MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi"

Transkriptio

1 MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi I

2 Sisältö Binaarimallin estimointi Binaarimallin estimointi: Frekventistinen tapa Binaarimallin estimointi: Bayeslainen tapa Yhteenveto estimoinnista Yhteenveto ja keskustelua kurssista

3 Datalähteen binaarimalli X 1, X 2,... riippumattomia {0, 1}-arvoisia satunnaislukuja odotusarvona p (tuntematon) Parametri p määrittää datalähteen jakauman, X i :n pistetodennäköisyyfunktio on 1 p, x i = 0, f (x i p) = p, x i = 1, 0, muuten. Tämä on Bernoulli-jakauma parametrina p.

4 Esimerkki: Mielipidemittaus Usan äänioikeutetuista valittiin satunnaisotannalla n = 200 henkilöä ja heiltä kysyttiin, aikovatko äänestää Trumpia presidentiksi (0=Ei, 1=Kyllä). 70 vastasi kyllä. Mittaustulos X = (X 1,..., X 200 ) noudattaa likimain binaarimallia odotusarvoparametrina p, missä p = E(X i ) = P(X i = 1) on Trumpin (tuntematon) kannatus koko populaatiossa. Tehtävä: Määritä piste-estimaatti ja luottamusväli kannatusosuudelle p.

5 Sisältö Binaarimallin estimointi Binaarimallin estimointi: Frekventistinen tapa Binaarimallin estimointi: Bayeslainen tapa Yhteenveto estimoinnista Yhteenveto ja keskustelua kurssista

6 Estimaatti: Frekventistinen tapa Parametrin p suurimman uskottavuuden estimaatti on m(x) = 1 n n i=1 x i = #{i : x i = 1} n eli ykkösten suhteellinen osuus datajoukossa x. Likiarvoinen (n suuri) 95% luottamusväli on m(x) ± z ˆσ(x) n, ˆσ(x) = m(x)(1 m(x)) on Bernoulli-jakauman keskihajonnan estimaatti z = Φ 1 ( ) 1.96 on luku, jolle P( Z z) = 0.95

7 Entä jos käytössä on ennakkotietoa kannatusosuudesta p? Esim. aiempien mielipidemittausten mukaan arvioidaan, että kannatus todennäköisesti on lähellä lukua 0.4.

8 Sisältö Binaarimallin estimointi Binaarimallin estimointi: Frekventistinen tapa Binaarimallin estimointi: Bayeslainen tapa Yhteenveto estimoinnista Yhteenveto ja keskustelua kurssista

9 Bayeslainen estimointi Tulkitaan tuntematon kannatusosuus satunnaismuuttujaksi Θ, jonka priorijakauma mallintaa ennakkotietämystä kannatuksesta. Miten priorijakauma valitaan? Uskotaan, että Θ on todennäköisesti 0.4? Uskotaan, että Θ [0.3, 0.5] 95% todennäköisyydellä. Jos valitaan välin [0.3 1/190, /190] tasajakauma, saadaan P(Θ [0.3, 0.5]) = /190 = 95%. Onko tämä hyvä priorijakauma? Tuskin, sillä pisteissä, missä priorijakauma on 0, on myös posteriorijakauma väistämättä 0.

10 Priorijakauman valitseminen Miten priorijakauma valitaan, kun uskotaan että Θ [0.3, 0.5] todennäköisyydellä 95%? Keksi jatkuvan välin [0, 1] jakauma f 0 (t), jonka odotusarvo t f (t)dt = 0.4 tiheysfunktio f 0 (t) > 0 kaikilla t (0, 1) f 0(t)dt 0.95

11 Beta-jakauma Beta(a, b)-jakauman parametreina a > 0 ja b > 0 tiheysfunktio on { c θ a 1 (1 θ) b 1, kun θ [0, 1], f (θ) = 0, muuten, normitusvakiona c = (a+b 1)! (a 1)!(b 1)!. Beta(1, 1) Beta(3, 9) Beta(9, 3) Beta(9, 9) Arvojoukko = [0, 1] Odotusarvo µ = a a+b ja keskihajonta σ = Kertymäfunktiota ei tunneta suljetussa muodossa µ(1 µ) a+b+1 dbeta(theta,a,b); pbeta(theta,a,b)

12 Priorijakauman valitseminen Miten priorijakauma valitaan, kun uskotaan että Θ [0.3, 0.5] todennäköisyydellä 95%? Valitaan odotusarvoksi µ = 0.4 ja keskihajonnaksi? Normitetulle normaalijakaumalle Z = 0 ± 2 tn:llä 95% Yleiselle normaalijakaumalle Z = µ ± 2σ tn:llä 95% Jos Beta-jakauman hajonta normaalin kaltaista, niin Beta-jakaumalle X = µ ± 2σ suurin piirtein tn:llä 95% Valitaan σ = 0.1/ Ratkaistaan Beta(a, b)-jakauman parametrit: µ = a a + b µ(1 µ) σ = a + b + 1 ( a = µ 1 + b = (1 µ) ) µ(1 µ) σ 2 ( 1 + µ(1 µ) σ 2 = 38 ) = 57

13 Priorijakauman valitseminen Miten priorijakauma valitaan, kun uskotaan että Θ [0.3, 0.5] todennäköisyydellä 95%? Kokeillaan Beta(38, 57)-jakaumaa: Odotusarvo µ = 0.4 Keskihajonta σ = 0.05 Tällöin P(Θ [0.3, 0.5]) = F 38,57 (0.5) F 38,53 (0.3) = pbeta(0.5,38,57)-pbeta(0.3,38,57)

14 Posteriorijakauman määrittäminen Havaitaan n = 200 alkion datajoukko, jossa 70 ykköstä ja 130 nollaa (ykkösten osuus = 35%). Priorijakauma Beta(38, 57): Odotusarvo µ 0 = 0.4 Keskihajonta σ 0 = Posteriorijakauma Beta( , ) = Beta(108, 187): Odotusarvo µ 1 = = Keskihajonta σ 1 = Bayeslainen piste-estimaatti = posteriorijakauman odotusarvo 0.366

15 Bayeslainen väliestimaatti Etsitään piste-estimaatin µ 1 = ympäriltä väli, johon posteriorijakaumaa noudattava Θ kuuluu tn:llä 95%. Miten? Jos Beta(108, 187) hajonnaltaan normaalin kaltainen, niin voidaan kokeilla väliä Tällöin µ 1 ± 2σ 1 = ± = ± P(Θ [0.310, 422] x) 95.47% Johtopäätös: Havaitun datan (70 ykköstä, n = 200) valossa tuntemattoman parametrin Θ ehdollinen todennäköisyys kuulua välille ± on noin 95%.

16 Sisältö Binaarimallin estimointi Binaarimallin estimointi: Frekventistinen tapa Binaarimallin estimointi: Bayeslainen tapa Yhteenveto estimoinnista Yhteenveto ja keskustelua kurssista

17 Yhteenveto Frekventistinen Data: 70 ykköstä, 130 nollaa Parametrin arvoihin ei liitetä todennäköisyyksiä Parametrilla ei ole priorijakaumaa Parametrilla ei ole posteriorijakaumaa Piste-estimaatti on suurimman uskottavuuden estimaatti m(x) = = Väliestimaatti on 95% luottamustason luottamusväli m(x) ± 2 ˆσ(x) n = ± % samalla menetelmällä estimoiduista luottamusväleistä peittää parametrin Bayeslainen Data: 70 ykköstä, 130 nollaa Parametrin arvoihin liitetään subj. todennäköisyydet Priorijak. Beta(38, 57) µ 0 = 0.400, σ 0 = Posteriorijak. Beta(108, 187) µ 1 = 0.366, σ 1 = Piste-estimaatti on posteriorijakauman odotusarvo µ 1 = Väliestimaatti on 95% posteriorijakauman väli µ 1 ± 2σ 1 = ± % todennäköisyydellä parametri kuuluu välille ± 0.056

18 Sisältö Binaarimallin estimointi Binaarimallin estimointi: Frekventistinen tapa Binaarimallin estimointi: Bayeslainen tapa Yhteenveto estimoinnista Yhteenveto ja keskustelua kurssista

19 Kysyttävää, kommentoitavaa?

20 Luentorunko (toteutunut) L1A Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt L1B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat L2A Satunnaismuuttujien odotusarvot ja muunnokset L2B Keskihajonta ja korrelaatio L3A Normaaliapproksimaatio L3B Tilastolliset datajoukot L4A Datalähteen stokastinen malli ja parametrien estimointi L4B Bayeslainen tilastollinen päättely L5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus I L5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus II L6A Tilastolliset luottamusvälit L6B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät

21 Mitä tämän kurssin jälkeen?

22 Stochastics and Statistics Courses MS-C S TOKASTISET PROSESSIT Periodi I, 5 op. Luennoitsija: Kalle Kytölä Esitiedot: MS-A000X Matriisilaskenta MS-A010X Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A050X Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Kurssilla tutustutaan stokastisten prosessien eli ajasta riippuvien MS-E P ROBABILITY THEORY satunnaisilmiiden teoriaan ja opitaan analysoimaan ja mallintamaan mm. luonnontieteiden ja tekniikan populaatiomalleja Markovprosessien avulla, ennakoimattomia tapahtumahetkiä Poisson-prosessin avulla, sekä yksinkertaisia uhkapelejä ja sijoitusstrategoioita martingaalien avulla. MS-E A SYMPTOTIC STATISTICS Periods I II, 1 10 cr. Lecturers: Pauliina Ilmonen & Lasse Leskelä Esitiedot: MS-C1540 Euklidiset avaruudet (or equivalent) MS-C2104 Tilastollisen analyysin perusteet (or equivalent) MS-E1600 Probability theory (only recommended) This is an introduction to the field of asymptotic statistics, which provides tools for analyzing the accuracy of estimators and test statistics computed from large data samples. We will start with fundamental topics such as likelihood inference, U-statistics, and rank procedures, and then proceed to selected more advanced topics. This year the course is organized as a reading seminar with weekly meetings. MS-C2128 E NNUSTAMINEN JA AIKASARJA - ANALYYSI Periodi II, 5 op., BSc Luennoitsija: Lauri Viitasaari Esitiedot: MS-A050X Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, MS-A02XX Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 MS-C2111 Stokastiset prosessit "Ennustaminen on vaikeaa, varsinkin tulevaisuuden" Period III, 5 cr. Lecturer: Kalle Kytöä Prerequisites: MS-C1540 Euklidiset avaruudet This course is about the mathematical foundations of randomness. Probability theory is relied on in virtually any advanced topic in stochastics. The basic constructions are identical to measure theory, but there are a number of distinctly probabilistic features such as independence, notions of convergence of random variables, information contained in a sigma-algebra, conditional expectation, characteristic functions and generating functions, laws of large numbers and central limit theorems. MS-C2103 KOESUUNNITTELU JA TILASTOLLISET MALLIT Periodi III, 5 op., BSc\Msc Luennoitsija: Esitiedot: MS-A050X Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Kurssilla esitellään tavallisimpia koejärjestelyitä sekä menetelmiä tilas- tollisen analyysin tekemiseen. Tavoitteena on oppia valitsemaan sopiva koejärjestely tilastollisen testin toteuttamiseksi, suorittamaan testi ja analysoimaan tulokset. Kurssi kattaa regressioanalyysin perusteet, varianssianalyysin sekä valikoituja koejärjestelyitä, kuten lohkoasetelmat, faktorikokeet sekä vastepintamenetelmän. Kurssilla käytetään R-ohjelmistoa. MS-E L ARGE RANDOM SYSTEMS Period IV, 5 cr. Lecturer: Kalle Kytölä Prerequisites: MS-E1600 Probability theory Many interesting random systems contain a large number of simpler constituents interacting with each other. This course covers both mathematical techniques for the study of such systems, and important probabilistic models of a range of different phenomena. The theory focuses on tightness and weak convergence of probability measures. Examples include random walk and Brownian motion, percolation, Curie-Weiss model and Ising model, and voter model and contact process. -Niels Bohr MS-E2112 M ULTIVARIATE STATISTICAL ANALYSIS MS-E1990 H OW TO LIE WITH STATISTICS Period II, 5 cr., MSc Lecturer: Pauliina Ilmonen Prerequisites: At least one MSc statistics/probability course This course is an advanced course in statistics. Despite the name, the goal is not to learn to lie with statistics, but to learn to spot if there is something fishy in a statistical analysis. The ultimate goal is to learn to tell the truth with statistics. Majority of the lectures, instead of traditional lecturing, consists of discussions. Students will find problematic data examples themselves and their findings and ideas for improving data analyses are discussed during the lectures. Students will also learn to defend their ideas and discoveries by participating in a debate. MS-E1998 I NTRODUCTION TO R- PROGRAMMING Period II (Sat and Sun ), 1 cr., BSc\MSc Lecturer: Niko Lietzén Prerequisites: none This intensive course is an introduction to R-programming. The goal is to learn the basic commands required to work with R. Students are not expected to have any prior experience with R-programming. Note that, in order to complete the course, it is mandatory to attend all the lectures. The lectures are from 8:15 to 16:00 on Saturday and from 8:15 to 16:00 on Sunday this course. The topics of the course are multivariate location and scatter, principal component analysis, bivariate correspondence analysis, multivariate correspondence analysis, canonical correlation analysis, discriminant analysis, classification, and clustering. Cor(x,y) = 0.02 y Periods III IV, 5 cr., MSc Lecturer: Pauliina Ilmonen Prerequisites: At least one statistics/probability course and one matrix algebra course This course is an introduction to multivariate statistical analysis. The goal is to learn basics of common multivariate data analysis techniques and to use the methods in practice. Software R is used in the exercises of x MS-C2104 I NTRODUCTION TO S TATISTICAL I NFERENCE Periods III IV, 5 cr., BSc\MSc Lecturer: Pauliina Ilmonen Prerequisites: MS-A05XX First Course in probability and statistics MS-A00x Matrix algebra This course is an introduction to statistical analysis and statistical inference. Course topics include estimation, simple parametric and nonparametric tests, statistical dependence and correlation, linear regression analysis and analysis of variance. Software R is used in this course. Histogram of x Frequency Jos tietyt matemaattiset oletukset täyttyvät, voidaan tehdä käyttökelpoisia ennusteita historiallisten aikasarja-aineistojen perusteella. Kurssin tavoitteena on oppia, kuinka aikasarjoja analysoidaan ja miten niiden avulla laaditaan ennusteita. Kurssi kattaa yleisimmät mallit, kuten ARIMAmallit ja dynaamiset regressiomallit, mutta myös muita tulosten kannalta oleellisia asioita, kuten diagnostiikan ja mallin valinnan. Kurssilla käytetään R-ohjelmistoa. x MS-E R ANDOM MATRICES Period V, 1 10 cr. Lecturer: Christian Webb Prerequisites: MS-A030X Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 MS-A050X Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi (MS-C1300 Kompleksianalyysi) The theory of random matrices has been a rich source of exciting mathematics with connections to many areas of mathematics and other disciplines such as number theory, combinatorics, the theory of orthogonal polynomials, physics, and statistics. Random matrices also have important engineering applications in image and signal processing and wireless communication. This course will cover the basic theory of random matrices and time permitting discuss applications such as compressed sensing, modelling sample covariance matrices, Anderson localization, and properties of random graphs.

23 Kurssi päättyy tähän. Onnea tenttiin ja tervetuloa todennäköisyysteorian ja tilastotieteen jatkokursseille!

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6B Kertaus ja yhteenveto Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

MS-A0504 First course in probability and statistics

MS-A0504 First course in probability and statistics MS-A0504 First course in probability and statistics Week 6 Statistical dependence and linear regression Heikki Seppälä Department of mathematics and system analysis School of science Aalto University Spring

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 6 Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen regressio Kalle Kytölä, Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Bayesläinen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy

Lisätiedot

Luku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017

Luku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017 Luku 1 Bayesläiset estimaattorit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 217 1.1 Bayesläiset piste-estimaatit Tarkastellaan datalähdettä, joka tuottaa tiheysfunktion f(x θ) mukaan jakautuneita riippumattomia

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 1A Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

UEF Statistics Teaching Bulletin, Fall 2017

UEF Statistics Teaching Bulletin, Fall 2017 UEF Statistics Teaching Bulletin, Fall 2017 The minor subject of statistics offers methodological courses to all students of the university. In Fall 2017, we offer the following basic courses in Finnish:

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Kalle Kytölä, Heikki Seppälä, Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Heikki Seppälä, Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Osaamistavoitteet

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely

MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Kevät 2016, periodi III Stochastics and

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely

MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely

MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2017 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot

Lisätiedot

P(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu

P(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu 1. Tyhjentävä tunnusluku (sucient statistics ) Olkoon (P(X = x θ) : θ Θ) todennäköisyysmalli havainnolle X. Datan funktio T (X ) on Tyhjentävä tunnusluku jos ehdollinen todennäköisyys (ehdollinen tiheysfunktio)

Lisätiedot

Bayesläiset tilastolliset mallit

Bayesläiset tilastolliset mallit Luku 9 Bayesläiset tilastolliset mallit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 8. lokakuuta 07 9. Priorijakauma ja posteriorijakauma Bayesläisen tilastollisen päättelyn lähtökohtana on päivittää satunnaisilmiöön

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu

MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu 10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2

Lisätiedot

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio 17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla

Lisätiedot

Liite B. Suomi englanti-sanasto

Liite B. Suomi englanti-sanasto Liite B Suomi englanti-sanasto Alla tässä monisteessa esiintynyttä sanastoa englanniksi käännettynä. Monet tähän aihepiiriin liittyvät termit eivät kuitenkaan ole täysin vakiintuneita kummassakaan kielessä.

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1

Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1 Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa

Lisätiedot

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE OPETUSSUUNNITELMALOMAKE Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit siis dokumentoida

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastollisen merkitsevyyden testaus Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu

MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu 5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017

Lisätiedot

Tilanne sekä MS-A0003/4* Matriisilaskenta 5 op

Tilanne sekä MS-A0003/4* Matriisilaskenta 5 op MATEMATIIKKA Mat-1.1210 Matematiikan peruskurssi S1 ei järjestetä enää MS-A0103/4* Differentiaali- ja integraalilaskenta I 5 op sekä MS-A0003/4* Matriisilaskenta 5 op Mat-1.1110 Matematiikan peruskurssi

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Efficiency change over time

Efficiency change over time Efficiency change over time Heikki Tikanmäki Optimointiopin seminaari 14.11.2007 Contents Introduction (11.1) Window analysis (11.2) Example, application, analysis Malmquist index (11.3) Dealing with panel

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

7.4 Normaalijakauma (kertausta ja täydennystä) Taulukosta P(Z 1,6449) = 0,05, P(Z -1,6449) = 0,05 P(Z 1,96) = 0,025, P(Z -1,96) = 0,025

7.4 Normaalijakauma (kertausta ja täydennystä) Taulukosta P(Z 1,6449) = 0,05, P(Z -1,6449) = 0,05 P(Z 1,96) = 0,025, P(Z -1,96) = 0,025 26.3.2019/1 MTTTP1, luento 26.3.2019 7.4 Normaalijakauma (kertausta ja täydennystä) Z ~ N(0, 1), tiheysfunktion kuvaaja 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Taulukosta P(Z 1,6449) = 0,05, P(Z -1,6449) = 0,05 P(Z 1,96)

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3

Lisätiedot

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE OPETUSSUUNNITELMALOMAKE Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit siis dokumentoida

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastollisen merkitsevyyden testaus Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 Tilastollisen datan kuvaileminen, mallintaminen ja estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 Tilastollisen aineiston kuvaileminen, mallintaminen ja estimointi Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin

Lisätiedot

NBE-E4510 Special Assignment in Biophysics and Biomedical Engineering AND NBE-E4500 Special Assignment in Human. NBE-E4225 Cognitive Neuroscience

NBE-E4510 Special Assignment in Biophysics and Biomedical Engineering AND NBE-E4500 Special Assignment in Human. NBE-E4225 Cognitive Neuroscience Neurotieteen ja lääketieteellisen tekniikan laitos Department of and Biomedical OPETUSOHJELMASTA POISTUNEET KURSSIT (Tfy-99, Becs-114, BECS, NBE)/päivitetty 16.5.2017 COURSES REMOVED FROM THE STUDY PROGRAMME

Lisätiedot

/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:

/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: 4.10.2016/1 MTTTP1, luento 4.10.2016 7.4 Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 4.10.2016/2

Lisätiedot

Additions, deletions and changes to courses for the academic year Mitä vanhoja kursseja uusi korvaa / kommentit

Additions, deletions and changes to courses for the academic year Mitä vanhoja kursseja uusi korvaa / kommentit s, s and changes to courses for the academic year 2016 2017 Mikro ja nanotekniikan laitos Department for Micro and Nanosciences S 69, S 87, S 104, S 129, ELEC A3, ELEC C3, ELEC D3, ELEC E3, ELEC L3 T 4030

Lisätiedot

Information on Finnish Language Courses Spring Semester 2018 Päivi Paukku & Jenni Laine Centre for Language and Communication Studies

Information on Finnish Language Courses Spring Semester 2018 Päivi Paukku & Jenni Laine Centre for Language and Communication Studies Information on Finnish Language Courses Spring Semester 2018 Päivi Paukku & Jenni Laine 4.1.2018 Centre for Language and Communication Studies Puhutko suomea? -Hei! -Hei hei! -Moi! -Moi moi! -Terve! -Terve

Lisätiedot

Information on Finnish Language Courses Spring Semester 2017 Jenni Laine

Information on Finnish Language Courses Spring Semester 2017 Jenni Laine Information on Finnish Language Courses Spring Semester 2017 Jenni Laine 4.1.2017 KIELIKESKUS LANGUAGE CENTRE Puhutko suomea? Do you speak Finnish? -Hei! -Moi! -Mitä kuuluu? -Kiitos, hyvää. -Entä sinulle?

Lisätiedot

Tentin materiaali. Sivia: luvut 1,2, , ,5. MacKay: luku 30. Gelman, 1995: Inference and monitoring convergence

Tentin materiaali. Sivia: luvut 1,2, , ,5. MacKay: luku 30. Gelman, 1995: Inference and monitoring convergence Tentin materiaali Sivia: luvut 1,2,3.1-3.3,4.1-4.2,5 MacKay: luku 30 Gelman, 1995: Inference and monitoring convergence Gelman & Meng, 1995: Model checking and model improvement Kalvot Harjoitustyöt Tentin

Lisätiedot

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2017 Todennäköisyyslaskennan kertaus Satunnaismuuttujat ja tn-jakaumat Tunnusluvut χ 2 -, F- ja t-jakauma Riippumattomuus Tilastotieteen

Lisätiedot

/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (kertausta) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:

/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (kertausta) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: 2.10.2018/1 MTTTP1, luento 2.10.2018 7.4 Normaalijakauma (kertausta) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 2.10.2018/2

Lisätiedot

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu

Lisätiedot

11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita

11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita 11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita Tässä luvussa esitellään sellaisia kuuluisia todennäköisyysteorian raja-arvolauseita, joita sovelletaan usein tilastollisessa päättelyssä. Näiden raja-arvolauseiden

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014 1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

Lisätiedot

30A02000 Tilastotieteen perusteet

30A02000 Tilastotieteen perusteet 30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

UEF Statistics Teaching Bulletin, Spring 2018

UEF Statistics Teaching Bulletin, Spring 2018 UEF Statistics Teaching Bulletin, Spring 2018 The minor subject of statistics offers methodological courses to all students of the university. In Spring 2018, we offer the following basic courses in Finnish:

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman

Lisätiedot

MS-C2111 Stokastiset prosessit

MS-C2111 Stokastiset prosessit Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos toimisto: Y241, vastaanotto: pe 13:30-14:30 2017, periodi I KURSSIN JÄRJESTELYT Kurssin järjestelyt Luennot ja harjoitusryhmät Luennot tiistaisin

Lisätiedot

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,

Lisätiedot

Kertaus. MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari

Kertaus. MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2017 Viikko 1: Yleinen lineaarinen malli 1 Määritelmä

Lisätiedot

Windows Phone. Module Descriptions. Opiframe Oy puh. +358 44 7220800 eero.huusko@opiframe.com. 02600 Espoo

Windows Phone. Module Descriptions. Opiframe Oy puh. +358 44 7220800 eero.huusko@opiframe.com. 02600 Espoo Windows Phone Module Descriptions Mikä on RekryKoulutus? Harvassa ovat ne työnantajat, jotka löytävät juuri heidän alansa hallitsevat ammatti-ihmiset valmiina. Fiksuinta on tunnustaa tosiasiat ja hankkia

Lisätiedot

Dynaamiset regressiomallit

Dynaamiset regressiomallit MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen

Lisätiedot

Bachelor level exams by date in Otaniemi

Bachelor level exams by date in Otaniemi Bachelor level exams by date in Otaniemi 2015-2016 (VT1 means that the place of the exam will be announced later) YOU FIND INFORMATION ABOUT THE PLACE OF THE EXAM IN OTAKAARI 1 U-WING LOBBY (M DOOR) Day

Lisätiedot

Bachelor level exams by subject in Otaniemi

Bachelor level exams by subject in Otaniemi Bachelor level exams by subject in Otaniemi 2015-2016 (VT1 means that the place of the exam will be announced later) YOU FIND INFORMATION ABOUT THE PLACE OF THE EXAM IN OTAKAARI 1 U-WING LOBBY (M DOOR)

Lisätiedot

805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op

805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista

Lisätiedot

Matematiikka ja tilastotiede. Orientoivat opinnot / 25.8.2015

Matematiikka ja tilastotiede. Orientoivat opinnot / 25.8.2015 Matematiikka ja tilastotiede Orientoivat opinnot / 25.8.2015 Tutkinnot Kaksi erillistä ja peräkkäistä tutkintoa: LuK + FM Laajuudet 180 op + 120 op = 300 op Ohjeellinen suoritusaika 3 v + 2 v = 5 v Tutkinnot

Lisätiedot

On instrument costs in decentralized macroeconomic decision making (Helsingin Kauppakorkeakoulun julkaisuja ; D-31)

On instrument costs in decentralized macroeconomic decision making (Helsingin Kauppakorkeakoulun julkaisuja ; D-31) On instrument costs in decentralized macroeconomic decision making (Helsingin Kauppakorkeakoulun julkaisuja ; D-31) Juha Kahkonen Click here if your download doesn"t start automatically On instrument costs

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu

Lisätiedot

ELEC-C5210 Satunnaisprosessit tietoliikenteessä

ELEC-C5210 Satunnaisprosessit tietoliikenteessä ELEC-C5210 Satunnaisprosessit tietoliikenteessä Esa Ollila Aalto University, Department of Signal Processing and Acoustics, Finland esa.ollila@aalto.fi http://signal.hut.fi/~esollila/ Kevät 2017 E. Ollila

Lisätiedot

TILASTOTIEDE. Perusopinnot

TILASTOTIEDE. Perusopinnot TILASTOTIEDE Perusopinnot

Lisätiedot

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)

MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2016 Käytannön järjestelyt Luennot: Luennot ma 4.1. (sali E) ja ti 5.1 klo 10-12 (sali C) Luennot 11.1.-10.2. ke 10-12 ja ma 10-12

Lisätiedot

Maximum likelihood-estimointi Alkeet

Maximum likelihood-estimointi Alkeet Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X

Lisätiedot

pisteet Frekvenssi frekvenssi Yhteensä

pisteet Frekvenssi frekvenssi Yhteensä 806118P JOHDATUS TILASTOTIETEESEEN Loppukoe 15.3.2018 (Jari Päkkilä) 1. Kevään -17 Johdaus tilastotieteeseen -kurssin opiskelijoiden harjoitusaktiivisuudesta saatujen pisteiden frekvenssijakauma: Harjoitus-

Lisätiedot

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden

Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden 1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento 30.9.2014 Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), tällöin ~ N(µ, σ 2 /n), kaava (6). Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

F901-P Perusopinnot P (80 op) op opetusperiodi

F901-P Perusopinnot P (80 op) op opetusperiodi Vanhan TFM kanditutkinnon kurssien korvaaminen uusilla 9.4.2013 F901-P Perusinnot P (80 ) Mat-1.1010 Matematiikka L1 10 MS-A0001 Matriisilaskenta MS-A0101 Differentiaali- ja I II integraalilaskenta 1 Mat-1.1020

Lisätiedot