, so the lecturer ASAP to register. Topics include: M-estimates of location and scatter, MCD-estimates, spatial sign and rank based estimates, multivariate location tests, autocovariance matrices and applications, PCA using different location and scatter estimates, multivariate regression analysis based on spatial signs and ranks, scatter matrix based ICA, complex time series ICA, ICS and skewness and kurtosis. MS-C2104 T ILASTOLLISEN ANALYYSIN PERUSTEET Periodit III IV, 5 op, tekn. kand./di Luennoitsija: Pauliina Ilmonen Esitiedot: MS-A050X Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A000X Matriisilaskenta Kurssi on johdatus tietokoneavusteiseen tilastolliseen analyysiin ja tilastolliseen päättelyyn. Kurssin aiheita ovat estimointi ja väliestimointi, yksinkertaiset parametriset ja epäparametriset testit, tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio, lineaarinen regressioanalyysi ja varianssianalyysi. Kurssilla käytetään R-ohjelmistoa. MS-E2112 M ULTIVARIATE STATISTICAL ANALYSIS Periods III IV, 5 cr, MSc Lecturer: Pauliina Ilmonen Prerequisites: At least one statistics/probability and one matrix algebra course This course is an introduction to multivariate statistical analysis. The goal is to learn basics of common multivariate data analy- sis techniques and to use the methods in practice. Software R is used in the exercises of this course. The topics of the course are multivariate location and scatter, principal component analysis, bivariate correspondence analysis, multivariate correspondence analysis, canonical correlation analysis, discriminant analysis, classification, and clustering. MS-E1602 L ARGE RANDOM SYSTEMS Period IV, 5 cr, MSc Lecturers: Lasse Leskelä and Kalle Kytölä Prerequisites MS-E1600 Probability theory, (MS-C2111 Stokastiset prosessit) Many interesting random systems contain a large number of simpler constituents interacting with each other. This course covers both mathematical techniques for the study of such systems, and important probabilistic models of a range of different phenomena. The theory focuses on tightness and weak convergence of probability measures. Examples include random walk and Brownian motion, percolation, Curie-Weiss model and Ising model, and voter model and contact process.
51 Kurssi päättyy tähän. Kiitoksia osallistumisesta ja onnea välikokeisiin!
52 Aineistolähteet Luentokalvot pohjautuvat osittain kurssin edellisten vuosien (Ilkka Mellin, Milla Kibble, Juuso Liesiö) luentokalvoihin.
MS-A0504 First course in probability and statistics
MS-A0504 First course in probability and statistics Week 6 Statistical dependence and linear regression Heikki Seppälä Department of mathematics and system analysis School of science Aalto University Spring
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6B Kertaus ja yhteenveto Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Kalle Kytölä, Heikki Seppälä, Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015,
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Heikki Seppälä, Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Osaamistavoitteet
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 Tilastollisen aineiston kuvaileminen, mallintaminen ja estimointi Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin
LisätiedotMS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotMS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2017 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot
LisätiedotMS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastollisen merkitsevyyden testaus Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Kalle Kytölä, Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Kevät 2016, periodi III Stochastics and
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 Tilastollisen datan kuvaileminen, mallintaminen ja estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastollisen merkitsevyyden testaus Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotHarjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet
LisätiedotYleinen lineaarinen malli
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 1: 1 Määritelmä ja standardioletukset 2
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotKertaus. MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 1: Yleinen lineaarinen malli 1 Määritelmä
LisätiedotKorrelaatiokertoinen määrittely 165
kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5
MS-A Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Tilastollinen testaus Tilastollisten testaaminen Tilastollisen tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta on esitetty jokin väite tai
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet Deterministiset mallit ja regressioanalyysi
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1
Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotMS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)
MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2017 Todennäköisyyslaskennan kertaus Satunnaismuuttujat ja tn-jakaumat Tunnusluvut χ 2 -, F- ja t-jakauma Riippumattomuus Tilastotieteen
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotKertaus. MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2017 Viikko 1: Yleinen lineaarinen malli 1 Määritelmä
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
Lisätiedotxi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =
1. Tutkitaan paperin ominaispainon X(kg/dm 3 ) ja puhkaisulujuuden Y (m 2 ) välistä korrelaatiota. Tiettyä laatua olevasta paperierästä on otettu satunnaisesti 10 arkkia ja määritetty jokaisesta arkista
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n
LisätiedotMS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)
MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2017 Käytännön järjestelyt Luennot: Luennot maanantaisin (sali E) ja keskiviikkoisin (sali U4) klo 10-12 Luennoitsija: (lauri.viitasaari@aalto.fi)
LisätiedotFoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo
FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy
LisätiedotAalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 2016 Laskuharjoitus 5, Kotitehtävien palautus laskuharjoitusten
LisätiedotMS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)
MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2016 Käytannön järjestelyt Luennot: Luennot ma 4.1. (sali E) ja ti 5.1 klo 10-12 (sali C) Luennot 11.1.-10.2. ke 10-12 ja ma 10-12
Lisätiedot1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yleinen lineaarinen malli Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Yleisen lineaarisen mallin matriisisesitys Yleisen
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio Tilastollinen riippuvuus, korrelaatio ja regressio Kahden muuttujan
LisätiedotOPETUSSUUNNITELMALOMAKE
OPETUSSUUNNITELMALOMAKE Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit siis dokumentoida
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedotedellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
LisätiedotOPETUSSUUNNITELMALOMAKE
OPETUSSUUNNITELMALOMAKE Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit siis dokumentoida
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 1A Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
LisätiedotErityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
Lisätiedot