Nämä esimerkkitehtävät ovat suurelta osalta joko Juha Purasen tai Pyry-Matti Vasaman vanhoja harjoitustehtäviä.

Transkriptio

1 Nämä esimerkkitehtävät ovat suurelta osalta joko Juha Purasen tai Pyry-Matti Vasaman vanhoja harjoitustehtäviä. TODENNÄKÖISYYSLASKENTA: 1. Oletetaan, että todennäköisyyskenttä E muodostuu alkeistapahtumista E={a,b,c,d,e,f,g}, joilla on todennäköisyydet. P(a)=0.07 P(b)=0.08 P(c)=0.10 P(d)=0.15 P(e)=0.25 P(f)=0.13 P(g)=0.22. Tarkasta, että kyseessä on todennäköisyyskenttä ts. P(E)=1 Tarkastellaan seuraavia tapahtumia A={a,e,f} B={c,e,g} C={b,e,f}. Määrää: a) P(A), P(B), P(C) b) P(A ja B), P(B tai C), P( ei A) c) P(A ehdolla B) Kaikki todennäköisyydet ovat nolla ja yhden välillä, alkeistapahtumat ovat toisensa poissulkevia ja P(E)= =1, eli on todennäköisyyskenttä. a) P(A)= =0.45, P(B)=0.10, =0.57, P(C)= =0.46 b) P(A B)=0.25, P(BUC)=P(B)+P(C)-P(B C)= =0.78, P(A c )=1-P(A)=1-0.45=0.55 c) P(A B)=P(A B)/P(B)=0.25/0.57= Oletetaan, että P(A) = 0.5, P(B) = 0.3 ja P(A ja B) = 0.2. Määrää seuraavat todennäköisyydet: a) joko A tai B tai molemmat tapahtuvat, b) vain A tapahtuu, c) ainakin A tapahtuu, d) korkeintaan A tapahtuu. Edellisten lisäksi oletetaan, että P(AUC)=0.8, niin mikä on P(C), kun e) A ja C ovat toisensa poissulkevia, f) A ja C ovat riippumattomia. a) P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A B)= =0.6 b) P(A)-P(A B)= =0.3 c) P(A)=0.5 d) P(B c )=1-P(B)=1-0.3=0.7 e) P(AUC)=P(A)+P(C) => P(C)=P(AUC)-P(A)= =0.3 f) P(AUC)=P(A)+P(C)-P(A)*P(C) => P(C)=(P(AUC)-P(A))/(1-P(A))= ( )/(1-0.5)= Korissa on 4 paria sinisiä, 2 paria vihreitä sukkia sekä yksi ruskea ja yksi valkea sukka. Sukkia ei ole järjestetty pareittain. Mikä on todennäköisyys, että valitessani satunnaisesti 2 sukkaa ne ovat a) molemmat sinisiä b) molemmat vihreitä c) molemmat samaa väriä d) ruskea ja valkea sukka e) vähintään yksi sininen sukka f) pari samaa väriä, kun saa nostaa vielä kolmannenkin sukan? a) 8/14*7/13=4/13 b) 4/14*3/13=6/91 c) 8/14*7/13+4/14*3/13=34/91 d) 2/14*1/13=1/91 (tai 1/14*1/13=1/182, jos järjestyksellä väliä) e) 1-(6/14*5/13)=76/91 f) sininen pari: P(S2)=8/14*7/13*6/12+8/14*7/13*8/12*3=1680/2184 vihreä pari: P(V2)=4/14*3/13*2/12+4/14*3/13*10/12*3=192/2184 P(S2)+P(V2)=( )/2184=1872/2184= Henkilöllä on 10 jazz-levyä ja 8 levyä klassista musiikkia. Hän valitsee kaksi levyä umpimähkään soitettavaksi. Mikä on todennäköisyys, että a) molemmat ovat jazz-levyjä, b) ainakin toinen levyistä on jazzia, kun levyt valitaan ilman takaisinpanoa. a) P(A)=10/18*9/17=5/ b) 1-P(B)=1-(8/18*7/17)=125/ Kuten tehtävä 4, mutta levyt valitaan takaisinpanoa käyttäen. a) P(A)=10/18*10/18=25/ b) 1-P(B)=1-(8/18*8/18)=65/ Positiivisiin kokonaislukuihin 1:stä n:ään liitetään todennäköisyydet, jotka ovat suoraan verrannolliset lukujen suuruuteen. a) määrää edellä mainitut todennäköisyydet, b) määrää 1:n ehdollinen todennäköisyys ehdolla, että joko 1 tai n esiintyi. a) P i =2i/(n*(n+1)) b) 1/(1+n), kun n>1, muuten 1. 1

2 8. a) Ovatko A ja B riippumattomia alla olevassa tilanteessa? b) Onko A ehdollisesti riippumaton B:stä, kun ehtona käytetään C:tä alla olevassa tilanteessa? ABC BC BC BC ABC BC BC BC ABC BC BC BC ABC BC BC BC AC C C C AC C C C A A P(A)=8/40, P(B)=16/40, P(C)=24/40, P(A B)=4/40, P(A C)=6/40, P(B C)=16/40, P(A B C)=4/40 a)p(a B)=P(A B)/P(B)=(4/40)/(16/40)=4/16=0.25 P(A B) P(A), joten A ja B eivät ole riippumattomia. P(A)=8/40=0.2 b) P(A C)/P(C)*P(B C)/P(C)=(6/40)/(24/40)*(16/40)/(24/40)=6/24*16/24=96/576= P(A B C)= P(A B C)/P(C)=(4/40)/(24/40)=4/24= P(A C)* P(B C)= P(A B C), joten A ja B ovat ehdollisesti riippumattomia. 9. Todennäköisyys, että opettaja ajaa sadepäivänä pyörällä töihin on 20 %. Muussa tapauksessa hän tulee bussilla. Pyörällä opettaja ehtii ajoissa perille 90 % todennäköisyydellä, kun vastaava todennäköisyys bussilla on 70 %. Sateen todennäköisyys olkoon 40% ja kun ei sada, niin ajoissa ehtimistodennäköisyydet ovat 5 %-yksikköä korkeammat. Polkupyörällä saapumistodennäköisyys on sateettomana päivänä 95%. Opettaja saapuu ajoissa, millä todennäköisyydellä ulkona sataa? P(ajoissa pyörällä sataa)= 0.4*0.2*0.9=0.072 P(ajoissa pyörällä ei sada)= 0.6*0.95*0.95= P(ajoissa bussilla sataa)= 0.4*0.8*0.7=0.224 P(ajoissa bussilla ei sada)= 0.6*0.05*0.75= P(myöh. pyörällä sataa)= 0.4*0.2*0.1=0.008 P(myöh. pyörällä ei sada)= 0.6*0.95*0.05= P(myöh. bussilla sataa)= 0.4*0.8*0.3=0.096 P(myöh. bussilla ei sada)= 0.6*0.05*0.25= P(sataa ajoissa)=( )/( )=0.296/ Hajamielinen professori unohtaa sateenvarjonsa käydessään kaupassa todennäköisyydellä Eräänä päivänä hän käy neljässä kaupassa ja kotiin tultuaan hän havaitsee, että sateenvarjo on unohtunut. Mikä on todennäköisyys, että hän unohti sen kolmanteen kauppaan? P(U)=P(unohtaa sateenvarjon) P(U i )=(unohtaa sateenvarjon kauppaan i) P(U 3 U)=P(U 3 )*P(U U 3 )/P(U)=(( *0.25)*1)/( )=

3 KOMBINATORIIKKAA: 1. Kirjahyllyssä on 3 tilastotieteen, 8 kansantaloustieteen ja 6 sosiologian kirjaa. a) Monessako järjestyksessä kirjat voivat olla, jos saman pääaineen kirjojen on oltava vierekkäin? b) Monessako järjestyksessä kirjat voivat olla, jos vain kansantaloustieteen kirjojen on oltava vierekkäin? c) Monessako järjestyksessä kirjat voivat olla, jos ei ole mitään rajoituksia? a) (3!*8!*6!)*3!= b) 8!*10!= c) 17!= 3.557* Kuinka monta sanaa pystyy muodostamaan seuraavista sanoista, kun sanaksi oletetaan mikä tahansa merkkijono, johon on käytetty kaikki kirjaimet. a) Kofi b) Annan c) tilastotiede a) 4!=24 b) C(5,3)=C(5,2)=10 tai jos iso kirjain oletetaan eri kirjaimeksi, niin 5!/(1!*1!*3!)=20 c) 12!/(1!*1!*2!*2!*1!*1!*1!*3!)=

4 TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIA: 1. Alla oleva taulukko kuvaa autokaupan myyntiä 300 päivän ajalta: Myytyjä autoja: päivien lukumäärä: a) Esitä todennäköisyysjakauma b) pistetodennäköisyysfunktion arvot c) kertymäfunktion arvot d) Laske E(X) ja Var(X) e) Laske P(2<X 4) f) Laske P(X 3) g) Laske P(X=2) a&b) x i : p i : 54/ /300 72/300 42/300 12/300 3/300 c) F(x i): d)e(x)=0*0.18+1*0.39+2*0.24+3*0.14+4*0.04+5*0.01=1.5 D 2 (X)=(0-1.5) 2 *0.18+(1-1.5) 2 *0.39+(2-1.5) 2 *0.24+(3-1.5) 2 *0.14+(4-1.5) 2 *0.04+(5-1.5) 2 *0.01=1.25 e) P(2<X 4)= =0.18 f) P(X 3)=1-0.81=0.19 g) P(X=2)= = Heitetään kahta harhatonta noppaa. Satunnaismuuttuja X 1 kuvaa ensimmäisen nopan silmälukua ja X 2 vastaavasti toisen nopan silmälukua. a) Esitä X 1 :n todennäköisyysjakauma. (+kertymä) b) Laske E(X 1 ), D 2 (X 1 ) ja D(X 1 ). Y= X 1 + X 2 c) Esitä Y:n todennäköisyysjakauma (+k) d) Laske E(Y), D 2 (Y) ja D(Y). a) x i : f(x i ): 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 F(x i ): 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 b) E(X 1 )= 1/6*1+1/6*2+1/6*3+1/6*4+1/6*5+1/6*6=3.5 D 2 (X 1 )=1/6*(1-3.5) 2 +1/6*(2-3.5) 2 +1/6*(3-3.5) 2 +1/6*(4-3.5) 2 +1/6*(5-3.5) 2 +1/6*(6-3.5) D(X 1 )=sqrt( ) c) y i : f(y i ): 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 F(y i ): 1/36 3/36 6/36 10/36 15/6 21/36 26/36 30/36 33/36 35/36 36/36 d) E(Y)=1/36*2+2/36*3+3/36*4+4/36*5+5/36*6+6/36*7+5/36*8+4/36*9+3/36*10+2/36*11+1/36*12=7 tai riippumattomuuteen perustuen: E(Y)=E(X 1 )+ E(X 2 )= =7 D 2 (Y)=D 2 (X 1 )+D 2 (X 2 ) D(Y)=sqrt( ) Heitetään 7 kertaa harhatonta noppaa. Muuttuja X on kuutosten lukumäärä. c) Laske E(X) ja D 2 (X) d) Laske P(X<3), P(X=3) ja P(3<X 5) a) X~Bin(7, 1/6) n=7 ja p=1/6 b) x i f(x i ) F(x i ) c) E(X)= n*p= D 2 (X)= n*p*(1-p)=

5 4. Heitetään harhatonta kolikkoa. Muuttuja X on ensimmäisen klaavan ilmestymiskerta. c) Laske kertymäfunktion arvot c) Laske E(X) ja D 2 (X) a) X~Geom(1/2) p=1/2 b) x i f(x i ) c) F(x i ) d) E(X)= 1/p=2 D 2 (X)= (1-p)/p 2 =2 5. Heitetään harhatonta kolikkoa. Muuttuja X on toisen klaavan ilmestymiskerta. c) Laske kertymäfunktion arvot c) Laske E(X) ja D 2 (X) a) X~NegBin(2, 1/2) r=2 ja p=1/2 b) x i f(x i ) c)f(x i ) d) E(X)=r*(1-p)/p=2 D 2 (X)= r*(1-p)/p 2 =4 6. Uurnassa on 500 arpaa, joista 100 on voittavia. Muuttuja X voittojen määrä nostettaessa 25 arpaa. c) Laske kertymäfunktion arvot c) Laske E(X) ja D 2 (X) a) X~HyperG(500,100,25) N=500, K=100 ja n=25 b)x i f(x i ) c)f(x i ) d) E(X)= n*(k/n)=5 D 2 (X)= n*(k/n)*(1-(k/n))*(n-n)/(n-1)= Arvonnassa voiton odotusarvo on 3. Muuttuja X on voittojen määrä. c) Laske kertymäfunktion arvot c) Laske E(X) ja D 2 (X) a) X~Poisson(3) λ=3 b) x i f(x i ) c) F(x i ) d) E(X)= λ=3 D 2 (X)= λ=3 5

6 8. X ~Uni(0,2) ja Y~Uni(0,4) ja muuttujat ovat riippumattomia toisistaan. a) Laske E(X), Var(X), E(Y) ja D 2 (Y) b) Z 1 =X+Y, Laske E(Z 1 ), D(Z 1 ) ja D 2 (Z 1 ) c) Z 2 =X-Y, Laske E(Z 2 ), D(Z 2 ) ja D 2 (Z 2 ) d) Z 3 =-2X+1, Laske E(Z 3 ), D(Z 3 ) ja D 2 (Z 3 ) a) E(X)=(2+0)/2=1 D 2 (X)=(2-0) 2 / E(Y)=(4+0)/2=2 D 2 (Y)=(4-0) 2 / b) E(Z 1 )=E(X)+E(Y)=1+2=3 D 2 (Z 1 )= D 2 (X)+D 2 (Y) D(Z 1 )=sqrt( )= c) E(Z 2 )=E(X)-E(Y)=1-2=-1 D 2 (Z 2 )= D 2 (X)+D 2 (Y) D(Z 2 )= sqrt( )= d) E(Z 3 )=-2*E(X)+1=-2*1+1=-1 D 2 (Z3)=(-2) 2 *D 2 (X) (-2) 2 * D(Z 3 )= sqrt(1.3333)= Pekka Pitkäsääri on erikoistunut kolmiloikkaan. Kolmiloikkaa koostuu kolmesta osasta, jotka ovat loikka, askel ja hyppy. Kolmiloikan osaset noudattavat normaalijakaumaa seuraavin parametrein: loikka~n(5.5, ), askel~n(5.1, ) ja hyppy~n(6.2, ). Osaset oletetaan toisistaan riippumattomiksi. a) Mikä on niiden suoritusten osuus, joissa kokonaispituus on yli 18 metriä. b) Pekka suorittaa 6 peräkkäistä suoritusta, jotka oletetaan riippumattomiksi toisistaan. Mikä on todennäköisyys, että ainakin yksi niistä on yli 18 metriä pitkä? c) Onko kumpikaan riippumattomuusoletuksista mielekäs? N( , ) -> Kolmiloikka~N(16.8, 1.25) a) ( )/sqrt(1.25)= Φ(1.07)= = Yli kahdeksantoistametristen hyppyjen osuus on siis 14.2 prosenttia. b) =0.602 c) Kumpikaan riippumattomuusoletuksista ei ole mielekäs. 6

7 Estimointi: 1. Perusjoukkomme muodostuu 190:stä valtiosta ja käytössämme on 38 havainnon otos vuodelta Haluamme arvioida miesten odotettua elinikää. Vertailun vuoksi kerrottakoon, että miesten oikea odotettu elinikä vuonna 1999 oli vuotta. Otos on hankittu käyttäen ositettua otantaa. alue valtioita otoksessa otoskeskiarvo perusjoukon keskihajonta Europpa+2: Etelä-Amerikka: Afrikka: Aasia: Oseania: Tulokset ilman ositusta: maapallo a) Estimoi miesten odotettu elinikä ositus huomioiden. b) Laske miesten odotettujen elinikien keskiarvon keskivirhe huomioimatta ositusta. c) Laske miesten odotettujen elinikien keskiarvon keskivirhe, kun tiedetään käytetyn ositettua otantaa suhteellisella kiintiöinnillä. a) x =39/190* /190* /190* /190* /190*66.733=62.76 b) /sqrt(38)*sqrt((190-38)/(190-1))= ilman äärellisen perusjoukon korjaustekijää: /sqrt(38)= c) sqrt((39/190) 2 * /8*(39-8)/(39-1)+(37/190) 2 * /7*(37-7)/(37-1)+(54/190) 2 * /11 *(54-11)/(54-1)+(47/190) 2 * /9*(47-9)/(47-1)+(13/190) 2 * /3*(13-3)/(13-1))= ilman äärellisen perusjoukon korjaustekijää: sqrt((39/190) 2 * /8+(37/190) 2 * /7 +(54/190) 2 * /11+(47/190) 2 * /9+(13/190) 2 * /3)= Miesten pituuden otoskeskiarvo on ja otosvarianssi on 100. Otoksessa on 12 henkilöä. Pituudet oletetaan normaalijakautuneiksi. a) Laske pituuden 95%-luottamusväli. b) Perusjoukon varianssi on 100. Laske pituuden 95%-luottamusväli. c) Perusjoukossa on 200 henkeä. Laske pituuden 95%-luottamusväli molemmissa tilanteissa. a) t (11)= *10/sqrt(12)= *10/sqrt(12)= b) *10/sqrt(12)= *10/sqrt(12)= ca) *10/sqrt(12)*sqrt(1-12/200)= *10/sqrt(12)*sqrt(1-12/200)= cb) *10/sqrt(12)*sqrt((200-12)/(200-1))= *10/sqrt(12)*sqrt((200-12)/(200-1))=

8 3. Pettersen tutki (1953) miten kasvin eri osissa olevat kukat pölyttyvät. Tutkimusta varten hän keräsi näytteitä 10 kasvin (sinimailanen) latvassa ja tyvessä olleista kukista ja laski niissä olevien siemenien määrien keskiarvot. Laske siementen määrien erotuksen luottamusväli. Tulokset olivat: kasvi latva tyvi d i d i d =5.6/10=0.56 s d = sqrt(( /10)/9)= *0.830/sqrt(10)= *0.830/sqrt(10)= Mikä on harmaahiuksisten naisten suhteellisen osuuden 95%-luottamusväli? Hiusten väri: 0=eos 1=vaalea 2=harmaa 3=punainen 4=ruskea 5=musta kalju vaalea harmaa puna ruskea musta Summa Nainen Mies Summa Harmaahiuksisten suhteellinen osuus naisista: 6/63= a) Waldin luottamusväli *SQRT(0.095*0.905/63)= *SQRT(0.095*0.905/63)= b) Waldin korjattu luottamusväli *SQRT(((6+2)/(63+4)*(57+2)/(63+4))/(63+4))= *SQRT(((6+2)/(63+4)*(57+2)/(63+4))/(63+4))= c) Agresti-Coull -luottamusvälit *SQRT((( /2)/( )*( /2)/( ))/( ))= *SQRT((( /2)/( )*( /2)/( ))/( ))= d) Wilsonin luottamusväli ( /(2*63)-1.960*sqrt(0.0952*0.9048/ /(4*63 2 )))/( /63)= ( /(2*63)+1.960*sqrt(0.0952*0.9048/ /(4*63 2 )))/( /63)= Puoluetta kannattaa 5 henkeä 20 hengen otoksesta. Laske kannatuksen 95% -luottamusväli: Wald <π< AC <π< Wkorj <π< WS <π< CPB <π< CPF <π< a) Wald *sqrt(0.25*(1-0.25)/20)= *sqrt(0.25*(1-0.25)/20)= b) Agresti-Coull *sqrt((( /2)/( )*(1-( /2)/( ))/( )))= *sqrt((( /2)/( )*(1-( /2)/( ))/( )))= c) korjattu Wald *sqrt(((5+2)/(20+4)*(1-(5+2)/(20+4))/(20+4)))= *sqrt(((5+2)/(20+4)*(1-(5+2)/(20+4))/(20+4)))=

9 d) Wilson ( /(2*20)-1.960*sqrt(0.25*0.75/ /(4*20 2 )))/( /20)= ( /(2*20)+1.960*sqrt(0.25*0.75/ /(4*20 2 )))/( /20)= e) Clopper-Pearson binomijakaumalla f(x i ) F(x i ) C(20,0)* *(1-0.25) 20 = C(20,1)* *(1-0.25) 19 = C(20,2)* *(1-0.25) 18 = >0.025 Alaraja on siis l/n=1/20=0.05 f(x i ) 1-F(x i ) C(20,20)* *(1-0.25) 0 = C(20,19)* *(1-0.25) 1 = C(20,18)* *(1-0.25) 2 = C(20,17)* *(1-0.25) 3 = C(20,16)* *(1-0.25) 4 = C(20,15)* *(1-0.25) 5 = C(20,14)* *(1-0.25) 6 = C(20,13)* *(1-0.25) 7 = C(20,12)* *(1-0.25) 8 = C(20,11)* *(1-0.25) 9 = C(20,10)* *(1-0.25) 10 = C(20,9)* *(1-0.25) 11 = >0.025 Yläraja on siis u/n=10/20=0.5 f) Clopper-Pearson F-jakaumalla F L =F.025 (2k, 2(n-k+1))=1/(F.975 (2(n-k+1), 2k))=1/(F.975 (32, 10))=1/3.311= F U =F.975 (2(k+1), 2(n-k))=F.975 (2(5+1), 2(20-5))=F.975 (12, 30)= Alaraja on 1/(1+(20-5+1)/(5* ))= Yläraja on 1/(1+(20-5)/((5+1)* ))= Miesten pituuden otoskeskiarvo on ja otosvarianssi on 121. Otoksessa on 12 henkilöä. Pituudet oletetaan normaalijakautuneiksi. Laske varianssin 95% -luottamusväli. χ 2.975(12-1)= χ 2.025(12-1)=3.816 Alaraja on (12-1)*11 2 /21.92= Yläraja on (12-1)*11 2 /3.82= Kyselytutkimuksessa saatiin vastaukseksi seuraava likert-asteikollinen tulos. Laske vastausten mediaanin konservatiivinen 95% -luottamusväli. X täysin eri mieltä eri mieltä aivan sama samaa mieltä täysin samaa mieltä Summa F Mediaanin paikka on (15+1)/2=8, eli kahdeksas havainto, joka on "aivan sama". f(x i ) F(x i ) C(15,0)*0.5 0 * = C(15,1)*0.5 1 * = C(15,2)*0.5 2 * = C(15,3)*0.5 3 * = C(15,4)*0.5 4 * = >0.025 l=3, eli x (3) ="täysin eri mieltä" u=n-l=15-3+1=13, eli x (13) ="samaa mieltä" Luottamusväli on siis X (3) md (13), eli 95% luottamusväli mediaanille on (tem md sm). Ei-konservatiivinen luottamusväli olisi: X (4) md X (12), eli (tem md sm) 9